1.4 .1《二次函数的应用》课时分层训练 2025-2026学年浙教版数学九年级上册

1.4 .1《二次函数的应用》—2025-2026学年浙教版数学九年级上册课时分层训练 一、基础应用 1．某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（　　） A． B． C． D． 2．如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽4m，顶点离水面2m．当水面宽6m时，水面下降（　　） A．1m B．1.5m C．2.5m D．4.5m 3．如图，假设篱笆（虚线部分）的长度16m，则所围成矩形ABCD的最大面积是（　　） A．60m2 B．63m2 C．64m2 D．66m2 4．如图，一名学生推铅球，铅球行进高度(单位：)与水平距离(单位：)之间的关系是，则铅球推出的距离　 　m． 5．如图所示，桥拱是抛物线形，其函数解析式是y＝﹣x2，当水位线在AB位置时，水面宽为12米，这时水面离桥顶的高度h是　 　米． 6．用长12m的铝合金条制成矩形窗框（如图所示），那么这个窗户的最大透光面积是　 　（中间横框所占的面积忽略不计） 7．如图为一座拱桥的示意图，桥洞的拱形是抛物线，已知水面宽，桥洞顶部离水面． （1）请在示意图中建立合适的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数表达式． （2）若有一艘船的宽度为，高度为，则这艘船能否从该桥下通过？ 8．用 12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计） （1）窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大?最大透光面积是多少? （2）若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取 3）. 二、能力提升 9．如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（　　） A．18m2 B．m2 C．m2 D．m2 10．如图，正方形 的边长为 ，动点 ， 同时从点 出发，在正方形的边上，分别按 ， 的方向，都以 的速度运动，到达点 运动终止，连接 ，设运动时间为 ， 的面积为 ，则下列图象中能大致表示 与 的函数关系的是（　　） A． B． C． D． 11．某弹性小球从地面以初速度（米/秒）竖直向上抛出，其高度（米）与时间（秒）的关系为．当初速度为时，达到最大高度后落回地面用时（如图1）；落地后再次以初速度竖直向上弹起至最大高度，再落回地面用时（如图2）．已知，则的值为（　　） A．5：2 B． C．3：2 D． 12．如图，壮壮同学投掷实心球，出手(点 P 处)的高度OP 是 m，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是 4 m.若实心球落地点为M，则OM=　 　m. 13．如图，某农场拟建造由甲．乙两个矩形组成的羊圈，饲养室的一面靠长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分．已知提前准备的建筑材料可以建造长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造　 　 14．如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面，安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距0点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距0点3m.那么喷头高　 　m时，水柱落点距离O点2m. 15．甲同学家有一块空地，空地上有一面长为10米的围墙MN，甲打算利用围墙和木栏围一块长方形养鸡场ABCD，已知木栏总长为50米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为2米的门，门不消耗木栏，设AB长为x米。 （1）如图1，当AD≤MN时， ①AD= 米（用含x的代数式表示）。 ②若围成的养鸡场面积为138平方米，求AB的长。 （2）如图2，当AD>MN时，求养鸡场可达到的最大面积。 16．如图①有一座拱桥，已知桥洞的拱形呈抛物线型．如图②，当水面宽为时，桥洞顶部离水面高为．如图③所示建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）已知该拱桥限高米，要使船只通过此拱桥，求可通行船只的最大宽度； （3）现有两艘宽都为米，高出水面米的船只，同时到达该拱桥，因降暴雨，水位上升米．请问两船能否在桥下顺利交汇？（不考虑两船间的空隙）． 三、综合拓展 17．如图，四边形为菱形，为上一点，的垂直平分线交于点F，若，记的面积最大值为S，周长最小值为l，则（　　） A． B． C． D． 18．如图 和 都是边长为2的等边三角形，它们的边 在同一条直线l上，点C，E重合，现将 沿着直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动.在此过程中，设点移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为（　　） A． B． C． D． 19．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的正半轴交于点.矩形的边在线段上，点C、D在抛物线上，则矩形周长的最大值为　 　. 20． 综合与实践 【发现问题】如图1是某景点的入口处，大门轮廓形状可视为抛物线，拱门宽3米（拱门所在抛物线与地面所在直线的两交点之间的距离称为拱门宽，这两个交点称为拱门的左端点与右端点），拱高4米（拱门所在抛物线的顶点到地面所在直线的距离称为拱高）．为了缓解入口处人流压力，让拱门成为景点的新一个标志建筑，需要重造扩建拱门．经测算，当拱顶到地面的距离为拱门宽的一半时，拱门最为美观． 【提出问题】在拱门右侧距拱门右端点10米处有一棵高为2米的珍贵树木，不宜移栽，为了不影响树木的生长，需要给树木左右两侧各留足3米，上方留足8米的生长空间（不考虑拱门厚度）．由于地域限制，为使改建后拱门的拱门宽不能超过25米，现以原拱门左端点为起点，向右扩建，拱高在什么范围，才能使拱门最美观，又不影响树木的生长呢？ （1）【分析问题】 ①二次函数的图象经过和，此抛物线的对称轴为直线　 　； ②如图2，已知二次函数经过点，且与图象均经过和，则的取值范围是　 　； （2）解决问题】 以原拱门左端点为原点，建立如图3所示的平面直角坐标系，以，为端点的拱门表示原拱门，表示大树．当以原拱门左端点为起点向右扩建，使拱门扩建后最美观且不影响树木的生长时，求此时拱顶到地面的距离的取值范围． 21．综合与实践 【材料阅读】我们知道，，展开移项得，当时，取到等号；我们可以利用它解决形如“（，为常数且）的最小值”问题. 例如：求式子的最小值. 解：，当时，即时，式子有最小值，最小值为4. 【学以致用】在一次踏青活动中，某数学兴趣小组围绕着一个有一面靠墙（墙的长度为）的矩形篱笆花园（如图1所示）的面积和篱笆总长与的长度之间的关系进行了研究分析. （1）当该矩形花园的面积为，篱笆总长为时，求的值； （2）当篱笆总长为时， ①写出关于的函数关系式，并写出的取值范围； ②当取何值时，有最大值？最大值是多少？ （3）当面积为时，关于的函数解析式为，数学兴趣小组的小李同学利用数学软件作出了其函数图象如图2所示，点为图象的最低点，观察图象并结合[材料阅读]，当自变量的取值范围为多少时，随的增大而减小？（直接写出的取值范围） 答案解析部分 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】 5．【答案】9 6．【答案】6m2 7．【答案】（1）解：按如图方式建立直角坐标系（答案不唯一）， 设抛物线解析式为：， 把代入，得， 解得：， ． （2）解：能通过，理由如下： 当时，， 能通过． 8．【答案】（1）设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如图所示： 则 (米) ， 根据题意得： ∴当 时， S最大， 最大值为6，∴窗框的宽为2米时，窗户的透光面积最大，最大透光面积是6平方米； （2）解：设矩形窗框的宽AD为x米，窗户的透光面积为S平方米，如上图所示： 则半圆周长为 (米)， 米， ∴当 时，S最大，最大值为 答：该窗户的最大透光面积为 平方米. 9．【答案】C 10．【答案】A 11．【答案】D 12．【答案】 13．【答案】48 14．【答案】 15．【答案】（1）解：①（52-2x） ②∵， ∴解得，。 ∵， ∴ AB的长为23米。 （2）解： ， 养鸡场 ABCD 的面积 。 ， 。 当时，养鸡场面积可以达到最大值平方米。 16．【答案】（1）解：根据题意，得：，，， 设抛物线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：当时，得：， 解得：或， ∴（米）， ∴可通行船只的最大宽度为米； （3）解：当时，， ∵， ∴两船不能在桥下顺利交汇． 17．【答案】A 18．【答案】A 19．【答案】13 20．【答案】（1）； （2）解：如图所示，将点分别向左右两侧平移3个单位得到点、，将向上平移个单位，矩形即为大树生长空间． 由题意得，，， ∴，； 设新拱门抛物线解析式为 ∴抛物线顶点坐标为 ∵拱顶到地面的距离为拱宽的一半， ∴， 解得，（不符题意，舍去）， ∴新拱门抛物线解析式为 将代入得，，解得 ∴， ∵原拱门拱顶距地面为4米， ∴ 将代入得，，解得， ∴ 将代入得，，解得 ∴ ∴ 综上所述，的取值范围是或． 21．【答案】（1）解：依题可知，即：， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， . （2）解：①S=a（20-2a）， ∵， 解得：4≤a＜10， 故S=a（20-2a）=-2a2+20a（4≤a＜10）； ② S=-2a2+20a=-2（a-5）2+50 ， ∵-2＜0，4≤a＜10， ∴当a=5时，S有最大值，最大值为50. （3）解：根据题意可得： ， 即， 当时，有最小值为16， 解得：a=4或a=-4（舍去）， ∴点P的坐标为（4，16）， 又∵a＞0且， 解得：， 综上，当时，l随a的增大而减小. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$