21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两个之积 1.对于一元二次方程，若 两个实数根是，则 要点诠释; (1)若一元二次方程的两个实数根是，当，则 （2）注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 例1．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和,则的值为______. 解题通法： ①根据题意由方程求出两根之和、两根之积。 ②确定所求式子的值 答案： 解析：关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和, ,, . 故答案为：. 【变式1-1】．不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 【答案】（1）x1＋x2＝3，x1x2＝－15；（2）x1＋x2＝－，x1x2＝；（3）x1＋x2＝1，x1x2＝－1；（4）x1＋x2＝2，x1x2＝ 【分析】（1）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （2）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （3）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案； （4）根据如果一元二次方程的两根为和，那么，进行求解即可得到答案． 【详解】解：（1）原方程化为x2－3x－15＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （2）原方程化为3x2＋4x＋1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （3）原方程化为x2－x－1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝； （4）原方程化为2x2－4x＋1＝0， ∴，， 设方程的两根分别为x1，x2， ∴x1＋x2，x1x2＝． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键在于能够熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 【变式1-2】．．设,是一元二次方程的两个根,则的值是( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 答案：D 解析：∵、是一元二次方程的两个根, ∴, 故选：D. 【变式1-3】．．一元二次方程的两个实数根为,,下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：对于方程,设其根为和, 根据根与系数的关系： ∴,； 故选：D 【变式1-4】．．设a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为( ) A.1 B. C. D. 答案：B 解析：一元二次方程的两个实数根为a,b, ,, 则原式, 故选：B. 知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值 代数式变形 将目标代数式转化为与根之和、根之积相关的形式，再代入根与系数的关系求解。 注意题目中的隐含条件，如根的正负、方程系数关系等，确保解的合理性。 例2 .若，是方程的两个根，则的值为 ． 解题通法： ①根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积。 ②将目标代数式转化为与两根之和与两根之积相关的形式。（目标代数式不是对称式时，注意运用方程根的定义进行转化） ③代入根与系数的关系式求解。 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、求代数式的值，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，因为是方程的根，所以，把整理可得：原式，然后再整体代入求值即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ， 是方程的根， ， 整理可得：， ． 故答案为：． 【变式2-1】．若一元二次方程2x2-x-1=0的两个实根为x1，x2，则的值为( ) A.1 B. C.2 D. 答案：B 解析：一元二次方程2x2-x-1=0的两个实根为x1，x2 ，， . 故选B. 【变式2-2】．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是( ) A. B. C.35 D.36 答案：D 解析：a，b是方程的两根，，， ，，，. 故选D. 【变式2-3】．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________. 答案：14 解析：，是一元二次方程的两个实数根， ，，. 故答案为14. 【变式2-4】．若，，，则的值是________. 答案： 解析：实数，且a、b满足，， a与b为方程的两根， ，， ， 故答案为：. 知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值或取值范围 1.代入已知条件 将方程的根代入根与系数的关系式，建立关于待定字母的方程或不等式。例如，已知方程的两个根满足某种关系，通过代入可求解字母值。 2.结合判别式限制 在求解过程中需注意判别式的非负性。若题目隐含方程有实根的条件，则需额外验证Δ=b2-4ac ≥0，避免出现无解情况。 3. 多根情况处理:若方程存在重根（Δ=b2-4ac =0），根与系数的关系仍适用，但此时根之和与根之积需结合重根特性分析。 例3.已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 解题通法： ①求出根的判别式，确定字母的取值范围 ②将方程的的根代入根与系数的关系式，建立关于待定字母的方程或不等式。 ③解方程或不等式求解。 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识计算是关键． （1）根据方程有两个实数根得到，由此即可求解； （2）根据题意方程的两个根得到，，结合完全平方公式的变形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程，方程有两个实数根， ∴， 整理得，， 解得，； （2）解：方程的两个根， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 整理得，， ∴， 解得，， 当时，， 解得，，符合题意； 当时，， ∵， ∴原方程无实数， ∴舍去， ∴． 【变式3-1】．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，. (1)求a的取值范围； (2)若，满足，求a的值. 答案：(1) (2) 解析：(1)∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； (2)∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴. 【变式3-2】．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 答案：（1）证明见解析 （2）3或 解析：（1）证明：， ， 无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根. （2）方程的两个实数根为，， ，. 又，， ，解得，， 即m的值是3或. 【变式3-3】．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程的两根为，，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析 （2）不存在.理由见解析 解析：（1）证明：， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）不存在.理由：假设存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2. 根据根与系数的关系得，， 则， ，方程无实数解， 不存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2. 【变式3-4】．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1有两个实数根和. (1)求实数k的取值范围； (2)若两个实数根和满足x1+x2-x1x2< -1，求k的整数值. 答案：(1) (2)整数k的值为或0 解析：（1），， 由已知得， 所以； （2）由根与系数得关系可知，，， 因为， 所以， 解得， 由（1）知， 所以，， 所以，整数k的值为或0. 一、辨易错 已知根与系数的关系，求字母系数的值时，忽略⊿≥0的条件而出错 例4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，. (1)求a的取值范围； (2)若，满足，求a的值. 答案：(1) (2) 解析：(1)∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； (2)∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴. 【变式4-1】 关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值. 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得. 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程. 答案：m的值为. 解析：嘉佳的解题过程漏了考虑这一条件.正确的解题过程如下： 根据题意得，解得. ，， 整理得，解得（舍去）， 的值为. 【变式4-2】．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则( ) A.-3或1 B.1 C.3或-1 D.-1 答案：B 解析：由根与系数关系可得，， 代入得， 即 解得：， ∵原方程有实数根， ∴， 解得 因此不满足，舍去， 综上，， 故选：B. 二、综合应用 例5．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程的两根为，，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由. 答案：（1）证明见解析 （2）不存在.理由见解析 解析：（1）证明：， ， 无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）不存在.理由：假设存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2. 根据根与系数的关系得，， 则， ，方程无实数解， 不存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2. 【变式5-1】．已知关于x的一元二次方程. (1)求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求a的值. 答案：(1)见解析 (2) 解析：(1) ， ∴方程总有两个不相等的实数根； (2)题意得，， ∵， ∴， ∴， 解得：. 【变式5-2】．若，是已知关于x的方程的两个实数根，且，则m的值为________. 答案： 解析：关于x的方程有两个实数根， ，解得：， 根据根与系数的关系得，， ， ， ， 解得：，， ， ， 故答案为：. 例6．若一元二次方程有两个实数根,,那么,,这一结论称为一元二次方程根与系数关系,它的应用很多,请完成下列各题： (1)已知a、b是方程的两根,求的值. (2)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题：已知和是关于x,y的方程组的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k,使得？若存在,求出该式的k值,若不存在,请说明理由. 答案：(1)43 (2)存在, 解析：(1)∵a,b是方程的二根, ∴,, ∴, ∴； (2)存在,当时,.理由如下： ∵, 由①得：, 由②得：, ∴,即, 由题意思可知,,是方程的两个不相等的实数根, ∴, 则, ∵和是关于x,y的方程组的两个不相等的实数解, ∴, ∴, ∴, ∴, 整理得：, 解得：,(舍去), ∴k的值为. 【变式6-1】．已知关于的方程有两个实数根. (1)求k的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为、，且满足，求k的值. 答案：(1) (2) 解析：(1)原方程有两个实数根， ， 解得. (2) ， ， 或 . 达标检测： 一选择题（每小题3分，共24分） 1．设,是一元二次方程的两个根,则的值是( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 答案：D 解析：∵、是一元二次方程的两个根, ∴, 故选：D. 2．已知,是方程的两个实数根,则( ) A. B. C.20 D.25 答案：C 解析：∵,是方程的两个实数根, ∴. 故选：C. 3．下列一元二次方程两根之和为2的方程为( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：A、,原方程无解,故不符合题意； B、,,故不符合题意； C、,,故符合题意； D、,,故不符合题意； 故选C. 4．一元二次方程的两根之和是( ) A.2023 B.2024 C. D.2022 答案：A 解析：一元二次方程，整理得：， ，， ， 故选：A. 5．已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 答案：A 解析：∵一元二次方程的两个根分别为m，n， ∴， ∴， 故选：A. 6．已知，实数，（）是关于x的方程的两个根，若，则k的值为( ) A.1 B. C. D. 答案：B 解析： 7．若一元二次方程的两个根为m，n，则一次函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：一元二次方程的两个根为m，n， ，， 一次函数的图象经过第一、三、四象限. 故选B. 8．若等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则n的值为( ) A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 答案：B 解析：三角形是等腰三角形，有或，以及两种情况. ①当或时，a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，把代入，得， 解得， 原方程为， 解得，.而长为2，2，4的线段不能组成三角形，故不符合题意 .②当时，方程有两个相等的实数根， ，解得， 原方程为，解得.长为2，3，3的线段能组成三角形，符合题意. 综上，n的值为10. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知m，n是一元二次方程的两根，则_________. 答案： 解析：， ，，， m，n是一元二次方程的两根， ，， 则， 故答案为：. 10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________. 答案：14 解析：，是一元二次方程的两个实数根，，，. 故答案为14. 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为___________. 答案： 解析：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， 所以. 故答案为：. 12．若三个整数a，b，c使一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为__________. 答案：18 解析：与b是一元二次方程的两个根，，，，.为整数，或，（舍去）或，，，，， 故答案为18. 13．设关于x的方程的两个实数根分别为α，β，若，那么实数m的取值是________. 答案：9. 解析：由韦达定理可得，， 即， ， ， 当时，方程无解； 当时，方程的解为. 故答案为9. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．求下列方程两个根的和与积： （1）； （2）； （3）； （4）. 答案：（1）， （2）， （3）， （4）， 解析：设原方程的两个根分别为，. （1）方程化为，由根与系数的关系，得，. （2）由根与系数的关系，得，. （3）方程化为，由根与系数的关系，得，. （4）方程化为，由根与系数的关系，得，. 15．关于的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根，刚好互为相反数，求此时的值. 答案：(1)见解析 (2) 解析：（1）证明：. ，，， ， 方程总有两个实数根. （2）由条件可知， 解得. 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,. (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k,使成立？若存在,请求出k的值；若不存在,请说明理由. 答案：(1)且 (2)不存在 解析：(1)由题意知,且 ∴, 即, ∴ 解得：且. (2)不存在. ∵,, 又有, 可求得,而, ∴满足条件的k值不存在. 17．已知关于x的一元二次方程. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值. 答案：(1)见解析 (2) 解析：(1)证明：由题意得：,,, ∴, ∵, ∴, ∴该方程总有两个实数根； (2)设关于x的一元二次方程的两实数根为,,则有：,, ∵, ∴, 解得：, ∵, ∴. 18．已知关于x的方程 (1)k取什么值时，方程有两个实数根； (2)如果方程有两个实数根，，且，求k的值. 答案：(1) (2) 解析：（1）方程有两个实数根， ， 则， 解得：， 当时，方程有两个实数根； （2）方程有两个实数根，， ，， ， 即， ， 则， ， 解得. 19．阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两根为、，则，. 材料2：已知实数m、n满足，，且，求的值. 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，. 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程的两根为、，则，____________； （2）已知实数m，n满足，，且，求的值； （3）已知实数p，q满足，，且，求的值. 答案：（1）-3 （2） （3）13 解析：（1）一元二次方程的两根为、，，. 故答案为：-3； （2），n满足，， ，n可看作方程的两实数根， ，. ； （3）设，代入化简为，则p与t（即）为的两实数根， ，， . 20．已知关于x的一元二次方程有实根. （1）求m的取值范围. （2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 答案：（1） （2） 解析：（1）关于x的一元二次方程有实根， ，即，解得. （2）方程的两个实数根为，， ，， ， ，，解得或， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 利用根与系数的关系求两根之和与两个之积 1.对于一元二次方程，若 两个实数根是，则 要点诠释; (1)若一元二次方程的两个实数根是，当，则 （2）注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0。 例1．已知关于x的一元二次方程的两个实数根分别为和,则的值为______. 解题通法： ①根据题意由方程求出两根之和、两根之积。 ②确定所求式子的值 【变式1-1】．不解方程，求下列方程两个根的和与积： （1）；       （2）； （3）；       （4）． 【变式1-2】．．设,是一元二次方程的两个根,则的值是( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 【变式1-3】．．一元二次方程的两个实数根为,,下列结论正确的是( ) A. B. C. D. 【变式1-4】．．设a,b是一元二次方程的两个实数根,则的值为( ) A.1 B. C. D. 知识点2 利用根与系数的关系求相关代数式的值 代数式变形 将目标代数式转化为与根之和、根之积相关的形式，再代入根与系数的关系求解。 注意题目中的隐含条件，如根的正负、方程系数关系等，确保解的合理性。 例2 .若，是方程的两个根，则的值为 ． 解题通法： ①根据根与系数的关系求出两根之和，两根之积。 ②将目标代数式转化为与两根之和与两根之积相关的形式。（目标代数式不是对称式时，注意运用方程根的定义进行转化） ③代入根与系数的关系式求解。 【变式2-1】．若一元二次方程2x2-x-1=0的两个实根为x1，x2，则的值为( ) A.1 B. C.2 D. 【变式2-2】．已知a，b是方程的两根，则代数式的值是( ) A. B. C.35 D.36 【变式2-3】．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________. 【变式2-4】．若，，，则的值是________. 知识点3 利用根与系数的关系求方程中待定字母的值或取值范围 1.代入已知条件 将方程的根代入根与系数的关系式，建立关于待定字母的方程或不等式。例如，已知方程的两个根满足某种关系，通过代入可求解字母值。 2.结合判别式限制 在求解过程中需注意判别式的非负性。若题目隐含方程有实根的条件，则需额外验证Δ=b2-4ac ≥0，避免出现无解情况。 3. 多根情况处理:若方程存在重根（Δ=b2-4ac =0），根与系数的关系仍适用，但此时根之和与根之积需结合重根特性分析。 例3.已知关于的一元二次方程． (1)当方程有两个实数根时，求的取值范围． (2)当方程的两个根满足时，求的值． 解题通法： ①求出根的判别式，确定字母的取值范围 ②将方程的的根代入根与系数的关系式，建立关于待定字母的方程或不等式。 ③解方程或不等式求解。 【变式3-1】．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，. (1)求a的取值范围； (2)若，满足，求a的值. 【变式3-2】．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 【变式3-3】．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程的两根为，，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由. 【变式3-4】．已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1有两个实数根和. (1)求实数k的取值范围； (2)若两个实数根和满足x1+x2-x1x2< -1，求k的整数值. 一、辨易错 已知根与系数的关系，求字母系数的值时，忽略⊿≥0的条件而出错 例4．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，. (1)求a的取值范围； (2)若，满足，求a的值. 【变式4-1】 关于x的一元二次方程的两根为，且，求m的值. 嘉佳的解题过程如下： 【解】， ， 整理，得， 解得. 嘉佳的解题过程漏了考虑哪个条件？请写出正确的解题过程. 【变式4-2】．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，，且满足，则( ) A.-3或1 B.1 C.3或-1 D.-1 二、综合应用 例5．已知关于x的一元二次方程. （1）求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）若方程的两根为，，是否存在这样的k值，使方程的两根的平方和为2？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由. 【变式5-1】．已知关于x的一元二次方程. (1)求证：不论m取任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2)若，是该方程的两个实数根，且，求a的值. 【变式5-2】．若，是已知关于x的方程的两个实数根，且，则m的值为________. 例6．若一元二次方程有两个实数根,,那么,,这一结论称为一元二次方程根与系数关系,它的应用很多,请完成下列各题： (1)已知a、b是方程的两根,求的值. (2)结合二元一次方程组的相关知识,解决问题：已知和是关于x,y的方程组的两个不相等的实数解.问：是否存在实数k,使得？若存在,求出该式的k值,若不存在,请说明理由. 【变式6-1】．已知关于的方程有两个实数根. (1)求k的取值范围； (2)若方程的两实数根分别为、，且满足，求k的值. 达标检测： 一选择题（每小题3分，共24分） 1．设,是一元二次方程的两个根,则的值是( ) A.2 B.1 C.-2 D.-1 2．已知,是方程的两个实数根,则( ) A. B. C.20 D.25 3．下列一元二次方程两根之和为2的方程为( ) A. B. C. D. 4．一元二次方程的两根之和是( ) A.2023 B.2024 C. D.2022 5．已知一元二次方程的两个根分别为m，n，则的值为( ) A.12 B.8 C.6 D.4 6．已知，实数，（）是关于x的方程的两个根，若，则k的值为( ) A.1 B. C. D. 7．若一元二次方程的两个根为m，n，则一次函数的大致图象是( ) A. B. C. D. 8．若等腰三角形的边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程的两个实数根，则n的值为( ) A.9 B.10 C.9或10 D.8或10 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知m，n是一元二次方程的两根，则_________. 10．已知，是一元二次方程的两个实数根，则的值是__________. 11．已知a，b是一元二次方程的两个根，则的值为___________. 12．若三个整数a，b，c使一元二次方程的两个根分别为a，b，则的值为__________. 13．设关于x的方程的两个实数根分别为α，β，若，那么实数m的取值是________. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．求下列方程两个根的和与积： （1）； （2）； （3）； （4）. 15．关于的一元二次方程. (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程两根，刚好互为相反数，求此时的值. 16．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,. (1)求k的取值范围； (2)是否存在实数k,使成立？若存在,请求出k的值；若不存在,请说明理由. 17．已知关于x的一元二次方程. (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若,且该方程的两个实数根的差为2,求m的值. 18．已知关于x的方程 (1)k取什么值时，方程有两个实数根； (2)如果方程有两个实数根，，且，求k的值. 19．阅读材料： 材料1：若一元二次方程的两根为、，则，. 材料2：已知实数m、n满足，，且，求的值. 解：由题知m、n是方程的两个不相等的实数根，根据材料1，得，. 根据上述材料解决下面的问题： （1）一元二次方程的两根为、，则，____________； （2）已知实数m，n满足，，且，求的值； （3）已知实数p，q满足，，且，求的值. 20．已知关于x的一元二次方程有实根. （1）求m的取值范围. （2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$