单元复习讲义：专题05 圆（考点梳理+例题讲解+考点练习）-2025-2026学年六年级上册数学人教版

2025-2026学年六年级上册数学人教版单元复习讲义 专题05 圆 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、圆的认识 1 考点二、用圆规画圆 2 考点三、圆的周长 2 考点四、圆的面积 3 考点五、扇形的认识 3 考点六、圆的知识的实际应用 4 考点七、易错点提示 4 例题讲解 5 一、圆、圆心、半径与直径的认识 5 二、画圆 6 三、与圆相关的轴对称图形 6 四、圆的周长 7 五、含圆的组合图形周长的计算 8 六、圆的面积 9 七、圆环的面积 9 八、含圆的组合图形面积的计算 10 九、弧、圆心角和扇形的认识 11 考点练习 12 一、圆、圆心、半径与直径的认识 12 二、画圆 13 三、与圆相关的轴对称图形 14 四、圆的周长 16 五、含圆的组合图形周长的计算 17 六、圆的面积 19 七、圆环的面积 20 八、含圆的组合图形面积的计算 21 九、弧、圆心角和扇形的认识 24 考点梳理 考点一、圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 考点二、用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 考点三、圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 考点四、圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 考点五、扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 考点六、圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 考点七、易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 例题讲解 一、圆、圆心、半径与直径的认识 【例题1】2023年第19届杭州亚运会的主场馆——杭州奥体中心体育场，又名“大莲花”，总建筑面积21.6万平方米，固定座位80800个，是继“鸟巢”后国内第二大体育场馆。许多体育场馆都会把观众席设计成围绕场地一周的圆形，这样的设计是利用了圆特征中的（　　）。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中直径是半径的2倍 D．同圆中所有半径都相等 【例题2】在下边的长方形里面画一个最大的圆，圆规两脚间的距离为（　　）厘米。 A．7 B．15 C．3.5 D．7.5 【例题3】直径就是经过圆心的线段。（　　） 【例题4】将圆规两脚间的距离调整为9cm画圆，画出的圆的直径就是9cm。（　　） 【例题5】画圆时，圆规两脚间的距离是圆的　 　，它决定圆的　 　，　 　决定圆的位置。 【例题6】把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是8cm ，这样画出的圆的半径是　 　cm，直径是　 　cm。 【例题7】如图，正方形的边长是8cm，圆的半径和直径是多少? 二、画圆 【例题1】画一个直径是4cm的圆，并标出直径。 【例题2】在如下图的长方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径。 【例题3】在如图的正方形中画一个最大的圆。 三、与圆相关的轴对称图形 【例题1】下图有（　　）条对称轴。 A．1 B．2 C．4 D．无数 【例题2】圆是轴对称图形，任意一条直径都是圆的对称轴。（　　） 【例题3】画出下列图形的对称轴（有几条就画几条） 【例题4】以下面两个点为圆心，画两个圆，并画出这个组合图形的对称轴。 四、圆的周长 【例题1】用圆规画一个周长是6.28cm的圆，这个圆的半径是（　　）cm。 A．2 B．1 C．10 D．3.14 【例题2】圆形花坛的半径是2米，绕花坛走一周，长度是（　　）。 A．25.12米 B．12.56米 C．12.56平方米 D．25.12平方米 【例题3】如下图，这个半圆的半径是5分米，它的周长是（　　）分米。 A．25.7 B．20.7 C．78.5 D．39.25 【例题4】圆的周长总是它直径的3.14倍。（　　） 【例题5】一个圆的半径越长， 它的周长就越长。（　　） 【例题6】画一个圆，圆规两脚间的距离是 5 厘米，这个圆的直径是　 　厘米，周长是　 　厘米。 【例题7】求下面各圆的周长。 （1） （2） 【例题8】茂名小东江畔矗立着一座偌大的摩天轮，摩天轮的直径是68米，轮外挂装48个透明座舱，这个摩天轮的周长是多少米？ 【例题9】一辆自行车车轮外直径是0.5米，冬冬骑自行车去学校，如果这个自行车车轮每分钟转100圈，他从家到学校要骑15分钟，冬冬家到学校的路程是多少米？ 五、含圆的组合图形周长的计算 【例题1】计算如图图形的周长。 【例题2】求下面图形的周长。(单位：厘米) 【例题3】如图是民族小学运动场的示意图，运动场的中间是一个长方形，两端是两个半圆。小达瓦沿该运动场跑了3圈，大约跑了多少米？（结果保留整数） 【例题4】求下图阴影部分的周长。（单位：厘米） 六、圆的面积 【例题1】用四根同样长的绳子围成不同的图形，围成的（　　）的面积最大。 A．长方形 B．三角形 C．正方形 D．圆 【例题2】如果两个圆的直径相等，那么它们的面积也相等。（　　） 【例题3】以圆规两脚间距离为2cm画一个圆，这个圆的周长是 　cm，面积是　 　。 【例题4】在一张周长24cm的正方形纸内剪去一个最大的圆，剩余的面积是　 　cm2。 【例题5】求下面各圆的面积 （1） （2） 【例题6】学校里面有一个周长是25.12米的圆形花坛，这个花坛的占地面积是多少平方米？ 【例题7】星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地? 七、圆环的面积 【例题1】一个圆的半径从2cm增加到5cm，则它的面积比原来增加了（　　）cm2。 A．28.26 B．65.94 C．78.5 D．113.04 【例题2】在一个圆环中，大圆半径是小圆半径的3倍，其中小圆的面积是20dm2，那么圆环的面积是　 　dm2。 【例题3】一张光盘的记录面为环形，内圆直径是 4 厘米，外圆直径是 12 厘米，这张光盘刻录面的面积是　 　平方厘米。 【例题4】求下面图中阴影部分的面积。 【例题5】学校要在一个半径为10米的圆形水池周围修建一条1米宽的鹅卵石小路，如果铺设这条小路每平方米需要3千克鹅卵石，则铺设这条小路一共需要多少千克鹅卵石? 八、含圆的组合图形面积的计算 【例题1】下图中圆和长方形面积相等，圆的半径等于长方形的宽。阴影部分面积是60cm2，圆的面积是 　 　cm2。 【例题2】下图阴影部分的面积是　 　。 【例题3】计算下面图形阴影部分的面积。 【例题4】如下图，圆形模板中减掉一个正方形，圆的直径为8厘米，求图中阴影部分面积。 【例题5】红星路学校的运动场的示意图如图。运动场一圈的长度是325.6m，运动场的占地面积是多少平方米？ 九、弧、圆心角和扇形的认识 【例题1】下面图（　　）的涂色部分是扇形。 A． B． C． D． 【例题2】在一个圆中，扇形的大小是由圆心角决定的。（　　） 【例题3】四个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。（　　） 【例题4】如下图中，圆上A、B两点之间的部分叫做　 　，读作　 　。 【例题5】画一个半径是1.5厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60度的扇形。 考点练习 一、圆、圆心、半径与直径的认识 1．一张圆形纸片，至少对折（　　）次，可以找到圆心。 A．1 B．2 C．3 D．4 2．蓝蓝对《圆》进行单元整理复习，整理的知识点正确的有（　　）个。 ①圆内最长的线段是直径；②经过圆心的直线是这个圆的对称轴；③《墨经》中记载：“圆一中同长也。”意思是：圆有一个中心，圆上各点到圆心的距离都相等；④街道下水道井盖做成圆形而不做成方形的原因是圆形井盖比方形井盖更美观。 A．1 B．2 C．3 D．4 3．同一个圆中，两个端点都在圆上的线段中直径最长。（　　） 4．同一个圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。（　　） 5．连接圆心和圆上任意一点的线段叫作　 　；同一圆内，半径的长度是直径的　 　。 6．战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到　 　的距离相等，也就是同一个圆的　 　都相等。 7．活动课上同学们围成了一个直径是4m的圆圈做击鼓传花游戏。其中一个同学站在圆圈的中心击鼓。中心点的同学和圆圈上任何一个同学的距离都是　 　m。 8．如图，长方形的长是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 9．如图，长方形的面积是多少平方厘米？ 10．下图正方形内有一个最大的圆，已知圆的半径是4cm，求正方形的面积。 11．南湖自然公园由三个相连的湖泊组成（如图），镜湖、青羽湖和莲湖的直径分别是400米、600米和300米。镜湖的圆心处有一座小岛A，莲湖的圆心处有一座小岛B，求A、B两座小岛之间的距离是多少米？ 二、画圆 1．请你画一个半径为2cm的圆，并用字母O、r标出圆心和半径。 2．画出一个直径为3 cm的圆，并用字母标出圆心、半径和直径。 3．在下图中画出以点O为圆心，过A、B两点的圆。 4．用圆规在长为8cm，宽为6cm的长方形内画一个最大的圆，用字母o、r分别标出它的圆心和半径。 5．先画一个长 4 cm，宽 3 cm 的长方形， 然后在里面画一个最大的半圆。 6．请画一个半径为2厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形。（保留作图痕迹） 三、与圆相关的轴对称图形 1．下列各图中，对称轴只有一条的是（　　）。 A． B． C． D． 2．圆有无数条对称轴， 圆环只有一条对称轴。（　　） 3．如图两个圆心的连线所在的直线是这个图形的一条对称轴。（　　） 4．画一个半径 2 厘米的半圆，并画出这个半圆的对 称轴。 5．在下图中添加2个圆设计成新的图形，使新的图形满足要求，并画出它的对称轴。 6．聪聪准备设计一个用圆作出的轴对称图案。如图是这幅图案的一半，请你帮聪聪完成另一半。 7．在下面的正方形中画一个最大的圆，并画出这个组合图形的所有对称轴。 四、圆的周长 1．我国古代名著《孟子》中有一句话：“不以规矩，不能成方圆。”这句话中的“规”是专门用来画圆的圆规，而“矩”是一种标有刻度的折成直角的曲尺。把圆规的两脚张开3cm画一个圆，这个圆的周长是（　　）cm。 A．6 B．9 C．9.42 D．18.84 2．一个钟表的分针长10厘米，从2时走到5时，分针针尖走过了（　　）厘米。 A．31.4 B．62.8 C．15.7 D．188.4 3．在长4厘米，宽3厘米的长方形内画最大半圆，这个半圆的周长是（　　）。 A．6.28厘米 B．7.71厘米 C．10.28厘米 D．12.56厘米 4．一个圆的半径从6厘米增加到9厘米，圆的周长增加了（　　）厘米。 A．9.42 B．12.56 C．18.84 D．25.12 5．圆的直径扩大到原来的3倍，圆的周长就扩大到原来的3倍。（　　） 6．一个周长是6.28分米的圆形纸，沿直径剪成两个半圆，每个半圆的周长是3.14分米。（　　） 7．一个半径是5cm的半圆，它的直径是　 　cm，它的周长是　 　cm。 8．如图是一个盘面为圆形的日晷，它是古代测量日中时间、定四季和辨方位的仪器。一个半径长为8分米的日晷盘面，它的周长为　 　分米。 9．一根铁丝可以围一个半径是 4 厘米的圆， 如果用它围成一个正方形， 正方形的边长约是　 　厘米。 10．按要求计算。 （1）求半圆的周长。 （2）求圆的周长。 11．自来水公司在公园铺设自来水管道的同时，还需在路面上设置一些圆形井盖。已知一个井盖的周长是18.84分米，井盖的半径是多少分米？ 12．一台压路机的前轮直径是1.6米，如果前轮每分钟转动6周，压路机半小时能前进多少米？ 13．一根长18.84米的绳子正好可以绕一棵树的树干10 圈。这棵树树干的横截面的直径大约是多少米？ 五、含圆的组合图形周长的计算 1．如图是由4个半圆组成的图形，其中3个半圆的直径长度如图所示，求下面图形的周长。 2．求下图阴影部分的周长。 3．求阴影部分的周长。（单位：cm） 4．实验小学校园里的花坛形状如下图所示，中间是一个边长为6m的正方形，四周是半圆形，这个花坛的周长是多少米？ 5．求下面各图形的周长。（单位：cm） （1） （2） 六、圆的面积 1．钟面上，分针的长度为1分米。经过半个小时，分针扫过的面积是（　　）平方分米。 A．π B．2π C． D． 2．要剪一个面积是28.26的圆形纸片，至少需要面积是（　　）正方形纸片。 A．28.26 B．18 C．36 D．28 3．一张圆形剪纸对折一次后的周长为41.12dm，那么对折前这张圆形剪纸的面积是（　　）dm2。 A．134.6 B．200.96 C．538.5 D．2154 4．一个半径为2厘米的圆，它的周长和面积相等。（　　） 5．一个圆的周长扩大4倍，面积也扩大4倍。（　　） 6．用长12.56m的绳子围一个最大的圆，这圆直径是　 　m，面积是　 　。 7．一个半圆的半径是 4 cm，则它的周长是　 　cm，面积是　 　 。 8．把一个圆分成若干等份， 然后把它剪开， 照图中的样子拼起来，拼成近似的平行四边形。已知平行四边形的周长比圆的周长多6 cm 。那么圆的周长是　 　cm ，面积是　 　 。 9．根据所给条件求出圆的面积。 （1）半径为6厘米。 （2）直径为10厘米。 （3）周长为25.12厘米。 10．一个圆形养鱼池的周长是62.8米，如果每平方米可以投放15尾鱼苗，那么这个养鱼池一共可以投放多少尾鱼苗? 11．爸爸带笑笑去吃披萨，点了一个12寸的。服务员说12寸的卖完了，然后端来两个6寸披萨，服务员告诉笑笑说两个6寸的披萨和一个12寸的披萨价格一样。你觉得这样替换公平吗？借助画图或者算式来说明。(知识链接：6寸披萨形状为直径大约是15米的圆形，12 寸披萨形状为直径大约是30厘米的圆形)。 12．公园中有一块半圆形草坪，它的直径是10m。 （1）绕着这块草坪边沿走1圈，大约要走多少米？ （2）这块草坪的占地面积大约是多少平方米？ 七、圆环的面积 1．一个圆形花坛的半径是3米，在花坛一周铺一条宽1米的碎石小路，小路的面积是（　　）平方米。 A．21.98 B．50.24 C．15.7 D．28.26 2．在一个圆环中，外圆的面积比内圆的面积多21.98平方米，外圆的直径是8米，内圆的半径是　 　米。 3．儿童乐园要修建一个圆形旋转木马场地。木马旋转范围的直径是6米，它的周边还有1m 宽的小路，并在外侧围上栏杆，栏杆内的占地面积是　 　m2，小路的面积是　 　‘m2。 4．计算下面图形阴影部分的面积。 5．公园草地上原来安装的自动旋转喷灌装置的射程是8米，设备升级以后，射程达到10米。它能喷灌的面积增加了多少平方米? (π取3.14) 6．一家火锅店开张，店内特制的火锅周长是125.6厘米，现在要在火锅的周围配上30厘米宽的圆环形桌面（如下图阴影部分），这个桌面的面积是多少平方米？ 7．折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 八、含圆的组合图形面积的计算 1．如图，半圆中有一个直角三角形，其中直角边AB是6cm，AC是8cm，斜边BC是10cm。阴影部分的面积是　 　cm2。 2．如图，圆的面积是28.26 cm2，大正方形的面积是　 cm2．小正方形的面积是　 　 cm2。 3．求如图图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 4．求阴影部分的面积。 5．求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 6．求阴影部分的面积。（π取3.14） 7．求下面各图形中阴影部分的面积。（单位：cm） （1） （2） 8．如图，一个花坛的中间是边长为5米的正方形，四周是四个完全一样的半圆形，这个花坛的周长和面积各是多少？ 9．太极图在中国传统文化中含义深邃，其形状为阴阳两鱼互纠在一起，象征两极和合。下图中大圆的直径是10cm，阴鱼（即阴影部分）的面积是多少？ 10．如图，在一片草地中有一个边长10米的正方形水池，在它的一个顶点用10米长的绳子拴着一只羊，羊能够吃到草的草地的面积是多少平方米？ 九、弧、圆心角和扇形的认识 1．下面图形中，涂色部分不是扇形的是（　　）。 A． B． C． D． 2．下面图形中，（　　）中的角是圆心角。 A． B． C． D． 3．扇形只有一条对称轴。（　　） 4．扇形的圆心角越大，扇形的面积就越大。（　　） 5．把一个圆对折两次后，得到的面积最小的扇形的圆心角是　 　。 6．一个圆最多可以分成　 　个圆心角是60°的扇形，以该圆圆弧所画的扇形的圆心角是　 　。 7．先在下面的正方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年六年级上册数学人教版单元复习讲义 专题05 圆 （考点梳理+例题讲解+考点练习） 专题预览 考点梳理 1 考点一、圆的认识 1 考点二、用圆规画圆 2 考点三、圆的周长 2 考点四、圆的面积 3 考点五、扇形的认识 3 考点六、圆的知识的实际应用 4 考点七、易错点提示 4 例题讲解 5 一、圆、圆心、半径与直径的认识 5 二、画圆 7 三、与圆相关的轴对称图形 8 四、圆的周长 9 五、含圆的组合图形周长的计算 12 六、圆的面积 13 七、圆环的面积 15 八、含圆的组合图形面积的计算 17 九、弧、圆心角和扇形的认识 20 考点练习 21 一、圆、圆心、半径与直径的认识 21 二、画圆 25 三、与圆相关的轴对称图形 27 四、圆的周长 30 五、含圆的组合图形周长的计算 34 六、圆的面积 36 七、圆环的面积 40 八、含圆的组合图形面积的计算 44 九、弧、圆心角和扇形的认识 48 考点梳理 考点一、圆的认识 1.圆的定义： 一条线段绕着它固定的一个端点在平面上旋转一周，另一个端点所经过的封闭曲线叫做圆。这个固定的点叫做圆心。 2.圆的各部分名称及特征： （1）圆心 (O)： 圆中心的一点，它决定圆的位置。 （2）半径 (r)： 连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径。 ①一个圆有无数条半径。 ②在同圆或等圆中，所有半径的长度都相等。 ③半径决定圆的大小。 （3）直径 (d)： 通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 ①一个圆有无数条直径。 ②在同圆或等圆中，所有直径的长度都相等。 （4）半径与直径的关系： 在同圆或等圆中，直径的长度是半径的2倍，即 或 。 3.圆的对称性： （1）圆是轴对称图形，它有无数条对称轴。 （2）每条对称轴都是直径所在的直线。 考点二、用圆规画圆 1.画圆步骤： （1）定圆心：把圆规的两脚分开，有针尖的一脚固定在一点上，这个点就是圆心。 （2）定半径：根据所画圆的大小，调整圆规两脚之间的距离，这个距离就是半径。 （3）旋转一周：把装有铅笔尖的一脚绕圆心旋转一周，就画出一个圆。 2.注意事项： （1）画圆时，圆规两脚之间的距离不能改变。 （2）针尖要固定好，不能移动。 （3）旋转时要平稳，用力均匀。 考点三、圆的周长 1.圆的周长 (C) 的意义： 围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。 2.圆周率 (π)： （1）任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率，用字母 π (pài) 表示。 （2）π是一个无限不循环小数，π ≈ 3.1415926535...，在小学阶段的计算中，通常取 π ≈ 3.14。 3.圆的周长计算公式： （1）已知直径 (d)，求周长： （2）已知半径 (r)，求周长： 4.半圆的周长： 半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径。 （1） 或 5.圆的周长公式的应用： （1）已知周长求直径： （2）已知周长求半径： 考点四、圆的面积 1.圆的面积 (S) 的意义： 圆所占平面的大小叫做圆的面积。 2.圆的面积计算公式的推导： 通常采用“转化”的方法，将圆等分成若干个小扇形，然后拼成一个近似的长方形。这个长方形的长近似于圆周长的一半 ()，宽近似于圆的半径 (r)。因为长方形的面积 = 长 × 宽，所以圆的面积 。 3.圆的面积计算公式： 4.圆的面积公式的应用： （1）已知半径求面积： （2）已知直径求面积：先求半径 ，再用 （3）已知周长求面积：先求半径 ，再用 5.环形（圆环）的面积： 环形面积 = 外圆面积 - 内圆面积。 （1）设外圆半径为 R，内圆半径为 r，则 考点五、扇形的认识 1.扇形的定义：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 2.圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角（如∠AOB）。扇形的大小与圆心角的大小和半径的长短有关。 3.扇形的各部分名称：半径（两条）、弧（一条曲线）、圆心角。 4.特殊扇形： （1）圆心角是180°的扇形是一个半圆。 （2）圆心角是90°的扇形是一个四分之一圆。 考点六、圆的知识的实际应用 1.解决与圆的周长有关的实际问题：车轮滚动一周前进的路程（车轮周长）、围绕圆形花坛跑一圈的长度、钟面上时针/分针尖端走过的路程等。 2.解决与圆的面积有关的实际问题：圆形草坪的占地面积、圆形铁片的面积、给圆形桌面配玻璃等。 3.组合图形的周长与面积： （1）周长： 注意区分是哪些边的长度之和，特别是组合图形中“内边”是否计算。 （2）面积： 通常采用“割补法”或“加减法”，将组合图形转化为基本图形（如圆、长方形、正方形、三角形等）的面积之和或差。例如：求“外方内圆”、“外圆内方”中正方形与圆之间部分的面积。 考点七、易错点提示 1.概念混淆： 半径和直径的概念及关系（易忽略“同圆或等圆中”）；周长和面积的概念（一个是长度，一个是面积）。 2.圆周率 (π) 的取值： 计算时要明确题目要求，π取3.14还是保留π。 3.公式运用错误： 周长和面积公式混淆；已知直径或周长求面积时，忘记先求半径。 4.半圆周长与圆周长一半的区别： 半圆周长包括直径，圆周长的一半不包括直径。 5.单位问题： 长度单位（如厘米、米）和面积单位（如平方厘米、平方米）的区分和正确使用。 6.计算粗心： 涉及π的计算较繁琐，容易出错；平方的计算（如 是 r × r，不是 r × 2）。 7.环形面积计算： 容易写成 ，正确应为 。 8.审题不清： 如“占地面积”是求面积，“走了多少米”是求周长；“半圆”和“半圆形”在具体问题中的含义。 例题讲解 一、圆、圆心、半径与直径的认识 【例题1】2023年第19届杭州亚运会的主场馆——杭州奥体中心体育场，又名“大莲花”，总建筑面积21.6万平方米，固定座位80800个，是继“鸟巢”后国内第二大体育场馆。许多体育场馆都会把观众席设计成围绕场地一周的圆形，这样的设计是利用了圆特征中的（　　）。 A．圆心决定圆的位置 B．半径决定圆的大小 C．同圆中直径是半径的2倍 D．同圆中所有半径都相等 【答案】D 【解析】【解答】解：体育场馆都会把观众席设计成围绕场地一周的图形，这样的设计是利用了圆特征中的同圆中所有半径都相等的特征。 故答案为：D。 【分析】观众席围绕场地一周是运用了圆内半径相等的原理，是为了保证每个位置上的观众看比赛时的距离相等。 【例题2】在下边的长方形里面画一个最大的圆，圆规两脚间的距离为（　　）厘米。 A．7 B．15 C．3.5 D．7.5 【答案】C 【解析】【解答】解：7<15，7÷2=3.5，所以圆规两脚间的距离是3.5cm。 故答案为：A。 【分析】在长方形中画圆时，当长方形的长大于宽时，以长方形的宽为直径；当长方形的长小于宽时，以长方形长为半径。 【例题3】直径就是经过圆心的线段。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：直径是通过圆心并且两端都在圆上的线段。 故答案为：错误。 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。在同圆或等圆中，直径是半径的2倍。 【例题4】将圆规两脚间的距离调整为9cm画圆，画出的圆的直径就是9cm。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：半径：9cm 直径：9×2=12（cm） 故答案为：错误。 【分析】圆规画圆时，圆规两脚间的距离就是所画圆的半径，据此作答。 【例题5】画圆时，圆规两脚间的距离是圆的　 　，它决定圆的　 　，　 　决定圆的位置。 【答案】半径；大小；圆心 【解析】【解答】解：画圆时，圆规两脚间的距离是圆的半径，它决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 故答案为：半径；大小；圆心。 【分析】用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母o表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 【例题6】把圆规的两脚分开，使两脚间的距离是8cm ，这样画出的圆的半径是　 　cm，直径是　 　cm。 【答案】8；16 【解析】【解答】解：因为 两脚间的距离是8cm ，所以圆的半径是8cm，圆的半径是8×2=16cm。 故答案为：16cm。 【分析】圆规之间两脚之间的距离为半径，乘以2就得到直径。 【例题7】如图，正方形的边长是8cm，圆的半径和直径是多少? 【答案】解：半径：8÷2=4（厘米） 直径：8厘米 答：圆的半径是4厘米，直径是8厘米。 【解析】【分析】圆的直径=正方形的边长=8厘米，圆的半径=圆的直径÷2。 二、画圆 【例题1】画一个直径是4cm的圆，并标出直径。 【答案】解： 【解析】【分析】先确定圆心，把圆规两脚间的距离确定为2cm，就能画出一个直径4cm的圆。 【例题2】在如下图的长方形中画一个最大的圆，并用字母标出圆心和半径。 【答案】解：圆的直径等于长方形的宽，画出长方形中最大的圆，如图所示： 【解析】【分析】根据画圆的特征，首先要确定圆的直径，等于长方形的宽，然后根据画圆的方法画出即可。 【例题3】在如图的正方形中画一个最大的圆。 【答案】解：如图： ​​​​​​​ 【解析】【分析】画出正方形的两条对角线，两条对角线的交点就是最大圆的圆心。最大圆的半径是正方形边长的一半。由此用圆规画出正方形内最大的圆即可。 三、与圆相关的轴对称图形 【例题1】下图有（　　）条对称轴。 A．1 B．2 C．4 D．无数 【答案】B 【解析】【解答】解：图中有2条对称轴。 故答案为：B。 【分析】如图所示：，所以图中有2条对称轴。 【例题2】圆是轴对称图形，任意一条直径都是圆的对称轴。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴，原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】圆是轴对称图形，有无数条对称轴，对称轴是一条直线，所以圆上任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴。 【例题3】画出下列图形的对称轴（有几条就画几条） 【答案】解： 【解析】【分析】依据轴对称图形的定义判断：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；其中的这条直线就是对称轴。 【例题4】以下面两个点为圆心，画两个圆，并画出这个组合图形的对称轴。 【答案】 【解析】【分析】连接两点的圆心，画一条直线，这条直线即为两个圆的对称轴；以两圆的交点作一条切线，这条直线也是两个圆的对称轴。 四、圆的周长 【例题1】用圆规画一个周长是6.28cm的圆，这个圆的半径是（　　）cm。 A．2 B．1 C．10 D．3.14 【答案】B 【解析】【解答】解：6.28÷3.14÷2=1（cm） 故答案为：B。 【分析】圆周长公式：C=2πr=πd，所以用圆的周长除以3.14求出直径，再除以2即可求出半径。 【例题2】圆形花坛的半径是2米，绕花坛走一周，长度是（　　）。 A．25.12米 B．12.56米 C．12.56平方米 D．25.12平方米 【答案】B 【解析】【解答】解：2×2×3.14 =4×3.14 =12.56（米）。 故答案为：B。 【分析】绕花坛走一周的长度=圆形花坛的周长=π×半径×2。 【例题3】如下图，这个半圆的半径是5分米，它的周长是（　　）分米。 A．25.7 B．20.7 C．78.5 D．39.25 【答案】A 【解析】【解答】解：3.14×5+5×2 =15.7+10 =25.7（分米） 故答案为：A。 【分析】观察图可知，半圆的周长=圆周长的一半+直径，据此列式解答。 【例题4】圆的周长总是它直径的3.14倍。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】圆的周长总是它直径的π倍，π是一个无限不循环小数，而3.14只是为了计算方便取的近似数。 故答案为：错误。 【分析】任何一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定值，我们把它叫做圆周率，用字母π表示，它是一个无限不循环小数，但在实际应用中常常只取它的近似值3.14，所以圆的周长总是它直径的π倍。 【例题5】一个圆的半径越长， 它的周长就越长。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：因为直径=r×2；周长=2πr； 所以一个圆的半径越长，直径就越长，周长就越长，所以原题说法正确； 故答案为：正确。 【分析】根据在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，周长=2πr；据此判断即可。 【例题6】画一个圆，圆规两脚间的距离是 5 厘米，这个圆的直径是　 　厘米，周长是　 　厘米。 【答案】10；31.4 【解析】【解答】直径：5×2=10（厘米） 周长：3.14×10=31.4（厘米） 故答案为：10 31.4 【分析】圆规两角间的距离为圆的半径，根据公式：d=2r，C=分别求出圆的直径和周长。 【例题7】求下面各圆的周长。 （1） （2） 【答案】（1）解：C=πd=3.14×8=25.12（cm） 答：周长是25.12（cm）。 （2）解：C=2πr=2×3.14×5=31.4（dm） 答：周长是31.4dm。 【解析】【分析】圆的周长=π×直径=π×半径×2。 【例题8】茂名小东江畔矗立着一座偌大的摩天轮，摩天轮的直径是68米，轮外挂装48个透明座舱，这个摩天轮的周长是多少米？ 【答案】解：3.14×68=213.52（米） 答：这个摩天轮的周长是213.52米。 【解析】【分析】圆周长公式：C=πd，根据圆周长公式计算摩天轮的周长即可。 【例题9】一辆自行车车轮外直径是0.5米，冬冬骑自行车去学校，如果这个自行车车轮每分钟转100圈，他从家到学校要骑15分钟，冬冬家到学校的路程是多少米？ 【答案】解：0.5×3.14×100 =1.57×100 =157（米） 157×15=2355（米） 答：冬冬家到学校的路程是2355米。 【解析】【分析】这辆自行车分钟走的距离=车轮的周长×自行车每分钟转的圈数，其中车轮的周长=πd，所以冬冬家到学校的路程=这辆自行车分钟走的距离×冬冬从家到学校要骑的时间，据此代入数值作答即可。 五、含圆的组合图形周长的计算 【例题1】计算如图图形的周长。 【答案】解：2×6×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（厘米） 答：它的周长是37.68厘米。 【解析】【分析】它的周长=半径6厘米圆的周长=π×半径×2。 【例题2】求下面图形的周长。(单位：厘米) 【答案】解：3.14×20÷2+30×2＋20 =31.4+60+20 =31.4+80 ＝111.4（厘米） 答：图形的周长是111.4厘米。 【解析】【分析】π×直径=圆的周长，圆的周长÷2=圆周长的一半，圆周长的一半+2个长+1个宽=图形的周长。 【例题3】如图是民族小学运动场的示意图，运动场的中间是一个长方形，两端是两个半圆。小达瓦沿该运动场跑了3圈，大约跑了多少米？（结果保留整数） 【答案】解： （米） 答：大约跑了818米。 【解析】【分析】运动场的周长=圆的周长+105×2，圆的周长=πd，求出一圈的长度，再乘3求出3圈的长度即可。 【例题4】求下图阴影部分的周长。（单位：厘米） 【答案】解：3.14×10÷2＋（10÷2）×2＋10 = 3.14×10÷2＋5×2＋10 =31.4÷2＋10＋10 =15.7＋10＋10 =25.7＋10 =35.7（厘米） 【解析】【分析】阴影部分的周长包括圆周长的一半＋长方形的两条宽＋长方形的一条长；其中圆周长的一半=πd÷2，长方形的长和半圆的直径相等，宽和半圆的半径相等。 六、圆的面积 【例题1】用四根同样长的绳子围成不同的图形，围成的（　　）的面积最大。 A．长方形 B．三角形 C．正方形 D．圆 【答案】D 【解析】【解答】解：用四根同样长的绳子围成不同的图形，圆的面积>正方形的面积>长方形的面积>三角形的面积，所以围成的圆的面积最大。 故答案为：D。 【分析】此题的核心在于理解不同形状在周长固定的情况下，其面积如何变化。根据几何学的基本原理，对于给定的周长，圆形具有最大的面积。这是因为在所有平面图形中，圆的面积与周长比值最大，即单位周长下圆的面积最大。因此，当四根同样长的绳子分别围成不同形状时，围成圆的面积理论上是最大的。 【例题2】如果两个圆的直径相等，那么它们的面积也相等。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：两个圆的直径相等，则半径也相等，它们的面积也相等。 故答案为：正确。 【分析】根据“圆的面积=πr2”可知两个圆的面积一定相等。 【例题3】以圆规两脚间距离为2cm画一个圆，这个圆的周长是 　cm，面积是　 　。 【答案】12.56；12.56 【解析】【解答】解：2×2×3.14 =4×3.14 =12.56（厘米） 3.14×22=12.56（平方厘米）。 故答案为：12.56；12.56。 【分析】圆规两脚间的距离=圆的半径，这个圆的周长=半径×2×π，这个圆的面积=π×半径2。 【例题4】在一张周长24cm的正方形纸内剪去一个最大的圆，剩余的面积是　 　cm2。 【答案】7.74 【解析】【解答】解：24÷4=6（cm）， =36-3.14×9 =36-28.26 =7.74（cm2）； 故答案为：7.74。 【分析】首先，我们需要根据正方形的周长求出正方形的边长，然后计算出正方形的面积和圆的面积，最后通过相减得到剩余的面积。 【例题5】求下面各圆的面积 （1） （2） 【答案】（1）解：3.14×(10÷2)2 =3.14×25 =78.5(dm2) （2）解：3.14×3.62 =3.14×12.96 =40.6944(cm2) 【解析】【分析】圆面积公式：S=πr2。根据公式分别计算面积即可。 【例题6】学校里面有一个周长是25.12米的圆形花坛，这个花坛的占地面积是多少平方米？ 【答案】解：25.12÷2÷3.14 ＝12.56÷3.14 ＝4（米） 3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（平方米） 答：这个花坛的占地面积是50.24平方米。 【解析】【分析】圆的半径=圆的周长÷π÷2，所以花坛的占地面积=πr2，据此代入数值作答即可。 【例题7】星光小区里有一个圆形花坛，测得它的周长是31.4米。物业要在花坛的中心安装一个正好可以覆盖整个花坛喷水的自动旋转灌溉装置，装完后可以灌溉多大的一块地? 【答案】解：31.4÷3.14÷2 =10÷2 =5（米） 3.14×52=78.5（平方米） 答：可以灌溉78.5平方米的地。 【解析】【分析】自动旋转灌溉装置可以灌溉多大的地就是求圆形花坛的面积：周长÷圆周率÷2=半径，面积=圆周率×半径的平方。 七、圆环的面积 【例题1】一个圆的半径从2cm增加到5cm，则它的面积比原来增加了（　　）cm2。 A．28.26 B．65.94 C．78.5 D．113.04 【答案】B 【解析】【解答】解：3.14×（5×5-2×2） =3.14×21 =65.94（平方厘米）。 故答案为：B。 【分析】它比原来增加的面积=π×（增加后半径的平方-原来半径的平方）。 【例题2】在一个圆环中，大圆半径是小圆半径的3倍，其中小圆的面积是20dm2，那么圆环的面积是　 　dm2。 【答案】160 【解析】【解答】解：设小圆的半径为r，则大圆的半径为3r， πr2=90， π(3r)2-πr2 =9πr2-πr2 =20×9-20 =160（dm2）； 故答案为：160。 【分析】设小圆的半径为r，则大圆的半径为3r，圆的面积公式为：S=πr2，于是利用圆环的面积公式πR2-πr2，即可求出圆环的面积。 【例题3】一张光盘的记录面为环形，内圆直径是 4 厘米，外圆直径是 12 厘米，这张光盘刻录面的面积是　 　平方厘米。 【答案】100.48 【解析】【解答】解：3.14×[（12÷2）2－（4÷2）2] ＝3.14×（36－4） ＝3.14×32 ＝100.48（平方厘米）； 故答案为：100.48。 【分析】圆环的面积=×（大圆半径-小圆半径），据此代入数据求解即可。 【例题4】求下面图中阴影部分的面积。 【答案】解：3.14×（0.52-0.32） =3.14×（0.25-0.09） =3.14×0.16 =0.5024（m2） 答：阴影部分的面积是0.5024m2。 【解析】【分析】观察图可知，阴影部分是一个圆环，圆环的面积S=π×（R2-r2），据此列式解答。 【例题5】学校要在一个半径为10米的圆形水池周围修建一条1米宽的鹅卵石小路，如果铺设这条小路每平方米需要3千克鹅卵石，则铺设这条小路一共需要多少千克鹅卵石? 【答案】解：10+1=11(米) 3.14×112-3.14×102 =379.94-314 =65.94（平方米） 65.94×3=197.82(千克) 答：铺设这条小路一共需要197.82千克鹅卵石。 【解析】【分析】先计算出加上小路后圆形的半径R，然后根据圆环的面积公式”S=πR2-πr2“分别求出圆环的面积，再乘以 这条小路每平方米需要 鹅卵石数量，计算即可解答。 八、含圆的组合图形面积的计算 【例题1】下图中圆和长方形面积相等，圆的半径等于长方形的宽。阴影部分面积是60cm2，圆的面积是 　 　cm2。 【答案】80 【解析】【解答】解：60÷3×4 =20×4 =80（cm2） 故答案为：80。 【分析】从图中可以看出，圆剩下的面积=长方形中的阴影部分面积，那么长方形和圆重合部分的面积=阴影部分的面积÷3，所以圆的面积=长方形和圆重合部分的面积×4，据此作答即可。 【例题2】下图阴影部分的面积是　 　。 【答案】2.28平方厘米 【解析】【解答】解：3.14×2×2×-2×2÷2 =3.14-2 =1.14（平方厘米） 1.14×2=2.28（平方厘米） 故答案为：2.28平方厘米。 【分析】由图可知，连接正方形的对角线，把阴影部分平均分成两半，阴影部分一半的面积=圆的面积-三角形的面积，阴影部分一半的面积×2=阴影部分的面积。 【例题3】计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】解：3.14×22=12.56（cm2） 2×2÷2=2（cm2） 12.56－2=10.56（cm2） 答：阴影部分的面积是10.56cm2。 【解析】【分析】通过看图可知：阴影部分的面积=圆的面积－三角形的面积。圆的面积=πr2；三角形的底和高都是圆的半径，所以三角形的面积=底×高÷2=r2÷2，据此解答即可。 【例题4】如下图，圆形模板中减掉一个正方形，圆的直径为8厘米，求图中阴影部分面积。 【答案】解： （平方厘米） 答：阴影部分面积为18.24平方厘米。 【解析】【分析】本题主要考查了圆与组合图形，解题的关键是把不规则图形的面积转化为规则图形的面积。观察图形可知，正方形的面积等于两个等腰直角三角形面积组成，三角形的斜边是圆的直径，斜边对应的高是圆的半径，根据三角形的面积=底×高÷2，半径表示为r，一个等腰直角三角形的面积可表示为2r×r÷2，也就是r2，2个等腰直角三角形的面积则表示为2r2；先求出半径，再代入数据即可求出正方形的面积；再根据圆面积公式：S= πr2，代入数据求出圆面积，然后用圆面积减去正方形的面积，即可求出阴影部分的面积。 【例题5】红星路学校的运动场的示意图如图。运动场一圈的长度是325.6m，运动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】解：325.6-100×2 ＝325.6-200 ＝125.6（米） 125.6÷3.14＝40（米） 3.14×（40÷2）2+100×40 ＝3.14×400+4000 ＝1256+4000 ＝5256（平方米） 答：运动场的占地面积是5256平方米。 【解析】【分析】运动场的占地面积=圆的面积＋长方形的面积；其中，圆的面积=π×半径2，半径=圆的周长÷π÷2，周长=运动场一圈的长度-长方形的长×2，长方形的面积=长×宽。 九、弧、圆心角和扇形的认识 【例题1】下面图（　　）的涂色部分是扇形。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A项：弧两端的线段不是半径，所以涂色部分不是扇形； B项：弧两端的线段不是半径，所以涂色部分不是扇形； C项：弧两端的线段不是半径，所以涂色部分不是扇形； D项：符合扇形的定义，所以涂色部分是扇形。 故答案为：D。 【分析】依据扇形的定义可知：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 【例题2】在一个圆中，扇形的大小是由圆心角决定的。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：扇形是由两条半径和圆上的一段曲线组成的。 在圆中，扇形的大小主要由圆心角的大小决定。圆心角越大，扇形也就越大。反之，圆心角越小，扇形也就越小。 因此，题目中的判断是正确的。 故答案为：正确。 【分析】题目是一个判断题，要求判断在一个圆中，扇形的大小是否由圆心角决定。首先，我们需要理解扇形的定义和构成，以及圆心角与扇形大小之间的关系。通过这些分析，我们可以得出正确的结论。 【例题3】四个圆心角都是90°的扇形一定可以拼成一个圆。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：这四个扇形的半径不一定相等，不一定能拼成一个圆。原题说法错误。 故答案为：错误。 【分析】只有半径相等且四个圆心角都是90°的扇形才能拼成一个圆。 【例题4】如下图中，圆上A、B两点之间的部分叫做　 　，读作　 　。 【答案】弧；弧AB 【解析】【解答】解：圆上A、B两点之间的部分符合弧的定义，所以叫做弧；对于这个弧按照通常的读法，读作：弧AB。 故答案为：弧；弧AB。 【分析】在圆中，扇形是由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形，而圆上任意两点之间的部分就称为弧。 【例题5】画一个半径是1.5厘米的圆，再在圆中画一个圆心角是60度的扇形。 【答案】解： 【解析】【分析】圆规两脚间的距离是1.5厘米，画出的圆就是半径1.5厘米的圆；以圆心为顶点，两条边在圆上，画出60度的角，就是圆心角是60度的扇形。 考点练习 一、圆、圆心、半径与直径的认识 1．一张圆形纸片，至少对折（　　）次，可以找到圆心。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】【解答】解：折痕就是圆的直径，两条直径相交的这个点就是圆心，因此，至少对折2次，可以找到圆心。 故答案为：B。 【分析】圆中心的点叫作圆心，所有直径都相交于圆心，因此，两条直径相交的这个点就是圆心；据此解答。 2．蓝蓝对《圆》进行单元整理复习，整理的知识点正确的有（　　）个。 ①圆内最长的线段是直径；②经过圆心的直线是这个圆的对称轴；③《墨经》中记载：“圆一中同长也。”意思是：圆有一个中心，圆上各点到圆心的距离都相等；④街道下水道井盖做成圆形而不做成方形的原因是圆形井盖比方形井盖更美观。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】【解答】解： ①在圆中，直径是从圆上一点通过圆心到圆上另一点的线段，它的长度是所有圆内线段中最长的。正确 ②圆是一个中心对称图形，任何经过圆心的直线都是圆的对称轴。沿着这条直线折叠圆，圆的两边会完全重合。正确 ③圆是一个平面图形，由所有到定点（圆心）的距离相等的点组成。正确 ④井盖做成圆形的原因主要是出于实用性和安全性考虑，而不是美观。圆形井盖不会掉进井口，而方形的井盖在某个角度可能会掉进去，这会带来安全隐患。错误 所以知识点正确的有3个. 故答案为：C 【分析】本题要求判断四个关于圆的知识点的正确性。需要逐一分析每个知识点，确定其是否符合圆的定义和性质，从而判断知识点的正确性。井盖做成圆形，利用了同一圆内所有的半径长度都相等的性质。 3．同一个圆中，两个端点都在圆上的线段中直径最长。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：圆里除直径外的线段都小于半径长的2倍，直径长是半径长的2倍， 故直径长是圆里最长的线段． 故答案为：正确。 【分析】通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径．通过直径的定义可知，在一个圆中，圆内最长的线段一定是直径，据此判断。 4．同一个圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解： 同一个圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等，原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】根据圆的定义和性质进行判断，通过圆心且两个端点都在圆上的线段叫直径，连接圆心和圆上任意一点的线段叫半径，直径由无数条，半径有无数条，同一个圆内所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径是半径的2倍。 5．连接圆心和圆上任意一点的线段叫作　 　；同一圆内，半径的长度是直径的　 　。 【答案】半径； 【解析】【解答】解：连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；同一圆内，半径的长度是直径的。 故答案为：半径；。 【分析】连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。 6．战国时期《墨经》一书中记载：“圆，一中同长也。”这表示圆上任意一点到　 　的距离相等，也就是同一个圆的　 　都相等。 【答案】圆心；半径 【解析】【解答】解：圆上任意一点到圆心的距离相等，也就是同一个圆的半径都相等。 故答案为：圆心；半径。 【分析】在同一圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等，直径等于半径的2倍。 7．活动课上同学们围成了一个直径是4m的圆圈做击鼓传花游戏。其中一个同学站在圆圈的中心击鼓。中心点的同学和圆圈上任何一个同学的距离都是　 　m。 【答案】2 【解析】【解答】解：4÷2=2（m） 故答案为：2。 【分析】此题主要考查了圆的有关知识，同一个圆内，半径是直径的一半，据此列式解答。 8．如图，长方形的长是　 　厘米，面积是　 　平方厘米。 【答案】6；18 【解析】【解答】解：长方形的长：3×2=6（厘米），面积：6×3=18（平方厘米）。 故答案为：6；18。 【分析】长方形的长是圆的直径，宽是圆的半径，所以长方形的长是宽的2倍。用长乘宽求出面积即可。 9．如图，长方形的面积是多少平方厘米？ 【答案】解：8÷2=4（cm） 4+8+8=20（cm） 20×8=160（cm2） 答：长方形的面积是160cm2。 【解析】【分析】长方形的面积=长×宽；其中，长=圆的半径＋圆的直径×2；宽=圆的直径。 10．下图正方形内有一个最大的圆，已知圆的半径是4cm，求正方形的面积。 【答案】解：4×2=8（厘米） 8×8=64（平方厘米） 答：正方形的面积是64平方厘米。 【解析】【分析】正方形的面积=边长×边长；其中，正方形的边长=圆的直径=半径×2。 11．南湖自然公园由三个相连的湖泊组成（如图），镜湖、青羽湖和莲湖的直径分别是400米、600米和300米。镜湖的圆心处有一座小岛A，莲湖的圆心处有一座小岛B，求A、B两座小岛之间的距离是多少米？ 【答案】解：400÷2+600＋300÷2 =200＋600＋150 =800＋150 =950（米） 答：A、B两座小岛之间的距离是950米。 【解析】【分析】A、B两座小岛之间的距离=镜湖的直径÷2＋青羽湖的直径＋莲湖的直径÷2。 二、画圆 1．请你画一个半径为2cm的圆，并用字母O、r标出圆心和半径。 【答案】解：如图： ​​​​​​​ 【解析】【分析】半径为2cm，也就是圆规的两脚之间的距离是2cm，画出圆，并用字母O、r标出圆心和半径。 2．画出一个直径为3 cm的圆，并用字母标出圆心、半径和直径。 【答案】解： 【解析】【分析】以圆规两脚间的距离为1.5厘米，画出圆，针尖对应的点是圆心，连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示；通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，一般用字母d表示。 3．在下图中画出以点O为圆心，过A、B两点的圆。 【答案】解：如图所示： 【解析】【分析】圆心确定圆的位置，半径是OA，据此画圆即可。 4．用圆规在长为8cm，宽为6cm的长方形内画一个最大的圆，用字母o、r分别标出它的圆心和半径。 【答案】解：圆的直径是长方形的短边，是6厘米，圆的半径是3厘米， 【解析】【分析】用圆规画圆时，针尖所在的点叫做圆心，一般用字母o表示。连接圆心和圆上任意一点的线段叫做半径，一般用字母r表示。 5．先画一个长 4 cm，宽 3 cm 的长方形， 然后在里面画一个最大的半圆。 【答案】解：半径：4÷2=2（cm） 【解析】【分析】根据长方形的特征、半圆的特征可知，在这个长方形里画一个最大的半圆，这个半圆的半径等于长方形的长的一半，据此作图即可。 6．请画一个半径为2厘米的圆，并在圆内画一个最大的正方形。（保留作图痕迹） 【答案】解： 【解析】【分析】圆规的针尖确定圆心的位置；圆规两脚间的距离=半径=2厘米，有笔头的一脚旋转一周，即可得到半径为2厘米的圆。先通过圆心画两条互相垂直的直径，这两条直径也是正方形的两条对角线，依次连接对角线在圆上的4个交点，即可得到这个圆内面积最大的正方形，据此画图。 三、与圆相关的轴对称图形 1．下列各图中，对称轴只有一条的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：A项：有3条对称轴； B项：有4条对称轴； C项：有无数条对称轴； D项：有1条对称轴。 故答案为：D。 【分析】依据轴对称图形的定义判断：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；其中的这条直线就是对称轴。 2．圆有无数条对称轴， 圆环只有一条对称轴。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：圆有无数条对称轴，圆环也有无数条对称轴，所以原题干说法错误。 故答案为：错误。 【分析】如果一个图形沿某一条直线对折后，图形两边能完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形，把这条直线叫做对称轴； 沿圆的直径所在的直线对折圆两边可以完全重合，所以直径所在的直线就是圆的对称轴，因为一个圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴； 圆环：由两个同心圆组成的平面圆形；因为圆心是同一个，所以圆环也有无数条对称轴。 3．如图两个圆心的连线所在的直线是这个图形的一条对称轴。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：图中两个圆心的连线所在的直线是这个图形的一条对称轴。原题说法正确。 故答案为：正确。 【分析】两个重叠的圆，两个圆心连线所在的直线就是它们的对称轴，两个圆交点的连线所在的直线也是对称轴。 4．画一个半径 2 厘米的半圆，并画出这个半圆的对 称轴。 【答案】解： 【解析】【分析】以圆规两脚间的距离为2厘米画出半圆，经过半圆的圆心，作半圆直径的垂线，就是这个半圆的对称轴。 5．在下图中添加2个圆设计成新的图形，使新的图形满足要求，并画出它的对称轴。 【答案】 【解析】【分析】根据题目得要求结合对称轴是一条直线，它具有以下特征：如果一个图形沿着这条直线对折，图形的两部分将完全重合，设计出图形。 6．聪聪准备设计一个用圆作出的轴对称图案。如图是这幅图案的一半，请你帮聪聪完成另一半。 【答案】 【解析】【分析】轴对称图形沿着条直线对折，图形的两部分将完全重合。这意味着，这条直线将图形分为两个镜像对称的部分，我们根据轴对称图形得特征画出另一半。 7．在下面的正方形中画一个最大的圆，并画出这个组合图形的所有对称轴。 【答案】解： 【解析】【分析】在正方形内画一个最大的圆形，圆的直径等于正方形的边长，据此画出圆，这个图形有4条对称轴。 四、圆的周长 1．我国古代名著《孟子》中有一句话：“不以规矩，不能成方圆。”这句话中的“规”是专门用来画圆的圆规，而“矩”是一种标有刻度的折成直角的曲尺。把圆规的两脚张开3cm画一个圆，这个圆的周长是（　　）cm。 A．6 B．9 C．9.42 D．18.84 【答案】D 【解析】【解答】解：2×3.14×3=18.84(厘米)。 故答案为：D。 【分析】圆规的两脚张开3cm，即圆的半径为3cm，圆周长公式：C=2πr。 2．一个钟表的分针长10厘米，从2时走到5时，分针针尖走过了（　　）厘米。 A．31.4 B．62.8 C．15.7 D．188.4 【答案】D 【解析】【解答】解：从2时走到5时，走了3小时，走了3个圆的周长， 3.14×10×2=62.8（厘米） 62.8×3=188.4（厘米） 故答案为：D。 【分析】π×圆的半径×2=圆的周长，圆的周长×3=分针针尖走过的长度。 3．在长4厘米，宽3厘米的长方形内画最大半圆，这个半圆的周长是（　　）。 A．6.28厘米 B．7.71厘米 C．10.28厘米 D．12.56厘米 【答案】C 【解析】【解答】3.14×4÷2+4 =3.14×2+4 =10.28（厘米） 故答案为：C. 【分析】首先要判断出最大半圆的直径为4厘米，再根据C半圆=πd÷2+d计算。 解答本题要注意半圆的周长和圆的周长的一半的区别，即C半圆=πd÷2+d，圆的周长的一半=πd÷2=πr。 4．一个圆的半径从6厘米增加到9厘米，圆的周长增加了（　　）厘米。 A．9.42 B．12.56 C．18.84 D．25.12 【答案】C 【解析】【解答】解：π×（9×2-6×2） =π×6 =18.84（厘米）。 故答案为：C。 【分析】圆增加的周长=π×（增加后圆的半径×2-原来圆的半径×2）。 5．圆的直径扩大到原来的3倍，圆的周长就扩大到原来的3倍。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：圆的直径扩大到原来的3倍，圆的周长也扩大到原来的3倍 故答案为：正确。 【分析】圆的周长=π×直径，直径扩大到原来的几倍，圆的周长就扩大到原来的几倍。 6．一个周长是6.28分米的圆形纸，沿直径剪成两个半圆，每个半圆的周长是3.14分米。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：圆的直径：6.28÷3.14=2（分米） 半圆的周长：6.28÷2+2=3.14+2=5.14（分米） 原题说法错误 故答案为：错误。 【分析】圆的周长÷π=圆的直径，圆的周长÷2=圆周长的一半，圆周长的一半+直径=半圆的周长。 7．一个半径是5cm的半圆，它的直径是　 　cm，它的周长是　 　cm。 【答案】10；25.7 【解析】【解答】解：5×2=10（厘米），3.14×5×2÷2+5×2=25.7（厘米）； 故答案为：10；25.7。 【分析】本题主要考查了半径和直径的关系，以及计算半圆的周长，根据d=2r，C=πr+2r，即可计算结果。 8．如图是一个盘面为圆形的日晷，它是古代测量日中时间、定四季和辨方位的仪器。一个半径长为8分米的日晷盘面，它的周长为　 　分米。 【答案】50.24 【解析】【解答】解：由题意得它的周长为8×2×3.14=50.24分米， 故答案为：50.24 【分析】根据圆周长的计算公式（2πr）结合题意即可求解。 9．一根铁丝可以围一个半径是 4 厘米的圆， 如果用它围成一个正方形， 正方形的边长约是　 　厘米。 【答案】6.28 【解析】【解答】解：4×2×3.14÷4 =2×3.14 =6.28（厘米）。 故答案为：6.28。 【分析】正方形的周长=边长×4，正方形的边长大约=圆的半径×2×π÷4。 10．按要求计算。 （1）求半圆的周长。 （2）求圆的周长。 【答案】（1）解：2×3.14×8÷2+8×2 =25.12+16 =41.12(cm) （2）解：3.14×5=15.7(cm) 【解析】【分析】（1）已知半径r=8cm，所以直径d=8×2=16cm。因为图中是半圆，并且包括直径16cm，所以该图形中半圆的周长就是2×3.14×8÷2+8×2=41.12(cm)； （2）圆的直径就是5cm，利用圆周长计算公式πd，代入计算即可。 11．自来水公司在公园铺设自来水管道的同时，还需在路面上设置一些圆形井盖。已知一个井盖的周长是18.84分米，井盖的半径是多少分米？ 【答案】解：18.84÷3.14÷2 =6÷2 =3（分米） 答：井盖的半径是3分米。 【解析】【分析】井盖的半径=井盖的周长÷π÷2。 12．一台压路机的前轮直径是1.6米，如果前轮每分钟转动6周，压路机半小时能前进多少米？ 【答案】解：3.14×1.6×6×30 =3.14×288 ＝904.32（米） 答：压路机半小时能前进904.32米。 【解析】【分析】压路机滚动一周前进的长度是前轮的周长，根据圆周长公式计算周长，再乘30即可求出半小时前进的长度。 13．一根长18.84米的绳子正好可以绕一棵树的树干10 圈。这棵树树干的横截面的直径大约是多少米？ 【答案】解：18.84÷10÷3.14 =1.884÷3.14 =0.6（米） 答：这棵树的树干横截面的直径大约是0.6米。 【解析】【分析】这棵树的树干横截面的直径大约=绳子的长÷缠绕的圈数÷π。 五、含圆的组合图形周长的计算 1．如图是由4个半圆组成的图形，其中3个半圆的直径长度如图所示，求下面图形的周长。 【答案】解：4个半圆的半径从大到小依次是8厘米、4厘米、3厘米、1厘米， 3.14×8+3.14×4+3.14×3+3.14×1 =3.14×（8+4+3+1） ＝3.14×16 ＝50.24（厘米） 答：它的周长是50.24厘米。 【解析】【分析】直径÷2=半径，π×半径=圆周长的一半；4个圆周长的一半相加的和，就是图形的周长。 2．求下图阴影部分的周长。 【答案】解：3.14×20×2+40×2 =62.8×2+40×2 =125.6+80 =205.6（厘米） 答：阴影部分的周长是205.6厘米。 【解析】【分析】观察图可知，阴影部分的周长=两条半圆弧的长度+两条直径的长度，据此列式解答。 3．求阴影部分的周长。（单位：cm） 【答案】解：3.14×12×2÷4＋12＋3.14×12÷2 =37.68×2÷4＋12＋37.68÷2 =75.36÷4＋12＋18.84 =18.84＋12＋18.84 =30.84＋18.84 =49.68（厘米） 【解析】【分析】阴影部分的周长=大圆的周长÷4＋大圆的半径＋小圆的周长÷2；其中，圆的周长=π×直径。 4．实验小学校园里的花坛形状如下图所示，中间是一个边长为6m的正方形，四周是半圆形，这个花坛的周长是多少米？ 【答案】解：3.14×6×2 =18.84×2 =37.68（米） 答：这个花坛的周长是37.68米。 【解析】【分析】观察图形可得这个花坛的周长是2个直径是6m的圆的周长之和，圆的周长=π×圆的直径，代入数值计算即可。 5．求下面各图形的周长。（单位：cm） （1） （2） 【答案】（1）解：100×2＋3.14×60 =200+188.4 = 388.4（cm） （2）解：20×2＋16＋3.14×16÷2 =40+16+25.12 =81.12 （cm） 【解析】【分析】（1）图形的周长=圆的周长+中间的两条长边，其中圆的周长=直径×π，据此列式作答即可； （2）图形的周长=两条长+一条宽+圆的周长÷2，据此列式作答即可。 六、圆的面积 1．钟面上，分针的长度为1分米。经过半个小时，分针扫过的面积是（　　）平方分米。 A．π B．2π C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：π×12÷2 =π÷2 =（平方分米） 故答案为：C。 【分析】根据生活经验可知，分针1小时转一圈；经过30分钟，分针扫过的面积等于半径为1分米的圆的面积的一半。 2．要剪一个面积是28.26的圆形纸片，至少需要面积是（　　）正方形纸片。 A．28.26 B．18 C．36 D．28 【答案】C 【解析】【解答】解：28.26÷3.14=9（平方厘米），3×3=9（平方厘米），3×2=6（厘米），6×6=36（平方厘米），所以至少需要面积是36平方厘米的正方形纸片。 故答案为：C。 【分析】在正方形中剪一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长，r2=面积÷π，由此可以得到圆的半径，那么正方形的边长=圆的半径×2，所以正方形纸片的面积=边长×边长。 3．一张圆形剪纸对折一次后的周长为41.12dm，那么对折前这张圆形剪纸的面积是（　　）dm2。 A．134.6 B．200.96 C．538.5 D．2154 【答案】B 【解析】【解答】 解：41.12÷（3.14+2） =41.12÷5.14 =8（厘米） 3.14×82 =3.14×64 =200.96（平方厘米） 故答案为：B。 【分析】 根据题意，每一个部分的周长是半圆形的周长包括圆周长的一半和一条直径，可设半圆形零件的半径为r厘米，根据半圆的周长公式：C=（π+2）r进行计算可得圆的半径，再根据圆的面积公式：S=πr2计算可得这个圆的面积。 4．一个半径为2厘米的圆，它的周长和面积相等。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：C=2π×2=4π（厘米） S=π×22=4π（平方厘米） 计算出的圆周长和面积的数据一样，但是单位不一样，不能比较。 故答案为：错误。 【分析】圆的周长=π×半径×2，圆的面积=π×半径×半径，周长和面积是两种不同的量，无法比较大小。 5．一个圆的周长扩大4倍，面积也扩大4倍。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：设圆的半径为r， 圆的周长为2πr，面积为πг2， 圆的周长扩大4倍，即半径扩大4倍，为4r， 面积变为 π (4r)2= 16πr2， 面积扩大16πr2÷πr2=16 倍。 故答案为：错误 【分析】圆形的周长和面积都和圆的半径有关系，判断圆的周长变化之后半径的变化，根据半径的变化推出面积的变化。 6．用长12.56m的绳子围一个最大的圆，这圆直径是　 　m，面积是　 　。 【答案】4；12.56 【解析】【解答】解：12.56÷3.14=4（米） 4÷2=2（米） 3.14×22=12.56（平方厘米）。 故答案为：4；12.56。 【分析】这个圆的直径=周长÷π；面积=π×半径2。 7．一个半圆的半径是 4 cm，则它的周长是　 　cm，面积是　 　 。 【答案】20.56；25.12 【解析】【解答】解：2×3.14×4÷2+4×2 =25.12÷2+8 =12.56+8 =20.56（厘米） 3.14×42÷2 =3.14×16÷2 =50.24÷2 =25.12（平方厘米）； 故答案为：20.56；25.12。 【分析】根据圆的周长公式：，再根据半圆的周长等于圆周长的一半加上一条直径，圆的面积公式：，再根据半圆的面积等于圆面积的一半，把数据代入公式解答。 8．把一个圆分成若干等份， 然后把它剪开， 照图中的样子拼起来，拼成近似的平行四边形。已知平行四边形的周长比圆的周长多6 cm 。那么圆的周长是　 　cm ，面积是　 　 。 【答案】18.84；28.26 【解析】【解答】解：6÷2=3（厘米） 3.14×6=18.84（厘米） 3.14×32=3.14×9=28.26（平方厘米） 故答案为：18.84；28.26。 【分析】根据圆的面积公式的推导过程：把一个圆平均分成若干份，可以拼成一个近似于平行四边形的图形，分得越小，拼成的图形就越接近平行四边形，平行四边形的底相当于圆周长的周长的一半，高相当于圆的半径，而题目中” 已知平行四边形的周长比圆的周长多6 cm “多出的部分就是圆的直径，根据圆的周长公式“”圆的面积公式“”代入数值计算即可。 9．根据所给条件求出圆的面积。 （1）半径为6厘米。 （2）直径为10厘米。 （3）周长为25.12厘米。 【答案】（1）解：3.14×62=113.04(平方厘米) 答：圆面积是113.04平方厘米. （2）解：10÷2=5(厘米)，3.14×52=78.5(平方厘米) 答：圆面积是78.5平方厘米. （3）解：半径：25.12÷3.14÷2=4(厘米)，面积：3.14×42=50.24(平方厘米) 答：圆面积是50.24平方厘米. 【解析】【分析】圆面积公式：S=πr2，圆周长公式：C=πd=2πr；(1)根据圆面积公式直接计算；(2)先计算出半径再计算面积；(3)用圆周长除以3.14再除以2求出半径，然后根据圆面积公式计算. 10．一个圆形养鱼池的周长是62.8米，如果每平方米可以投放15尾鱼苗，那么这个养鱼池一共可以投放多少尾鱼苗? 【答案】解：62.8÷3.14÷2=10（米） 3.14×10×10=314（平方米） 314×15=4710（尾） 答：这个养鱼池一共可以投放4710尾鱼苗。 【解析】【分析】圆的周长÷π÷2=圆的半径，π×半径的平方=圆的面积，圆的面积×每平方米可以投放鱼苗的尾数=这个养鱼池一共可以投放鱼苗的尾数。 11．爸爸带笑笑去吃披萨，点了一个12寸的。服务员说12寸的卖完了，然后端来两个6寸披萨，服务员告诉笑笑说两个6寸的披萨和一个12寸的披萨价格一样。你觉得这样替换公平吗？借助画图或者算式来说明。(知识链接：6寸披萨形状为直径大约是15米的圆形，12 寸披萨形状为直径大约是30厘米的圆形)。 【答案】解：3.14×（12÷2）2 =3.14×36 =113.04（平方英寸） 3.14×（6÷2）2×2 =3.14×9×2 =28.26×2 =56.52（平方英寸） 113.04平方英寸＞56.52平方英寸 答：不公平，因为 12 寸披萨 面积为113.04平方英寸，而 6寸披萨 面积只有56.52平方英寸。 【解析】【分析】 已知披萨的材料和厚度都一样，所以之比较它们的面积即可，根据圆的面积公式：s=πr2，把数据分别代入公式解答。 12．公园中有一块半圆形草坪，它的直径是10m。 （1）绕着这块草坪边沿走1圈，大约要走多少米？ （2）这块草坪的占地面积大约是多少平方米？ 【答案】（1）解：3.14×10÷2+10 ＝15.7+10 ＝25.7（米） 答：绕着这块草坪边沿走1圈，大约要走25.7米 （2）解：3.14×（10÷2）2÷2 ＝3.14×52÷2 ＝39.25（平方米） 答：这块草坪的占地面积大约是39.25平方米 【解析】【分析】（1）大约要走的距离=圆的周长÷2+圆的直径，其中圆的周长=直径×π； （2）这块草坪的占地面积=圆的面积÷2，其中圆的面积=πr2。 七、圆环的面积 1．一个圆形花坛的半径是3米，在花坛一周铺一条宽1米的碎石小路，小路的面积是（　　）平方米。 A．21.98 B．50.24 C．15.7 D．28.26 【答案】A 【解析】【解答】解：3+1=4（米）， 3.14×（42-32） =3.14×（16-9） =3.14×7 =21.98（平方米）； 故答案为：A。 【分析】外半径则为内半径加上环形小路的宽度，根据圆环面积的公式：S=π(R2−r2) ，据此代入数据求解即可。 2．在一个圆环中，外圆的面积比内圆的面积多21.98平方米，外圆的直径是8米，内圆的半径是　 　米。 【答案】3 【解析】【解答】解：3.14×（8÷2）2 =3.14×16 =50.24（平方米）， 50.24-21.98=28.26（平方米）， r2=28.26÷3.14=9， r=3米； 故答案为：3。 【分析】根据圆的面积公式：S=πr2，先求出大圆面积，减去多的面积就是小圆面积，根据公式可得r2=S÷π，据此求解即可。 3．儿童乐园要修建一个圆形旋转木马场地。木马旋转范围的直径是6米，它的周边还有1m 宽的小路，并在外侧围上栏杆，栏杆内的占地面积是　 　m2，小路的面积是　 　‘m2。 【答案】50.24；21.98 【解析】【解答】解：6÷2=3（米） 3.14×（3＋1）×（3＋1） =3.14×16 =50.24（平方米） 3.14×（4×4-3×3） =3.14×7 =21.98（平方米）。 故答案为：50.24；21.98。 【分析】栏杆内的占地面积=π×（木马旋转范围的直径÷2＋小路的宽），小路的面积=π×（R×R-r×r），其中，R=木马旋转范围的半径＋小路的宽，r=木马旋转范围的半径。 4．计算下面图形阴影部分的面积。 【答案】（1）解：3.14×（5²-3²）÷4 =3.14×（25-9）÷4 =3.14×16÷4 =50.24÷4 =12.56（m2） 【解析】【分析】观察图可知，阴影部分是圆环，阴影部分的面积=圆环的面积÷4，据此列式计算。 5．公园草地上原来安装的自动旋转喷灌装置的射程是8米，设备升级以后，射程达到10米。它能喷灌的面积增加了多少平方米? (π取3.14) 【答案】解：3.14×（102-82） =3.14×36 =113.04（平方米） 答：它能喷灌的面积增加了113.04平方米。 【解析】【分析】它增加的喷灌面积=π×（R2-r2）。 6．一家火锅店开张，店内特制的火锅周长是125.6厘米，现在要在火锅的周围配上30厘米宽的圆环形桌面（如下图阴影部分），这个桌面的面积是多少平方米？ 【答案】解：125.6÷3.14÷2 =40÷2 =20(厘米） 20+30=50（厘米） 3.14(502-202） =3.142100 =6594(平方厘米） 6594平方厘米=0.6594平方米 答：这个桌面的面积是0.6594平方米。 【解析】【分析】这个桌面的面积=π（R2-r2）；其中，r=周长÷π÷2，R=r＋30厘米。 7．折扇又名“撒扇”、“纸扇”等，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子。如图是一把绫绢折扇，做这样一把折扇扇面至少需要绫绢面料多少平方分米？ 【答案】解： 3-2=1（分米） 3.14×（-）× =3.14×（9-1）× =3.14×8× =12.56（平方分米） 答：做这样一把折扇扇面至少需要凌娟面料12.56平方分米。 【解析】【分析】根据图形可知：所求的面积是一个半环形，根据环形面积=外圆面积-内圆面积，已知外圆半径是3分米，环宽是2分米，由此可以求出内圆半径，然后把数据代入公式解答即可。 八、含圆的组合图形面积的计算 1．如图，半圆中有一个直角三角形，其中直角边AB是6cm，AC是8cm，斜边BC是10cm。阴影部分的面积是　 　cm2。 【答案】15.25 【解析】【解答】解：3.14×（10÷2）2÷2－6×8÷2 =78.5÷2－48÷2 =39.25－24 =15.25（cm2） 故答案为：15.25。 【分析】BC边为半圆的直径，半圆面积=r2÷2；AB边和AC边分别为三角形的底和高，三角形面积=底×高÷2；阴影部分面积=半圆面积－三角形面积。 2．如图，圆的面积是28.26 cm2，大正方形的面积是　 cm2．小正方形的面积是　 　 cm2。 【答案】36；18 【解析】【解答】解：圆的半径的平方=28.26÷3.14=9（cm2）， 所以圆的半径是3cm， 即大正方形的边长是3×2=6（cm）， 所以大正方形的面积=6×6=36（cm2）； 小正方形的对角线是6cm， 小正方形的面积=6×6÷2 =36÷2 =18（cm2）。 故答案为：36；18。 【分析】圆的面积=π×圆的半径的平方，所以即可计算出圆的半径，观察图形可得大正方形的边长=圆的直径，再根据正方形的面积=边长×边长即可计算出大正方形的面积；小正方形的对角线是圆的直径，小正方形的面积=两个正方形对角线积的一半，代入数值计算即可。 3．求如图图形阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】解：4÷2＝2（厘米） （2+4）÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） 3.14×32÷2-3.14×22÷2 ＝14.13-6.28 ＝7.85（平方厘米） 答：阴影部分的面积是7.85平方厘米。 【解析】【分析】阴影部分的面积=直径2＋4=6厘米圆的面积的一半-直径4厘米圆的面积的一半；其中，圆的面积=π×半径2。 4．求阴影部分的面积。 【答案】解：圆的半径：6÷2=3（分米） (6＋10)×3÷2－×3.14×32 =16×3÷2－×3.14×32 =24-14.13 ＝9.87（平方分米） 答：阴影部分的面积是9.87平方分米。 【解析】【分析】梯形面积=（上底+下底）×高÷2，π×半径的平方÷2=半圆的面积，梯形面积-半圆的面积=阴影部分的面积。 5．求图中阴影部分的面积。（单位：cm） 【答案】解： =50.24-25.12 =25.12（cm2） 答：面积是25.12cm2。 【解析】【分析】观察图可知，阴影部分的面积=大圆面积-半圆的面积，据此列式解答。 6．求阴影部分的面积。（π取3.14） 【答案】解：4×4-3.14×（4÷2）2 =16-3.14×4 =16-12.56 =3.44（dm2） 【解析】【分析】用正方形面积减去空白部分四个扇形面积即可求出阴影部分的面积。空白部分四个扇形刚好组成一个直径是4dm的圆。由此计算即可。 7．求下面各图形中阴影部分的面积。（单位：cm） （1） （2） 【答案】（1）解：3.14×52－3.14×（）2×2 =78.5-39.25 =39.25（cm2） （2）解：8×8-3.14×82× =64-50.24 =13.76（cm2） 【解析】【分析】（1）阴影部分的面积=大圆的面积-小圆的面积×2，其中大圆的面积=πr2，小圆的面积=（小圆的直径÷2）2×π； （2）阴影部分的面积=正方形的面积-圆的面积×，其中圆的面积=πr2。 8．如图，一个花坛的中间是边长为5米的正方形，四周是四个完全一样的半圆形，这个花坛的周长和面积各是多少？ 【答案】解：周长：3.14×5×2=31.4（米） 面积：5×5+3.14×（5÷2）2×2 =25+3.14×6.25×2 =25+39.25 =64.25（平方米） 答：这个花坛的周长是31.4米，面积是64.25平方米。 【解析】【分析】这个花坛的周长是两个直径5米的圆的周长。面积是两个圆的面积加上中间正方形的面积。 9．太极图在中国传统文化中含义深邃，其形状为阴阳两鱼互纠在一起，象征两极和合。下图中大圆的直径是10cm，阴鱼（即阴影部分）的面积是多少？ 【答案】解：10÷2=5（厘米） 3.14×52÷2 =3.14×25÷2 =78.5÷2 =39.25（平方厘米） 答：阴鱼（即阴影部分）的面积是39.25平方厘米。 【解析】【分析】阴鱼（即阴影部分）的面积=整个圆的面积÷2；其中，圆的面积=π×半径2，半径=直径÷2。 10．如图，在一片草地中有一个边长10米的正方形水池，在它的一个顶点用10米长的绳子拴着一只羊，羊能够吃到草的草地的面积是多少平方米？ 【答案】解：3.14×102× =3.14×100× =3.14×75 ＝235.5（平方米） 答：羊能够吃到草的草地的面积是235.5平方米。 【解析】【分析】如图，羊能够吃到草的面积就是阴影部分的面积，阴影部分的面积是半径10米的圆面积的，由此根据圆面积公式计算即可。 九、弧、圆心角和扇形的认识 1．下面图形中，涂色部分不是扇形的是（　　）。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：选项A，，圆弧和一条没有通过圆心的线段围成的涂色部分不是扇形； 选项B，涂色部分是扇形； 选项C，涂色部分是扇形； 选项D，涂色部分是扇形。 故答案为：A。 【分析】 一条圆弧和经过这条圆弧两端的两条半径所围成的图形叫扇形，据此判断。 2．下面图形中，（　　）中的角是圆心角。 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：中的角是圆心角，圆心角的顶点在圆心上。 故答案为：A。 【分析】顶点在圆心上，以半径为两条边的角，叫做圆心角。 3．扇形只有一条对称轴。（　　） 【答案】正确 【解析】【解答】解：扇形只有一条对称轴，原题干说法正确。 故答案为：正确。 【分析】依据轴对称图形的定义判断：平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；其中的这条直线就是对称轴。 4．扇形的圆心角越大，扇形的面积就越大。（　　） 【答案】错误 【解析】【解答】解：扇形面积的大小与其所在圆的半径及圆心角都有关，所以原说法错误。 故答案为：错误。 【分析】扇形的面积与其所在圆的半径以及圆心角有关，据此判断。 5．把一个圆对折两次后，得到的面积最小的扇形的圆心角是　 　。 【答案】90° 【解析】【解答】解： 360°÷2÷2 ＝180°÷2 ＝ 90°。 故答案为：90°。 【分析】整个圆的圆心角是360°，把一个圆对折2次是平均分成了4份。得到的面积最小的扇形的圆心角度数=周角÷4。 6．一个圆最多可以分成　 　个圆心角是60°的扇形，以该圆圆弧所画的扇形的圆心角是　 　。 【答案】6；90° 【解析】【解答】解：第一问：(个)；第二问：360°× °。 故答案为：6；90°。 【分析】第一问：周角是360°，用360除以60即可求出分成扇形的个数； 第二问：用周角的度数乘即可求出所画的扇形圆心角的度数。 7．先在下面的正方形中画一个最大的圆，再在圆中画一个圆心角是120°的扇形。 【答案】 【解析】【分析】圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，以正方形两条对角线的交点为圆心，以正方形的边长除以2为半径，即可画出这个圆；因为圆周角为360°，所以用以圆的任意一条半径为扇形的边，再利用量角器画出圆心角为120°的扇形即可。 第 1 页 共 51 页 学科网（北京）股份有限公司 $$