专题二、一元二次方程新考向--综合与实践 大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 专题二、一元二次方程新考向--综合与实践（解析版） 项目化学习1 探索如何利用闲置纸板箱制作储物盒 例1．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【答案】（1）40；（2）；（3） 【知识点】列代数式、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用，正确进行计算是解题关键． （1）由储物位置的底面尺寸判断即可； （2）设裁去小长方形的宽为，长为，列方程求解，再计算体积即可； （3）根据面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意储物位置的底面尺寸如图2可得；； 故答案为：40； （2）设裁去小长方形的宽为，长为， 则， 解得：（舍去），； 则体积为； （3）由题意可得阴影部分的长为， 储物盒的底面长为， 则需要裁出的正方形为图中③，④两块， 裁出的正方形的边长为， 底面的宽为， ． 答：储物盒的底面积为． 【针对训练1-1】．解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为800cm2．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 【答案】初步应用：储物盒的容积为  储物收纳：这个玩具不能完全放入该储物盒 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程． 初步应用：设裁去小正方形边长为，根据底面积，列出方程求解即可； 储物收纳：设裁去小长方形长为，宽为，推出，根据底面积得出，将n的代数式代入，求出m的值，再得出制作储物盒长为cm，高为，宽为，即可解答． 【详解】初步应用： 解：设裁去的正方形的边长为， ， 解得：（舍去），， ∴这个储物盒的容积为． 储物收纳： 解：设减去的长方形的长为，宽为， 则， 解得， ∵， ∴， 解得：（舍去），， 即高为， ∴储物盒的底面的两边长为cm，， ∵，，， ∴这个玩具不能完全放入该储物盒． 【针对训练1-2】．脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为，依题意列方程得______； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【答案】任务：  任务2：  任务3： 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】任务：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为x，则根据“2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克”列方程即可； 任务2：由图可得裁掉正方形的边长即为图长方体盒子的高，设裁掉正方形的边长为，根据长方体纸盒的底面积列方程求解即可； 任务3：设底面正六边形为，底面正六边形的边长为，纸盒的高为，，和交于点，和交于点，根据正六边形的性质求得为的直角三角形，可得其两直角边的长度；结合等边三角形的判定和性质再求得左右两侧小三角形的高，然后根据长方形纸板的长和宽建立方程求解即可； 【详解】任务：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为，由题意得：， 故答案为：； 任务：设裁掉正方形的边长为，由题意得： ， 解得：(不符合题意舍去)， 答：此时纸盒的高为； 任务: 如图，设底面正六边形为，连接，和交于点，和交于点，所在直线交长方形纸板的边于点设底面正六边形的边长为，纸盒的高为, ∵正六边形的每条边相等，每个内角都为， 为等腰三角形， ， ， 由正六边形的性质可得平分， ， ， ∴直角三角形中，， 同理可得直角三角形中， ， ， ， ∵左侧小三角形顶点的角度 ∴左侧小三角形为边长的等边三角形， 根据图形的上下对称可得与长方形纸板的左右两边垂直， ∴为等边三角形的高， ， 同理可得，， ∵四边形为矩形, ， ， ， 联立①②式可得| ， 答：纸盒的高为 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正六边形的性质，等边三角形的判定和性质，角的直角三角形的边长关系，对称的性质；掌握正六边形的性质是解题关键． 【针对训练1-3】．如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．    素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    【答案】目标1：，目标2：（1）储物盒的容积为立方厘米（2）玩具机械狗不能完全放入该储物 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）由制作过程知小正方形的边长为，，再利用面积公式即可得出收纳盒的高为，进而即可得出答案； （2）由盒子的底面积为得出底面边长，然后求出收纳盒的高为，与玩具机械狗的高比较大小，进而即可得出答案． 【详解】（1）解：储物区域的长为，由于收纳盒可以完全放入储物区域， 则图中的四角裁去小正方形的边长为， 则收纳盒的宽小正方形的边长， 由图知，设上下宽为，左右宽为， 两个长方形之间的部分为， ，， 则， 所以收纳盒的高为，体积为， 答：储物盒的容积为立方厘米；    设盒子的另一底边长为， 盒子的底面积为， ， ， 收纳盒的高为， 此时，之间还有一段空隙，在此种情况下 ， 玩具机械狗不能完全放入该储物； 当，之间两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为 玩具机械狗也不能完全放入该储物； 综上所述：玩具机械狗不能完全放入该储物． 答：玩具机械狗不能完全放入该储物．    【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，合理将实际问题转化成方程组是解决此题的关键． 项目化学习2 探索果园土地规划和销售利润问题 例2．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【答案】（1）； （2）路面设置的宽度符合要求； （3）可以，理由见解析． 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、营销问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）由“横向道路宽度不超过24米，且不小于10米”，可得出的取值范围； （2）根据种植的面积是，可列出关于的一元二次方程，可得出的值，结合（1）的结论，即可得出路面设置的宽度符合要求； （3）假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，结合（1）的结论，可得出符合题意，假设成立． 【详解】解：（1）横向道路宽度不超过24米，且不小于10米，即 解得： 纵向道路宽度的取值范围为 故答案为：； （2）根据题意可得： 整理得： 解得：， 符合题意 路面设置的宽度符合要求； 故答案为：路面设置的宽度符合要求； （3）经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元，理由如下： 假设经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元， 根据题意得： 整理得： 解得：， 符合题意 假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元． 【针对训练2-1】．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 东北育才学校生态园年春季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半． 素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，    问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 求购买这批劳动工具的最少费用． 任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．） 【答案】任务一：型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元 任务二；购买这批劳动工具的最少费用为元 任务三；（1）；（2）8；（3）不能 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、用一元一次不等式解决实际问题、最大利润问题(一次函数的实际应用)、分式方程的经济问题 【分析】任务一；设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元，依题意得，，计算求解，然后作答即可； 任务二；设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元，依题意得， ，可求，，根据一次函数的图象与性质求解作答即可； 任务三；（1）依题意得，的长是，计算求解即可；（2）由题意知，，可求，依题意得，，计算求出满足要求的解即可；（3）令，整理得，，由，判断作答即可． 【详解】任务一；解：设型号劳动工具的单价为元，则种型号劳动工具的单价为元， 依题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴型号劳动工具的单价为元，种型号劳动工具的单价为元； 任务二；解：设种型号的劳动工具个，则种型号的劳动工具 个，总费用为元， 依题意得， ， 解得，， ， ∵， ∴当时，总费用最少，元， ∴购买这批劳动工具的最少费用为元； 任务三；（1）解：依题意得，的长是（）， 故答案为：； （2）解：由题意知，， 解得，， 依题意得，， 解得，或（舍去）， ∴的值为8； （3）解：令，整理得，， ∵， ∴方程无实数解， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式等知识．熟练掌握分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【针对训练2-2】．根据以下素材，探索完成任务. 智能农业种植基地设计 背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量. 素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物.已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长比宽多10米. 素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统视为一个点，当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统. 素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米. 任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为______米，根据素材1的信息可列方程：_____. 任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案. 任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值. 答案：任务1：， ；任务2：该设计达标，理由见解析；任务3： 解析：任务1：由题意，矩形大棚的宽为x米，则长为米， 故答案为：， 任务2：该设计达标.理由如下： 由题意，结合任务1，， 不合题意，舍去或 ， 对角线 当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标， 该设计达标. 任务3：由题意，设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米， 或此时，不合题意，舍去 【针对训练2-3】．根据以下素材，完成探索任务. 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用(新墙的建筑费用与门的价格和)不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案? 素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m. 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表2. 表2 型号 A B C 规格(门宽) 1米 1.2米 1米 单价(元) 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 问题解决 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形ABCD的面积为s，求s关于x的函数表达式. 任务2 探究自变量x的取值范围. 任务3 确定设计方案 我的设计方案是选型号_______门，_______m，________m，S的最大值为__________. 答案：任务1： 任务2：选A门，；选C门， 任务3：见解析 解析：任务1：，. 任务2：由，得；由，得；由，得；得. 选A型号门，，得， 选C型号门，，得， 综上，选A门，；选C门，. 任务3：不唯一 方案1选门A：，，； 方案2选门C：，，； 项目化学习3 计算器运用与功能探索 例3．综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作……得到了如下运算记录表：根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：______（保留3位小数）， ②随着运算次数的增加，______（从下列选项中选择） A．运算结果越来越大            B．运算结果越来越小        C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为，则输出值为______，根据规律②可以构造一个方程：______（保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解. 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解.某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：______，______，______，整个正方形的面积，所以______，注意，开方后解得______． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：）． 选定小于1的正数 0.7 0.5 0.3 第1次运算结果 0.547722558 0.707106781 0.836660027 第2次运算结果 0.672515756 0.541196100 0.404153403 第3次运算结果 0.572262390 0.677350648 0.771911003 …… …… …… …… 第38次运算结果 0.618061094 0.617997417 0.617932544 第39次运算结果 0.618012059 0.618063575 0.618116054 第40次运算结果 0.618051729 0.618010053 0.617967593 【答案】【发现规律】0.618，C； 【验证规律】； 【应用规律】，过程见解析 【知识点】程序流程图与有理数计算、程序流程图与代数式求值、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要考查了规律探索与应用．熟练掌握运用现代工具重复计算探索规律，及图形面积法探索验证规律，完全平方公式的几何意义，是解题的关键． 发现规律：①观察选的3个数第40次运算结果趋近的数为0.618；②多次运算的结果接近输入数 验证规律：输出的值，构造方程为，转化为，构造正方形解得； 应用规律：构造方程，即，构造正方形，解得，约2.414． 【详解】解：发现规律 ①选0.7的第40次运算结果， 选0.5的第40次运算结果， 选0.3的第40次运算结果， ∴任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：0.618 ②由①知，随着运算次数的增加，输入和输出的值越来越接近，选C； 故答案为：①0.618；②C； 验证规律 多次运算后某次运算输入值为，则输出值为，根据规律②可以构造一个方程：，规律①中的常数即为方程的解． 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解.某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：，，， 整个正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 取． 故答案为：，，，x，，，； 应用规律 构造方程 ， 即 构造图形: ，，， 整个正方形的面积， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【针对训练3-1】.两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究： 某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【答案】【证明结论】；【应用结论】（1）当时，函数的值最小，最小值是2；（2）当时，函数的值最小，最小值是7；【拓展应用】（3）米，米 【知识点】运用完全平方公式进行运算、二次根式的混合运算、解一元二次方程——直接开平方法、解分式方程（化为一元一次） 【分析】本题考查了完全平方公式、算术平方根、利用平方根解方程、解分式方程等知识点，熟练掌握完全平方公式和算术平方根是解题关键，规律的总结和应用，能够结合实际问题熟练应用规律是解决本题的关键． 证明结论：根据题目中思路解答即可； 应用结论：（1）根据题目中给的结论将函数式进行变式，即可求出最小值； （2）先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值； （3）由题意得：篱笆的总长度为米，先将函数式边变形为易于计算的形式，再按照题目中所给结论进行计算，求出最值，可求出钢丝网的最短长度． 【详解】解：证明结论： 因为， 所以，所以． 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，所以． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 故答案为：； 应用结论： （1）根据结论可知， 所以函数的最小值为2， 此时， 解得：或（舍去）， 所以，当时，函数的值最小，最小值是2． （2）根据结论可知， 所以函数的最小值为7， 此时，，解得，或4（舍去）， 所以当时，函数的值最小，最小值是7． （3）由题意得：篱笆的总长度为米． 因为， 所以蓠笆总长度最短为米， 此时，， 所以， 答：为米时，所用篱笆总长度最短，最短长度为米． 【针对训练3-2】综合与实践 【项目学习】 配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式． 例2：求代数式的最大值． 解：原式． ，， ，的最大值为． 【问题解决】 (1)若满足，求的值． (2)若等腰的三边长均为整数，且满足，求的周长． (3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．已知实数满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的面积．    【答案】(1) (2)等腰三角形的周长为13或14 (3)1 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、配方法的应用、用勾股定理解三角形 【分析】（1）将等式的右边展开，再对应相等得到，求出、的值即可； （2）将式子配方可得，由偶次方的非负性可求出，再分两种情况：当为腰长时，当为腰长时，利用等腰三角形的性质进行计算即可； （3）由两边同时加可得，求出的最小值，从而得出是的一个根，得到，由四边形的周长为求出，再由勾股定理可得，最后由，求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，， ，， ， 当为腰时，，满足三角形的三边关系， 此时等腰三角形的周长为：； 当为腰时，，满足三角形的三边关系， 此时等腰三角形的周长为：， 等腰三角形的周长为13或14； （3）解：， ， ， 的最小值为， 的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根， 是的一个根， ， ， 四边形的周长为， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了配方法的应用、运用完全平方公式进行计算、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握以上知识点，准确进行计算是解题的关键． 【针对训练3-3】．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    【答案】(1)； (2)，图形见详解； (3)，． 【知识点】解一元二次方程——直接开平方法、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）运用直接开平方法解方程，即可得到方程的另一个根． （2）将方程变形为，画四个长为，宽为的矩形，构造一个“空心”大正方形；仿照例题求解即可； （3）由中间围成的正方形面积为4，可得中间正方形的边长为2．设长方形的宽为x，则长为，由题意得，整理得，即可求得a和b的值．仿照例题构造大正方形，即可求出x的值． 本题主要考查学生的阅读理解能力，综合运用知识的能力．读懂例题，正确的构造出大正方形是解题的关键． 【详解】（1）由得 ∴ ∴原方程的另一个根是． 故答案为： （2）将方程变形为， 画四个长为，宽为的矩形，按如图所示构造一个“空心”大正方形，    则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． （3）∵中间围成的正方形面积为4， ∴中间正方形的边长为2， 设长方形的宽为x，则长为， 由题意得， 整理得， ，． 如图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程， ∵表示边长， ∴， 即． ∴方程的一个正根为． 故答案为：，．．        项目化学习4 关于电影票房获利情况的探究 例4 .根据以下素材,探索完成任务 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院,吸引了大量市民观影,各大影院积极推送. 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元,随着观影人数的不断增多,正月初三的票房收入达到8.64万元. 素材2 随着电影的爆火,某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售,已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元,经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时,平均每天售出30个；售价每降低1元,平均每天多售出3个,该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元. 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率. 任务2 根据素材2,为了推广该款“哪吒”手办,且尽可能多的减少库存,求下调后每个手办的售价. 任务3 根据素材2,平均每天能否获利2100元？若能,请求出每个手办应降价多少元；若不能,请说明理由. 答案：任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为 任务2：下调后每个手办的售价为50元 任务3：不能 解析：任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为, 根据题意得：, 解得：,(不符合题意,舍去). 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为y元,则每个手办的销售利润为元,平均每天可售出个, 根据题意得：, 整理得：, 解得：,, 又∵要尽量减少库存, , 答：下调后每个手办的售价为50元. 任务3：设下调后每个手办的售价为元, 则, 整理得：, , 故平均每天不能获利2100元. 【针对训练4-1】．根据以下素材,探索完成任务. 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破,我国制造业发展迎来重大机遇,天府科技园工作实验室借助智能化,对某款电动车的零部件进行一体化加工,以相同的生产效率提升,该零件7月份生产500个,9月份生产720个. 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个,销售一段时间后发现,当零部件售价为50元/个时,月销售量为800个,若在此基础上售价每下降2元,则月销售量将增加20个.为刺激经济的快速增长,政府给予实验室支持,当销量不低于900个时,每个将有5元的科技创新补贴. 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元,而且尽可能让车企得到实惠,社会普及增加,则该零件的实际售价应定为多少元？ 答案：任务1：平均增长率为： 任务2：该零件的实际售价应定为40元 解析：任务1：设平均增长率为x,由题意,得：, 解得：,(舍去)； 答：平均增长率为：； 任务2：设该零件的实际售价应定为y元,由题意,得： , 解得：,(舍去)； 当时,销售数量为,符合题意； 答：该零件的实际售价应定为40元. 【针对训练4-2】．为了促进销售、扩大市场占有率,某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动,请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题. 素材1 某款中央空调每台进价为20000元. 素材2 团购方案：团购2台时,则享受团购价30000元/台,在此基础上,若团购数量每增加1台,则每台再降500元. 规定：一个团的团购数量不超过11台. 问题解决 问题1：当团购5台时,求出每台空调的团购价. 问题2：设团购数量为x台,请用含x的代数式表示每台空调的团购价. 问题3：当一个团的团购数量为多少台时,销售部的利润为58500元. 答案：问题1：元 问题2：元 问题3：9台 解析：问题1：当团购5台时,每台空调的团购价为：(元)； 问题2：由题意可得：设团购数量为x台,则每台空调的团购价为(元)； 问题3：设团购数量为m台, 由题意得, 解得或, ∵一个团的团购数量不超过11台, ∴, ∴当团购数量为9台时,销售部的利润为58500元. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 专题二、一元二次方程新考向--综合与实践 项目化学习1 探索如何利用闲置纸板箱制作储物盒 例1．根据以下素材，探索完成任务 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材1 如图1是小慧家的一个储物位置，该储物位置的底面尺寸如图2所示 素材2 如图3，4是利用闲置纸板箱拆解出①，②两种宽均为（）（）的长方形纸板． 素材3 小慧分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 将纸板①裁去角上4个长宽之比为的小长方形，折成一个无盖有把手的长方形储物盒（如图5）． 将纸板②裁出两个正方形，再裁出阴影部分放在上面的位置，制作一个无盖纸盒 目标1 （1）若按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒恰好完全盖住储物区底面，则长方形纸板的宽为_________ （） 利用目标1计算所得的数据，进行进一步探究． 目标2 （2）按照长方形纸板①的制作方式，求当储物盒的底面积是时储物盒的体积为多少？ 目标3 （3）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，则储物盒的底面积为多少？ 【针对训练1-1】．解决问题 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 准备素材 小明收集到闲置纸板箱如图①所示．将其拆解出的如图②和图③两种矩形纸板，两种纸板的长和宽如图所示． 设计方案 小明分别将图②和图③两种矩形纸板以不同的方式制作储物盒． 图②矩形纸板的制作方式 图③矩形纸板的制作方式 如图④，裁去纸板角上4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒． 如图⑤，将纸板四个角裁去4个相同的小矩形，折成一个有盖的长方体储物盒． 目标达成 小明利用两种不同的制作方式进一步探究． 初步应用 小明按照矩形纸板②的制作方式，制作了如图④所示的储物盒的底面积是，求这个储物盒的容积． 储物收纳 小明按照矩形纸板③的制作方式，制作了如图⑤所示储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为800cm2．小明家里一个玩具攀爬小火车的实物图和尺寸大小如图⑥所示，通过计算判断这个玩具能否完全放入该储物盒． 【针对训练1-2】．脆蜜金桔是地方名果，是柳州市融安县的特产之一．请你运用数学知识，根据素材，帮果农解决问题． 信息及素材 素材一 在专业种植技术人员的正确指导下，果农对脆蜜金桔种植技术进行了研究与改进，使产量得到了增长，根据果农们的记录，2020年金桔平均每株产量是13千克，2022年达到了15.6千克，每年的增长率基本相同． 素材二 金桔一般用长方体包装盒包装后进行售卖． 素材三 果农们通过调查发现，顾客们也很愿意购买美观漂亮的其它造型的包装纸盒． 任务1：设脆蜜金桔产量的年平均增长率为，依题意列方程得______； 任务2：现有长，宽的长方形纸板，将四角各裁掉一个正方形（如图1），折成无盖长方体纸盒（如图2）．为了放下适当数量的脆蜜金桔，需要设计底面积为的纸盒，计算此时纸盒的高； 任务3：为了增加包装盒的种类，打算将任务2中的纸板通过图3的方式裁剪，得到底面为正六边形的无盖纸盒（如图4），求出此时纸盒的高．（图中实线表示剪切线，虚线表示折痕．纸板厚度及剪切接缝处损耗忽略不计） 【针对训练1-3】．如何利用闲置纸板箱制作储物盒 如何利用闲置纸板箱制作储物盒 素材 如图，图中是小琴家需要设置储物盒的区域，该区域可以近似看成一个长方体，底面尺寸如图所示．    素材 如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种均为长方形纸板． 长方形纸板① 长方形纸板②       小琴分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作储物盒． 长方形纸板①的制作方式 长方形纸板②制作方式 裁去角上个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒．    将纸片四个角裁去个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒．    目标 熟悉材料 熟悉按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝障的放入储物区域，则长方形纸板宽为______． 目标 利用目标计算所得的数据，进行进一步探究． 初步应用 （1）按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． 储物收纳 （2）按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图，是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒．    项目化学习2 探索果园土地规划和销售利润问题 例2．根据以下素材，完成探索任务． 探索果园土地规划和销售利润问题 素材1 某农户承包了一块长方形果园，图1是果园的平面图，其中米，米．准备在它的四周铺设道路，上下两条横向道路的宽度都为米，左右两条纵向道路的宽度都为米，中间部分种植水果．已知道路的路面造价是每平方米50元；出于货车通行等因素的考虑，横向道路宽度不超过24米，且不小于10米． 素材2 该农户发现某一种草莓销售前景比较不错，经市场调查，草莓培育一年可产果，已知每平方米的草莓销售平均利润为100元；果园每年的承包费为25万元，期间需一次性投入33万元购进新苗，每年还需25万元的养护、施肥、运输等其余费用． 问题解决 任务1 解决果园中路面宽度的设计对种植面积的影响． （1）请直接写出纵向道路宽度的取值范围． （2）若中间种植的面积是44800平方米，则路面设置的宽度是否符合要求． 任务2 解决果园种植的预期利润问题．（净利润草莓销售的总利润路面造价费用果园承包费用新苗购置费用其余费用） （3）经过1年后，农户是否可以达到预期净利润400万元？请说明理由． 【针对训练2-1】．教育部颁布的《义务教育劳动课程标准》中，要求以丰富开放的劳动项目为载体，培养学生的劳动价值观和良好的劳动品质．东北育才学校生态园新一年也有了新的规划，请你根据素材完成任务． 东北育才学校生态园年春季规划 素材一 市场调研，两种型号的劳动工具价格． （1）型劳动工具的单价比型劳动工具少3元． （2）用元购买型劳动工具的数量与用元购买型劳动工具的数量相等． 素材二 计划购买，两种型号的劳动工具 （1），两种型号的劳动工具共个． （2）型劳动工具的数量不少于型劳动工具数量的一半． 素材三 新规划一块矩形苗圃 （1）苗圃的一面靠墙（墙的最大可用长度为），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开分成两个区域，（2）如图所示，在两处各留宽的门（门不用木栏），修建所用木栏的总长为，    问题解决 任务一 求，两种型号劳动工具的单价各是多少元． 任务二 求购买这批劳动工具的最少费用． 任务三 设苗圃的一边长为． （1）用含的代数式表示苗圃靠墙一边的长是________； （2）若苗圃的面积为，求的值； （3）苗圃的面积能否为．________（直接回答“能或不能”．） 【针对训练2-2】．根据以下素材，探索完成任务. 智能农业种植基地设计 背景 随着科技的日益更新，利用智能化设备和技术，可以有效提高农业种植的生产效率，提升农产品的质量. 素材1 如图，某智能农业种植基地计划搭建一座矩形温室大棚用于高效种植作物.已知大棚的种植面积为1200平方米，且矩形的长比宽多10米. 素材2 基地想在矩形中心引入智能光照控制系统视为一个点，当系统P到矩形内任意一点包括边上的距离不超过28米时视为达标，以确保光照均匀覆盖；否则视为不达标并需要重新改进系统. 素材3 为了更智能地对农作物浇水，在基地内部安装了一个矩形智能灌注设备，要求设备四周预留相同宽度的空间，已知该矩形灌注设备的面积为24平方米. 任务1 设矩形大棚的宽为x米，则长为______米，根据素材1的信息可列方程：_____. 任务2 根据素材2的要求，请问：该设计是否达标？如果达标，请说明理由；如果不达标，请给出改进方案. 任务3 设素材3中灌注设备四周预留的宽度为a米，求a的值. 【针对训练2-3】．根据以下素材，完成探索任务. 问题的提出 根据以下提供的素材，在总费用(新墙的建筑费用与门的价格和)不高于6400元的情况下，如何设计最大饲养室面积的方案? 素材1：图1是某农场拟建两间矩形饲养室，饲养室的一面靠现有墙，中间用一道墙隔开，计划中建筑材料可建围墙的总长为20m，开2个门，且门宽均为1m. 素材2：2个门要求同一型号，有关门的采购信息如表2. 表2 型号 A B C 规格(门宽) 1米 1.2米 1米 单价(元) 250 280 300 素材3：与现有墙平行方向的墙建筑费用为400元/米，与现有墙垂直方向的墙建筑费用为200元/米. 问题解决 任务1 确定饲养室的形状 设，矩形ABCD的面积为s，求s关于x的函数表达式. 任务2 探究自变量x的取值范围. 任务3 确定设计方案 我的设计方案是选型号_______门，_______m，________m，S的最大值为__________. 项目化学习3 计算器运用与功能探索 例3．综合与实践：计算器运用与功能探索 计算器运算快捷而又“不辞辛劳”，可以代替我们进行繁杂的运算，让我们腾出更多时间进行规律的探索． 【发现规律】 八年级数学兴趣小组借助计算器进行如下操作：任选一个小于1的正数作为输入值，乘以，加上1，再开平方，将计算器输出的值，作为输入值，不断执行上述操作……得到了如下运算记录表：根据记录表的结果，小组成员发现一些规律： ①任选一个小于1的正数作为输入值，运算结果最后都趋于一个常数：______（保留3位小数）， ②随着运算次数的增加，______（从下列选项中选择） A．运算结果越来越大            B．运算结果越来越小        C．输入和输出的值越来越接近 【验证规律】 组长对规律进行如下分析：设多次运算后某次运算输入值为，则输出值为______，根据规律②可以构造一个方程：______（保留原始形式，不作变形），规律①中的常数即为方程的解. 为验证组长对规律解释的正确性，小组尝试求出方程的精确解.某小组成员将方程转化成，构造如图1的图形，利用面积来解方程，计算4块区域的面积：______，______，______，整个正方形的面积，所以______，注意，开方后解得______． 【应用规律】 若将操作改为“任选一个正数作为输入值，乘以2，加上1，再开平方”，不断执行上述操作，请求出经过足够多次运算后，运算结果趋于的常数（必要的步骤：列出方程、构造图形解方程、结果保留3位小数，参考数据：）． 选定小于1的正数 0.7 0.5 0.3 第1次运算结果 0.547722558 0.707106781 0.836660027 第2次运算结果 0.672515756 0.541196100 0.404153403 第3次运算结果 0.572262390 0.677350648 0.771911003 …… …… …… …… 第38次运算结果 0.618061094 0.617997417 0.617932544 第39次运算结果 0.618012059 0.618063575 0.618116054 第40次运算结果 0.618051729 0.618010053 0.617967593 【针对训练3-1】.两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究： 某校数学课外活动小组的同学，针对两个正数之和与这两个正数之积的算术平方根的两倍之间的关系进行了探究，请阅读以下探究过程并解决问题． 【探究发现】 【猜想结论】 如果，那么存在（当且仅当时，等号成立）． 【证明结论】（补全横线上的说理过程） 因为， 所以①当且仅当，即时， ，所以； ②当，即时，______． 综合上述可得：若，则成立（当且仅当时，等号成立）． 【应用结论】 （1）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ （2）对于函数，当取何值时，函数的值最小？最小值是多少？ 【拓展应用】（3）如图，学校计划一边靠墙，其余边用篱笆围成三小块面积均为的矩形苗圃，中间用两道篱笆隔断，设每小块苗圃垂直于墙的一边长为米，求为何值时，所用篱笆的总长度最短？最短长度是多少？ 【针对训练3-2】综合与实践 【项目学习】 配方法是数学中重要的一种思想方法，利用配方法可求一元二次方程的根，也可以求二次函数的顶点坐标等．所谓配方法是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．其实这种方法还经常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义解决某些问题． 例1：把代数式进行配方． 解：原式． 例2：求代数式的最大值． 解：原式． ，， ，的最大值为． 【问题解决】 (1)若满足，求的值． (2)若等腰的三边长均为整数，且满足，求的周长． (3)如图，这是美国总统加菲尔德证明勾股定理的一个图形，其中是和的三边长，根据勾股定理可得，我们把关于的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．已知实数满足等式，且的最小值是“勾系一元二次方程”的一个根．四边形的周长为，试求的面积．    【针对训练3-3】．综合与实践：阅读材料，并解决以下问题． (1)学习研究：北师大版教材九年级上册第39页介绍了我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中关于一元二次方程的几何解法：以为例，求解过程如下： ①变形：将方程变形为； ②构图：画四个长为，宽为的矩形，按如图（1）所示构造一个“空心”大正方形；    ③解答：则图中大正方形的面积从整体看可表示为，从局部看还可表示为四个矩形与中间小正方形面积之和，即，因此，可得新的一元二次方程，∵表示边长，∴，即． 这种数形结合方法虽然只能得到原方程的其中一个正根．但是从新方程可以得到原方程的另一个根是________． (2)类比迁移：根据赵爽几何解法的方法求解方程的一个正根（写出完整的求解过程，并在画图区画出示意图、标明各边长）．      (3)拓展应用：一般地对于形如：一元二次方程可以构造图（2）来解，已知图2是由四个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么________，________，方程的一个正根为________．    项目化学习4 关于电影票房获利情况的探究 例4 .根据以下素材,探索完成任务 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院,吸引了大量市民观影,各大影院积极推送. 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元,随着观影人数的不断增多,正月初三的票房收入达到8.64万元. 素材2 随着电影的爆火,某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售,已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元,经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时,平均每天售出30个；售价每降低1元,平均每天多售出3个,该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元. 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率. 任务2 根据素材2,为了推广该款“哪吒”手办,且尽可能多的减少库存,求下调后每个手办的售价. 任务3 根据素材2,平均每天能否获利2100元？若能,请求出每个手办应降价多少元；若不能,请说明理由. 【针对训练4-1】．根据以下素材,探索完成任务. 背景素材 素材1 随着数字技术、新能源、新材料等不断突破,我国制造业发展迎来重大机遇,天府科技园工作实验室借助智能化,对某款电动车的零部件进行一体化加工,以相同的生产效率提升,该零件7月份生产500个,9月份生产720个. 素材2 该工作实验室的零部件成本为30元/个,销售一段时间后发现,当零部件售价为50元/个时,月销售量为800个,若在此基础上售价每下降2元,则月销售量将增加20个.为刺激经济的快速增长,政府给予实验室支持,当销量不低于900个时,每个将有5元的科技创新补贴. 问题解决 任务1 该工作实验室从7月份到9月份生产数量的平均增长率； 任务2 为使工作实验室月销售利润达到13500元,而且尽可能让车企得到实惠,社会普及增加,则该零件的实际售价应定为多少元？ 【针对训练4-2】．为了促进销售、扩大市场占有率,某品牌销售部在某小区开展中央空调团购活动,请根据以下素材完成“问题解决”中的三个问题. 素材1 某款中央空调每台进价为20000元. 素材2 团购方案：团购2台时,则享受团购价30000元/台,在此基础上,若团购数量每增加1台,则每台再降500元. 规定：一个团的团购数量不超过11台. 问题解决 问题1：当团购5台时,求出每台空调的团购价. 问题2：设团购数量为x台,请用含x的代数式表示每台空调的团购价. 问题3：当一个团的团购数量为多少台时,销售部的利润为58500元. 学科网（北京）股份有限公司 $$