21.2.3 因式分解法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.2.3 因式分解法（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1：因式分解法 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 例1 .解关于的一元二次方程：． 解题通法： ①将方程的右边化为0 ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【变式1-1】方程（x-2）2=3（x-2）的解是（　　） A. x=2 B. x=3 C. x1=2，x2=3 D. x1=2，x2=5 【变式1-2】阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误． （2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程． 【变式1-3】解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 【变式1-4】用合适的方法解下列关于的方程： （1）； （2）； 知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程 1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。 2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。 要点诠释： 1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法； ２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法. ３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）； ４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。 例2 .用适当的方法解下列方程： （1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8； （3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2． 解题通法： 选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。 【变式2-1】．用合适的方法解下列方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3) (4) 【变式2-2】．（1）关于x的方程，下列解法完全正确的是___________.（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲 乙 两边同时除以，得 移项得， ， 或， ， 丙 丁 整理得， ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， （2）选择合适的方法解方程：. 【变式2-3】．【阅读与理解】将多项式分解因式，我们可以按下面的方法分解： ①拆分二次项与常数项：，. ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： . ③横向写出两因式：.我们把这种分解因式的方法称为十字相乘法.根据乘法原理：若，则或，方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，. 【解决问题】 （1）试用上述方法和原理解下列方程： ①；②；③. （2）解方程. 【变式2-4】．用适当方法解方程： (1)； (2). 知识点3 一元二次方程的特殊解法 1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。 要点诠释： 用换元法解一元二次方程的策略 关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用. 例3 .阅读下列材料． 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ）． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． (4)当__________时，多项式存在最__________值（填“大”或“小”），这个最值是__________． 解题通法： ①换元：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它。 ②转化为简单的一元二次方程 ③解一元二次方程求解 ④回代：求出原方程的解。 【变式3-1】阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【变式3-2】已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 一、辨易错 解方程时，方程两边同时除以一个含未知数的式子导致失根。 例4．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得. 移项，得. . 或，解得. 其中完全正确的是( ) A.甲 B.甲和乙 C.乙 D.都不正确 【变式4-1】．下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务. 小刚同学： 解析：.第一步 .第二步 解得.第三步 小颖同学： 解析：.第一步 .第二步 .第三步 或.第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误.错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误.错误的原因是___________. 任务二：写出该方程的正确求解过程. 【变式3-2】．习题课上,数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 淇淇：解方程 解：移项： 第一步 分解因式 第二步 即或 第三步 所以, 第四步 (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程. 二、综合应用 例5.阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【变式5-1】阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+4-5=0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2 原方程可化为：t2+4t-5=0 【续解】 【变式5-1】提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，该方程的衍生点M为 ． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分 ） 1．一元二次方程的解是( ) A.， B.， C.， D.， 2．方程的根是( ) A. B. C., D., 3．已知某一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为( ) A. B. C. D. 4．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是( ) A.1 B. C. D.1或 5．对于实数m,n,定义运算“”：,例如：.若,则方程的根为( ) A.都为 B.都为0 C.0或10 D.5或 6．方程的根是( ) A. B. C., D., 7．解一元二次方程最适宜的方法是( ) A.直接开平方法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 8．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的一个根，则此三角形的周长为( ) A.17 B.11 C.15 D.11或15 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一根是________. 10．当_________时，与的值相等. 11．已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为______. 12．李伟同学在解关于x的一元二次方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为__________. 13．已知,则的值等于________. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．解方程： (1) (2) 15．用适当的方法解下列方程. (1)； (2). 16．解一元二次方程时,两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ,, 此方程无实数根. (1)判断：两位同学的解题过程是否正确,若正确,请在框内打“√”；若错误,请在框内打“×”. (2)请选择合适的方法求解此方程. 17．关于x的方程为一元二次方程. (1)求m的值. (2)求该一元二次方程的根. 18．定义：如果关于x的一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”,并说明理由. (2)已知是关于x的“黄金方程”,若m是此方程的一个根,则m的值为多少？ 19．阅读材料： 解方程时,我们可以将视为一个整体,然后设,则,原方程可化为.①解得,. 当时,,∴,∴； 当时,,∴,∴. ∴原方程的解为,,,. 解答下列问题： (1)填空：在由原方程得到①的过程中,利用______达到了降次的目的,体现了化归的数学思想. (2)解方程： ①； ②. 20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,一元二次方程的两个根是,,则方程是“邻根方程” (1)通过计算,判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的二次方程(m是常数)是“邻根方程”,求的值 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.2.3 因式分解法（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1：因式分解法 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 例1 .解关于的一元二次方程：． 解题通法： ①将方程的右边化为0 ②将方程左边分解为两个一次式的积； ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 【答案】． 【解析】移项，得：， ， ， ， ， 解得：． 【总结】本题考查了一元二次方程的解法，当系数比较大时，要注意寻找规律进行变型求解． 【变式1-1】方程（x-2）2=3（x-2）的解是（　　） A. x=2 B. x=3 C. x1=2，x2=3 D. x1=2，x2=5 【答案】D 【解析】首先移项，再提取公因式（x-2），进而分解因式得出即可． 解：（x-2）2=3（x-2）， （x-2）2-3（x-2）=0， （x-2）（x-2-3）=0， 解得：x1=2，x2=5． 故选：D． 【变式1-2】阿进用因式分解法解一元二次方程时，他做法如下： 解：方程两边分解因式，得，（第一步） 方程变形为，（第二步） 方程两边同时除以，得，（第三步） 系数化为1，得．（第四步） （1）阿进的解法是不正确的，他从第______步开始出现了错误． （2）请用阿进的方法完成这个题的解题过程． 【答案】（1）第三步 （2）过程见解析 【解析】对于（1），两边除以时，要考虑其是不是0即可判断； 对于（2），先确定公因式，再移项，然后提出公因式，即可得出答案． 【小问1详解】 当时，等式成立，所以从第三步开始出现错误； 故答案为：三； 【小问2详解】 ， 因式分解，得， 整理，得， 移项，得， 提公因式，得， 即或， ∴，． 【点睛】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，确定公因式是解题的关键． 【变式1-3】解关于的方程（因式分解方法）： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1） （2） ① ② ∴； 1 ② ∴． 【总结】本题考查了因式分解法解一元二次方程． 【变式1-4】用合适的方法解下列关于的方程： （1）； （2）； 【答案】（1）； （2）； 【解析】（1）， ， 解得：； （2） ， 解得：； 【总结】本题考查了一元二次方程的解法． 知识点2：灵活运用合适的方法解一元二次方程 1.在解一元二次方程时，配方法不常用，直接开平方法与因式分解法适用于特殊的—元二次方程，公式法适用于任意的一元二次方程，是解一元二次方程的通用方法。 2.选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。 要点诠释： 1）若给定的方程为（x—a）２＝b（b≠０）的形式（或经过简单变形可转化为这种形式），可采用直接开平方法； ２）若给定的一元二次方程可化为一边是零，另一边是易于分解成两个一次因式的积的形式，可采用因式分解法；若方程两边都是整式的乘积形式，且有公因式也可采用因式分解法. ３）不是特殊形式的方程，可在化为一般形式后，采用配方法或公式法（不易用因式分解时）； ４)用公式法求解时，要先计算b２—4ac的值，若b２—4ac<0，则此方程没有实数根。 例2 .用适当的方法解下列方程： （1）7x2＝21x； （2）x2﹣6x＝﹣8； （3）2x2﹣6x﹣1＝0； （4）9（x﹣2）2＝4（x+1）2． 解题通法： 选择解法的顺序：首先考虑用直接开平方法或因式分解法求解，如不便求解，再考虑用公式法或配方法求解。 【分析】（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0，再利用因式分解法求解即可； （2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0，再利用因式分解法求解即可； （3）直接利用公式法求解即可； （4）两边开方，得到两个一元一次方程，再求出方程的解即可． 【解答】解：（1）将原方程转化为7x2﹣21x＝0， ∴7x（x﹣3）＝0， ∴7x＝0或x﹣3＝0， 解得：x1＝0，x2＝3； （2）将原方程转化为x2﹣6x+8＝0， ∴（x﹣2）（x﹣4）＝0， ∴x﹣2＝0或x﹣4＝0， 解得：x1＝2，x2＝4； （3）∵a＝2，b＝﹣6，c＝﹣1， ∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×2×（﹣1）＝36+8＝44， ∴， ∴，； （4）将方程转化为3（x﹣2）＝±2（x+1）， ∴3（x﹣2）＝2（x+1）或3（x﹣2）＝﹣2（x+1）， 解得：x1＝8，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握解一元二次方程的方法，常用的方法有：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． 【变式2-1】．用合适的方法解下列方程： (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3) (4) 答案：(1)， (2)， (3)， (4)， 解析：(1)， ， ， ， ， 解得：，； (2)， ， 则，，， 则， 则， 解得：，； (3)， 整理得：， ， 则或， 解得：，； (4)， ， 或， 解得：，. 【变式2-2】．（1）关于x的方程，下列解法完全正确的是___________.（填“甲”“乙”“丙”或“丁”） 甲 乙 两边同时除以，得 移项得， ， 或， ， 丙 丁 整理得， ，，， ， ， ， 整理得， 配方得， ， ， ， （2）选择合适的方法解方程：. 答案：（1）丁 （2）， 解析：（1）方程两边不能同时除以，这样会漏解，故甲错误； 移项时没有变号，故乙错误； 没有将原方程整理成一元二次方程的一般形式，所以c的值错误，故丙错误； 利用配方法解方程，计算正确，故丁正确.故答案为丁. （2）因式分解，得， 或， ，. 【变式2-3】．【阅读与理解】将多项式分解因式，我们可以按下面的方法分解： ①拆分二次项与常数项：，. ②交叉相乘，验中项（交叉相乘后的结果相加，其结果须等于多项式中的一次项）： . ③横向写出两因式：.我们把这种分解因式的方法称为十字相乘法.根据乘法原理：若，则或，方程可以这样求解：方程左边因式分解得，所以原方程的解为，. 【解决问题】 （1）试用上述方法和原理解下列方程： ①；②；③. （2）解方程. 答案：（1）①，；②，；③， （2）， 解析：（1）①方程左边因式分解，得， 或，，. ②方程左边因式分解，得， 或，，. ③方程左边因式分解，得， 或，，. （2）方程左边因式分解，得， 或，，. 【变式2-4】．用适当方法解方程： (1)； (2). 答案：(1)， (2)， 解析：∵ ∴ ∴或 解得， (2)解析：∵， ∴， 则， 即， ∴或 解得，. 知识点3 一元二次方程的特殊解法 1.换元法：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的． 2.换元法功能：换元法又称变量替换法,是我们解题常用的方法之一。利用换元法,可以化繁为简,化难为易,从而找到解题的捷径。 要点诠释： 用换元法解一元二次方程的策略 关键是构造元和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化,复杂问题简单化,也体现了转化思想的运用. 例3 .阅读下列材料． 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，使于观察如何进行因式分解，我们把这种因式分解的方法称为“换元法”． 下面是小涵同学用换元法对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 请根据上述材料回答下列问题： (1)小涵同学的解法中，第二步到第三步运用了因式分解的（    ）． A．提取公因式法    B．平方差公式法    C．完全平方公式法 (2)老师说，小涵同学因式分解的结果不彻底，请你写出该因式分解的最后结果：__________． (3)请你用换元法对多项式进行因式分解． (4)当__________时，多项式存在最__________值（填“大”或“小”），这个最值是__________． 解题通法： ①换元：在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它。 ②转化为简单的一元二次方程 ③解一元二次方程求解 ④回代：求出原方程的解。 【答案】(1)C； (2)； (3)见解析； (4)1，小，． 【分析】（1）根据完全平方公式进行分解因式； （2）最后再利用完全平方公式将结果分解到不能分解为止； （3）结合材料，用换元法进行分解因式； （4）利用还原法把原式变形、分解，由即可得解． 【详解】（1）由第二步到第三步是运用了完全平方公式法， 故选C； （2） 设， 原式 故答案为：； （3）设， 原式 ； （4）设， 原式 即：当时，多项式存在最小值，为：． 【点睛】本题考查了因式分解的换元法，公式法，也是阅读材料问题，熟练掌握利用公式法分解因式是解题的关键． 【变式3-1】阅读下列材料：为解方程可将方程变形为然后设，则，原方程化为①，解①得．当时，无意义，舍去；当时，，解得原方程的解为； 上面这种方法称为“换元法”，把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题转化成简单的问题． (1)利用换元法解方程时，新字母设为，则___________，原方程化为___________，解得___________． (2)求方程的解． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了换元法解方程，正确换元是解题的关键； （1）根据题意，可设，于是原方程变形为，利用因式分解法求解即可． （2）根据，转化为方程，，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，可设，于是原方程变形为， 解得， 故答案为：，；． （2）解：根据题意，得，方程转化为，， 故， 解得； 当时，此时，方程无解， 故原方程的解为． 【变式3-2】已知实数满足，试求的值． 解：设． 原方程可化为，即，解得． ∵． 上面的这种方法称为“换元法”，换元法是数学学习中最常用的一种思想方法，在结构较复杂的数和式的运算中，若把其中某些部分看成一个整体，并用新字母代替（即换元），则能使复杂问题简单化．请根据以上阅读材料，解决问题． 已知实数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据换元法解一元二次方程是解题的关键．令，则原方程为，结合可得答案． 【详解】解：令； 则原方程为； 解得：或； ∵； ∴； ∴； 故答案为：． 一、辨易错 解方程时，方程两边同时除以一个含未知数的式子导致失根。 例4．某节数学课上，甲、乙两位同学都在黑板上解方程，解答过程如下所示： 甲 乙 两边同时除以，得. 移项，得. . 或，解得. 其中完全正确的是( ) A.甲 B.甲和乙 C.乙 D.都不正确 答案：C 解析：依题意，甲的解法错误，方程两边不能同时除以，这样会漏解； 乙利用解一元二次方程因式分解法，计算正确； 故选：C. 【变式4-1】．下面是小刚同学和小颖同学解一元二次方程的过程，请仔细阅读并完成相应的任务. 小刚同学： 解析：.第一步 .第二步 解得.第三步 小颖同学： 解析：.第一步 .第二步 .第三步 或.第四步 解得或第五步 任务一： ①小刚同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误.错误的原因是___________； ②小颖同学的解答过程中，从第___________步开始出现错误.错误的原因是___________. 任务二：写出该方程的正确求解过程. 答案：任务一：①二，方程两边同时除以可能为0的代数式； ②三，提公因式时，后边的未变号； 任务二：，. 解析：任务一： ①代数式的值可能为0， 小刚同学在第二步中，方程两边同时除以是错误的； ②小颖同学在第三步时提公因式时， 后边的是， 提公因式时，后一项应变号，而小颖同学没有变号， 小颖同学的做法错误； 任务二： ， 移项得：， 整理得：， 提公因式得：， 或， 解得：，. 【变式3-2】．习题课上,数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程： 嘉嘉：解方程 解：方程两边同时除以得 第一步 第二步 第三步 淇淇：解方程 解：移项： 第一步 分解因式 第二步 即或 第三步 所以, 第四步 (1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的； (2)请给出这道题的正确解答过程. 答案：(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步 (2)见解析. 解析：(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步； (2)移项：, 分解因式, 即或, 所以,. 二、综合应用 例5.阅读下面的材料，解答后面的问题 材料：“解方程x4-3x2+2=0” 解：设x2=y,原方程变为y2-3y+2=0，（y-1）（y-2）=0，得y=1或y=2 当y=1时，即x2=1，解得x=±1； 当y=2时，即x2=2，解得x=± 综上所述，原方程的解为x1=1，x2=-1，x3=．x4=- 问题：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是_____ A．加减消元法      B．代入消元法       C．换元法       D．待定系数法 （2）采用类似的方法解方程：（x2-2x）2-x2+2x-6=0． 【答案】C 【解析】（1）利用换元法解方程； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0，求出y,把y的值代入x2-2x=y,求出x即可． 解：（1）上述解答过程采用的数学思想方法是换元法． 故答案是：C； （2）设x2-2x=y,原方程化为y2-y-6=0， 整理，得 （y-3）（y+2）=0， 得y=3或y=-2 当y=3时，即x2-2x=3，解得x=-1或x=3； 当y=-2时，即x2-2x=-2，方程无解． 综上所述，原方程的解为x1=-1，x2=3． 【变式5-1】阅读下列“问题”与“提示”后，将解方程的过程补充完整，求出x的值． 【问题】解方程：x2+2x+4-5=0． 【提示】可以用“换元法”解方程． 解：设=t（t≥0），则有x2+2x=t2 原方程可化为：t2+4t-5=0 【续解】 【解析】利用因式分解法解方程t2+4t-5=0得到t1=-5，t2=1，再分别解方程=-5和方程=1，然后进行检验确定原方程的解． 解：（t+5）（t-1）=0， t+5=0或t-1=0， ∴t1=-5，t2=1， 当t=-5时，=-5，此方程无解； 当t=1时，=1，则x2+2x=1，配方得（x+1）2=2，解得x1=-1+，x2=-1-； 经检验，原方程的解为x1=-1+，x2=-1-． 【变式5-1】提出问题 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后可设，则，于是原方程可转化为，解此方程，得，． 当时，，，∴； 当时，，，∴． ∴原方程的解为，，，． 以上方法就是换元法解方程，从而达到了降次的目的，体现了转化的思想． 解决问题 （1）运用上述换元法解方程． 延伸拓展 （2）已知实数m，n满足，求的值． 【答案】（1），；（2） 【分析】（1）根据材料提示，利用换元法解方程即可求解； （2）按整式的乘法，先展开，再合并同类项，利用完全平方公式以及材料中换元法解方程即可求解． 【详解】解：解决问题：（1）设， ∴原方程变形为，解得，，， 当时，，故舍去； 当时，，解得，，； 综上所示，原方程的解为，． 延伸拓展：（2） ∴， ∴原式变形为， ∴，设， ∴，则，解得，，即， ∵， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查解方程的运用，掌握整体思想，换元思想解方程，完全平方公式的变形是解题的关键． 我们给出定义：若关于x的一元二次方程（a≠0）的两个实数根为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点M（，），则称点M为该一元二次方程的衍生点． (1)若方程为，该方程的衍生点M为 ． (2)若关于x的一元二次方程的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值． (3)是否存在b，c，使得不论k（k≠0）为何值，关于x的方程的衍生点M始终在直线y＝kx+2（k+3）的图象上，若有请求出b，c的值，若没有说明理由． 【答案】(1)（1，2） (2)或 (3)存在，， 【分析】（1）解方程后，根据定义即可求M点坐标； （2）求出方程的解为x = 1或x = 5m，再分情况讨论：当5m≥1时，此时M (1，5m)；当0≤5m≤1时，此时M (5m，1)，当5m < 0时，M (5m，1)；再由题意分别求出m的值即可； （3）由直线经过定点(2，6)，则方程+bx +c = 0的衍生点M为(2，6)，即可求出b= 4，c=12． 【详解】（1）∵的解为x=1或2， ∴， ∴M (1，2)， 该方程的衍生点M的坐标(1，2)， 故答案为：（1，2）； （2）∵的解为x=1或x=5m， 当时，，此时M (1，5m)， 由题意可得1 = 5m， 解得m =， 当时，，此时M (5m，1)， ∴5m=1， ∴m=； 当5m < 0时，M (5m，1)，此时， 解得m =； 综上，m的值为或； （3）存在b，c满足条件，理由如下： ∵， ∴直线经过定点， ∴方程 + bx + c = 0的衍生点M为， ∴将和代入可得, 解得，． 【点睛】本题属于一元二次方程与一次函数综合题，考查一元二次方程的解法，一次函数的图象及性质，点M为该一元二次方程的衍生点的定义，解题的关键是理解题意，熟练掌握一次函数的图象及性质，学会用分类讨论的思想解决问题． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分 ） 1．一元二次方程的解是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：B 解析：， ， 或， ，， 故选B. 2．方程的根是( ) A. B. C., D., 答案：D 解析： 移项,得, 因式分解,得, 则或, 解得,. 故选：D. 3．已知某一元二次方程的两根分别为，，则这个方程可能为( ) A. B. C. D. 答案：A 解析：A、，解得：，，符合题意； B、，解得：，，不符合题意； C、，解得：，，不符合题意； D、，解得：，，不符合题意； 故选：A. 4．如图，根据小丽与的对话，在深度思考后，给出的答案是( ) A.1 B. C. D.1或 答案：A 解析：设这个数为x， 则有 移项得：， 根据完全平方公式， 对进行因式分解可得： ， 根据平方根得性质，若，则， 所以，解得. 故选A. 5．对于实数m,n,定义运算“”：,例如：.若,则方程的根为( ) A.都为 B.都为0 C.0或10 D.5或 答案：C 解析：根据定义运算可得, 即为, 即, ,, 则方程的根为0或. 故选：C. 6．方程的根是( ) A. B. C., D., 答案：D 解析： 或 ,, 故选：D. 7．解一元二次方程最适宜的方法是( ) A.直接开平方法 B.公式法 C.因式分解法 D.配方法 答案：C 解析：解一元二次方程最适宜的方法是因式分解法. 故选C. 8．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程的一个根，则此三角形的周长为( ) A.17 B.11 C.15 D.11或15 答案：C 解析：，， 解得，.若，则三角形的三边长分别为4，5，6， 其周长为；若，，则不能构成三角形， 故此三角形的周长是15. 故选C. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知关于x的方程的一个根是，则它的另一根是________. 答案：2 解析：把代入方程，得， 解得， 把代入原方程，得， 解得，. 故答案为：2. 10．当_________时，与的值相等. 答案： 解析：根据题意，得. 去分母，得. 去括号，得. 移项、合并同类项，得. 将未知数的系数化为1，得. 11．已知关于x的方程，若方程的两个实数根都是整数，则整数k的值为______. 答案： 解析：根据题意可知，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵方程的两个实数根都是整数， ∴， 故答案为：. 12．李伟同学在解关于x的一元二次方程时，误将看作，结果解得，，则原方程的解为__________. 答案：， 解析：由题意得的解为，， 可得， 所以原方程为， 分解因式得，解得，. 故答案为，. 13．已知,则的值等于________. 答案：3 解析:设, 原方程化为:, 解得,, , . 故答案为:3. 三、解答题（每小题8分，共56分） 14．解方程： (1) (2) 答案：(1) (2)，. 解析：， ， 或， ，； (2)解析： ， ， ∴ ，. 15．用适当的方法解下列方程. (1)； (2). 答案：(1), (2), 解析：(1), 因式分解得：, ∴,, 解得：,. (2), 移项得：, 因式分解得：, ∴,, 解得：,. 16．解一元二次方程时,两位同学的解法如下： 解法一： 或 或 解法二： ,, 此方程无实数根. (1)判断：两位同学的解题过程是否正确,若正确,请在框内打“√”；若错误,请在框内打“×”. (2)请选择合适的方法求解此方程. 答案：(1)两位同学均错 (2), 解析：(1)两位同学的解题过程都不正确. (2), , 或, 所以,. 17．关于x的方程为一元二次方程. (1)求m的值. (2)求该一元二次方程的根. 答案：(1) (2), 解析：(1)∵关于x的方程为一元二次方程, ∴, 解得,. (2)由(1)可得,, ∴,即, ∴, ∴,. 18．定义：如果关于x的一元二次方程满足,那么我们称这个方程为“黄金方程”. (1)判断一元二次方程是否为“黄金方程”,并说明理由. (2)已知是关于x的“黄金方程”,若m是此方程的一个根,则m的值为多少？ 答案：(1)方程是“黄金方程”,理由见解析 (2)或 解析：(1)方程是“黄金方程”,理由如下： ,,, , 一元二次方程是“黄金方程”； (2)是关于x的“黄金方程”, ,,, , , , 原方程可化为, 是此方程的一个根, ,即, 解得或. 19．阅读材料： 解方程时,我们可以将视为一个整体,然后设,则,原方程可化为.①解得,. 当时,,∴,∴； 当时,,∴,∴. ∴原方程的解为,,,. 解答下列问题： (1)填空：在由原方程得到①的过程中,利用______达到了降次的目的,体现了化归的数学思想. (2)解方程： ①； ②. 答案：(1)换元 (2)①,；②,,, 解析：(1)原方程得到方程①的过程中,利用换元法达到了降次的目的,体现了转化的数学思想, 故答案为：换元； (2)①设, 则方程可化为：, 解得：,, 当时,,解得：,, 当时,,此方程无实数根, 原方程的解是：,； ②设, 则原方程可化为：, 解得：,, 当时,,解得：,, 当时,,解得：,, ∴原方程的解为：,,,. 20．如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根比另一个根大1,一元二次方程的两个根是,,则方程是“邻根方程” (1)通过计算,判断方程是否是“邻根方程”； (2)已知关于x的二次方程(m是常数)是“邻根方程”,求的值 答案：(1)是,理由见解析 (2)8或6 解析：(1)解方程得：或, ∵, ∴是“邻根方程”； (2)由方程解得：或, 由于关于x的二次方程(m是常数)是“邻根方程”, 则或, 解得或6. 学科网（北京）股份有限公司 $$