暑假奥数教材（暑假）（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

目 录 第1讲 乘除法的简便计算 - 1 - 第2讲 数的拆分 - 10 - 第3讲 你来增我来减 - 20 - 第4讲 周期问题 - 30 - 第5讲 快刀斩乱麻 - 40 - 第6讲 长度单位 - 48 - 第7讲 期中检测 - 55- 第8讲 植树问题 - 56 - 第9讲 和差倍问题 - 65 - 第10讲 归一问题 - 73 - 第11讲 鸡兔同笼 - 81 - 第12讲 分组法求解鸡兔同笼问题 - 89 - 第13讲 过桥与租车问题 - 97 - 第14讲 文氏图 - 106 - 第15讲 期末检测 - 116 - 第1讲 运动的描述 笔记区 ——培养好学生，造就好老师，创办好学校2 1 学科网（北京）股份有限公司 第1讲 乘除法的简便计算 · 模块一 乘法带符号搬家巧算 · 模块二 拆数乘法巧算 · 模块三 乘除法带符号搬家 · 模块四 乘除法添去括号 · 1 学科网（北京）股份有限公司 这一讲介绍的是乘法巧算和除法巧算的一些基本方法.在计算乘法时，一个数与 10、100、1000这样的数相乘，很容易算出结果，例如23×10=230,23×100=2300, 23×1000=23000等.有三组乘法在巧算时也经常用到：2×5=10,4×25=100, 8×125=1000. 加减法里有带符号搬家，乘法中也有.在计算多个数相乘时，我们可以通过带符 号搬家改变运算顺序，简化计算. 例题1 计算： (1)2×13×5 (2)4×11×25 练习1 (1)4×17×25; (2)125×10×8 有时题目中没有明确给出2与5、4与25、8与125相乘，我们可以通过拆数的方 法凑出10、100、1000,例如：18×5=9×2×5=90. 例2 (1)5×32×125; (2)80×16×25 练2 (1)25×5×32 (2)56×125 乘法中常见运算技巧 乘法中的凑整：2×5;4×25;8×125. 带符号搬家：在只有乘除运算的算式里，每个数前面的运算符号是这个数的 符号.不论数移动到哪个位置，它前面的运算符号不变.带符号搬家依据的 运算律是： (1)乘法交换律：a×b=b×a. (2)乘法结合律： a×(b×c)=(a×b)×c. 下面介绍的是乘除法巧算的一些基本方法，同加减法一样，通过“带符号搬家”来 适当改变运算顺序。例3 (1)36×11÷9; （2）4000÷125 练3 （1）28×11÷4 (2)300÷25 在计算连续乘除法运算时，式子中经常会出现括号.在乘除法去括号时，同加减 法去括号时类似，要注意变号的问题，具体来说，乘除法中去括号的法则是： 括号前面是乘号，去掉括号不变号；括号前面是除号，去掉括号变符号.除了去括号之外，有时候还需要添括号来简化运算.括号前面是乘号，添上括号不变号；括号前面是除号，添上括号变符号. 去括号和添括号原则 在只有乘除运算的算式里，如果括号的前面是“÷ ”,那么不论是去掉 括号或添上括号，括号里面运算符号都要改变，即“×”号变“÷”,“÷” 变“×”;如果括号的前面是“×”,那么不论是去掉括号或添上括号，括 号里面运算符号都不改变. 例 如 ： ①a×(b÷c)=a×b÷c ②a×b÷c=a×(b÷c) ③a÷(b÷c)=a÷b×c ④a÷b÷c=a÷(b×c)例3 (1)720÷(72×5÷13); (2)(81÷123)×(123÷3)÷(6-3). 练4 (1)130÷(13÷3×15); (2)36÷(9+3)×11. 挑战 计算：(1)31000÷8÷125; (2)333÷15×5. 挑战 计算： (26÷25)×(27÷17)÷(9÷25)×(17÷39). 课外拓展 运算符号的来历 同学们每天都与+、 一、×、÷打交道，做起题来也已经习惯了有它们的帮助，但你 们一定还不知道它们来到这个世界上的时间可比数字晚多了. 大约五百年前，德国科学家魏特曼在横线上加上一竖来表示增加的意思，在加号上 去掉一竖来表示减少的意思，从此，数学这一学科就多了两个新成员，这就是“十”、“一” 的来历 . “×”是英国的数学家欧德艾在三百多年前提出来的，他认为乘法是一种特殊的加法， 于是把“+”斜过来写，也就是我们今天的“×”,“÷”是瑞士数学家拉哈提出来的，他在两 点中间放上一横，表示平均分的意思.同学们，现在我们不仅会使用这些数学运算符号， 而且还了解了它们的来历，以后算题的时候就会辨别的更清楚，计算的更仔细了. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第2讲 数的拆分 · 模块一 三个对象分人 · 模块二 三个对象分堆 · 模块三 分类枚举 · 1 学科网（北京）股份有限公司 我们学习过简单的枚举法——直接把所有情况——列举出来.但如果问题较为复 杂，直接枚举很有可能产生重复或者遗漏，这时就需要有一些特别的方法来帮助我们 枚举出所有情况.本讲主要讲解一种枚举的方法———字典排列法. 同学们可以翻一下英汉字典，不难发现字典中单词排列的规律：整本字典按首字 母从a 到 z 排列，首字母相同的单词都在一起.在首字母相同的单词中，再按照第2个 字母从a 到z 的顺序排列，然后是第3个字母，第4个字母……所谓“字典排列法”,就 是指在枚举时，像字典里的单词顺序那样排列出所有答案.例如，用1、2、3各一次 可以组成多少个不同的三位数?用字典排列法枚举时，每个位置都按从小到大排列， 枚举的顺序是：123、132、213、231、312、321.下面我们用字典排列法来解决几个问 题 . 例1 卡莉娅、墨莫、小高三个人去游乐园玩，三人在藏宝屋中一共发现了5件宝物，三人找到的宝 物数量共有多少种不同的可能?(可能有人没有发现宝物) 练1 老师准备了6个笔记本奖励萱萱、小高和墨莫三人，每人至少得到1本笔记本.请问：老师有多少种不同的奖励方法? 用字典排序法枚举的时候，判断题目要求到底是“交换顺序后算作两种”还是“交 换顺序后仍然是同一种”非常关键.往往题目中要求“交换顺序后仍然是同一种”,那 么枚举的每个结果里就没有明确的顺序关系；反之，那么枚举时要注意每个结果都应 该符合一定的顺序关系.例2 老师要求每个同学写出3个自然数，并且要求这3个数的和是8.如果两个同学写出的3个自 然数相同，只是顺序不一样，则算是同一种写法.试问：同学们最多能得出多少种不同的写法? 练2 三个大于0的整数之和(数与数可以相同)等于10,共有多少组这样的三个数? 枚举法是解决计数问题的基础，但是对于比较复杂的问题，如果直接枚举很容易 出现重复或者遗漏.这时就需要预先把所有情形分成若干小类，针对每一小类进行枚举 . 例3 如图所示，有7个按键，上面分别写着：1、2、3、4、5、6、7这七个数字.请问： (1)从中选出2个按键，使它们上面的数字的差等于2,一共有多少种选法? (2)从中选出2个按键，使它们上面的数字的和大于9,一共有多少种选法? 练3 有一次，著名的探险家大米得到一个宝箱，但是宝箱有密码锁，密码锁下边有一行小字：密码之和大于11的两个数，而且这两个数不能相同.不用考虑数的先后顺序，你知道密码共有多少种可能吗? 例4 数一数下图中包含星星的长方形(包括正方形)有多少个? 练4 数一数下图中包含星星的正方形有多少个? 挑战 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限.可能的吃法一共有多少种? 挑战 妈妈买来7个鸡蛋，每天至少吃2个，吃完为止.如果天数不限.可能的吃法一共有多少种? 字典是如何排序的? 在英语字典中，两个单词的位置是这样决定的：从第一个字母开始比较，如果相 同，那么就看下一个字母；如果不同，那么就按照从a 到z 的顺序进行排列.比如说： book 和 look 这两个单词，第一个字母分别是b 和 1 ,b 排在1前面，所以book 排在look 之前.再比如说：book 和boat这两个单词，前两个字母都是bo, 所以就看第三个字母 ，o 在 a 之后，所以字典里book 出现在boat 之后. 再来看看中文字典，现在的中文字典主要采用按拼音字母的顺序进行排序，方法与 英语字典相同.其实在使用拼音之前我国古代的字典一般都是按照部首以及笔画来排序 的，比如著名的《康熙字典》就是这样排序的：先按部首排序，每个部首之中再按剩下的 笔画数从少到多进行排序.中文字典除了按拼音、部首等顺序排列之外，还有笔顺等多 种排序方法. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第3讲 你来增我来减 · 模块一 移多补少 · 模块二 等量代换 1 学科网（北京）股份有限公司 移多补少的题目，最好的办法就是借助于画线段图，画图能给人一种直观的感觉， 帮助我们理清数量关系. 例1 (1)第一行比第二行多 个 . (2)第一行给第二行 个才能使第一行与第二行一样多. (3)第一行给第二行 个才能使第一行比第二行多2个. (4)第一行给第二行 个才能使第二行比第一行多2个. 练1 阿呆和阿瓜分糖果，开始时阿呆有14块，阿瓜有4块.后来阿呆少了6块，阿瓜多了6块，这 时谁的糖果多?多几块? 例2 小高和墨莫分别有一些巧克力，小高比墨莫多10块. (1)小高给墨莫8块，这时谁的巧克力多?多几块? (2)小高给墨莫多少块才能使两人的巧克力一样多? (3)要让墨莫的巧克力比小高多4块，需要谁给谁巧克力?给几块? 练2 一开始田鼠爸爸比田鼠妈妈多11块宝石，要让爸爸比妈妈多3块宝石，需要爸爸给妈妈多少块 宝石? 例3 开始时卡莉娅比萱萱多30张卡片.每次卡莉娅给萱萱3张. (1)给几次才能使两人的卡片一样多? (2)给几次才能使萱萱比卡莉娅多12张? 练3 刘老师有两盒糖果，红盒比蓝盒多30粒糖，每次从红盒取5粒糖放到蓝盒，取几次后两盒糖的 粒数就同样多? 之前例题中的移多补少基本上要借助于画图，画图是表示数量关系非常直观的方 法。除了画图之外，用简洁的语言来表示数量关系也十分重要.下面我们来看看等量 代换的相关题目，同学们要用简洁的语言来表示数量关系. 等量代换的思想是解决应用题时的常用技巧之一，在使用等量代换时，一般从问 题开始分析. 例4 体重大比拼： (1)4只小狗=8只小猫，那么5只小狗等于多少只小猫的体重? (2)2只小狗=4只小猫，1只小猫=2只鸭子，那么12只小狗等于多少只鸭子的体重? (3)3只小狗=4只小兔，5只小兔=7只小鸡，那么12只小狗加4只小兔等于多少只小鸡的体重? 练4 7头大象和10只长颈鹿重量相等，那么40只长颈鹿和多少头大象重量相等? 挑战极限 1只兔子的重量加上1只猴子的重量等于8只鸡的重量，3只兔子的重量等于9只鸡的重量，那 么1只猴子的重量等于多少只鸡的重量? 已知所有大鸭子的重量均相同，所有小鸭子的重量均相同.3只大鸭子和2只小鸭子共重32千 克，4只大鸭子和3只小鸭子共重44千克，请问2只大鸭子和1只小鸭子共重多少千克? 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第4讲 周期问题 · 模块一 看图找周期 · 模块二 报数找周期 · 模块三 列表周期 其实泰勒斯就是从之前的日食记录中找到了日食发生的周期，根据周期做出了预 言.周期现象无处不在，日常生活里有很多这样的例子，例如分针每60分钟就绕钟面 一圈回到原来的位置，星期日再过七天还是星期日，地铁不断在线路上来回运行…… 所以学好周期问题对于我们平时生活会很有帮助，本讲就先解决几个简单的周期问题. 在解决周期问题时，关键在于找到周期的长度.只要能找到周期的长度，再用总数 除以周期长度，得到的商就是完整的周期的个数，余数就是除去完整周期的部分后剩 下的个数. 例1 如图，电子跳蚤每跳一步，可从一个圆圈跳到相邻的圆圈.现在，一只红跳蚤从标有数“1”的圆 圈按顺时针方向跳了100步，落在一个圆圈里.一只黑跳蚤也从标有数“1”的圆圈起跳，但它是 沿着逆时针方向跳了200步，落在另一个圆圈里.那么这两个圆圈里的数乘积是多少? 练1 钟表上现在时针正对着数字2,那么121小时后时针正对着几? 例2 伸出左手，然后从大拇指起如图那样开始数数.请问：当数到200的时候，正好数到哪根手指? 练2 如图，在A,B 两地之间有11个站，一辆车不停的往返于两地之间.从A 出发，每天走到下一 站，到达B 地后的第二天又回到11号站，第1天的时候它在A 站，那么第100天时它在哪个站? 例3 100位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1,然后从第 二位同学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘7,再报出乘积的个位来.请问：最后一名同学报的是几? 练3 同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报6,然后从第二位同 学开始，每位同学都把前一位同学所报的数乘2,再报出乘积的个位来.请问：第50个同学报的是几? 例4 84位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报1,第二位同 学报3,然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的 个位来.请问：最后一名同学报的是几?总共有多少人报的数是3? 练4 50位同学从左到右排成一行，然后按如下规律从左向右报数：先让第一位同学报4,第二位同 学报9,然后从第三位同学开始，每位同学都把自己前面两位同学所报的数相乘，再报出乘积的 个位来.请问：最后一位同学报的是几? 挑战极限 甲、乙、丙、丁四兄弟各收藏了一些宝石.每天早上他们都要聚在一起，重新分配宝石.分配的 规则就是：宝石最多的人分给其他三人每人1颗.如果第1天早上分配完之后，甲、乙、丙、 丁四人各有10、7、5、4颗宝石，那么第100天早上分完宝石后，四个人手中各有几颗宝石? 一辆公共汽车在一条公路上行驶，公路上依次有6个汽车A,B,C,D,E,F.汽车从A出 发，每到一站即停车，到达F 后又沿原路返回，仍是每到一站都停车，到达A 后再返回， ……, 如此往返行驶.如果从汽车出发后算起，每连续停车8次便需要在最后停车的那站加油，那么 汽车在第2013次停车前的上一次加油是在哪站? 哈雷彗星 哈雷彗星是最著名的短周期彗星，每隔75或76年就能从地球上看见，哈雷彗星是 唯一能用裸眼直接从地球看见的短周期彗星，也是人一生中唯一可能以裸眼看见两次的 彗星.这颗彗星的周期最早是英国人爱德蒙 · 哈雷测量出来的，因此这颗彗星就以他为名. 1695年，已是皇家学会书记官的哈雷开始专心致志地研究彗星.他从1337年到1698 年的彗星记录中挑选了24颗彗星，用一年时间计算了它们的轨道.发现1531年、1607 年和1682年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，虽然经过近日点的时刻有一年之差， 但可能解释为是由于木星或土星的引力摄动所造成的.一个念头在他脑海中迅速地闪过： 这三颗彗星可能是同一颗彗星的三次回归.但哈雷没有立即下此结论，而是不厌其烦地 向前搜索，发现1456年、1378年、1301年、1245年， 一直到1066年，历史上都有大彗 星的记录. 在哈雷生活的那个时代，还没有人意识到彗星会定期回到太阳附近.自从哈雷产生 了这个大胆的念头后，便怀着极大的兴趣，全身心地投入到对彗星的观测和研究中去 了.在通过大量的观测、研究和计算后他大胆地预言，1682年出现的那颗彗星，将于1758 年底或1759年初再次回归.哈雷作出这个预言时已近50岁了，而他的预言是否正确， 还需等待50年的时间.他意识到自己无法亲眼看见这颗彗星的再次回归，于是，他以种 幽默而又带点遗憾的口吻说：如果彗星根据我的预言确实在1758年回来了，公平的后人 大概不会拒绝承认这是由一位英国人首先发现的. 在哈雷去世10多年后，1758年底，这颗第一个被预报回归的彗星被一位业余天文学 家观测到了，它准时地回到了太阳附近.哈雷在18世纪初的预言，经过半个多世纪的时 间终于得到了证实.后人为了纪念他，把这颗彗星命名为“哈雷彗星”. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第5讲 快刀斩乱麻 · 模块一 爬楼梯 · 模块二 锯木头 · 模块三 排队问题 例1 小马虎从1层开始爬楼梯，且速度保持不变。他爬到5层用了7分钟.又过了21分钟，他爬到几层? 练1 小高从1层开始向上爬，且速度保持不变，他爬到3层用了3分钟。请问小高从5层爬到11层要用几分钟? 例2 萱萱和墨莫去王老师家玩，王老师住在15层.两人同时从一楼往上走，速度都保持不变，当萱萱走到第3层的时候，墨莫恰好到了第5层.那么当墨莫走到王老师家的时候，萱萱到了几层? 练2 阿呆和阿瓜比赛走楼梯，且各自速度保持不变，他们都从1层开始走，当阿呆走到4层的时候 阿瓜刚走到3层.请问：当阿呆走到16层时候，阿瓜走到第几层? 例3 王老师想自己做一套家具.他每锯断木头一次所花的时间相同.他先把4根木头每根锯成3段， 共用了24分钟.请问：如果要把另外8根木头每根锯成6段，共需要几分钟? 练3 吝啬鬼总喜欢把一条面包分成好多段吃，他把一条面包分成5段用了20秒，请问：若以同样的 速度，他要把同一条面包分成4段要用多少秒? 例4 550个乌龟排成一列，乌龟“慢慢”是从前往后数的第40只，而乌龟“吞吞”是从后往前数的第32 只，请问：这两只乌龟之间有多少只乌龟? 练4 一群羊站成一排，喜羊羊是从前往后数的第10只，也是从后往前数的第10只，请问：共有多少只羊? 挑战极限 班里一共有42名学生，做游戏站成一圈.从班长萱萱为起点开始数.请问： (1)如果墨莫是顺时针数的第26个，小高是顺时针数的第17个，那么墨莫与小高间有多少名 同学? (2)如果墨莫是顺时针数的第13个，小高是逆时针数的第27个，那么墨莫与小高间有多少名 同学? 甲、乙、丙三人锯同样粗细的木棍，分别领取8米、10米、6米长的木棍，要求都按2米的规 格锯开.在相同的时间内，甲、乙、丙分别锯了24、25、27段，请问：锯木头速度最快的比速 度最慢的多锯多少次? 面包 埃及奴隶睡着了，发明了面包. 传说公元前2600年左右，有一个为主人用水和生面粉做饼的埃及奴隶， 一天晚上， 饼还没有烤好他就睡着了，炉子也灭了.夜里，生面饼开始发酵，膨大了.等到这个奴隶 一觉醒来时，生面饼已经比昨晚大了一倍.他连忙把面饼塞回炉子里去，他想这样就不 会有人知道他活还没干完就大大咧咧睡着了.饼烤好了，它又松又软.也许是生面饼里 的面粉、水或甜味剂(或许就是蜂蜜)暴露在空气里的野生酵母菌或细菌下，当它们经过 了一段时间的温暖后，酵母菌生长并传遍了整个面饼.埃及人继续用酵母菌实验，成了 世界上第一代职业面包师. 虽然世界各国民众普遍食用面包，但是，从历史发展进程和饮食习惯来看，以面包为 日常主要碳水化合物食物来源的国家还是集中在欧洲、北美、南美、澳洲、中东以及曾经 经历欧洲殖民主义统治的亚洲、非洲的一些国家. 数独大作战 星耀★★★★★ 8分钟 钻石★★★★ 10分钟 黄金★★★ 15分钟 白银 ★★ 20分钟 青铜 ★ 30分钟 第6讲 长度单位 · 模块一 单位换算 · 模块二 单位换算的应用 · 模块三 计算路程 我们之前学习过测量，并且认识了部分长度单位，它们分别是米、分米、厘米和毫 米.这四个单位之间的换算关系如下： 1米=10分米，1分米=10厘米，1厘米=10毫米. 今天我们来学习新的长度单位：千米，在计量较长的长度时可以用到千米，比如北京和天津之间的距离是122千米，再比如汽车行驶的路程是20千米等等，公里是千米的另一种叫法.千米和米的换算是：1千米=1000米. 例1 单位换算. (1)4千米=( ) 米 ； (2)7000米=( )千米； (3)6000米-5000米=( )千米； (4)7千米-5千米= ( ) 米 . 练1 请在口内填入“>”、“<”或“=”.请问： (1)5千米□50米； (2)3千米+2千米□5000米. 例2 有一根长2千米的电线，先剪去1千米，请问： (1)还剩多少千米? (2)再剪去50米，还剩多少米? 练2 有一根长1米的彩带，先剪去2分米， (1)还剩多少分米? (2)再剪去30厘米，还剩多少厘米? 例3 小高从家出发先到超市再到邮局最后到学校，请问：他一共走了多少米? 练3 墨莫从A 地去D 地又返回到A 地，请问：他一共走了多少千米? 例4 高爷爷每天从家步行50分钟到菜市场，他每分钟走100米.请问：高爷爷家距离菜市场有多少 千米? 练4 汽车从码头驶向市区一共要2小时，汽车时速是每小时50千米，请问：码头距离市区多少千米? 挑战极限 在括号里填上合适的长度单位，使等式成立. (1)1( )-9( )=1( ); (2)1( )-99( )=1( ); (3)1( )-999( )=1( ). 小高早上6点出发，每小时走1000米，走了2小时后变速为每小时2000米，12点到达超市， 请问：小高一共走了多少千米? 千米 千米又称公里，是长度单位，通常用于衡量两地之间的距离.是一个国际标准长度 计量单位，符号km, 这源自于kilometre这个英文.kilo是 千 ，metre 是米，千米自然就 是 kilometre. 1千米(公里)=1000米(公尺)=10000分米=100000厘米(公分)=1000000毫米 (公厘). 【这里的英文单词是英式的，美式的是kilometer和meter, 请同学不要混淆】 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第8讲 植树问题 · 模块一 直线上植树 · 模块二 交叉路口植树 · 模块三 环形路线植树 植树问题是间隔问题中重要的一种，像这样间隔数目和端点数目不同的情况我们 在日常生活中会遇到很多，这一讲我们就主要来解决这类问题. 对于植树问题而言，主要分为两类，第一类是直线上的植树问题，第二类是环线上 的植树问题.下面先来讲讲直线上的植树问题. 对于一条线段来说，两边的端点是特殊的地方，需要尤其注意. 例1 (1)马路的一侧种树，且两端种树。若每隔5米种一棵树，马路长30米，问要种几棵树? (2)马路的两侧种树，且两端种树.若每隔5米种一棵树，共种20棵树，问马路有多长? 练1 道路的两侧插红旗，且两端也要插上红旗.若每隔6米插一面，马路长24米.请问：有几面旗? 例2 马路的一侧安路灯. (1)一端有路灯，另一端没有.若每隔4米安一盏灯，马路长40米，问安几盏灯? (2)两端都没有路灯.若每隔6米安一盏灯，共有12盏灯，问马路有多长? 练2 马路的两侧种树，且两端不种。若每隔3米种一棵树，马路长30米，问要种几棵树? 例3 有如图三条马路.现在要在马路的一侧种树，且每条马路的两端都种树.已知北路长40米，东 路和西路分别长80米.每隔5米种一棵树，问共种几棵树? 练3 在如图两条马路的一侧安路灯，且每条马路的两端都没有路灯.若每隔9米安一盏路灯， 一共 安了20盏路灯.已知北路长81米，问西路长多少米? 除了一条直线上的间隔问题之外，环形的排列也会存在间隔，先来看一个示意图： 2端点2间隔 3端点3间隔 4端点4间隔 5端点5间隔 从图中不难看出，在环形上间隔数和端点数是相同的. 例4 学校有一个圆形水池， (1)水池外的周长为40米.如果绕着水池每隔4米种一棵树， 一共要种几棵树? (2)水池内的周长为30米.如果绕着水池内共有10个换水孔，且相邻两个换水孔的距离相等， 问相邻的两个换水孔间的距离是多少米? 练4 体育场外一周共有1000米，绕着体育场的一周有灯和树木， (1)如果每两盏灯之间的距离是5米，问体育场外一周有几盏灯? (2)如果体育场外一周共有250棵树，且相邻两棵树的距离相等，问相邻两棵树的距离是多少? 挑战极限 10个男生沿着300米的跑道站成一圈，并且相邻两人之间的距离都相等.现在，每相邻两个男 生之间又加入了两个女生，相邻两人之间的距离还是相等.请问：一共加入了多少个女生?加 入女生后，相邻两人之间的距离又是多少米? 如下图所示，有一个长方形的“田”字道路，整个长方形的长为100米、宽为70米.现在需要在 所有道路上种树，相邻两棵树之间的距离都相等，而且可以拐弯的地点(顶点或中点)都要种上 树，那么最少要种多少棵树? 植树节 植树节”是一些国家以法律形式规定的以宣传森林效益，并动员群众参加造林为活动 内容的节日.按时间长短可分为植树日、植树周或植树月，总称植树节.通过这种活动， 激发人们爱林、造林的感情，提高人们对森林功用的认识，促进国土绿化，达到爱林护林 和扩大森林资源、改善生态环境的目的.是为了动员全民植树而规定的节日.1979年2 月23日，中国第五届全国人大常务委员会第六次会议决定，以3月12日为中国的植树 节，以鼓励全国各族人民植树造林，绿化祖国，改善环境，造福子孙后代. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第9讲 和差倍问题 · 模块一 整倍问题 · 模块二 非整倍问题 · 模块三 和差问题综合 例1 纺织厂有职工480人，其中女职工人数是男职工人数的3倍，请问：男、女职工各有多少人? 练1 某小学有学生共1500名，其中男生人数是女生的2倍，请问：男、女生各有多少人? 例2 交通协管员一个月一共开出78张罚单.这些罚单有两种：一种是违章停车，一种则是闯红灯.违章停车的罚单比较多，比闯红灯罚单数量的4倍还多3张.请问：违章停车的罚单共有多少张? 练2 卡莉娅和小山羊一共有92颗糖，卡莉娅的糖果数量比小山羊的3倍多4颗，请问：卡莉娅有多少颗糖? 例3 果园中梨树和苹果树共有67棵，梨树比苹果树的2倍少2棵，请问：苹果树有多少棵? 练3 文具店里有圆珠笔和钢笔共76支，圆珠笔比钢笔的3倍少4支，请问：圆珠笔有多少支? 例4 小高和墨莫一共有40元，其中小高比墨莫少14元，请问：墨莫有多少元? 练4 妈妈比爸爸小2岁，他俩的年龄加起来正好是70岁，请问：妈妈多少岁呢? 挑战极限 阿呆和阿瓜共有56根玉米.若阿呆给阿瓜5根，则阿呆比阿瓜少2根.请问：原来阿呆和阿瓜 各有多少根? 登月行动地面控制室的成员由两组专家组成，两组共有专家125名.原来第一组专家人数太多， 所以从第一组调了20名专家到第二组，即使这样第一组仍比第二组多5名.原来第一组有多少名专家? 人类登月历史 月球是地球最亲密的邻居.多少个夜晚，当人类仰望夜空时，银色的月亮总是让无数 人浮想联翩.关于月亮的神话和传说也数不胜数.在20世纪，人类终于登上了月球，揭 开了月球神秘的面纱. 50年代末，苏联和美国的太空站愈演愈烈.苏联发射卫星，建立太空空间站，取得 了一系列巨大成就.美国不甘落后，也在1961年5月25日向全世界宣布实施宏伟的载 人登月计划.1969年7月21日，“阿波罗”11号宇宙飞船的登月成果向民用转移，带动 了整个科技的发展与工业的繁荣，其二次开发应用的效益，远远超过“阿波罗”计划本身所 带来的直接经济与社会效益.总之，载人登月对人类社会发展具有重要的推动作用. 此后，各国也纷纷宣布登月计划.随着航天实力逐渐增强，中国的登月计划也顺势推 出，一共分三步进行：第一步，发射太空实验室和寻找贵重元素的月球轨道飞行器；第二 步，实现太空机器人登月；第三步，载人登月.北京时间2007年10月24日18时05分 左右，嫦娥一号月球探测卫星成功发射，运行良好，标志着我们国家的首次月球探测工 程圆满成功. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第10讲 归一问题 · 模块一 单位量、多倍量互化 · 模块二 多倍量到多倍量 · 模块三 设份数 · 模块四 倍比法 例1 汽车厂每名工人每天生产汽车零件6个.按照这样的速度，10名工人3天能生产多少个零件?如果要用5天的时间生产出300个零件，那么需要多少名工人? 练1 每人每小时能包125个饺子.按照这样的速度，8个人5小时能包多少个饺子? 例2 牛吃草，6头牛5天吃90捆草，按照这样的速度，8头牛3天吃多少捆草?多少头牛10天吃60 捆草? 练2 鲨鱼吃小鱼，4条鲨鱼3分钟吃1200条小鱼，按照这样的速度，5条鲨鱼8分钟吃多少条小鱼? 例3 一艘远洋轮船上共有30名海员，船上的淡水可供全体船员用40天.轮船离港10天后在公海上救起15名遇难的外国海员.假如每人每天使用的淡水同样多，剩下的淡水可供船上的人再用多少天? 练3 某油库里有一定量的汽油，可以供20辆出租车用35天，但在这些车用了10天后又从别的地方 调来了5辆出租车共同使用这些汽油，那么剩下的油还能用几天? 例4 3只猴子3天吃3个桃子，按照这样的速度，6只猴子6天能吃几个桃子?9只猴子要吃9个桃子，需要多少天? 练4 2只猫2天能抓2只耗子，按照这样的速度，请问：4只猫4天能抓几只耗子? 挑战极限 9个工人6天制作了12件衣服，按照这样的速度.请问：3个工人3天可以制作多少件衣服? 21个工人12天可以制作多少件衣服? 老李从批发市场以6元钱3千克的价格买进一些柚子，然后以5元2千克的价格卖出去，请问： 要想获利180元，需要买进多少千克柚子? 3只猫真的够了吗? “3只猫3分钟抓住3只老鼠，那么,100分钟抓100只老鼠需要几只猫?” 这是一个很著名的问题.许多同学学了归一法后，在遇到这个问题时，都会这么想： 3只猫3分钟抓3只老鼠，那3只猫1分钟就能抓1只老鼠，这样一来，它们100分钟 恰好就能抓住100只老鼠.所以需要3只猫就够了! 这是通常的回答，但是3只猫真的够了吗?其实，按题目的说法，虽然能保证3只 猫在3分钟内抓住3只老鼠，但并不能保证它们每分钟恰好都抓住1只老鼠.因此，按 题目的条件，比较恰当的推理应该是：3只猫6分钟抓住了6只老鼠，9分钟抓住了9只 老鼠，99分钟抓住了99只老鼠. 问题就在剩下的第100只老鼠.如果3只猫共同追这只老鼠，确实能像预期中的在 1分钟内抓住它.但是，按照生活常识，我们知道猫总是独自追赶，绝不会成群结队地追 赶自己的猎物.即使有3只猫在场，也只可能是1只猫在追赶这只老鼠，而这1只猫又 未必能在1分钟内抓到老鼠. 所以只有3只猫是不能保证在100分钟内抓到100只老鼠的，至少要有4只猫才 行.不过，其中1只猫只要抓住1只耗子，就可以睡大觉了. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第11讲 鸡兔同笼 · 模块一 基本假设法 · 模块二 隐藏头和问题 例1 中国古代的数学著作《孙子算经》中记载了这样的一道题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下 有九十四足，问雏兔各几何?”这四句的意思就是：有一些鸡和兔在同一个笼子里，从上面看有 35个头，从下面看有94条腿。请求出笼中的鸡和兔各有几只 练1 有一些鸡和兔在同一个笼子里，从上面看有21个头，从下面看有48条腿。请求出笼中的鸡和兔各有几只. 例2 有一些三脚猫和五脚猪在同一个笼子里，从上面看有12个头，从下面看有50条腿。请求出笼中的三脚猫和五脚猪各有几只. 练2 有一些独脚鸡和三脚猫从上面看有12个头，从下面看有28条腿。请求出笼中的独脚鸡和三脚猫各有几只。 例3 同学们去游乐场游玩，老师用500元钱买了套票和普通票两种门票，普通票10元一张，套票20元一张，共买了35张.请问：两种门票各买了多少张? 练3 王东东老师买包子，肉包子8角一个，菜包子6角一个，结果花了8元买了12个包子.请问：他买了几个肉包子? 例4 班主任黄老师和班上的50名同学举行中秋晚会.黄老师吃了5块月饼，男生每人吃了4块，女生每人吃了2块，最后一共吃了135块月饼。请问：班上有多少名男生，有多少名女生? 练4 孙悟空带着猴子们摘桃子， 一共有15只猴子(包括孙悟空自己),他自己摘了35个桃子，而每只大猴子摘了14个桃子，每只小猴子只摘了10个桃子，结果一共摘了199个桃子.请问：大、 小猴子各有几只? 挑战极限 松鼠妈妈采松子，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个.它一连几天采了112个松子， 平均每天采14个.请问：这些天里有几天是雨天? 超市里，水果糖每千克卖20元，奶糖每千克卖25元，巧克力糖每千克卖30元.某天上午，这 三种糖一共卖了20千克，总收入是480元.已知奶糖和巧克力糖总共卖了300元，其中卖出奶 糖多少千克? 孙子算经续 现在传本的《孙子算经》共三卷.卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法 则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法.卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼” 题的始祖，后来传到日本，变成“鹤龟算”.书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三 十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?“这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼 子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔?此题被 选入人教版数学五年级(上册)第七单元. 具有重大意义的是卷下第26题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三， 七七数之剩二，问物几何?答曰：‘二十三”.《孙子算经》不但提供了答案，而且还给 出了解法.南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物 不知数”的问题.德国数学家高斯于公元1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上 述定理.公元1852年，英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》“物不知数”问题的解法传 到欧洲，公元1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将 这一个定理称为“中国的剩余定理”.另外还有一道，曰：“巍巍古寺在山林，不知寺内几 多僧.三百六十四只碗，看看用尽不差争.三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹.请问先生 明算者，算来寺内几多僧. ” 第12讲 分组法求解鸡兔同笼问题 · 模块一 相等或多几只 · 模块二 头倍腿和 · 模块三 头倍腿差 例1 鸡兔同笼，鸡和兔子一样多，兔子和鸡的腿数总和为30,请问：鸡和兔子各有几只? 练1 鸡兔同笼，鸡和兔子一样多，一共有90条腿。请问：鸡和兔子各有几只? 例2 鸡兔同笼，兔比鸡多10只，兔子和鸡的腿数总和为100,请问：鸡和兔子各有几只? 练2 “六一”儿童节，老师为全班学生准备午餐，每个男生3个面包，每个女生2个面包.班上男生比女生多2人，老师一共准备了86个面包.请问：班里有几个男生?几个女生? 在进行分组的时候，并不是一定要把1只鸡和1只兔子分为一组，而是应该根据 题目条件来决定如何分组，关键要注意的是每组的“头”数和“腿”数.比如把1只鸡 和2只兔子“捆”在一起，那么一“捆”就有3个头和10条腿，两“捆”就有个2×3=6 头和2×10=20条腿.在决定如何分组时，鸡和兔子的倍数关系往往是非常重要的依据. 例3 鸡兔同笼，鸡的数量是兔子的3倍，兔子和鸡的腿数总和为110,请问：鸡和兔子各有几只? 练3 鸡兔同笼，兔子的数量是鸡的2倍，两种动物一共有80条腿。请问：兔子有几只? 例4 鸡兔同笼，兔子比鸡的3倍多3只，总共152条腿。请问：鸡和兔子各有几只? 练4 有一群狗追一群鸭子，狗比鸭子的2倍多1只，总共124条腿。求狗和鸭子各有几只? 挑战极限 同学们吃苹果，男生比女生的4倍少3人.每个男生吃3个苹果，每个女生吃2个苹果，总共 吃了131个苹果.求男生和女生各有几人. 河边有一群狗追一群鸭子，鸭子的数量是狗的4倍，鸭子的总腿数比狗的总腿数多20条，请问： 狗和鸭子各有多少只? 鹤龟算 龟和鹤在东方文化中都是长寿的象征，我国更是有着“龟鹤遐寿”等等很多表示长寿 的成语，在民间也经常能见到一些以龟和鹤为题材的剪纸作品.而在我们的近邻日本， 也有一类称之为“鹤龟算”的数学问题，是日本传统数学— “和算”的重要组成部分. 例如：“金沙滩上有鹤龟共15只，腿共有48条.鹤龟各有多少只?”不难看出其实 这个问题就是我们所说的鸡兔同笼问题.鹤与鸡一样，都是一个头两条腿，而龟与兔相 同，都是一个头四条腿。在解决鹤龟算时，日本古代数学家给出的也一样是“假设法”,即 假设全是龟或者全是鹤，然后再进行调整以求得结果. 其实“鹤龟算”就是从我国古代的鸡兔同笼问题变化而来的.早在我国的隋唐时期以 前，《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《缀术》等几部重要的数学著作已经通过各 种途径传入了日本，“鹤龟算”以及和算中的许多问题都是从其中记载的各种数学问题衍 生出来的. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第13讲 过桥与租车问题 · 模块一 过桥问题 · 模块二 租车问题 例1 看图，回答问题 这座桥的承重正好是1吨. 280 千克 620 千克 160 千克 160 千克 240 千克 800 千克 460 千克 (1)大象要带猪一同过桥可以吗? (2)马能驮着两桶水过桥吗? 练1 看图，回答问题. (1)羊和马一同过桥可以吗? (2)这四只动物可以同时过桥吗? 例2 煤场共有12吨煤准备租车运走.现有载重量3吨的小车和载重量4吨的大车两种车型可选，如 果每辆车都放满，可以怎么租车? 练2 共有9人准备租船去划船.现有限乘2人的小船和限乘3人的大船两种船型可选，如果每条船都坐满，可以怎么租船? 例3 煤场共有28吨煤准备租车运走.现有载重量8吨的小车和载重量10吨的大车两种车型可选.如果每辆车都放满，且租一辆大车120元，一辆小车100元，那么一共要多少元? 练3 三年级(2)班师生共有22人准备租车去参观.现有限乘6人的小车和限乘8人的大车两种车型可选.如果每辆车都坐满，且租一辆大车130元，一辆小车100元，那么一共要多少元? 例4 煤场共有40吨煤准备租车运走.现有载重量8吨的小车和载重量10吨的大车两种车型可选.如果每辆车都放满，请问： (1)可以怎么租车? (2)租一辆大车200元，一辆小车180元，最少一共花多少元? 练4 三年级(2)班师生共有24人准备租车去参观.现有限乘6人的小车和限乘8人的大车两种车型可选.如果每辆车都坐满， (1)可以怎么租车? (2)租一辆大车120元， 一辆小车100元，最少一共花多少元? 挑战极限 一架桥的载重量是1吨， 一只羊和一只大象一共重800千克， 一只大象比一只羊多600千克，一头牛重600千克，请问： 一头牛和一只羊可以一起过桥吗? 兰兰有5元和2元的两种人民币各10张，她要从中拿出28元，有几种拿法? 载重量 载重量，又称总载重量，是表示船舶所具有载重能力的指标。船舶载重量是满载排水 量和空船排水量之差值，用吨位表示. 载重量的计算公式如下：载重量=满载排水量—空船排水量. 对一般船舶来说，载重量与船舶排水量大小有关，排水量越大，载重量越大.载重量 包括货物、燃料、储备品、船员和乘客的船舶装载总重量.载重量对于货运船舶来说是一 个重要指标，载重量越大，装载的货物越多，运输能力越大. 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 第14讲 文氏图 · 模块一 认识文氏图 · 模块二 不带框的文氏图计算 · 模块三 带框文氏图计算 例1 运动会有跳高和跑步两项，下面是三年级一班同学的报名表： 跑步 大头 阿呆 阿瓜 小高 墨莫 萱萱 跳高 萱萱 卡莉娅 大头 墨莫 小山羊 阿呆 (1)请将这些学生写在下面的文氏图里： (2)参加跑步的有多少人? (3)参加跳高的有多少人? (4)既参加跑步又参加跳高的有多少人? 练1 运动会有跳绳和踢毽两项，下面是三年级二班同学的报名表 (1)请将这些学生写在下面的文氏图里： (2)参加跳绳的有多少人? (3)参加踢毽的有多少人? (4)既参加跳绳又参加踢毽的有多少人? 例2 某班每人都至少订阅了一种报纸，其中订阅《数学报》的有12人，订阅《故事报》的有19人， 两种报纸都订的有5人，请回答下面的问题： (1)请填写下图. (2)班上一共有多少人? 练2 老师统计学生喜欢羽毛球、网球的情况，喜欢羽毛球的有5人，喜欢网球的有9人，两种都喜 欢的有1人，每人都至少喜欢一样运动，请问一共统计了多少人? 例3 三年级(1)班40人参加歌唱和舞蹈演出，每人都至少参加了一项演出，其中有30人参加了歌 唱演出，有19人参加了舞蹈演出，请问有多少人两项节目都参加了? 练3 17个小朋友参加了猜灯谜和写春联活动，每人都至少参加了一个活动，其中有15人参加了猜灯谜活动，有11人参加了写春联活动，请问有多少人两个活动都参加了? 大家都已经学会了文氏图的每个区域所表示的含义，而在实际生活中，有的人喜 欢打羽毛球，有的人不喜欢打羽毛球，那么不喜欢的这部分在文氏图中怎么表示呢? 下图中蓝色区域表示的是喜欢打羽毛球，而黄色区域表示不喜欢打羽毛球，整体的方 框代表是所有的人. 如下图所示，绿色区域表示只喜欢羽毛球，红色区域表示只喜欢网球，蓝色区域表 示既喜欢羽毛球又喜欢网球，左侧圆形表示喜欢羽毛球，右侧圆形表示喜欢网球，黄色区域表示既不喜欢羽毛球又不喜欢网球. 练一练并选择正确的选项填在横线上： (1) 区域表示只喜欢篮球. (2) 区域表示只喜欢足球. (3) 区域表示既喜欢篮球又喜欢足球. (4) 区域表示既不喜欢篮球又不喜欢足球. A.绿色 B. 红色 C.蓝色 D.黄色 例4 修理厂共有100名工人，其中会修汽车的有16人，会修自行车的有40人，既会修汽车又会修自行车的有5人，请问既不会修自行车也不会修汽车的有多少人? 练4 工厂里有50名工人，其中电工有12人，木工有20人，既是电工又是木工的有5人，请问既不 是电工又不是木工的有多少人? 挑战极限 一次测试有两道题目，答对第一题的有26人，答对第二题的有18人，两题都答对的有9人， 两题都没有答对的有4人，一共有多少人答题? 一次测试有两道题目，一共有60人答题，答对第一题的有20人，答对第二题的有40人，两题 都答对的有5人，两题都没有答对的有多少人? 数独大作战 星耀★★★★★ 3分钟 钻石★★★★ 5分钟 黄金★★★ 8分钟 白银 ★★ 10分钟 青铜 ★ 15分钟 $$