22.3 实际问题与二次函数（第1课时）（导学案）数学人教版九年级上册

22.3 实际问题与二次函数（第1课时）（导学案）（原卷版） 1.教学目标 （1）能根据实际问题构造二次函数模型。能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题。 （2）通过对“长方形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。 （3）体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。 重点：用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题。 难点：理解二次函数当确定函数值求自变量，可以看作解一元二次方程的过程。如何从实际问题中抽象出二次函数关系. 第一环节 自主学习 温故知新： 一次函数的图像与方程的根之间关系：可以看作一次函数上点的 ，那么点的 即为方程的解；我们可以将 看作两个函数，相等 的情况，即方程的根为 ， 标即为方程的根。 【学法指导】 自研课本P43-46页内容 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 图形的最值问题 （1）这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的什么点?当t取什么值,这个函数有最小还是最大值? （2）如何求出二次函数的最小（大）值？     (3)小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 师生共同总结： 一般地，当时，抛物线的顶点是最低（高）点， 也就是说，当时，二次函数有最小（大）值. 二次函数解决实际问题的一般路径：“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题” 问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化.当是多少时，场地的面积S最大？ (1)矩形面积公式是什么？如何用表示另一边？面积S的函数关系式是什么？ (2)当是多少时，场地的面积S最大？ 总结归纳：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 【自研自探】 例1.用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ （1）本例题与上面的问题有什么不同？当设面积为S，如何设自变量？面积S的函数关系式是什么？ （2）如何确定自变量的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？     （3）如何求最值？ 例2 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙MN最长可利用26米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，若设米： (1)若矩形花园的面积为，求x． (2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 例3.用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计） (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求x为多少时S取得最大值，并求S的最大值． 第二环节 合作探究 1.讨论这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的什么点?当t取什么值,这个函数有最小还是最大值?如何求出二次函数的最小（大）值？小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 2.讨论二次函数解决实际问题的一般路径？ 3.讨论利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点。 4.合作探究提升：综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动．    观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，设米，E是边上的动点。连接，，设的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮上分割出，用来填充不同材质的产品，已知，，点E，F，G分别在边，，上，且，，设，的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置，H是上的一点，连接，当四边形的面积为时，求的长． 习题22.3第1题. 1．(2025•浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是(　　) A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上 2．（2025·莆田·九年级校考阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏． (1)若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形菜园面积的最大值． 3.（2025济南·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． (1)______，______，______； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？ 1.一般地，当时，抛物线的顶点是最 点， 也就是说，当 时，二次函数有最小（大）值 . 2.二次函数解决实际问题的一般路径：“实际问题转化成 ——利用 解决问题——利用 问题” 3.利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： （1）根据面积公式、周长公式等 ； （2）确定 ； （3）根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围 ； （4）根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的 . 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 22.3 实际问题与二次函数（第1课时）（导学案）（解析版） 1.教学目标 （1）能根据实际问题构造二次函数模型。能用抛物线的顶点坐标来确定二次函数的最大（小）值问题。 （2）通过对“长方形面积”等实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。 （3）体会二次函数是一类最优化问题的模型，感受数学的应用价值，增强数学的应用意识。 重点：用二次函数的最大值（或最小值）来解决实际应用问题。 难点：理解二次函数当确定函数值求自变量，可以看作解一元二次方程的过程。如何从实际问题中抽象出二次函数关系. 第一环节 自主学习 温故知新： 一次函数的图像与方程的根之间关系：可以看作一次函数上点的纵坐标，那么点的横坐标即为方程的解；我们可以将等号左右两边看作两个函数，相等说明函数值一样的情况，即方程的根为一次函数与常函数联立，交点的横坐标即为方程的根。 【学法指导】 自研课本P43-46页内容 问题 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少 图形的最值问题 （1）这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的什么点?当t取什么值,这个函数有最小还是最大值? 最高点。当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值。 （2）如何求出二次函数的最小（大）值？     由于抛物线的顶点是最低（高）点，当时，二次函数有最小（大）值。 (3)小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 当时，. 小球运动的时间是3s时，小球最高;小球运动中的最大高度是45m。 师生共同总结： 一般地，当时，抛物线的顶点是最低（高）点， 也就是说，当时，二次函数有最小（大）值. 二次函数解决实际问题的一般路径：“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题”。 问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长的变化而变化.当是多少时，场地的面积S最大？ (1)矩形面积公式是什么？如何用表示另一边？面积S的函数关系式是什么？ 矩形面积=长×宽;另一边长为m;面积. (2)当是多少时，场地的面积S最大？ 当时，S有最大值。 总结归纳：利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： 1.根据面积公式、周长公式等建立函数关系式； 2.确定自变量的取值范围； 3.根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； 4.根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值. 【自研自探】 例1.用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？ （1）本例题与上面的问题有什么不同？当设面积为S，如何设自变量？面积S的函数关系式是什么？ 一边靠墙.设垂直于墙的边长为.. （2）如何确定自变量的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？     0＜60－2x≤32，即14≤x＜30. （3）如何求最值？ 最值在其顶点处，即当时，. 例2 如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙MN最长可利用26米），现在已备足可以砌50米长的墙的材料，若设米： (1)若矩形花园的面积为，求x． (2)若平行于墙的一边长不小于20米，这个矩形花园有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由． 【分析】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用， （1）根据题意可以得到相应的一元二次方程，从而可以解答本题； （2）根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后化为顶点式，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：设为，则为， ， 解得，，， 当时（不合题意，舍去）， 当时（符合题意）， 答：当砌墙宽为15米，长为20米时，花园面积为300平方米； （2）设为，矩形花园的面积为， 则， ∵平行于墙的一边长不小于20米 ∴ ∴ ∵围墙MN最长可利用26米 ∴ ∴ ∴ 时，此时取得最大值，符合题意，此时， ∴，此时取得最小值 即当砌墙长为25米时，矩形花园的面积最大，最大值为，即当砌墙长为20米时，矩形花园的面积最小，最小值为． 例3.用长为12米的铝合金型材做一个形状如图所示的矩形窗框，设矩形窗框的宽为x米，窗框的透光面积为S平方米．（铝合金型材宽度不计） (1)求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围． (2)求x为多少时S取得最大值，并求S的最大值． 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，涉及到矩形面积公式以及用配方法将二次函数表达式化为顶点式．（1）由窗框的宽为x米，则长为米，根据矩形面积公式，即可得出S关于x的关系式； （2）将（1）中得到的函数关系式化为顶点式，即可解答． 【详解】（1）解：由窗框的宽为x米，则长为米， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴S与x的函数关系式为：； （2）解：由（1）得： ， ∵． ∴S有最大值， ∴当时，S有最大值，最大值为6． 第二环节 合作探究 1.讨论这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的什么点?当t取什么值,这个函数有最小还是最大值?如何求出二次函数的最小（大）值？小球的运动时间是多少时,小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 2.讨论二次函数解决实际问题的一般路径？ 3.讨论利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点。 4.合作探究提升：综合与实践 在综合实践课上，老师让同学们以“二次函数的最大值”为主题开展数学活动．    观察发现 （1）如图1，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想用60米长的篱笆围成一个矩形花圃，设米，E是边上的动点。连接，，设的面积为y平方米，求出y与x之间的函数关系式，并求y的最大值． 探究迁移 （2）工人师傅要在如图2所示的矩形铁皮上分割出，用来填充不同材质的产品，已知，，点E，F，G分别在边，，上，且，，设，的面积为y． ①求y与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； ②求y的最大值． （3）如图3，在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置，H是上的一点，连接，当四边形的面积为时，求的长． 【分析】本题考查了二次函数的性质与矩形的性质，三角形的面积等知识； （1）利用三角形的面积即可表示出y与x的函数关系式，并根据二次函数解析式求出y的最大值； （2）利用矩形面积减掉直角梯形和两个直角三角形的面积即可得到y与x的函数关系式，根据实际应用题中有意义的条件，得出x的取值范围，进而得到y的最大值； （3）在（2）的条件下可以得到的面积，进而得到的面积，即可求出的长； 解题的关键是会用配方法求解二次函数的最值，会用割补法求解不规则图形的面积． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，y的最大值为112.5； （2）①由题可知，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵的面积=矩形的面积-梯形的面积-的面积-的面积， 即， 即， ∵，， ∴； ②∵， ∵，且， ∴当时，y的最大值为5； （3）如图4，连接， , ∵在（2）的条件下，且点F位于的面积最大时的位置时， ∴此时的面积为5， ∵四边形的面积=的面积+的面积=， ∴的面积=， ， ∴． 习题22.3第1题. 提示：求出抛物线的最高点或最低点的坐标，相应二次函数的最大值或最小值就求出来. 1．(2025•浙江)为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路AB向目的地B处运动．设AQ为x(单位：km)(0≤x≤n)，PQ2为y(单位：km2)．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D(m，81)，且经过E(1，225)和F(n，225)两点．下列选项正确的是(　　) A．m＝12 B．n＝24 C．点C的纵坐标为240 D．点(15，85)在该函数图象上 【详解】解：如图，作PG⊥AB于G，当x＝1时，动点Q运动到点H的位置，则由题意和图象可知＝225，当点Q运动到点G的时候，最小，即：＝81，HG＝m－1＝12． 在Rt△PGH中，由勾股定理，得， ∴m＝13．∴A错误．∴AG＝m＝13，HG＝m－1＝12． 当x＝n时，点Q运动到点B，则，∴PB＝PH， ∵PG⊥AB，∴BG＝HG＝12， ∴AB＝13＋12＝25，∴选项B错误． ∴当x＝0，即点Q在A点时，∴． ∴点C的纵坐标为250．∴选项C错误． 当x＝15时，点Q运动到点K，∴AK＝15． ∴GK＝AK－AG＝2．∴PK2＝KG2＋PG2＝4＋81＝85． ∴点(15，85)在该函数图象上．∴选项D正确． 故选：D. 2．（2025·莆田·九年级校考阶段练习）如图，在足够大的空地上有一段长为24米的旧墙，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园，其中，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了60米木栏． (1)若围成的矩形菜园的面积为400平方米，求所利用旧墙的长； (2)求矩形菜园面积的最大值． 【详解】（1）解：（1）设米，则米，米，根据题意得： ， ， 解得，， 当时，，不符合题意舍去， 故， 答：所利用旧墙的长为20米； （2）令矩形菜园面积为， 由（1）得；， ，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， ， 当时，． 答：矩形菜园面积的最大值为432平方米． 3.（2025济南·九年级统考期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果P、Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t． (1)______，______，______； (2)t为何值时的面积为？ (3)t为何值时的面积最大？ 【详解】（1）根据题意得：，， ∴， （2）， 解得：或4， ∵，， ∴， ∴或4都符合题意， ∴即当秒或4秒时，的面积是； （3）由（2）可知， ∵，， ∴当为3时的面积最大，最大面积是． 1.一般地，当时，抛物线的顶点是最低（高）点， 也就是说，当时，二次函数有最小（大）值. 2.二次函数解决实际问题的一般路径：“实际问题转化成数学问题——利用二次函数知识解决问题——利用求解的结果解释问题” 3.利用二次函数解决几何图形中的最值问题的要点： （1）根据面积公式、周长公式等建立函数关系式； （2）确定自变量的取值范围； （3）根据开口方向、顶点坐标和自变量的取值范围画草图； （4）根据草图求所得函数在自变量的允许范围内的最大值或最小值。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$