21.1解一元二次方程（公式法、因式分解、十字相乘法）预习知识点梳理+巩固练习+真题训练2025-2026学年人教版数学九年级上册

学生姓名 年级 初三 学科 数学 课题 一元二次方程的解法（公式法、因式分解、十字相乘法） 教学目标 1、理解并能运用公式法解数字系数的一元二次方程； 2、掌握因式分解法解一元二次方程的原理 3、熟练运用提公因式法、完全平方公式、十字相乘法解一元二次方程 Part01.一元二次方程的解法：公式法 知识精讲： 一元二次方程的解法：公式法 知识点 典题范例 公式法： 解一元二次方程时，先将方程化简为a²+b+c = 0 （a、b、c为常数，a≠0）形式，再将各个系数代入求根公式，直接求取出方程的根。这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 ²+ 2 - 4 = 0 a=1，b=2，c = - 4 △= b²- 4ac = 2²- 4×1×（- 4） = 20＞0 方程有两个不相等的实数根 = = = -1± = -1+ 或 = -1- 1题类:公式法解一元二次方程 用公式法解方程x² - 4x - 2 = 0，其中b²- 4ac 的值是（ ） A.16 B. 24 C. 8 D. 4 2题类:公式法解一元二次方程 ²-2-6 = 0 解：∵ a = ，b = ，c = ∴△= b²- 4ac = = ∴ 方程有两个不相等的实数根 ∴ = = = ∴原方程的解是= . = . 3题类:公式法解一元二次方程 用合适的方法解方程： （1）²- 4- 7 = 0 （2）2²- 3 + 1 = 0 （3）²- + 4= 0 （4）（-4）= 5 - 8 4题类：公式法解一元二次方程 用合适的方法解方程： （1）x²- 6x - 7 = 0 （2）x²+ 2x = 3 （3）x²+ 4x +8 = 2x + 11 （4）( x - 2 )( 3x - 5 )= 1 Part02.一元二次方程的解法：因式分解 知识精讲： 一元二次方程的解法：配方法 知识点 典题范例 因式分解法： 通过因式分解使得一元二次方程化为两个一次式的乘积等于0 的形式，然后再使这两个一次式分别等于0 ，从而到达降次的目的，此解法叫做因式分解法 解题步骤： ①移项，将方程右侧化为0 ; ②将方程左侧因式分解为两个一次因式的积; ③令每个因式分别为0，得到两个一元一次方程; ④解这两个一元二次方程，得取原方程的解. ( - 2 )+ - 2 = 0 ↓ (- 2) ( + 1)=0 ↓ - 2 = 0，+1 =0 ↓ = 2， = - 1 1 题类：因式分解解一元二次方程 方程( x - 2 )( x + 3)=0的解是（ ） A.x = 2 B. x = - 3 C. = - 2，= 3 D. = 2，= - 3 2 题类：提取公因式法解一元二次方程 方程x²- 5x = 0的解是 . 3 题类：常规因式分解解一元二次方程 请用因式分解解下列方程 （1）2x²- 6x =² （2）x²- x= 0 （3）x（x-3）- x + 3 = 0 （4）3（2x + 5）= 2x（2x + 5） 4 题类：常规因式分解解一元二次方程 请用因式分解解下列方程 （1）2（-2）²- 6（2 - x）= 0 （2）3（ - 5）² = 2（5 - x） Part03.一元二次方程的解法：十字相乘法 知识精讲： 一元二次方程的解法：十字相乘法 知识点 典题范例 十字相乘法（二次项系数为1）： 用十字相乘法把形如x²+ px + q 分解因式使得q=ab，p=a+b 十字相乘法解一元二次方法步骤： ①竖分二次项和常数项 ②交叉相乘，和相加，使得q = ab，p = a+b ③检验确定，横写因式 （1）x²+ 4x - 12 = 0 ∵ 1 -2 1 6 ∴ ( x - 2 ) ( x + 6 ) = 0 十字相乘法（二次项系数不为1） 一个二次三项式ax² + bx +c ，若可以分解，则一定可以写成( x + ) ( x + ）的形式，使得式子满足= ，= + = b. （1）2x² - 7x + 3 = 0 ∵ 1 - 3 2 - 1 ∴ ( x - 3 ) ( 2x - 1 ) = 0 1 题类：十字相乘法解一元二次方程 一元二次方程x² - x - 2 = 0 的解是（ ） A. = 1，= 2 B. = 1，= - 2 C. = - 1，= - 2 D. = - 1，= 2 2 题类：十字相乘法解一元二次方程 请用十字相乘法解下列方程 （1）²+ 2 - 3 = 0 （2）² = x + 56 （3）²- 10 + 9 = 0 （4）x²- 3mx + 2m²= 0 3 题类：十字相乘法解一元二次方程 请用十字相乘法解下列方程 （1）²+ 10 - 3 = 0 （2）2²- - 10 = 0 （3）²+ 5 - 6 = 0 （4）3x²- 8x + 4 = 0 4 题类：十字相乘法解一元二次方程 已知15x²- 47xy + 28y²= 0，求 的值。 课中巩固 1 题类：常规因式分解解一元二次方程 方程2x（x - 3）= 5（x - 3）的根是（ ） A. x = B. x = 3 C.= 3，= D. 无解 2 题类：常规因式分解解一元二次方程 请用因式分解法解方程：3x（2x + 1）= 4x + 2 3 题类：十字相乘法解一元二次方程 解方程：2² + 4 = + 2 4 题类：十字相乘法解一元二次方程 解方程：3²- 6 = 4 + 2 5 题类：公式法解一元二次方程 用公式法解方程：5²- 7 - 2 = 0 6 题类：公式法解一元二次方程 用公式法解方程：( x - 2 ) ( x - 5 ) + 1 = 0 7 题类：解一元二次方程 用适当的方法，解下列方程 （1）²-2 - 8 = 0 （2）2（x - 2）² = x - 3 （3）²+ - = 0 （4）3- 2 + 1 = 0 真题训练 例1 题类：因式分解解一元二次方程 （2024年白云区九上期末卷）一元二次方程x² = 2x的根是 . 例2 题类： 因式分解解一元二次方程 （2024年黄埔区华附中学九上期中卷）方程x（x + 1）= 0 的解是 . 例3 题类：公式法解一元二次方程 （2024年广州二中九上期中卷） 解方程：2x² + 3x + 1 = 0 例4 题类：十字相乘法解一元二次方程 （2024年花都区九上期末卷） 解方程：x²+ 4x - 5 = 0 例5 题类：提取公式式法解一元二次方程 （2024年荔湾区九上期末卷）解方程：x（2x - 5）= 2（2x - 5） 答案： 一元二次方程的解法：公式法 1. B 2. ²-2-6 = 0 解：∵ a = 1 ，b = - 2 ，c = - 6 ∴△= b²- 4ac = （- 2）²- 4×1×（- 6） = 28 ∴ 方程有两个不相等的实数根 ∴ = = = 1± ∴原方程的解是= 1+ . = 1 - . 3.（1）= 2+ ，= 2 - （2）= 1，= （3）== （4）= =﹣5 4. （1）= 6+ ，= 6 - （2） = ，= （3）= = （4）= = 一元二次方程的解法：因式分解法 1.D 2.= 0或= 5 3.（1）= 0 ，= 6 （2）= 0，= 3 （3）= 3 ，= 1 （4）= ，= 4.（1）= 2 ，= - 1 （2）= 5 ，= 一元二次方程的解法：十字相乘法 1. D 2. （1）= - 3 ，= 1 （2）= 8 ，= - 7 （3） = 9 ，= 1 （4）= 2m ，= m 3. （1）= - ，= （2）= ，= - 2 （4） = ，= 6 （4）= ，= 2 4. 解：15x²- 47xy + 28y²= 0 ( 3x - 7y )( 5x - 4y ) = 0 = y ，= y ∴ = 或 = 课中巩固： 1. C 2. = - ，= 3. = ，= - 2 4. = - ，= 2 5. = ，= 1 6. = = 7. （1）= - 2 ，= 4 （2）= ，= 1 （3） = - ，= 1 （4）= ，= 真题训练： 例1：= 0 ，= 2 例2：= 0 ，= - 1 例3：= ，= 例4：= - 5 ，= 1 例5：= ，= 2 学科网（北京）股份有限公司 $$