1.3 二次函数的性质 课时分层训练2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.3 《二次函数的性质》—2025-2026学年浙教版数学九年级上册课时分层训练 一、基础应用 1．关于二次函数，下列说法正确的是（　　） A．当时，函数有最小值3 B．当时，函数有最大值3 C．当时，函数有最小值3 D．当时，函数有最大值3 2．已知 ，下列说法正确的是（ ） A．当 时， 有最小值 B．当 时， 有取大值 C．当 时， 有最小值 D．当 时， 有最大值 3．已知二次函数y=ax2+bx+c，且ac＜0，则它的图象经过(　　) A．一、二、三象限 B．二、三、四象限 C．一、三、四象限 D．一、二、三、四象限 4．二次函数的图象的对称轴是（　　） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 5．已知抛物线，当时，y的取值范围是　 　． 6．若点A（0，y1），B（1，y2），C（3，y3）在抛物线y＝（x﹣1）2+k上，则y1，y2，y3的大小关系为 　 　（用“＞”连接）． 7．已知：二次函数的图象经过点． （1）求的值； （2）求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴； （3）当取何值时，随的增大而减小． 8．如图，已知二次函数图象经过点和点 （1）求该二次函数的解析式 （2）结合函数图象，直接写出：当时，函数y的取值范围 二、能力提升 9．设，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 10．二次函数在的范围内有最小值为，则c的值（　　） A．3或 B． C．或1 D．3 11．已知关于x的二次函数（m，n为常数），则下列说法正确的是（　　） A．开口向上 B．对称轴在y轴的左侧 C．若，该函数图象与x轴没有交点 D．当时，该函数的最大值与最小值的差为4 12．表中所列的7对值是二次函数图象上的点所对应的坐标，其中 7 14 14 7 根据表中提供的信息，有以下四个判断： ①；②；③当时，的值是；④其中判断正确的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 13．如图，二次函数的图象与x轴交于点，顶点坐标为，与y轴的交点为B．有下列结论：①；②；③若，则；④关于x的方程有两个不相等的实数根．其中正确结论的个数是（　　）． A．1 B．2 C．3 D．4 14．若一个点的纵坐标是横坐标的2倍，则称这个点为“二倍点”，如：，，等都是“二倍点”.在的范围内，若二次函数的图像上至少存在一个“二倍点”，则的取值范围是　 　． 15．如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，，则四边形周长的最大值为　 　. 16．二次函数 自变量 的部分取值和对应的函数值 如下表所示： -1 0 1 2 下列说法正确的是　 　．（填写序号） ①抛物线的对称轴为直线 ； ②函数图象开口向上； ③当 时， 随 的增大而增大； ④当 时， 的取值范围是 ． 17．已知二次函数（其中，为常数）． （1）若函数图象的对称轴为直线，且经过点，求二次函数表达式； （2）若该二次函数图象经过点，求的值； （3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点，，对于，，总有，求的取值范围． 18．如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，且A（﹣1，0），对称轴为直线x＝2． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）直线l过点A且在第一象限与抛物线交于点C．当∠CAB＝45°时，求点C的坐标； （3）点D在抛物线上与点C关于对称轴对称，点P是抛物线上一动点，令P（xP，yP），当1≤xP≤a，1≤a≤5时，求△PCD面积的最大值（可含a表示）． 三、拓展提升 19．【定义】在平面直角坐标系中，对“纵横值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，纵坐标y与横坐标x的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的“纵横值”中的最大值称为函数的“最优纵横值”． 【举例】已知点在函数图象上．点的“纵横值”为；函数图象上所有点的“纵横值”可以表示为，当时，的最大值为，所以函数的“最优纵横值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： （1）①点的“纵横值”为 ； ②求出函数的“最优纵横值”； （2）若二次函数的顶点在直线上，且最优纵横值为5，求c的值； （3）若二次函数，当时，二次函数的最优纵横值为2，直接写出b的值． 20．阅读材料：小明同学在平面直角坐标系中研究中点时，发现了一个有趣的结论：若，是平面直角坐标系内两点，是的中点，则有结论，.这其实就是中点坐标公式，有了这个公式可以解决很多坐标系中求中点坐标的问题. 已知：二次函数的函数图象上分别有A，B两点，其中，A，B分别在对称轴的异侧，C是中点，D是中点.利用阅读材料解决如下问题： （1） 概念理解： 如图1，若，求出C，D的坐标. （2） 解决问题： 如图2，点A是B关于y轴的对称点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得.试判断F是否在x轴上，并说明理由. （3） 拓展探究： 如图3，是一个动点，作轴交抛物线于点E.延长至F，使得. ①令，试探究值是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由. ②在①条件下，y轴上一点，抛物线上任意一点H，连接，，直接写出的最小值. 21．课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 2 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我们只要取，就能得到y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】C 5．【答案】 6．【答案】y3＞y1＞y 7．【答案】（1）解：∵ 二次函数的图象经过点 ， ∴， ∴； （2）解：由（1）得， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线； （3）解：∵， ∴a=1>0， ∴二次函数图象开口向上， 由（1）得二次函数图象对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小． 8．【答案】（1）解：将点A和点C的坐标代入函数解析式， 得， 解得， ∴二次函数的解析式为； ​​​​​​ （2）抛物线的对称轴为，∵， ∴当时，y取得最大值为：， 当时，， 当时，， ∴函数y的取值范围：． 9．【答案】D 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】C 13．【答案】D 14．【答案】 15．【答案】6 16．【答案】①②③ 17．【答案】（1）解：∵函数图象的对称轴为直线，且经过点， ∴，解得：， ∴； ​​​​​​​ （2）解：把代入，得：， ∴， ∴， ∴或； （3）解：∵，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵对于，，总有， ∴， ∴． ​​​​​​​ 18．【答案】（1）解：抛物线过A（-1，0），对称轴为x=2， ∴， 解得， ∴抛物线表达式为y=x2-4x-5； （2）解：过点C作CE⊥x轴于点E， ∵∠CAB=45°， ∴AE=CE， 设点C的横坐标为xc，则纵坐标为yc=xc+1， ∴C（xc，xc+1）， 代入y=x2-4x-5得， xc+1=-4xc-5， 解得xc=-1（舍去），xc=6， ∴yc=7， ∴点C的坐标是（6，7）； （3）解：由（2）得C的坐标是（6，7）， ∵对称轴x=2， ∴点D的坐标是（-2，7）， ∴CD=8， ∵CD与x轴平行，点P在x轴下方， 设△PCD以CD为底边的高为h， 则h=|yp|+7， ∴当|yp|取最大值时，△PCD的面积最大， ∵1≤xp≤a，1≤a≤5， ①当1≤a＜2时，1≤xp≤a，此时y=x2-4x-5在1≤xp≤a上y随x的增大而减小， ∴|yp|max=|a2-4a-5|=5+4a-a2， ∴h=|yp|+7=12+4a-a2， ∴△PCD的最大面积为： Smax=×CD×h=×8×（12+4a-a2）=48+16a-4a2； ②当2≤a≤5时，此时y=x2-4x-5的对称轴x=2含于1≤xp＜a内， ∴|yp|max=|22-4×2-5|=9， ∴h=9+7=16， ∴△PCD的最大面积为Smax=×CD×h=×8×16=64， 综上所述：当1≤a＜2时，△PCD的最大面积为48+16a-4a2；当2≤a≤5时，△PCD的最大面积为64． 19．【答案】（1）解：①. ②，∵，∴，∴函数的“最优纵横值”为2. （2）解：由题意得：抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵最优纵横值为5， ∴， ∴. （3）解：， 若，则当时，； 即：， 解得：或（舍去）； 若，则当时，； 即：， 解得（舍）或； 综上所述：b的值为5或． 20．【答案】（1）解：∵，，C是中点， ∴，， ； ，，D是中点 ，， ； （2）解：F是在x轴上，理由如下： ，点A是B关于y轴的对称点， ， 是中点，D是中点， ，则； 轴交抛物线于点， ， 把代入得，，， ，， 轴，且， 是在x轴上； （3）解：①，，C是中点， ； 是中点， ； 轴交抛物线于点E， ， 把代入得，， 轴交抛物线于点E.延长至F，使得， ，， ，即， ，， ， 点在上，， ， 轴，， 即，，， 综上是一个定值； ② 21．【答案】解：（1）①把代入，得：； ∴； ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即：， ∴当时，有最大值，为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$