专题09 反比例函数的图象和性质（河南专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编

专题09 反比例函数的图象和性质 考点一、反比例函数与三角形的综合问题 1．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为： (2) 【分析】（1）把的坐标为代入反比例函数即可得到答案； （2）求解，证明，求解，如图，连接，旋转到的位置；可得，结合的对应点在的图象上，可得，进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：∵， ∴， ∵含角的三角板为等腰直角三角形，， ∴，， 如图，连接，旋转到的位置； ∴， ∵的对应点在的图象上， ∴， ∴， 由旋转可得：， ∴. 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，反比例函数的应用，理解题意是解本题的关键. 2．（2022·河南·中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)图见解析部分 (3)证明见解析 【分析】（1）把点的坐标代入反比例函数解析式，即可得出答案； （2）利用基本作图作线段的垂直平分线即可； （3）根据垂直平分线的性质和角平分线的定义可得到，然后利用平行线的判定即可得证. 【详解】（1）解：∵反比例函数的图像经过点， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）如图，直线即为所作； （3）证明：如图， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，用待定系数法求反比例函数的解析式，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，平行线的判定，角平分线的定义等知识． 解题的关键是熟练掌握五种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）． 考点二、反比例函数与四边形的综合问题 3．（2021·河南·中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）反比例函数的解析式为；（2）阴影部分的面积为8． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）根据点B是小正方形在第一象限的一个点，知其横纵坐标相等，求得点B的坐标，继而求得小正方形的面积，再求得大正方形的面积，从而求得阴影部分的面积． 【详解】解：（1）由题意，点A(1，2)在反比例函数y=的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）点B是小正方形在第一象限的一个点，由题意知其横纵坐标相等， 设B(a，a)，则有， ∴，即B(，)， ∴小正方形的边长为， ∴小正方形的面积为， 大正方形经过点A(1，2)，则大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为， ∴图中阴影部分的面积为16-8=8． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合，反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据点的坐标，利用待定系数法求出反比例函数解析式． 4．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析，画反比例函数图象，平移的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可； （2）分别求出，，对应的函数值，然后描点、连线画出函数图象即可； （3）求出平移后点E对应点的坐标，利用平移前后对应点的横坐标相减即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， ∴反比例函数的图象经过，，， 画图如下： （3）解：∵向左平移后，E在反比例函数的图象上， ∴平移后点E对应点的纵坐标为4， 当时，， 解得， ∴平移距离为． 故答案为：． 5．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 【答案】(1) (2)半径为2，圆心角为 (3) 【分析】（1）将代入中即可求解； （2）利用勾股定理求解边长，再利用三角函数求出的度数，最后结合菱形的性质求解； （3）先计算出，再计算出扇形的面积，根据菱形的性质及结合的几何意义可求出，从而问题即可解答． 【详解】（1）解：将代入中， 得， 解得：； （2）解：过点作的垂线，垂足为，如下图：   ， ， ， 半径为2； ， ∴， ， 由菱形的性质知：， ， 扇形的圆心角的度数：； （3）解：， ， ， 如下图：由菱形知，，   ， ， ． 【点睛】本题考查了反比例函数及的几何意义，菱形的性质、勾股定理、圆心角，解题的关键是掌握的几何意义． 专练一、反比例函数的图象和性质 6．（2025·河南·模拟预测）已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（   ） A． B． C．1 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了求反比例函数值．分别求出两个反比例函数在指定范围内的最大值，再代入计算幂的值． 【详解】解：对于反比例函数，随的增大而减小． ∴当时，有最大值； 即； 对于反比例函数， 随的增大而增大． ∴当时，有最大值． 即． 将和代入，得． 故选：B． 7．（2025·河南信阳·三模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】此题考查了反比例函数的性质和一元二次方程根的判别，解题的关键是熟记一元二次方程根的判别式． 根据反比例函数的性质确定，再根据判别式确定方程的根． 【详解】解：∵反比例函数（k为常数，且）的图象在每一个象限内y随x的增大而减小， ． 关于x的一元二次方程， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8．（2025·河南周口·三模）已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（   ） A．甲：令，则 B．乙：无论取何值，都有 C．丙：当时，；当时， D．丁：当时，；当时， 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，分和两种情况讨论各点值的大小关系即可．熟练掌握反比例函数，当时，在每个象限内y随x的增大而减小；当时，在每个象限内y随x的增大而增大． 【详解】解：当时，在每个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 当时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴， 故A、B、D错误，C正确； 故选：C． 9．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的图象特点是解题关键． 将和代入函数解析式，求得和的值，再相加即可． 【详解】解：把和代入解析式得：，， ∴， 故答案为：． 专练二、求反比例函数的比例系数 10．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，矩形的判定，延长交轴于点，求出，然后证明四边形，四边形，四边形是矩形，又点在反比例函数图象上，则，再通过，即，求出的值并检验即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点， ∵点的坐标为在反比例函数上， ∴， ∵轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点， ∴轴， ∴， ∴四边形，四边形，四边形是矩形， ∵点在反比例函数图象上， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴，解得：， ∵， ∴， 故选：． 11．（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，设反比例函数的解析式为，把代入求出k值即可． 【详解】解：设反比例函数的解析式为，因为函数经过点， ∴， 则它的解析式是． 故答案为：． 12．（2025·河南·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，利用A，C关于原点对称求解是解决问题的关键．先由对称性质可得，得出，即，求得，再根据反比函数图象在第一、三象限求解即可． 【详解】解：根据反比例函数图象的对称性可得，点A，C关于原点对称， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵反比函数图象在第一、三象限， ∴， 故答案为：6． 13．（2025·河南驻马店·三模）如图，斜边的端点坐标为，，以点为圆心，的长为半径画弧恰好经过原点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法求解即可； （2）先证明是等边三角形，则，然后根据勾股定理求出，再由求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得． ∴反比例函数的表达式为； （2）解：连接，如图所示． ∵点，， ∴，， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又根据勾股定理可知：， ∴阴影部分的面积 ． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，等边三角形的判定与性质，勾股定理，扇形面积的求解，直角三角形斜边中线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 14．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． (1)求k的值； (2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法求函数的解析式，正切的定义． （1）先根据正切的定义求得，则，进而得，即可求出k的值； （2）根据反比例函数解析式求出，进而得，，设，分两种情况：当在右侧时；当在左侧时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，则， ∵是的中点， ∴， 把代入得； （2） 解：把代入得， ∴， ∴，， 设， 当在右侧时，， 解得； 当在左侧时， ， 解得． ∴点的坐标为或． 专练三、反比例函数与三角形的综合 15．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标为1．以为一边作等腰直角三角形，其中 ，点P从点O出发，在的内部运动（可在的边上），且在运动过程中始终与线段， 的距离相等，则当最大时，的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与几何综合，角平分线的性质与判定，过作于，先求出，则， ，再根据点P在运动过程中始终与线段， 的距离相等，得到，当最大时,为与的交点，然后利用面积法求即可． 【详解】解：过作于， ∵点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标为1， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在运动过程中始终与线段， 的距离相等， ∴平分， ∵ ∴， 当最大时,为与的交点， ∵， ∴， ∴， 解得， 故选：B． 16．（2025·河南平顶山·二模）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质，等腰三角形的性质，数字规律，由第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，则第个等腰三角形顶点的横坐标为，然后代入反比例函数即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意知，每个等腰三角形的底边长均为，且顶点在反比例函数的图象上， ∵第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， 第个等腰三角形顶点的横坐标为， ， ∴第个等腰三角形顶点的横坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的纵坐标为， ∴第个等腰三角形顶点的坐标为， 故选：． 17．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)直接写出阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先求解，再利用待定系数法求解反比例函数解析式即可； （2）先求解（舍去），可得，由作图可得：，求解，设，结合，可得，再利用勾股定理的逆定理证明即可； （3）由（2）得：，，结合阴影部分的面积为扇形面积减去直角三角形的面积即可. 【详解】（1）解：∵点，过点A作轴交反比例函数的图象于点， ∴， ∴， ∴反比例函数为； （2）证明：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得：（舍去）， ∴， 由作图可得：， ∵， ∴， 设， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得：，， ∴阴影部分的面积为. 【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，求解反比例函数解析式，反比例函数的图象与性质，旋转的性质，勾股定理及其逆定理的应用，求解扇形的面积，掌握以上知识是解本题的关键. 18．（2025·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中放置一块等腰直角三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点． (1)用尺规作出直线l；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合应用，垂直平分线，全等三角形的判定与性质，做垂线，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题意作出线段的垂直平分线即可； （2）利用一线三直角证明继而可求出点C坐标，再根据中点坐标公式求出D点坐标，即可求出双曲线中的k值． 【详解】（1）解：作线段的垂直平分线即为所求的直线l，如图所示： （2）解：如上图，作轴，垂足为F， ∴， 由直线的解析式为， 令时，，解得， 令时，， ∴，， ， ， ∴ ∵为等腰直角三角形， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵直线，且过的中点， ∴点D为线段的中点， ∴， ∵双曲线经过点， ∴． 19．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求解析式，三位似三角形性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）把代入，可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入，即可求解； （2）先求出点B的坐标为，可得到，过点A作交y轴于点D，，此时与位似且位似中心为点C，符合题意，求出，即可求解． 【详解】（1）解：把代入得： ，解得：， ∴点A的坐标为， 把点代入得：； （2）解：当时，， ∴点C的坐标为， ∴由（1）得：反比例函数解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 如图，过点A作交y轴于点D， ∴， 此时与位似且位似中心为点C，符合题意， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点D的坐标为． 20．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)求直线的函数表达式； (2)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)3π． 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形的面积，待定系数法求函数解析式． （1）利用待定系数法即可求解； （2）过点作轴于点D，求得，得到点的坐标为，再利用待定系数法即可求解； （3）根据，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线是由直线平移得到的， ∴可设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （2）解：如图，过点作轴于点D， 对于， 令，则，令，则， ∴， ∵C为线段的中点， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴； （3）解：∵， 根据勾股定理，得，， ∴． 21．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 【答案】(1)一次函数解析式为：；反比例函数表达式； (2)或 【分析】此题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式和面积问题，数形结合和准确求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，得到点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）求出直线与轴交点的坐标为，得到，根据和面积相等列出方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 将点代入反比例函数表达式得，则 将点、的坐标代入一次函数解析式得到 解得 ∴一次函数解析式为：； （2）当时，，解得，， ∴直线与轴交点的坐标为，故； 或 点坐标为或 22．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，轴于点C． (1)求a，b的值． (2)请结合函数图象，直接写出当时，不等式的解集． (3)P为反比例函数图象上位于点A右侧的一动点，连接，当时，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）先将点代入，求出一次函数的表达式为，再把点代入，可得，求出，然后根据点在反比例函数的图象上，求出； （2）根据一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，结果函数图象，可求出当时，不等式的解集； （3）先证明，列出比例式，求得，再设，从而可用表示出，，，进而表示出点P的坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，得到关于的方程求解，求出点P的坐标． 【详解】（1）解：将点代入， 可得，解得． ∴一次函数的表达式为． 把点代入， 可得， ∴． 把点代入，得． （2）解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于点， ∴当时，不等式的解集为； （3）解：过点P作于点Q，如解图所示，则． 又∵， ∴． ∴， 即． 由（1），可得，，， ∴． 设，则， ∴，，即点． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴，解得或（舍去）． ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定与性质，求一次函数解析式，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出函数表达式． 23．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标； (3)是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)见解析， (3) 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，正确的求出解析式，利用数形结合的思想进行求解时解题的关键： （1）均在反比例函数的图象上，列出方程求出的值，进而求出点的坐标和的值，待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）根据尺规作垂线的方法，作出点，求出的中点坐标，求出一次函数与坐标轴的交点坐标，推出的解析式，联立直线和反比例函数的解析式，求出点坐标即可； （3）设，根据面积相同，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解： 和是反比例函数图象上的点，，解得或（舍去）， ， 点的坐标为，点的坐标为， 反比例函数的解析式为． 把，代入一次函数，得，解得 一次函数的解析式为． （2）尺规作图如图所示． 由（1）得，， 垂直平分， 为的中点， ，即． 设直线与轴和轴交于点， 当时，，当时，， ∴， ∴，点的中点坐标为：，与点重合， ∴，平分，即为第一象限的角平分线， ∴直线的解析式为：， ， ∴点在直线上， 联立与反比例函数的解析式，可得，解得（负值舍去）； ∴点． （3）如图，连接、，由于点在直线上， 设． ∵，， ∴， 由和的面积相等，得：， 解得； 把代入，得； 点坐标是． 专练四、反比例函数与四边形的综合问题 24．（2025·河南许昌·二模）如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质，反比例函数的图象与性质，先利用点是的中点求出点的坐标和反比例函数解析式，再由得到点的横坐标，代入反比例函数解析式求得点的坐标，再根据点是的中点求出点的坐标． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形，点是的中点， 点是的中点， 又 ， 将点代入得： 反比例函数的解析式是． 点的横坐标是， 当时，， 又点是的中点，， 故选：C． 25．（2025·河南周口·三模）如图，点和点都在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)连接，过点作交的平分线于点，连接，求证：四边形为菱形． 【答案】(1)， (2)见详解 【分析】（1）把点和点代入得到，解方程即可得到结论； （2）根据勾股定理得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，求得，得到，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点和点都在反比例函数的图象上， ∴ ∴ 把代入 解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）证明：由（1）得， 则 ∵ ∴ 即 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，菱形的判定，勾股定理，平行四边形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 26．（2025·河南周口·三模）如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形． (1)当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式； (2)当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）求反比例函数表达式，关键要求出D点坐标，就要先证出，得出求出长，则可求出D点坐标，根据反比例函数图象上的点坐标即可求出表达式． （2）分、两种情况，探讨正方形的边与反比例函数图象交点的情况，进而求解． 【详解】（1）解：如图1，过点D作轴于E， ， ， ， 点B的坐标为， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 把代入，得解得， 反比例函数的表达式为． （2）①当时，如图2， ，， 由点A、B的坐标得，直线的表达式为， 当线段与双曲线有一个交点时， 联立表达式与反比例函数表达式得：， 整理得：， ，解得：， 故当时，正方形与反比例函数的图象有4个交点； ②当时，如图3， （i）当边与双曲线有一个交点时， 过点D作轴于点E， ，， ， ，          由点A、D的坐标可得，直线的表达式为：， 联立与反比例函数表达式并整理得： ，解得：（不合题意值已舍去）； （ii）当边与双曲线有一个交点时， 同理可得：， 所以当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，a的取值范围为：； 综上所述，a的取值范围是或． 【点睛】本题考查的是反比例函数的综合运用，涉及到一次函数的性质、根的判别式的应用、三角形全等等，其中（2），要注意分类求解，避免遗漏． 27．（2025·河南漯河·三模）如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的． (3)请直接写出四边形的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3)30 【分析】本题考查了平移作图，反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式，勾股定理，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，即可作答． （2）因为将沿所在直线平移，使得点与点重合，所以平移规律是向下平移5个单位长度，向左平移5个单位长度，从而得出点，再依次连接，即可作答． （3）先证明四边形是矩形，再根据勾股定理算出，，最后由矩形的面积公式进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：由图知． 反比例函数经过点， ． 反比例函数的表达式为． （2）解：依题意，如图所示． （3）解：结合网格特征得出， ∴四边形是矩形， 则，， 四边形的面积是． 28．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，过点作轴，过点作轴，两直线交于点，连接，，． (1)求的值； (2)若，D为x轴正半轴上一点，求证：． 以下是小军的证明过程： 证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则， ∴直线的函数表达式为，∴， ∴轴，∴， 易证得四边形是矩形． … 请将小军的证明过程补充完整． 【答案】(1)的值为； (2)详见解析． 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，平行线的性质，等边对等角，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）利用待定系数法求解析式即可； （）过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则，证明四边形是矩形，设，交于点，则有，，，从而可得，由轴，得，故有，最后通过角度和差即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 即的值为； （2）证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则， ∴直线的函数表达式为， ∴， ∴轴， ∴， ∴四边形是矩形， 如图，设，交于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴． 29．（2025·河南驻马店·三模）如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上； ①点到轴的距离为________； ②线段扫过的面积为________． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，平移的性质，点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． （1）将点代入反比例函数，即可解答． （2）①根据平移的性质可得的纵坐标为5，将代入反比例函数，求出，即可解答． ②根据平移的性质可知，线段扫过的图形为平行四边形，扫过的距离为：，高为4，利用平行四边形的面积公式计算，即可解答． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， ． （2）①∵， ∴反比例函数的解析式为， 由图象可知、点的坐标为，当点的对应点落在反比例函数图象上时，令，则， ∴， 点到轴的距离为． 故答案为：． ②线段扫过的面积为∶． 故答案为：． 30．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)连接、、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)一次函数的解析式是；反比例函数的解析式是； (2)见解析． 【分析】把点的坐标代入，求出值即可得到一次函数的解析式，根据一 次函数的解析式求出点的坐标是，又因为点为的中点，可得点的坐标是，根据轴于点，且，可得点的坐标是代入，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可； 由点、、的坐标可知和互为垂直平分线，根据垂直平分线的性质可证，从而可证结论成立． 【详解】（1）解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式是； 当时，可得：， 点的坐标是， 点为的中点， 点的坐标是， 轴于点，且， 点的坐标是， 把点的坐标是代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式是； （2）证明：由可知点的坐标是， 是的垂直平分线， ，， 又， 是的垂直平分线， ， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了一次函数与 反比例函数的综合、线段垂直平分线的性质、菱形的判定、用待定系数法求出一次函数和反比例函数的解析式，解决本题的关键是根据点的坐标得到和互为垂直平分线，根据垂上平分线的性质进行证明． 31．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)反比例函数的图象经过点，直线分别与反比例函数，的图象交于点，．若，求的长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可推出，求解即可； （2）确定得，推出，，，根据及不等式的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， ∵点，是正方形的两个顶点， ∴， ∴， 联立， 解得：， ∴，， ∴， ∴这个反比例函数的表达式为； （2）∵，是正方形的两个顶点， ∴， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 即， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长的取值范围是． 【点睛】本题考查待定系数法确定反比例函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，正方形的性质，二元一次方程及不等式组的应用等知识点．确定反比例函数的解析式是解题的关键． 32．（2025·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，过点作轴于点． (1)求的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形． 【答案】(1)18 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）把点坐标代入反比例函数中求出即可． （2）分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线． （3）由作图知：，证明得到，从而证出结论． 【详解】（1）∵点在反比例函数的图象上， ； （2）解：如图，分别以点为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别相交于两点，作直线即为线段的垂直平分线； （3）证明：设垂直平分线与交于点E， 由作图知： ， 轴于点， ∴， ， ， 又∵ ， ， ， ∴四边形是菱形． 【点睛】此题考查了反比例函数和几何综合，菱形的判定，尺规作垂直平分线，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 33．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为，点B的坐标为． (1)求k的值； (2)直接写出a的值； (3)将菱形向下平移，当点B落到反比例函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，证明，易得，即可确定，然后将其代入反比例函数解析式并求解即可； （2）连接交于点P，则，，结合（1）可知，可确定点坐标，然后根据线段中点的性质求解即可． （3）令，代入中，得，即可求出平移距离. 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点E，过点A作轴于点F，则． ∵四边形是菱形， ． ， ∴点B在的平分线上， ， ． 又， ， ， ． 将代入，得． （2）如图，连接交于点P，则，， ∵点A的纵坐标为6， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （3）令，代入中，得， ∴平移距离为． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、平移的知识、中心对称图形的性质、反比例函数的应用等知识，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键． 专练五、反比例函数与一次函数的综合问题 34．（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数与几何图形的综合，数形结合分析是关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求解； （2）根据题意，设，由几何图形面积的计算得到，则，运用待定系数法即可求解； （3）把代入、，得出，，根据列不等式即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：一次函数 的图象与轴交于点， 当时，， ∴， ∴； （2）解：点在反比例函数， ∴设， ∴， ∴， 解得，， ∴， ∵点是一次函数与反比例函数的交点， ∴点在一次函数的图象上， ∴， 解得，； （3）解：当时，，， ∵当时，对于的每一个值，都有， ∴的图象在的图象上方， ∴， 解得：． 35．（2025·河南驻马店·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）利用系数待定法求出反比例函数解析式即可． （2）由轴可得出点C的纵坐标为2，进而代入反比例函数求出x的值即可得出点C的坐标． （3）分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N，即可求出，由反比例函数的性质可知，，进而可得出，最后代入数值计算即可． 【详解】（1）解：将点代入， ， ∴反比例函数的表达式为 （2）解轴， 点C的纵坐标为2， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得， ∴点C的坐标为； （3）解：如图，分别过点A，C作x轴的垂线，垂足分别为点M，N， 点A的坐标为，点C的坐标为， ， 由反比例函数的性质可知，， ． 36．（2025·河南安阳·三模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，与轴相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)直接写出当时自变量的取值范围； (3)若点在反比例函数图象上且位于第一象限，当时，直接写出点的横坐标． 【答案】(1)；点的坐标为 (2)或 (3)点的横坐标为1或2． 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合问题，待定系数法求解析式，利用图象解不等式，三角函数的应用． （1）将代入求得，再代入，求得反比例函数的解析式，联立两个函数解析式，解方程即可求得点B的坐标； （2）当时，即的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围，利用函数图象即可得解； （3）作轴于点，首先求出，设点的坐标为，则，，根据，列式计算，即可求解 【详解】（1）解：点在图象上， ， ， 在图象上， ， ， 联立和得， ， 解得，， 点B的坐标为； （2）解：当的图象在图象的下方时，所对应的自变量的取值范围为或， 当时，或； （3）解：作轴于点， 令，则，解得， ∴点C的坐标为， 设点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 即，整理得， 解得或2， ∴点的横坐标为1或2． 37．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象． (3)直接写出的值为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合，画反比例函数图象，求锐角的余弦值，矩形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）待定系数法求直线解析式，即可求解； （2）根据题意得出，选取画出反比例函数图象，即可求解； （3）根据矩形的性质以及勾股定理得出，进而证明，即可求解． 【详解】（1）解：直线经过点、点 将、点代入得 解得 一次函数的表达式为 （2）解：∵反比例函数的图象经过点． ∴， ∴ 如图所示，选取 （3）解：∵、， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∵，即 ∴ 故答案为：． 38．（2025·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且，求点D坐标； (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数和反比例函数解析式、一次函数图像与坐标轴交点、一次函数与反比例函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）首先结合点，可求得的值，即可确定反比例函数解析式；再确定点B的坐标，然后利用待定系数法求得一次函数解析式即可； （2）首先确定点坐标，结合易得，即可获得答案； （3）结合一次函数与反比例函数图像，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵反比例函数（）过点， ∴， ∴反比例函数的解析式为， ∵点B的横坐标为， ∴， ∴， 把，代入（）， 得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）对于一次函数， 令，可得， ∴， ∵点D是y轴上一点，且， ∴， ∴， ∴或； （3）由图像可知，当时，自变量x的取值范围是或． 39．（2025·河南南阳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先根据点在直线上，求出，从而可得点的坐标为，丙根据点在反比例函数的图象上，代入中，求得，从而可得反比例函数的解析式为； （2）先求出点坐标，再结合点坐标，观察函数图象得出不等式的解集； （3）分“点在点下方”、“点在点上方”两种情况，分别求得点的坐标． 【详解】（1）解： 点在直线上， 将代入，得点的坐标为． 点在反比例函数的图象上， 将代入中，得，． 反比例函数的解析式为． （2）解，得或， ∵点的坐标为， ， ， ， ∴或． （3）分情况讨论：①当点在点下方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，即． 将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为． ②当点在点上方时，如图， 设点的坐标为，则点的坐标为， ．，． 则点的坐标为，将代入，得， 解得，（舍去）．点的坐标为 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，一次函数与反比例函数的交点问题，求反比例函数解析式，解题关键是利用待定系数法求出反比例函数解析式． 40．（2025·河南信阳·三模）如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点． (1)求反比例函数的解析式； (2)依据图象直接写出当时不等式的解集___________； (3)若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点； ②矩形的面积等于10． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 【分析】（1）用待定系数法直接求出函数表达式即可； （2）观察函数图象解不等式即可求解； （3）分以为边构造矩形、以为对角线构造矩形两种情况，分别画出图形即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：如图所示： 观察函数图象可知，，， 不等式的解集指直线在曲线上方部分图象对应的的范围，由图可得：， 故答案为：； （3）解：画出两个以为顶点的矩形，如图所示： 由图象可知点，， 依据两点之间距离公式可得， 已知矩形面积为10的情况下，分类讨论： 若以为边构造矩形，则矩形的另一边为； 若以为对角线的情况下构造矩形，此时矩形为正方形，得其边长为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，涉及反比例函数与一次函数的交点、待定系数法确定函数表达式、由函数图象解不等式、两点之间距离公式、矩形性质、正方形性质等知识，熟练掌握函数及相关几何性质是解决问题的关键，当有两个函数的时候，着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． 专练六、反比例函数的实际应用问题 41．（2025·河南驻马店·三模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，求出函数解析式，根据反比例函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴当时，F随L的增大而减小；故选项A正确，不符合题意； 当时，；故选项B正确，不符合题意； 当原物体重量增加，则：，则：；故选项C错误，符合题意； 当时，， ∵F随L的增大而减小，最大为：， ∴弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是；故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 42．（2025·河南·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．据此依次对各选项进行分析即可作出判断． 【详解】解：设电流与总电阻之间的函数关系为， 由题意可得：， ∴， A．当时，，故此选项不符合题意； B．与之间的函数表达式是，故此选项不符合题意； C．当时，； ∴当时，，故此选项符合题意； D．∵， ∴， ∴当电压不变时，与成反比，故此选项不符合题意． 故选：C． 43．（2025·河南洛阳·三模）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（   ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A．用m表示I为： B．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C．当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D．电子体重计可称的最大质量为120千克 【答案】D 【分析】先计算电路中的总电阻，根据计算可以判断A的正误；根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小，可以判定B；当时，，根据得，由可计算判定，当时，，计算判定即可． 本题考查了一次函数的应用，跨学科综合，熟练掌握函数的性质，欧姆定律的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，电路中的总电阻，且，， 故， 根据，得， 故A正确，不符合题意； 根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小， 故B正确，不符合题意； 当时，，根据得， 由，得， 故C正确，不符合题意； 根据题意，当时，，此时最小，m最大， 根据得，由，得 ． 故D错误，符合题意； 故选：D． 44．（2025·河南周口·二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化（烟雾越浓，光照强度越小），进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） 小贴士电路总功率或： 其中是电路电源电压，是电路总电流 A．随增大而增大 B．每增加，的变化量相同 C．当烟雾浓度减小时，①示数变大 D．当光照强度增大时，电路总功率增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的定义、增减性以及相关物理知识，能够跨学科思维成为解题的关键． 根据反比例函数图像的定义以及增减性可判定A、B，然后结合物理知识可判定C、D． 【详解】解：A、根据图象可知，R随E增大而减小，故本选项说法错误，不符合题意； B．R关于E的图象是曲线，故每增加，的变化量不相同，故本选项说法错误，不符合题意； C、当烟雾浓度减小时，光照强度增大，电流增大，电阻减小， 所以定值电阻两端的电压增大，而电源电压保持不变，电压表测光敏电阻R两端的电压， 根据可知，电压表的示数变小，故本选项说法错误，不符合题意； D、当光照强度增大时，电流变大，电阻变小，而电源电压保持不变，根据电路总功率可知，电路中消耗的总功率增大，故本该选项说法正确，符合题意． 故选：D． 45．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（    ） A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小 B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为 C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大 D．当光照强度为时，控制电路中的电流为 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键． 根据反比函数的图象与性质逐项判断即可． 【详解】A、由题图可知光敏电阻的直值随光照强度的增大雨减小，故A选项正确； B、由题图可知图象上点的横、纵坐标之积为定值，可得，将代入反比例函数，得； C、要使报警器在浓度更低的烟雾下报警，此时光照强度增强，由题图，可知光的电阻的阻值减小，从而控制电路的总电阻减小．因为触发投资器报警的电流不交，由，可知应减小控制电路电压，故C选项错误； D、当光照强度为时，可知光敏电阻控制电路中的电流，故D选项正确； 故选 C． 46．（2025·河南南阳·一模）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总重量 10 12 15 20 30 加入水的质量 5 7 10 15 25 通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．分别是关于x的反比例函数 B．的图象向下平移4个单位可得的图象 C．随的增大而减小 D．当托盘B与点C距离为时，比多5克 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数图象的平移．根据反比例函数的定义即可判断A选项，由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数即可判断B选项，根据表格数据即可判断C选项，根据，间的数值变化即可判断D选项． 【详解】解：A、，则是关于x的反比例函数，，则不是关于x的反比例函数，故错误，不符合题意； B、由A选项知则是关于x的反比例函数；不是关于x的反比例函数，故的图象向下平移4个单位得不到的图象，故错误，不符合题意； C、由表格数据得随的增大而增大，故错误，不符合题意； D、由表格数据得为定值，则托盘B与点C距离为时，比多5克，故正确，符合题意； 故选：D． 47．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（   ） A．在一定范围内，越小越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 【答案】D 【分析】本题考查了函数与图象，解题的关键是理解题意，能够根据函数图象获取信息．根据所给函数图象，可判断A、B选项；根据函数关系式和函数图象，分别求出质量为和时的阻值，可判断C选项；根据函数图象和一次函数的增减性，可判断D选项． 【详解】解：A、由图2可知，在一定范围内，越小，越大，原说法正确，不符合题意； B、由图2可知，当时，的阻值为，原说法正确，不符合题意； C、由图3关系式可知，当踏板上人的质量为时，，由图2可知，时，，原说法正确，不符合题意； D、当电压表量程为时，由图2可知，当，阻值最小为，由可知，随着的增大而减小，则当时，有最大值，，解得：，即该电子体重秤可称的最大质量是，原说法错误，符合题意； 故选：D． 48．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意、掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键． A．根据“从加热到水温升高的温度加热时每分钟上升的温度”计算即可； B．利用待定系数法求出y与x的函数关系式即可； C．根据x的取值范围对应的函数关系式，分别计算当时对应的x的值，求出两个x值的差即为在一个加热周期内水温不低于的时间； D．求出将水温从加热到，再降到一处循环需要的时间，写出这个过程中y与x的函数关系式并据此计算即可． 【详解】解：水温从加热到，需要的时间为， ∴A正确，不符合题意； 设水温上升过程中，y与x的函数关系式是， 将坐标，代入， 得， 解得， ∴水温上升过程中，y与x的函数关系式是， ∴B正确，不符合题意； 当时，当时，得， 解得， 当时，当时，得， 解得， ， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为， ∴C正确，不符合题意； 当时，得， 解得， ∴水温从加热到，再降到所用时间为，即一个循环是， ∴水温y与通电时间x之间的函数关系式为， 上午10点到共90分钟，则（分钟）， 当时，得， ∴上午10点接通电源，可以保证当天水温为， ∴D不正确，符合题意； 故选：D． 49．（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 【答案】(1)，； (2)长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 【分析】本题考查了求一次函数解析式和求反比例函数解析式，用一次和反比例函数解决实际问题，熟练掌握函数表达式的求法是解题的关键． （1）将点代入，即可得出反比例函数表达式；将点代入，即可得出一次函数表达式； （2）把代入，得出，进而得出点的坐标为，将代入，得出点的坐标为，继而分析得出长方体箱子的长、宽、高． 【详解】（1）解：将点代入，得， 反比例函数表达式为， 将点代入，得， 解得， 一次函数表达式为． （2）， 把代入，得， ，即， ， ， 点的坐标为， 将代入，得， 点的坐标为， ， 根据图1可知，沙发的长是． 综上，长方体箱子的长、宽、高至少分别是，． 50．（2025·河南·模拟预测）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v（）与t（）之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度； (3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数的应用——区间测速．熟练掌握路程与速度和时间的关系，反比例函数的图象和性质，是解题的关键． （1）设，运用待定系数法将代入求解即可； （2）将代入，即可求出v； （3）分别将，代入函数解析式，求出对应的t值，即可确定段的时间范围． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入， 得， ∴； 答：v与t的函数表达式为； （2）解：20分钟小时， 当时， ． 答：它的平均速度是． （3）解：当时， ， 当时， ． ∴小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围为． 51．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 a ①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 【答案】(1)，能 (2)①成反比例函数关系，，验证见解析；②当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 【分析】本题主要考查了二次函数、反比例函数的实际应用，明确题意，准确得到函数关系式是解题的关键． （1）根据题意可得抛物线经过点，对称轴为，从而得到抛物线的解析式为，令，求出，比较即可求解； （2）①设，将代入得，．将代入验证：当时，成立，即可求解；②将和分别代入，得，．由得，即可求解． 【详解】（1）解： 由题意得：抛物线经过点，对称轴为， 可得， 解析式为， 令，则， ， 此运动员落地达标， 故答案为：，能； （2）解：①由表格数据可知，与的乘积相等，所以与成反比例函数关系． 设， 将代入得， 解得， ． 将代入验证：当时，成立， 能相当精确地反映与的关系，即为所求的函数表达式． ②由题意可知，当运动员刚好达标即是抛物线刚好经过基准点， 将和分别代入， 得，． 由得， 又 ． 答：当滑出速度为时，运动员的成绩恰好能达标． 专练七、反比例函数背景下的临界点问题 52．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 【答案】(1)5个； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键． （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 53．（2025·河南洛阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． (1)求反比例函数表达式； (2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，待定系数法求函数解析式，点的平移问题，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）先得到，再由待定系数法求解； （2）先得到，则平移后点对应点记为点，当点恰好落在反比例函数图象上时，求出此时的值，即可求解满足边与反比例函数图象始终有交点时，的取值范围． 【详解】（1）解：由题意得， ∵点恰好落在反比例函数图象上 ∴将代入得：， ∴反比例函数解析式为：； （2）解：由题意得：， ∵将此教具沿轴正方向平移个单位， ∴平移后点对应点记为点， 当点恰好落在反比例函数图象上时， 将代入得：， 解得：， ∴此教具边与反比例函数图象始终有交点，则． 54．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于点．点为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数的图象于点B，C．若横，纵坐标都是整数的点叫做整点． (1)填空：___________． (2)若线段和函数的图象在点B，C之间的部分所围成的区域W（不含边界）内恰有5个整点，结合函数图象，求m的取值范围． 【答案】(1)6 (2)或 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数与反比例函数解析式，在区域内确定5个整数点利用点M的横坐标范围与纵坐标范围列不等式组．（1）先求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况考虑：①当点P在点A下方时，结合函数图象可知，当时，区域内恰有5个整点；②当点在点上方时，当时，区域内恰有5个整点．据此求解即可． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于点． ， 点， 反比例函数过点， ； （2）解：分两种情况考虑： ①当点P在点A下方时，如图1， 在直线上，当时，， 结合函数图象可知，当时，区域内恰有5个整点； ②当点在点上方时，如图2， 在直线上，当时，， 结合函数图象可知，当时，区域内恰有5个整点． 综上所述，当或时，区域内恰有5个整点． 55．（2025·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象经过正方形的中心． ①求的值； ②若反比例函数图象与交于点，连接，，求的面积． (2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是_____． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，画出图形，熟知反比例函数图象上的点的特征是解题的关键． （1）①求得正方形的中心坐标，代入反比例函数即可解答； ②画出图形，求得点，利用三角形面积公式即可解答； （2）画出图形，求临界值，即可解答． 【详解】（1）解：①正方形的顶点的坐标分别为，， , ， 正方形的中心坐标为， 反比例函数的图象经过正方形的中心， ； ②如图， 由题意可得反比例函数解析式为， 当时，可得， 解得， 经检验是原方程的解， ， ， 的面积为； （2）解：如图，将正方形分成9个边长为的小正方形， 根据题意可得， 当反比例函数经过点时，， 当反比例函数经过点时，， 若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是， 故答案为：． 56．（2025·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)①2个；②见解析， 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题等知识点， （1）把代入中可得k的值； （2）①将代入可得：直线解析式为，画图可得结论；②画图计算边界时a的值，即可得解； 熟练掌握整点的定义，并利用数形结合的思想是解决此题的关键． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象过点， ∴； ∴k的值为1； （2）解：①一次函数的图象过，， ∴，解得， ∴直线l的解析式为， 画出图形，如图所示， 区域G内的整点有和共两个； 故存在2个“G区域点”； 故答案为：2； ②如图，直线l：过时，， 解得， 直线l：过时，， 解得， 观察图象可知：“G区域点”的个数为3个时，a的取值范围是． 57．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线相交于点， (1)求的值； (2)已知点在直线上运动，设点的坐标为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2)①，理由见解析；②或 【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的综合，掌握一次函数，反比例函数图形的性质，待定系数法是运用是关键． （1）将代入中，得到，再代入反比例函数，运用待定系数法即可求解； （2）①当时，，可得点的坐标为，点的坐标为，由此即可求解；②结合图形判定即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， ∴点的坐标为， 将代入中，得； （2）解：①当时，． 理由： 如图， 当时，， 令，代入，得， 解得； ∴点的坐标为， ∴； 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴， ∴； ②由①可知，当时，，根据图示， 当时，即点的位置，当时，即点的位置，， ∴的取值范围为或． 58．（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在y轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 【答案】(1) (2)①； ② 【分析】本题主要考查一次函数与反比例函数的交点，掌握交点的计算，数形结合分析是关键． （1）把点代入一次函数得到，即，再代入反比例函数解析式即可求解； （2）①根据题意得到，，由两点之间距离的计算即可求解； ②根据题意得到，设，则，可得，由此解不等式即可求解． 【详解】（1）解：把代入，得， ∴， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①当时，如图所示， 对于，令，则， ∴； 对于4，令，则， ∴， ∴． ②对于，令，则， ∴， ∵，即， 设，则， 可得， ∴， ∵， ∴在中，时，， ∵， ∴， ∴，整理得，， ∴， ∴解得． 试卷第2页，共91页 1 / 88 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 反比例函数的图象和性质 考点一、反比例函数与三角形的综合问题 1．（2025·河南·中考真题）小军将一副三角板按如图方式摆放在平面直角坐标系中，其中含角的三角板的直角边落在轴上，含角的三角板的直角顶点的坐标为，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式． (2)将三角板绕点顺时针旋转边上的点恰好落在反比例函数图象上，求旋转前点的坐标． 2．（2022·河南·中考真题）如图，反比例函数的图像经过点和点，点在点的下方，平分，交轴于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线．（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图） (3)线段与（2）中所作的垂直平分线相交于点，连接．求证：． 考点二、反比例函数与四边形的综合问题 3．（2021·河南·中考真题）如图，大、小两个正方形的中心均与平面直角坐标系的原点O重合，边分别与坐标轴平行，反比例函数的图象与大正方形的一边交于点A(1，2)，且经过小正方形的顶点B． （1）求反比例函数的解析式； （2）求图中阴影部分的面积． 4．（2024·河南·中考真题）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点E，反比例函数的图象经过点A． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点A的三个格点，再画出反比例函数的图象． (3)将矩形向左平移，当点E落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为________． 5．（2023·河南·中考真题）小军借助反比例函数图象设计“鱼形”图案，如图，在平面直角坐标系中，以反比例函数图象上的点和点B为顶点，分别作菱形和菱形，点D，E在x轴上，以点O为圆心，长为半径作，连接． (1)求k的值； (2)求扇形的半径及圆心角的度数； (3)请直接写出图中阴影部分面积之和． 专练一、反比例函数的图象和性质 6．（2025·河南·模拟预测）已知反比例函数，当时有最大值；反比例函数，当时有最大值，则的值为（   ） A． B． C．1 D．8 7．（2025·河南信阳·三模）已知反比例函数（k为常数，且）的图象在每个象限内y随x的增大而减小，则关于x的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．（2025·河南周口·三模）已知点，，都在反比例函数的图象上，分别比较：，，的大小，下面四位同学的做法中正确的是（   ） A．甲：令，则 B．乙：无论取何值，都有 C．丙：当时，；当时， D．丁：当时，；当时， 9．（2025·河南鹤壁·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 ． 专练二、求反比例函数的比例系数 10．（2024·河南安阳·模拟预测）如图，已知，分别是反比例函数与，且轴，点的坐标为，分别过点，作轴于点，轴于点．若四边形的面积为，则的值为（　　） A． B． C． D． 11．（2025·河南信阳·三模）若反比例函数的图象经过点，则它的解析式是 ． 12．（2025·河南·模拟预测）如图，已知A是反比例函数图象上一点，过点A作y轴的垂线，垂足为B，连接并延长交反比例函数图象于点C，连接，若，则k的值为 ． 13．（2025·河南驻马店·三模）如图，斜边的端点坐标为，，以点为圆心，的长为半径画弧恰好经过原点，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积． 14．（2025·河南焦作·三模）如图，在中，，点A在y轴的正半轴上，反比例函数的图象经过的中点C，且与交于点D．已知，． (1)求k的值； (2)过点D作轴于点E，点P是x轴上一点，若以A，D，E，P为顶点的四边形的面积为18，求点P的坐标． 专练三、反比例函数与三角形的综合 15．（2025·河南周口·模拟预测）如图所示，点A在反比例函数 的图象上，且点A的横坐标为1．以为一边作等腰直角三角形，其中 ，点P从点O出发，在的内部运动（可在的边上），且在运动过程中始终与线段， 的距离相等，则当最大时，的值为（   ） A． B． C． D．1 16．（2025·河南平顶山·二模）如图，等腰三角形的底边均在轴负半轴上，且每个等腰三角形的底边长相等，顶点均在反比例函数的图象上，已知第个等腰三角形顶点的横坐标为，第个等腰三角形顶点的横坐标为，，依此类推，则第个等腰三角形顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 17．（2025·河南驻马店·三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，点，过点A作轴交反比例函数的图象于点，点在反比例函数的图象上，以点A为圆心，长为半径画弧与x轴的右交点为点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求证：； (3)直接写出阴影部分的面积． 18．（2025·河南商丘·三模）如图，在平面直角坐标系中放置一块等腰直角三角板，，A，B两点分别落在x轴和y轴上，直线的解析式为，右侧有一条直线且过的中点． (1)用尺规作出直线l；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若直线l与边交于点D，双曲线经过点D，求出k的值． 19．（2025·河南周口·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点A，B，与y轴交于点C，点A的纵坐标为3． (1)求k的值； (2)连接，点D为y轴上一点，连接，若与位似且位似中心为点C，求点D的坐标． 20．（2025·河南信阳·模拟预测）如图，将正比例函数的图象向上平移，分别交x轴、y轴于点A，B，且经过点，C为线段的中点，连接，将绕点B顺时针旋转得到． (1)求直线的函数表达式； (2)若反比例函数的图象经过点，求k的值； (3)请直接写出在旋转过程中边扫过的图形（阴影部分）的面积． 21．（2025·河南商丘·二模）已知反比例函数与一次函数相交于点和点，如图所示，且一次函数与轴，轴分别交于点和点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设是轴上一点，当和面积相等时，求点的坐标； 22．（2025·河南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点，轴于点C． (1)求a，b的值． (2)请结合函数图象，直接写出当时，不等式的解集． (3)P为反比例函数图象上位于点A右侧的一动点，连接，当时，求点P的坐标． 23．（2025·河南周口·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和点，轴于点，轴于点． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹），与反比例函数图象交于点，并求出点的坐标； (3)是线段上的一点，连接，，若和的面积相等，求点的坐标． 专练四、反比例函数与四边形的综合问题 24．（2025·河南许昌·二模）如图，的一边在轴上，反比例函数的图象过的顶点和对角线的中点，已知点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 25．（2025·河南周口·三模）如图，点和点都在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式及的值． (2)连接，过点作交的平分线于点，连接，求证：四边形为菱形． 26．（2025·河南周口·三模）如图，已知点是x轴上的动点，点B的坐标为，以为边在右侧作正方形． (1)当时，反比例函数的图象经过点D，求反比例函数的表达式； (2)当正方形的边与反比例函数的图象有4个交点时，直接写出a的取值范围． 27．（2025·河南漯河·三模）如图，平行四边形的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过格点，． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿所在直线平移，使得点与点重合，画出平移后的． (3)请直接写出四边形的面积． 28．（2025·河南驻马店·三模）如图，已知，是反比例函数图象上的两点，过点作轴，过点作轴，两直线交于点，连接，，． (1)求的值； (2)若，D为x轴正半轴上一点，求证：． 以下是小军的证明过程： 证明：如图，过点作交于点，连接，设点B的坐标为，则， ∴直线的函数表达式为，∴， ∴轴，∴， 易证得四边形是矩形． … 请将小军的证明过程补充完整． 29．（2025·河南驻马店·三模）如图，正方形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)将正方形向右平移使点的对应点落在反比例函数图象上； ①点到轴的距离为________； ②线段扫过的面积为________． 30．（2025·河南商丘·模拟预测）如图，一次函数的图象分别交轴、轴于和两点，点为的中点，轴于点，延长交反比例函数的图象于点，且． (1)求一次函数及反比例函数的解析式； (2)连接、、，求证：四边形是菱形． 31．（2025·河南周口·二模）如图，正方形的两个顶点，都在反比例函数的图象上． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)反比例函数的图象经过点，直线分别与反比例函数，的图象交于点，．若，求的长的取值范围． 32．（2025·河南南阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与直线交于点，过点作轴于点． (1)求的值； (2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线；（要求：不写作法，保留作图痕迹） (3)（2）中所作的垂直平分线与交于点，与轴交于点，连接、，求证：四边形是菱形． 33．（2025·河南信阳·三模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O为坐标原点，顶点A，C在反比例函数的图象上，且点A的纵坐标为6，点C的纵坐标为，点B的坐标为． (1)求k的值； (2)直接写出a的值； (3)将菱形向下平移，当点B落到反比例函数的图象上时，求平移的距离． 专练五、反比例函数与一次函数的综合问题 34．（2025·河南信阳·三模）如图，一次函数 的图象与轴交于点，与反比例函数 的图象交于点． (1)______； (2)若的面积为，求的值； (3)当时，对于的每一个值，都有，请直接写出的取值范围． 35．（2025·河南驻马店·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与y轴的正半轴交于点，过点B作．轴交反 连接，，． (1)求反比例函数的表达式； (2)求点C的坐标； (3)求的面积． 36．（2025·河南安阳·三模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象相交于点和点，与轴相交于点． (1)求的值和点的坐标； (2)直接写出当时自变量的取值范围； (3)若点在反比例函数图象上且位于第一象限，当时，直接写出点的横坐标． 37．（2025·河南南阳·模拟预测）如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，直线经过点、点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数的表达式． (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的两个格点，再画出此反比例函数的图象． (3)直接写出的值为______． 38．（2025·河南平顶山·三模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数（）图像与反比例函数（）图像交于A，B两点，与y轴交于点C，已知点，点B的横坐标为． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)若点D是y轴上一点，且，求点D坐标； (3)当时，直接写出自变量x的取值范围． 39．（2025·河南南阳·二模）如图，直线与反比例函数的图象交于点，． (1)求反比例函数的解析式． (2)根据图象直接写出不等式的解集． (3)若点为轴正半轴上一点，过点作轴的垂线分别交直线和反比例函数的图象于点，，当时，求点的坐标． 40．（2025·河南信阳·三模）如图，在单位长度为1的网格坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于两点，反比例函数的图象经过一次函数图象上一点． (1)求反比例函数的解析式； (2)依据图象直接写出当时不等式的解集___________； (3)若反比例函数与一次函数的图象交于两点，在图中用直尺与铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点、点； ②矩形的面积等于10． 专练六、反比例函数的实际应用问题 41．（2025·河南驻马店·三模）如图1，取一根长的匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点O并将其吊起来．在中点O的左侧距离中点O处挂一个重的物体，在中点O右侧用一个弹簧测力计竖直向下拉，使木杆处于水平状态，弹簧测力计与中点O的距离L（单位：）与弹簧测力计的示数F（单位：N）的关系符合图2的反比例函数．下列说法错误的是（   ） A．F随L的增大而减小 B．当时， C．若原物体重量增加，木杆保持水平时，F与L的关系式为 D．若弹簧测力计的示数F不超过，则L的取值范围是 42．（2025·河南·模拟预测）如图1是一款在某跨境电商平台销量排名第一的可调节亮度的台灯，图2是它的电路示意图，它是根据调节总电阻的大小来实现灯光亮度的变化，电流与总电阻之间的关系图象如图3所示，下列说法正确的是（    ） A．当时， B．与之间的函数表达式是 C．当时， D．当电压不变时，与成正比 43．（2025·河南洛阳·三模）如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（   ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A．用m表示I为： B．电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C．当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D．电子体重计可称的最大质量为120千克 44．（2025·河南周口·二模）如图1所示是烟雾报警器的简化原理图，其中电源电压保持不变，为定值电阻，为光敏电阻，的阻值随光照强度的变化而变化（如图2），射向光敏电阻的激光（恒定）被烟雾遮挡时会引起光照强度的变化（烟雾越浓，光照强度越小），进而引起电压表示数变化，当指针停到某区域时，就会触动报警装置．下列说法正确的是（   ） 小贴士电路总功率或： 其中是电路电源电压，是电路总电流 A．随增大而增大 B．每增加，的变化量相同 C．当烟雾浓度减小时，①示数变大 D．当光照强度增大时，电路总功率增大 45．（2025·河南平顶山·一模）烟雾报警器通过监测烟雾的浓度来实现火灾防范．图为某医院安装的烟雾报警器，图为其“控制电路”和“工作电路”示意图，其中“控制电路”由光敏电阻、电磁铁（线圈阻值）、电源电压、开关等组成（控制电路中的电流）；“工作电路”由工作电源、扬声器、指示灯、导线等组成．其工作原理：正常情况下，动触片与触点接触，指示灯正常工作．当有烟雾时，光敏电阻接收到的光照强度减弱，当减弱到一定程度时，动触片与触点接触，扬声器发出报警声，已知触发报警器报警的电流不变．图为光敏电阻（单位：）与光照强度（单位：）之间的关系图象，则下列说法不正确的是（    ） A．光敏电阻的阻值随光照强度的增大而减小 B．当光敏电阻的阻值为时，光照强度为 C．若使得烟雾报警器可以在更低浓度的烟雾下报警，可以使控制电路电压适当增大 D．当光照强度为时，控制电路中的电流为 46．（2025·河南南阳·一模）在实验课上，小明做了一个实验．如图①在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离，记录容器中加入水的质量，得到下表： 托盘B与点C的距离 30 25 20 15 10 容器与水的总重量 10 12 15 20 30 加入水的质量 5 7 10 15 25 通过描点连线得到如图②所示的，关于x的函数图象，则下列说法正确的是（    ） A．分别是关于x的反比例函数 B．的图象向下平移4个单位可得的图象 C．随的增大而减小 D．当托盘B与点C距离为时，比多5克 47．（2025·河南洛阳·一模）某综合实践活动小组设计了一款简易电子体重秤：制作一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻（如图1），当人站上踏板时，电阻随人的质量m的变化而变化，此时可通过电压表显示的读数换算为人的质量．已知随的变化而变化（如图2），与踏板上人的质量m的关系见图3，则下列说法不正确的是（   ） A．在一定范围内，越小越大 B．当时，的阻值为 C．当踏板上人的质量为时， D．若电压表量程为，为保护电压表，该电子体重秤可称的最大质量是 48．（2025·河南·模拟预测）如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．水温从加热到，需要 B．刚开机时，水温上升过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 49．（2025·河南安阳·二模）某设计师结合数学知识设计了一款沙发，沙发的三视图如图1所示，将沙发侧面示意图简化后，得到图2所示图形．为了解沙发的相关性能，设计师将图形放入平面直角坐标系中，其中曲线是反比例函数的一段图象，线段是一次函数的一段图象，点的坐标为，沙发腿轴，与轴交于点．请你根据图形解决以下问题： (1)请求出反比例函数和一次函数的表达式；（不要求写的取值范围） (2)过点向轴作垂线，交轴于点．已知，，，设计师想用一个长方体箱子将沙发放进去，则这个长方体箱子的长、宽、高至少分别是多少？ 50．（2025·河南·模拟预测）如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小明发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间的平均行驶速度v（单位：）与行驶时间t（单位：）是反比例函数关系（如图2）． (1)求v（）与t（）之间的函数关系式； (2)若小明的爸爸驾驶汽车通过该测速区间的行驶时间为20分钟，求它的平均速度； (3)已知在该限速区间上行驶的小型汽车的最高车速不得超过，最低车速不得低于，求小明的爸爸按照此规定通过该限速区间的时间范围． 51．（2025·河南信阳·一模）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，运动员通过助滑道后在点A 处起跳经空中飞行后落在着陆坡上某处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分．如图是跳台滑雪训练场横截面示意图，这里表示起跳点A到地面的距离，，以O为坐标原点，以地面的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．某运动员在A处起跳腾空后，在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离与水平方向移动的距离满足．在着陆坡上设置点K作为基准点，点K与相距30，高度（与距离）为5，着陆点在K点或超过K 点视为成绩达标． (1)若某运动员在一次试跳中飞行的水平距离为10时，恰好达到最大高度，此时a的值为 ，他的这次试跳落地点能否达标？ （填“能”或“不能”）． (2)研究发现，运动员的运动轨迹与滑出速度的大小有关，下表是某运动员7次试跳的a与的对应数据： 150 170 190 210 230 250 270 a ①猜想a关于的函数类型，并求出函数解析式； ②当滑出速度v为多少时，运动员的成绩刚好能达标？ 专练七、反比例函数背景下的临界点问题 52．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 53．（2025·河南洛阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2的平面直角坐标系中．顶点A，O，B分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数图象上． (1)求反比例函数表达式； (2)将此教具沿轴正方向平移个单位，在平移的过程中，若此教具边与反比例函数图象始终有交点，求的取值范围． 54．（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与反比例函数的图象交于点．点为射线OA上一点，过点P作x轴，y轴的垂线，分别交函数的图象于点B，C．若横，纵坐标都是整数的点叫做整点． (1)填空：___________． (2)若线段和函数的图象在点B，C之间的部分所围成的区域W（不含边界）内恰有5个整点，结合函数图象，求m的取值范围． 55．（2025·河南三门峡·二模）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标分别为，，反比例函数的表达式为． (1)若反比例函数的图象经过正方形的中心． ①求的值； ②若反比例函数图象与交于点，连接，，求的面积． (2)若在反比例函数图象的上方，且在正方形内（不含边界）只有1个整点（横、纵坐标均为整数的点），则的取值范围是_____． 56．（2025·河南郑州·模拟预测）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求k的值； (2)一次函数的图象过，与的图象交于两点，两函数图象交点之间的部分组成的封闭图形称作图象“”，该图象内横纵坐标均为整数的点称为“区域点”（不含边界）； ①当一次函数图象过时，存在______个“区域点”； ②如果“区域点”的个数为3个，画出示意图，直接写出a的取值范围． 57．（2025·河南周口·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，函数的图象与直线相交于点， (1)求的值； (2)已知点在直线上运动，设点的坐标为，过点作平行于轴的直线，交直线于点，过点作平行于轴的直线，交函数的图象于点． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，请直接写出的取值范围． 58．（2025·河南漯河·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)在y轴正半轴上有一动点，过点作平行于轴的直线，交反比例函数的图象于点，交直线于点． ①当时，求线段的长； ②当点在点下方时，若，结合函数图象，求出的取值范围． 试卷第2页，共91页 1 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$