第二十一章 一元二次方程 章末小结与复习（一）（基础练+提升练+拓展练）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 章末小结与复习（一）（基础练+提升练+拓展练）（解析版） 知识点1：一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 要点诠释： 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 考点针对练1： 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 【详解】解：A、当时，方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B、含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； C、是一元二次方程，故本选项符合题意； D、不是整式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解本题的关键． 将方程整理成一元二次方程的一般形式，确定各项系数、、的值． 【详解】解：原方程为， 展开左边得， 移项，得， 方程化简为， 可得，，， 故选：B． 3．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，先将方程化为一般形式，然后写出一次项系数解答即可． 将方程整理为一般形式，确定一次项系数。 【详解】解：原方程化为一般式为 此时二次项系数为2，一次项系数为， 故选：B． 4．若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义得到，求解即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程， ∴， 解得， 故答案为：1． 知识点2：解一元二次方程（重点） 方法一：直接开平方法（最基础的解法） 概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 要点诠释： 1)若b0，方程有两个实数根。 （若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根） 2)若b<0，方程无解。 方法二：配方法（最基础的解法） 配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” 用配方法解一元二次方程的一般步骤 · 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； · 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； · 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 要点诠释： 1）当时，方程无解 2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” · 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 方法三：公式法（常用解法） 一元二次方程 根的判别式： · 方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点 · 方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点 · 方程无实根的图像与轴没有交点 用公式法解一元二次方程的一般步骤： · 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); · 求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; · 如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： · 最后求出x1，x2 方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用） 用因式分解一元二次方程的一般步骤： · 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； · 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； · 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； · 求解 要点诠释： 右化零，左分解，两因式，各求解 考点针对练2： 1．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，因式分解法解一元二次方程，解题关键是掌握一元二次方程的解法． （1）利用配方法求解； （2）、（3）利用因式分解法求解； 【详解】（1）解：， 移项，得， 两边同加上4，得， 即， 开平方，得， 解得：，； （2）， 方程左边因式分解，得， 所以或， 解得：，； （3）， 移项，得， 方程左边因式分解，得， 所以或， 解得：，． 2．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元二次方程的方法，掌握解一元二次方程方程的基本方法，是利用整体换元法解方程的关键． （1）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． （2）根据“整体换元法” 设，则原方程可化为：，解新的一元二次方程，解出未知数后代入即可求解原方程的解． 【详解】（1）解：设， 则原方程可化为，解得． 当时，； 当时，，此方程无解． 综上所述，原方程的解为． （2）解：设，则原方程可化为， 解得． 当时，； 当时，． 综上所述，原方程的解为． 3．阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，掌握各类求解方法是解题关键． （1）由题意得， 推出或，即可求解； （2）两边同时平方得：，解得：，；结合且，即可求解． 【详解】（1）解： 因式分解，得， ∴或； 即：或， 解得：，； （2）解：两边同时平方得：， 整理得：； 解得：， ∵且， ∴ ∴原方程的解为． 4．嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 【答案】(1)， (2)9 (3) 【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根，再利用根的判别式，求出的取值范围，即可解答； （3）利用配方法解方程即可． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， 解得：，， ∴方程的解为，； （2）解：设“□”表示的字母为，则一元二次方程有实根， ∴， 解得：， ∴的最大值为9， 即字母“□”的最大值为9； （3）解：由题意得，， ∴， 解得：， ∴方程的解为． 知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1.一元二次方程 根的判别式： 方程有两个不相等的实根 方程有两个相等的实根 方程无实根 2.我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系： +＝； ＝ 要点诠释： 1)韦达定理仅适用于二次方程，且必须是方程有根，与一元一次方程无关 ，即一元二次方程ax2+bx+c=0中，⊿≥0，且a≠0 2)计算时需注意符号和系数的对应关系，避免混淆. 考点针对练3： 1．已知，且有，则的值等于 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，将变形，得到是的两根是解题的关键．将两边同除以，即可得是的两根，根据根与系数的关系，即可解答． 【详解】解：当时，不成立，故， 两边同除以后，可得， ∵，即， 可以看作是的两根， ， 故答案为：． 2．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整体代换求代数式的值，一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系；掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程的解及一元二次方程根与系数的关系得，，，可得，代入求解即可． 【详解】解：a，b是方程两个不相等的实数根， ，，， ， ， 故答案为：． 3．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)； 【答案】(1)2，； (2)16． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：； （2）解：． 4．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及根与系数的关系；能熟练利用一元二次方程根的判别式及根与系数的关系进行求解是解题的关键． （1）由根的判别式得，即可求解； （2）由根与系数的关系得，，代入，即可求解． 【详解】（1）解：∵方程有实数根， ∴， ∴， 解得：； （2）解：∵方程两实数根分别为，， ∴， ， ∵， ∴， ， 解得：（舍去）或， ∵， ∴． 5．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 知识点4： 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： · “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； · “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； · “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 · “解”就是求出说列方程的解； · “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 要点诠释： 一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 考点针对练4 1．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染8个人 (2)患病的人数会超过700人 【分析】（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据经过两轮传染后共有81人患了这种传染病即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据经过三轮传染后患病的人数=经过两轮传染后患病的人数+经过两轮传染后患病的人数×8，即可求出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染x个人， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：，不合题意，舍去 答：每轮传染中平均一个人传染8个人． （2） 三轮感染后，患病的人数为（人 ∵， 患病的人数会超过700人． 答：患病的人数会超过700人 2．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 【答案】(1) (2)20万元 【分析】本题考查一元二次方程解应用题，涉及直接开平方法解一元二次方程、十字相乘法分解因式解一元二次方程等知识，读懂题意，找准等量关系列方程求解是解决问题的关键． （1）设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则，直接开平方求解即可得到答案； （2）设下调后每辆汽车降低万元，由等量关系列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为， 则， ， 则或， 解得（负值不符合题意，舍去）， 答：1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率为10%； （2）解：设下调后每辆汽车降低万元， 则， 整理得， ， 则或， 解得， 此次销售尽量让利于顾客， 应取， （万元）， 答：下调后每辆汽车的售价为20万元． 3．如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． (1)求证； (2)若，的面积为，求菱形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到，，根据垂直的定义得到，进而推出，得到，再利用等边对等角即可证明； （2）根据菱形的性质得到，，根据直角三角形的性质得到，得到，通过证明是等边三角形，利用等边三角形的面积公式求出的边长，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长，再利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：∵菱形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， 设等边的边长为， ∵的面积为， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， 解得：（负值已舍去）， ∴，， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、含30度角的直角三角形的性质、一元二次方程的应用，掌握相关知识点是解题的关键． 4．【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【答案】； ； 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 【分析】本题主要考查了数字与图形的规律、解一元二次方程，解决本题的关键是根据数字与图形的规律得到关于的一元二次方程． 根据图案中“▲”的个数的变化规律得到第个图案中“▲”的个数即可； 根据图案中“★”的个数的变化规律得到第个图案中“★”的个数即可； 根据图案中“▲”的个数的变化规律和“★”的个数的变化规律得到关于的一元二次方程，解方程求出即可． 【详解】解：第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为， 第个图案中，“▲”的个数为； 故答案为：； 解：第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， 第个图案中，“★”的个数为， ， 第个图案中，“★”的个数为； 故答案为：； 设第个图案中“▲”的个数的倍比“★”的个数多， 根据题意可得：， 整理得：， 解得：或， 当或时，“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 5．为巩固脱贫攻坚成果，实现乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/（元/件） … 55 60 70 … 销售量y/件 … 75 70 60 … (1)求y与x之间的函数关系式． (2)销售期间，能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价；若不能，请说明理由． 【答案】(1)y与x之间的函数关系式为； (2)每天的销售利润不能达到1650元，理由见解析． 【分析】此题考查了一次函数和一元二次方程的实际应用，利用待定系数法求出函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）根据题意列出一元二次方程，利用根的判别式判断方程根的情况即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式是（）， 将，代入， 得 解得 y与x之间的函数关系式为． （2）解：每天的销售利润不能达到1650元． 理由：若每天的销售利润为1650元，根据题意，得， 整理，得， ， 该方程没有实数根， 每天的销售利润不能达到元． 6．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 【答案】(1)小凤的跑步速度为每分钟； (2)小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【分析】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分．根据小鸣的跑步时间小凤的跑步时间列分式方程求解即可； （2）设小凤从地到地用时分钟，根据前30分钟消耗的热量分钟后的热量列方程解答即可． 【详解】（1）设小鸣的跑步速度为每分钟，则小凤的跑步速度为每分， 根据题意，得， 解得， 经检验是原方程的解， 原方程的解为， ∴小凤的跑步速度为每分钟， 答：小凤的跑步速度为每分钟； （2）由（1）知，小凤的跑步速度为每分， 则小凤从地到地所用时间为（分钟）． 设小凤从地到地用时分钟， 根据题意，得， 解得或（舍去）， 则（分钟）． 答：小凤从地到地锻炼共用70分钟． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程与分式方程的应用，读懂题意，找到关键描述语，列出等量关系是解题的关键． 7．如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，一元二次方程的应用，根据题意列关系式是解题的关键． 设相遇时补给船航行了x海里,则海里，由军舰的速度是补给船的倍,它们的时间相同,可得 海里，根据勾股定理可得方程,解方程即可求解． 【详解】解：设相遇时补给船航行了,即． 军舰的速度是补给船的2倍,他们的时间相同, ． , ． 在中，，根据勾股定理可得， 解得，（不合题意，舍去）． 故相遇时补给船航行了． 核心素养练 1．设方程的两根为，则 ． 【答案】 【分析】把原方程整理成一般式，根据一元二次方程根与系数的关系求得，的值，代入即可求解． 【详解】， ， ． ∵，，， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系以及求代数式的值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系，是解题的关键． 2．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意是解题关键． （1）根据图形即可求解； （2）求解方程即可． 【详解】（1）由图示可知：无盖方盒盒底的长为，宽为 故答案为：， （2）由题意得：， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴剪去的正方形边长为 3．请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 【答案】 【分析】设，则原方程可变形为，求出a的值，再将还原，求出x的值即可． 【详解】解：设，则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解； 当时，，解得． 经检验，是分式方程的解． 所以原方程的解是． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解分式方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次的方法和步骤，以及解分式方程的方法和步骤． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若、是方程的两个不相等的实数根，试求的值． 【答案】(1)的取值范围为：且；(2)1 【分析】（1）由关于x的方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，即可得△＞0且1+k≠0，解此不等式组即可求得答案； （2）由α、β是方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，可得α+β=﹣=，α•β=，继而求得答案． 【详解】（1）∵关于x的方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0有两个不相等的实数根，∴△=b2﹣4ac=[﹣（2k﹣1）]2﹣4×（1+k）×（k﹣1）=﹣4k+5＞0，∴k＜． ∵1+k≠0，∴k≠﹣1，∴k的取值范围为：k＜且k≠﹣1； （2）∵若α、β是方程（1+k）x2﹣（2k﹣1）x+k﹣1=0的两个不相等的实数根，∴α+β=﹣=，α•β=，∴2α+2β﹣3α•β=2（α+β）﹣3α•β=2×﹣3×=﹣===1． 【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=，x1x2=． 5．阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．    【答案】(1)-2，1；（2）x=3；（3）4m. 【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论； （2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根； （3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP=10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【详解】解：（1）， ， 所以或或 ，，； 故答案为，1； （2）， 方程的两边平方，得 即 或 ，， 当时，， 所以不是原方程的解． 所以方程的解是； （3）因为四边形是矩形， 所以， 设，则 因为， ， 两边平方，得 整理，得 两边平方并整理，得 即 所以． 经检验，是方程的解． 答：的长为． 【点睛】考查了转化的思想方法，一元二次方程的解法．解无理方程时注意验根．解决（3）时，根据勾股定理和绳长，列出方程是关键． 1．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（　　） A．方程一定有两个不相等的实数根 B．方程一定有两个实数根 C．当k取某些值时，方程没有实数根 D．方程一定有实数根 【答案】D 【详解】原方程可化为：， （1）当时，原方程可化为：，此时原方程是一元一次方程，有实数根； （2）当时，原方程是一元二次方程，此时： △=， ∴此时，原方程有两个实数根； 综上所述，无论k为何值，原方程都有实数根. 故选D. 2．若□ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根. (1)当m为何值时，□ABCD是矩形？求出此时矩形的对角线长？ (2)当□ABCD的一条对角线AC＝2时，求另外一条对角线的长？ 【答案】（1）m=1时，对角线长为0.5 （2）BD＝0.5 【详解】试题分析： （1）由对角线相等的平行四边形是矩形可知，当该方程有两个相等实数根，即△=0时，AC=BD，此时□ABCD为矩形，由△=0列式可求出m的值，再解方程可求得AC、BD的长； （2）由AC=2可知方程的一根是2，代入方程可求得m的值，再解方程可求得另一根，可得BD的长. 试题解析： (1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC=BD时，□ABCD为矩形， ∵AB、AD的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴△=，解得. ∴当时，四边形ABCD是矩形，此时原方程为：， 解此方程得：， ∴此时矩形的两条对角线长都为； (2)把代入原方程得；，解得， 把代入原方程得：，解此方程得：， ∴当AC=2时，，BD=0.5. 考点：（1）矩形的判定；（2）一元二次方程根的判别式；（3）一元二次方程的解法. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 章末小结与复习（一）（基础练+提升练+拓展练） 知识点1：一元二次方程定义及一般形式 概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。 一般形式： ax2+bx+c=0(a≠0)。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。 要点诠释： 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 考点针对练1： 1．下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．把一元二次方程化成一般式，则的值分别是 （    ） A．1，4，1 B．2，，0 C．3，4，0 D．，，1 3．若一元二次方程化成一般形式后二次项的系数是2，则一次项的系数是（   ） A．3 B． C．5 D． 4．若是关于的一元二次方程，则的值是 ． 知识点2：解一元二次方程（重点） 方法一：直接开平方法（最基础的解法） 概念：形如的方程可以用直接开平方法解，两边直接开平方得或者，最后通过解两个一元一次方程得到原方程的解。 要点诠释： 1)若b0，方程有两个实数根。 （若b0，方程有两个不相等的实数根；若b0，方程有两个相等的实数根） 2)若b<0，方程无解。 方法二：配方法（最基础的解法） 配方的过程需注意：若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” 用配方法解一元二次方程的一般步骤 · 移项：使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项； · 二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数； · 配方：方程两边都加上一次项系数一般的平方，把方程化为的形式； 要点诠释： 1）当时，方程无解 2）若方程二次项系数为1时，“方程两边加一次项系数一半的平方” · 求解：判断右边等式符号，开平方并求解。 方法三：公式法（常用解法） 一元二次方程 根的判别式： · 方程有两个不相等的实根:（）的图像与轴有两个交点 · 方程有两个相等的实根的图像与轴有一个交点 · 方程无实根的图像与轴没有交点 用公式法解一元二次方程的一般步骤： · 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值(若系数是分数通常将其化为整数，方便计算); · 求出b2-4ac的值，根据其值的情况确定一元二次方程是否有解; · 如果b2-4ac≥0, 将a、b、c的值代入求根公式： · 最后求出x1，x2 方法四：因式分解法（仔细观察方程，灵活使用） 用因式分解一元二次方程的一般步骤： · 将方程右边得各项移到方程左边，使方程右边为0； · 将方程左边分解为两个一次因式相乘的形式； · 令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程； · 求解 要点诠释： 右化零，左分解，两因式，各求解 考点针对练2： 1．用适当的方法解下列方程 (1) (2) (3) 2．请运用“整体换元法”解方程： (1)． (2)． 3．阅读与思考． 阅读下面材料，并完成相应的任务． 求解二元一次方程组，需要通过消元把它转化为一元一次方程来解；求一元二次方程，需要把它转化为两个一元一次方程来解；求解分式方程，需要通过去分母把它转化为整式方程来解，各类方程的解法不尽相同，但是它们都用到一种共同的基本数学思想——“转化”，即把未知转化为已知来求解．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程． 例如，解一元三次方程，通过因式分解把它转化为，通过解方程和，可得原方程的解为，，． 再例如，解根号下含有未知数的方程：，通过两边同时平方转化为，解得：，，且，不是原方程的解，原方程的解为． 请仔细阅读材料，解下列方程： (1)解方程：； (2)解方程：． 4．嘉嘉准备完成题目：解一元二次方程． (1)若“□”表示常数5，请你求出方程的解． (2)若“□”表示一个字母，且一元二次方程有实根，求字母“□”的最大值． (3)在（2）的条件下，直接写出方程的解． 知识点3：一元二次方程根的判别式及根与系数关系 1.一元二次方程 根的判别式： 方程有两个不相等的实根 方程有两个相等的实根 方程无实根 2.我们将一元二次方程化成一般式ax2+bx+c＝0（a）之后，设它的两个根是和，则和与方程的系数a，b，c之间有如下关系： +＝； ＝ 要点诠释： 1)韦达定理仅适用于二次方程，且必须是方程有根，与一元一次方程无关 ，即一元二次方程ax2+bx+c=0中，⊿≥0，且a≠0 2)计算时需注意符号和系数的对应关系，避免混淆. 考点针对练3： 1．已知，且有，则的值等于 ． 2．若a，b是方程两个不相等的实数根，则代数式的值为 ． 3．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)； 4．已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有实数根，求实数m的取值范围； (2)若方程两实数根分别为，，且满足，求实数m的值． 5．已知关于的一元二次方程有实数根． (1)求的取值范围； (2)方程的两个实数根、满足，求实数的值． 知识点4： 一元二次方程的应用 列一元二次方程解应用题，其步骤和二元一次方程组解应用题类似： · “审”，弄清楚已知量，未知量以及他们之间的等量关系； · “设”指设元，即设未知数，可分为直接设元和间接设元； · “列”指列方程，找出题目中的等量关系，再根据这个关系列出含有未知数的等式，即方程。 · “解”就是求出说列方程的解； · “答”就是书写答案，检验得出的方程解，舍去不符合实际意义的方程。 要点诠释： 一元二次方程考点：定义的考察；解方程及一元二次方程的应用。 考点针对练4 1．有一个人患了某种传染病，经过两轮传染后共有81人患病． (1)每轮平均1个人会感染几人？ (2)若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？ 2．新能源汽车采用电能作为动力来源，减少二氧化碳气体的排放，达到保护环境的目的，其市场需求逐年上升． (1)某品牌新能源汽车1月份销售量为30万辆，随着消费人群的不断增多，该品牌新能源汽车的销售量逐月递增，3月份的销售量达到36.3万辆．求从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长率． (2)某汽车销售公司抢占先机，购进一款进价为12万元/辆的该品牌新能源汽车，经销一段时间后发现：当该款汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆，若该店计划下调售价使平均每周的销售利润为144万元．为了推广新能源汽车，并且此次销售尽量让利于顾客，求该店下调后每辆汽车的售价． 3．如图，在菱形中，过点A作、垂直于、，垂足分别为E、F． (1)求证； (2)若，的面积为，求菱形的面积． 4．【观察思考】如图所示 【规律发现】 （1）第个图案中，“▲”的个数为____________； （2）第个图案中，“★”的个数可表示为_________________； 【规律应用】（3）结合图案中的规律，求正整数，使得“▲”的个数的倍比“★”的个数多． 5．为巩固脱贫攻坚成果，实现乡村振兴，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台“直播带货”，销售一批成本为每件50元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x/（元/件） … 55 60 70 … 销售量y/件 … 75 70 60 … (1)求y与x之间的函数关系式． (2)销售期间，能使每天的销售利润为1650元吗？若能，求出销售单价；若不能，请说明理由． 6．为鼓励广大凤中学子走向操场、走进大自然、走到阳光下，积极参加体育锻炼，初三年级某班组织同学们周末共跑沙滨路，其中，小凤和小鸣两人同时从A地出发，匀速跑向距离处的B地，小凤的跑步速度是小鸣跑步速度的1.2倍，那么小凤比小鸣早5分钟到达B地． 根据以上信息，解答下列问题： (1)小凤每分钟跑多少米？ (2)若从A地到达B地后，小凤以跑步形式继续前进到C地（整个过程不休息）．据了解，从他跑步开始，前30分钟内，平均每分钟消耗热量10卡路里，超过30分钟后，每多跑步1分钟，平均每分钟消耗的热量就增加1卡路里，在整个锻炼过程中，小凤共消耗2300卡路里的热量，小凤从A地到C地锻炼共用多少分钟？ 7．如图，一艘军舰位于点处，在其正南方向有一目标，在点的正东方向有一目标，且，在上有一艘补给船，．军舰从点出发，向，方向匀速航行，补给船同时从点出发，沿垂直于的方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰．已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由点到点的途中与补给船相遇于点处，则相遇时补给船航行了多远？ 核心素养练 1．设方程的两根为，则 ． 2．如图是一张长，宽的长方形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样的边长为的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖的长方体纸盒． (1)无盖方盒盒底的长为 ，宽为 （用含x的式子表示）． (2)若要制作一个底面积是的无盖的长方体纸盒，求剪去的正方形边长． 3．请阅读下列解方程的过程． 解：设， 则原方程可变形为， 解得． 当时，，解得； 当时，，此方程无实数根． 所以原方程的解为． 我们将上述解方程的方法叫做换元法． 请用换元法解方程：． 4．已知关于的方程有两个不相等的实数根． 求的取值范围； 若、是方程的两个不相等的实数根，试求的值． 5．阅读材料：各类方程的解法 求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x=a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想转化，把未知转化为已知． 用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x3+x2-2x=0，可以通过因式分解把它转化为x(x2+x-2)=0，解方程x=0和x2+x-2=0，可得方程x3+x2-2x=0的解． （1）问题：方程x3+x2-2x=0的解是x1=0,x2= ，x3= ； （2）拓展：用“转化”思想求方程的解； （3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=8m，宽AB=3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．    1．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（　　） A．方程一定有两个不相等的实数根 B．方程一定有两个实数根 C．当k取某些值时，方程没有实数根 D．方程一定有实数根 2．若□ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的一元二次方程的两个实数根. (1)当m为何值时，□ABCD是矩形？求出此时矩形的对角线长？ (2)当□ABCD的一条对角线AC＝2时，求另外一条对角线的长？ 学科网（北京）股份有限公司 $$