专题1.2集合之间的关系重难点题型讲义（2个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一数学上册重难点专题提升精讲精练（沪教版必修第一册）

专题1.2集合之间的关系重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 判断集合的子集(真子集)的个数 题型二 求集合的子集(真子集) 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 拓展训练一 集合包含关系的判定及求参 知识点一：子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 【即时训练】 1．（24-25高一上·江西鹰潭·阶段练习）已知集合，，若，则满足集合A的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 知识点二：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 【即时训练】 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 个． 【经典例题一 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，对它的非空子集A，将A中的每个元素k都乘再求和，如，可求得和为．试对M的所有非空子集，求这些和的总和． 【经典例题二 判断两个集合的包含关系】 【例1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 1．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）若，则集合的个数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一·上海·假期作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 ． 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【经典例题三 求集合的子集(真子集)】 【例1】（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，．判断集合A与B的包含关系，并证明你的结论． 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合 的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南·期中）若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，，则集合，的关系为 ． 4．（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)是等边三角形，是等腰三角形； (2)是能够被2整除的数，是被4除余2的整数． 逐个判断集合之间的大小关系即可 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数的取值范围． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 2．（24-25高一上·全国·课前预习）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若，则的取值范围为 ． 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，非空集合，若，求实数值． 【拓展训练一 集合包含关系的判定及求参】 【例1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值． 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 2．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 3.（2023高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 4．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·上海·模拟预测）若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（2025高三·全国·专题练习）设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 6．（多选题）（（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，则集合的真子集有（   ） A． B． C． D． 7．（多选题）（（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 8．（多选题）（（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）（（24-25高一上·浙江台州·期中）已知集合A满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）（（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（   ） A．2 B． C． D．0 11．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 13．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是 ． 14．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 16．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 17．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 18．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 19．（2023高一·上海·专题练习）设集合. (1)判断元素是否属于集合,并说明理由; (2)设集合,证明:; (3)设,证明:. 20．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.2集合之间的关系重难点题型专训 （2个知识点+4大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 判断集合的子集(真子集)的个数 题型二 求集合的子集(真子集) 题型三 判断两个集合的包含关系 题型四 根据集合的包含关系求参数 拓展训练一 集合包含关系的判定及求参 知识点一：子集 1．子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 2.一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 注意点： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． 【即时训练】 1．（24-25高一上·江西鹰潭·阶段练习）已知集合，，若，则满足集合A的个数为（    ） A．4 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据子集的定义，确定集合的元素，即可求解. 【详解】由，所以集合里的元素必须有1，2，3， 又因为，所以，，，，共4个. 故选：A 2．（24-25高一上·北京·阶段练习）已知集合，集合可以为 （写出符合要求的所有） 【答案】 【分析】写出集合的子集即可得解. 【详解】因为集合， 所以集合可以为. 故答案为： 知识点二：真子集 1．真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作A⊂B(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅⊂A 3.性质： (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果A⊂B，且B⊂C，那么A⊂C. 注意点： (1)在真子集的定义中，A⊂B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅⊂{0}． 【即时训练】 1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由真子集的定义对选项一一判断即可得出答案. 【详解】，故A错误； ，故B错误； 因为是集合的子集，但不是真子集，故D错误； 是集合的真子集，故C正确. 故选：C. 2．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）已知集合中有10个元素，则集合M的非空真子集有 个． 【答案】 【分析】根据集合的元素个数可得的非空真子集个数． 【详解】因为集合中有10个元素，故集合M的非空真子集有个， 故答案为：． 【经典例题一 判断集合的子集(真子集)的个数】 【例1】（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）设集合，则的真子集的个数是（    ） A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】D 【分析】写出集合，计算真子集个数. 【详解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为. 故选：D. 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）若集合至多有一个真子集，求a的取值范围． 【答案】或. 【分析】分类讨论集合A的元素个数即可. 【详解】①当A无真子集时，即时， 则方程无实根， 所以，解之得. ②当A只有一个真子集时，即A为单元素集，这时有两种情况： 当时，方程化为，解得，符合题意； 当时，由，解得，符合题意. 综上，当集合A至多有一个真子集时，a的取值范围是或. 1．（24-25高二下·江苏南京·期末）已知集合，则集合A的真子集的个数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先求出集合A，再根据真子集的个数公式计算求解. 【详解】集合，则集合A的真子集的个数是. 故选：C. 2．（24-25高二下·河北承德·期中）若集合的子集中，不含元素的非空子集共有（    ） A．15个 B．16个 C．31个 D．32个 【答案】A 【分析】依题意，即是求集合的非空子集的个数. 【详解】集合的不含有元素的子集个数就是集合的子集个数，共有个， 故不含元素的非空子集共有15个. 故选：A. 3．（24-25高一下·云南玉溪·期末）已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 4．（23-24高一·全国·课后作业）已知集合，对它的非空子集A，将A中的每个元素k都乘再求和，如，可求得和为．试对M的所有非空子集，求这些和的总和． 【答案】2560 【分析】根据不含“k”的M的子集共有个，含“k”的M的子集有个，直接计算即可. 【详解】考虑集合M中的元素k（，）在总和中出现的次数． 因为M的子集共有个，其中不含“k”的M的子集共有个， 所以含“k”的M的子集有个． 因此，由题意，这些和的总和为 ． 【经典例题二 判断两个集合的包含关系】 【例1】（24-25高一上·浙江衢州·期中）若集合，则集合可用列举法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据子集关系分析求解即可. 【详解】因为，则， 所以. 故选：D. 【例2】（2025高三·全国·专题练习）已知集合M满足，则这样的集合M有多少个？并求所有M的元素之和． 【答案】69 【分析】由集合M满足的条件，分析得到集合中元素的可能构成情况，进而求解即得答案. 【详解】因为，一定含有元素但不仅含有元素，还可以含有元素且至多含有五个元素． 故满足条件的集合的个数是的真子集个数，共个 集合为，，，，，，． 由于所有的中分别出现了4次，所以元素之和为． 1．（24-25高一上·四川成都·期中）集合的所有子集中的元素之和为（    ） A．126 B．128 C．130 D．132 【答案】B 【分析】根据子集概念分析即可求解. 【详解】， 集合的所有子集有：， ， 1，3，5，7分别在子集中各出现8次，. 故选：B． 2．（24-25高一上·广东深圳·阶段练习）若，则集合的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】是集合的子集，集合又是的子集，写出符合的集合即可. 【详解】由， 则集合可能是：，，，，共个， 故选：C. 3．（24-25高一·上海·假期作业）设集合，若集合的所有非空子集的元素之和是64，则 ． 【答案】8 【分析】利用子集的定义求出所有的非空子集，然后计算所有元素之和即可得解． 【详解】易知的非空子集为，，，，，，，，，，，，，，， 则所有非空子集的元素之和为． 故答案为：8． 4．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知集合，若，请写出集合A的所有子集． 【答案】，，，． 【分析】解集合A中的方程，得到集合A，由子集的定义写出所有子集. 【详解】当时，， 集合A的所有子集有，，，． 【经典例题三 求集合的子集(真子集)】 【例1】（25-26高一上·全国·随堂练习）已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据子集包含关系得到答案. 【详解】因为， 所以. 故选：C 【例2】（23-24高一·上海·课堂例题）已知集合，．判断集合A与B的包含关系，并证明你的结论． 【答案】集合为集合的真子集，证明见详解 【分析】根据题意先证明为集合的子集，再说明，，即可得结果. 【详解】集合为集合的真子集，证明如下： 对任意，则， 且，则，可知集合为集合的子集， 又因为，可知， 令，解得，可知； 综上所述：集合为集合的真子集. 1．（23-24高一上·四川成都·阶段练习）能正确表示集合和集合 的关系的韦恩图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由子集的定义即可得出答案. 【详解】因为，， 所以. 故选：B. 2．（24-25高二下·云南·期中）若非空集合，，，满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用交集的定义与子集定义即可得到结果. 【详解】因为，所以,又，所以, 故,即，由上分析得，，集合A一定不是集合C的子集， 故选：D 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合或，，则集合，的关系为 ． 【答案】 【分析】由二次函数性质求出集合，可确定集合，的关系. 【详解】由题意，故． 故答案为： 4．（23-24高一·全国·随堂练习）判断下列各组中两个集合之间的关系： (1)是等边三角形，是等腰三角形； (2)是能够被2整除的数，是被4除余2的整数． 【答案】(1)是的真子集 (2)是的真子集 【分析】 逐个判断集合之间的大小关系即可 【详解】（1）是等边三角形能推出，是等腰三角形，不能推出， 所以是的真子集. （2）是被4除余2的整数能推出是能够被2整除的数，不能推出， 所以是的真子集. 【经典例题四 根据集合的包含关系求参数】 【例1】（24-25高二下·江苏南京·期末）设集合，，且，则实数的值是（   ） A．－2 B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据集合的包含关系，分情况建立方程，利用集合元素的互异性验根，可得答案. 【详解】由题意知可知； 令，可得，则，不符合题意； 令，分解因式可得，解得或， 当时，，符合题意. 故选：D. 【例2】（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，且，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据集合的基本关系得出不等式组计算即可. 【详解】由于，在数轴上表示A，B，如图， 可得解得 所以的取值范围是． 1．（2025高一·全国·专题练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为（ ） A． B．或 C． D．或 【答案】C 【分析】根据，列不等式组，求解即可. 【详解】因为，又 ，且 ， 所以需满足， 解得 . 故选：C 2．（24-25高一上·全国·课前预习）如果不等式组的解集是，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的关系可得的范围. 【详解】因为，不等式（1）的解集是：； 不等式（2）的解集是：， 因为，不等式组的解集是， 所以，不等式组的解集在数轴上的大致范围，如图所示，    仔细观察数轴，要想保证有公共部分，不等式的解集的部分，必须在的左边或与3相等，因此，的范围应该是：，所以的范围是. 故选：D. 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由，可得，进而结合，讨论求解即可． 【详解】由，可得， 若，即，则，符合题意； 若，则，此时要使，则解得，因此． 综上，的取值范围为． 故答案为：． 4．（24-25高一上·山西大同·阶段练习）已知集合，非空集合，若，求实数值． 【答案】 【分析】先根据条件，确定集合、的关系，再对集合可能的情况逐一讨论. 【详解】， ∵，∴， 又，所以： 当时，有，解得， 当时，有，方程组无解， 当时，有，方程组无解， 综上所述，实数的值为． 【拓展训练一 集合包含关系的判定及求参】 【例1】（24-25高三上·河南濮阳·阶段练习）若，则（   ） A．1 B． C．0或1 D．0或1或 【答案】B 【分析】根据集合元素的确定性和互异性可求的值. 【详解】因为，故或，且， 故， 故选：B. 【例2】（23-24高一上·全国·课后作业）已知集合是由，，三个元素组成的，且，求实数的值． 【答案】 【分析】根据元素与集合的关系分类讨论即可求解. 【详解】∵， ∴①当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去； ②当时，则，，不符合集合元素的互异性，故舍去； ③当时，，由②得，舍去，则， 此时，，符合题意． 综上所述，. 1．（24-25高一上·辽宁大连·阶段练习）若关于、的方程组的解集中只有一个元素，则实数的值为（   ） A．1 B．0或1 C． D．0或 【答案】B 【分析】消去整理可得，分和两种情况讨论，分别求出的取值. 【详解】由，消去整理可得， 当时，解得，此时方程组的解为，符合题意； 当时，则，解得，此时方程组的解为，符合题意； 综上可得或. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·期中）已知为非零实数，代数式的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】讨论的正负数分布情况判断对应代数式的值，即可确定集合M，进而确定正确的选项. 【详解】当均为负数时，代数式的值为； 当一负一正时，代数式的值为； 当均为正数时，代数式的值为； ∴，故只有B正确. 故选：B. 3.（2023高一·全国·课后作业）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意可得或或，分别求解后再验证即可. 【详解】解：因为， 当，即时，此时，不满足元素的互异性； 当，即时，此时，满足题意； 当，即时，此时无解； 综上，. 故答案为： 4．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； （3）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）若是空集，则方程无实数根， ①当时，原方程变为，此时，不符合题意； ②则，，解得， 所以的范围为. （2）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （3）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 所以的取值范围为：或. 1．（24-25高一上·广东广州·期中）已知集合，满足条件的集合的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系，结合元素个数求得子集的个数，可得答案. 【详解】由题可知集合是集合的非空真子集，故有个. 故选：B. 2．（2025·上海·模拟预测）若集合满足，则可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的包含关系写出集合，即可得答案. 【详解】由，则或. 故选：A 3．（2025·山东青岛·三模）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过分析两个集合的元素形式来判断两个集合的关系. 【详解】因为集合,，则 . 故选：A 4．（2025高一·全国·专题练习）设集合，若，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合间的子集关系求解． 【详解】因为，且， 所以. 故选：D. 5．（2025高三·全国·专题练习）设集合，若非空集合同时满足：①；② (其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素)，称集合为的一个“好子集”，则的所有“好子集”的个数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】结合“好子集”的定义，分三种情况即可. 【详解】当，即集合中元素的个数为1时，的可能情况为,,,； 当，即集合中元素的个数为2时，的可能情况为,,； 当，即集合中元素的个数为3时，的可能情况为， 综上所述，的所有“好子集”的个数为8. 故选：B 6．（多选题）（（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）已知集合，则集合的真子集有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由真子集的定义即可判断. 【详解】已知集合，则集合的真子集有，对比选项可知，只有ABC符合题意. 故选：ABC. 7．（多选题）（（2025高三·全国·专题练习）(多选)已知集合，，且，则实数的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】分情况讨论当和时，列方程解方程即可. 【详解】当时，满足，此时； 当时，，此时， 因为，所以或， 即；或 综上所述，或或， 故选：BCD. 8．（多选题）（（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合A有（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集、真子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所有满足条件的集合A为：，，. 故选：AC. 9．（多选题）（（24-25高一上·浙江台州·期中）已知集合A满足，则集合A可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】分析可知集合A中必有元素，可能含有元素，且，对比选项分析判断. 【详解】因为， 可知集合A中必有元素，可能含有元素，且， 对比选项可知：AB正确，CD错误. 故选：AB. 10．（多选题）（（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，若，则实数的所有可能取值为（   ） A．2 B． C． D．0 【答案】BCD 【分析】对的取值进行分类讨论，利用可确定的值. 【详解】当时，不成立，，满足. 当时，， 当时，， 当时，， 综上得，的所有可能取值为. 故选：BCD. 11．（24-25高一·上海·假期作业）已知集合，且满足：“若，则”，则满足条件的集合的个数为 ． 【答案】4 【分析】根据子集的定义及集合元素的关系可得出结论． 【详解】由集合，可得的可能情况有： ，，，，，，，， 其中，满足“若，则”的集合有：，，，， 故满足条件的集合的个数为4． 故答案为：4． 12．（2025·河北秦皇岛·一模）已知集合，集合，若集合满足⫋，则这样的集合共有 个. 【答案】7 【分析】结合子集和真子集的概念求解即可. 【详解】由⫋，则集合中一定有元素， 且至少含有其中一个元素， 则这样的集合共有个. 故答案为：7. 13．（23-24高一上·上海徐汇·阶段练习）下面六个关系式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中正确的是 ． 【答案】①③⑤ 【分析】由元素和集合的关系，集合间的基本关系，判断关系式是否正确. 【详解】空集是任何集合的子集，故①正确； 由元素与集合的关系可知，，故②错误，⑤正确； 由集合与集合的关系可知，，故③正确，④⑥错误； 故答案为：①③⑤ 14．（24-25高一上·全国·课前预习）已知集合，集合，若，那么a的取值是 ． 【答案】0或 【分析】由，，，三种情况分别讨论即可. 【详解】， 因为， 所以的所有可能为， 当，可得， 当，可得， 当，可得， 故答案为：0或 15．（24-25高一上·上海·阶段练习）若集合，且则的所有可能的值组成的集合为 . 【答案】 【分析】由题意算出，由分别计算即可. 【详解】， ①若； ②； ③. 故答案为：. 16．（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合且，且 (1)写出集合的子集，真子集； (2)求集合的子集数，非空真子集数． 【答案】(1)答案见解析 (2)16，14 【分析】（1）根据集合的子集和真子集的概念即可求解； （2）利用集合的子集和非空真子集个数的求解公式，即可得出其相应的个数． 【详解】（1）， 的子集有：，，，，，，，； 的真子集有：，，，，，，． （2）， 有4个元素，的子集数为个， 的非空真子集数为个． 17．（23-24高一上·云南大理·期末）已知集合. (1)当时，求集合； (2)若集合只有2个子集，求实数的值. 【答案】(1) (2)0或 【分析】（1）代入求解出方程的解，则可知； （2）根据进行分类讨论：当时，根据（1）的结果分析即可，当时，考虑的情况，由此可求结果. 【详解】（1）当时，由解得， 所以. （2）因为集合只有个子集，所以集合中只有个元素， 当时，，显然满足； 当时，若中只有个元素，只需满足方程仅有个解， 所以，解得，解方程可得，此时，满足条件； 综上所述，的取值为0或 18．（23-24高一上·广东揭阳·阶段练习）已知集合． (1)若，求实数a的值； (2)若，写出集合A的所有子集； (3)若集合A中仅含有一个元素，求实数a的值． 【答案】(1)2； (2)； (3)或. 【分析】（1）把代入，求出值即得. （2）求出集合，进而求出其子集即得. （3）按值是否为0，分类求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的值为2. （2）当时，， 所以集合的所有子集是：. （3）当时，方程的根为，符合题意，因此； 当时，集合仅只一个元素，则，解得， 所以实数a的值或. 19．（2023高一·上海·专题练习）设集合. (1)判断元素是否属于集合,并说明理由; (2)设集合,证明:; (3)设,证明:. 【答案】(1);理由见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）可知当时即可判断; （2）令,可证明,且,从而证明; （3）利用反证法证明. 【详解】（1）当时,,故. （2）对任意, 令,则, 故, 又当时,, 所以. （3）假设,则存在, 使得, ①若一个为奇数,一个为偶数, 则都为奇数,则为奇数, 与是偶数矛盾; ②若两个数都是奇数或两个数都是偶数, 则都为偶数,则为的倍数, 与矛盾, 故. 20．（24-25高一上·全国·课后作业）已知集合，，若，求实数的取值范围． 【答案】． 【分析】先将集合化简，再分与讨论，即可得到结果. 【详解】由解得，所以，且， 当时，符合， 则，解得， 当时，即时， 要使，则，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $$