21.1一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）大单元分层优化练2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.1一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测） 知识点1 一元二次方程的定义 1.一元二次方程定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。 2.概念解析： 一元二次方程满足三个条件：（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程. 例1-1 .下列方程中，关于x的一元二次方程是（ 　　） A. x2﹣x（x+3）＝0 B. ax2+bx+c＝0 C. x2﹣2x﹣3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0 解题通法： 判断一个方程是否一元二次方程抓住五个方面：①“化简后”②一个未知数③未知数最高次数是2④二次项系数不为0⑤整式方程 例1-2 .关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1 解题通法： 紧扣两个点：①最高次数是2，②二次项系数不为0 【变式1-1】下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ). A. B. C. D. 【变式1-2】．下列方程是关于的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 【变式1-3】．若关于x的方程是一元二次方程，则_______. 【变式1-4】．下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个学生的答案，判断谁的答案正确.若都不正确，请给出正确的解答过程. 题目：若是关于x的一元二次方程，则a，b的值各是多少？ 学生甲：根据题意，得解得 学生乙：根据题意，得或解得或 知识点2 一元二次方程的一般形式 1. 一元二次方程的一般形式： 2. 概念解析： 一元二次方程经过整理后化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，叫做一元二次方程的一般形式 在一般式中，当b＝0时，则有这两种形式 a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项 注意：a0 例2 .把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2x2=1-3x （2）5x（x-2）=4x2-3x. 解题通法： 要确定一元二次方程二次项、一次项、常数项，必须先把一元二次方程化为一般形式。 【变式2-1】1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 【变式2-2】将方程化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________. 知识点3 一元二次方程的解 1.一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边值相等的未知数的值，叫一元二次方程的解。也叫方程的根。 2.概念解析：一元二次方程如果有实数解，一定有两个，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的解，一定有ax12+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0成立.，可利用这两个等式求未知量。 例3-1.若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 解题通法： 已知某个值是方程的解求参数把这个值代入方程即可，判断某个值是否方程的解，分别代入方程左边、右边，左右两边值相等即为方程的解。 【变式3-1】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为( ) A. B. C.5 D.7 【变式3-2】．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是( ) A. B. C. D. 【变式3-3】．关于x的方程,其中a,b,c满足和.则该方程的根是( ) A.1,3 B.1, C.,3 D., 【变式3-4】．观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是( ) x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 -0.99 -0.86 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 A.0.09 B.1.1 C.1.6 D.1.7 知识点4 根据实际问题列一元二次方程 1.审题  明确已知量与未知量，识别题目中的等量关系。这是解题的基础，需仔细分析题目条件，避免遗漏关键信息。 2.设元 直接设 ：直接设未知数为题目所问的量（如增长率、面积等）。 间接设 ：当直接设未知数复杂时，通过引入辅助变量间接求解。 3.列方程  根据等量关系建立一元二次方程。需注意单位统一，方程两边代数式需对应同一类量。 例4．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在黑龙江哈尔滨举行.在亚冬会到来之际，某校组织了一次旱地冰球比赛，比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），共进行了30场比赛.设该校有x个队参赛，则根据题意可列方程为___________. 解题通法： 1. 审题 ：明确已知量与未知量，识别题目中的等量关系。这是解题的基础，需仔细分析题目条件，避免遗漏关键信息。 2. 设元：表示题目中的未知量 3.列方程：根据等量关系建立一元二次方程。 【变式4-1】．．如图是一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设相同宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为.设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【变式4-2】．．某地区居民2018年年人均收入为200美元,预计2020年年人均收入将达到1000美元,设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x,可列方程为( ) A. B. C. D. 【变式4-3】．．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 1、辩易错： 忽视一元二次方程中二次项系数不为0出错 例5.若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值． 【变式5-1】．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 【变式5-2】若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 2.综合应用 例6 .将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 【变式6-1】．若两个不同的方程和有公共根，则常数m的值是___________. 【变式6-2】．若a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是( ) A.2026 B.2025 C.2023 D.2022 【变式6-3】．（1）观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 ， ， ， ， ， ， … … … … 猜想：方程（，，）的两个根与方程__________的两个根互为倒数； （2）请证明你的猜想.（提示：采用“换元法”） 已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则a2-2019a++10 的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ). A. B. C. D. 2．把一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 3．关于x的方程,其中a,b,c满足和.则该方程的根是( ) A.1,3 B.1, C.,3 D., 4．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价.某种药品原价为元，在连续进行两次降价后价格调整为元.设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 5．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A. B.0 C.或2 D.2 6．若a是方程的一个根，则的值为( ) A.2020 B. C.2022 D.2023 7．设，下表列出了x与y的6对对应值： x -1 0 1 2 3 4 y -7 -5 -1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是( ) A. B. C. D. 8．欧几里得的《几何原本》记载，方程的图解法如下:画，使，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是( ) A. 的长 B. 的长 C.的长 D. 的长 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知关于x的方程的一个根是1，则实数k等于_______. 10．方程化为一元二次方程的一般形式是______． 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为___________. 12．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：，若关于x的方程的一个实数根为4，则_________. 13．已知关于x的一元二次方程,其中分别为三边的长.若是方程的根,则是__________三角形. 三、解答题（共7小题，每小题8分，共56分） 14．小明说：“关于x的方程不可能是一元二次方程.”你认为小明的话有道理吗？为什么？ 15．在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值. （1）方程的中点值是______； （2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时的值为______. 16．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程. 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得. 他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程. 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________. 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值.（结果保留一位小数） 17．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根. （1）（，，）. （2）（，，）. （3）（，，）. （4）（，，）. 18．请阅读下列材料: 问题:已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则,所以. 把代入已知方程,得. 化简,得, 故所求方程为. 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”. 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式). (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________. (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 19．已知关于x的方程. （1）当m取何值时，此方程是一元二次方程？并求出此时方程的解. （2）当m取何值时，此方程是一元一次方程？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025学年人教版九年级数学上大单元分层优化练 21.1一元二次方程（基础练+提升练+拓展练+达标检测）（解析版） 知识点1 一元二次方程的定义 1.一元二次方程定义： 只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程。 2.概念解析： 一元二次方程满足三个条件：（1）只含一个未知数，（2）未知数的最高次数为2（3）整式方程. 例1-1 .下列方程中，关于x的一元二次方程是（ 　　） A. x2﹣x（x+3）＝0 B. ax2+bx+c＝0 C. x2﹣2x﹣3＝0 D. x2﹣2y﹣1＝0 解题通法： 判断一个方程是否一元二次方程抓住五个方面：①“化简后”②一个未知数③未知数最高次数是2④二次项系数不为0⑤整式方程 【答案】C 【解析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 解：A、x2﹣x（x+3）＝0，化简后为﹣3x＝0，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； B、ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； C、x2﹣2x﹣3＝0是关于x的一元二次方程，故此选项符合题意； D、x2﹣2y﹣1＝0含有2个未知数，不是关于x的一元二次方程，故此选项不合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”． 例1-2 .关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程，则m的值是（　　） A．﹣1 B．3 C．1 D．1或﹣1 解题通法： 紧扣两个点：①最高次数是2，②二次项系数不为0 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求解． 【解答】解：∵关于x的方程（m+1）x|m|+1﹣mx+6＝0是一元二次方程， ∴|m|+1＝2且m+1≠0， 解得m＝1． 故选：C． 【点评】本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键． 【变式1-1】下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ). A. B. C. D. 答案：C 解析：A.,若,是一元一次方程,故不符合题意； B.,是分式方程,故不符合题意； C.,符合一元二次方程的定义,故符合题意； D.,是一元三次方程,故不符合题意. 故选：C. 【变式1-2】．下列方程是关于的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：A、方程中含有和y两个未知数,不满足一元二次方程只含有一个未知数的条件,所以该方程不是一元二次方程； B、方程,只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2,同时它也是整式方程,符合一元二次方程的定义,所以该方程是一元二次方程； C、对进行化简,移项可得,即,未知数的最高次数是1,是一元一次方程,不是一元二次方程； D、方程,当时,方程变为,此时未知数最高次数是1,不是一元二次方程,只有当时,它才是一元二次方程,所以该方程不一定是一元二次方程. 故选：B. 【变式1-3】．若关于x的方程是一元二次方程，则_______. 答案：0 解析：根据题意可得，， 解得， 故答案为：0. 【变式1-4】．下面是一道作业题，请仔细阅读甲、乙两个学生的答案，判断谁的答案正确.若都不正确，请给出正确的解答过程. 题目：若是关于x的一元二次方程，则a，b的值各是多少？ 学生甲：根据题意，得解得 学生乙：根据题意，得或解得或 答案：都不正确，或或或或 解析：都不正确. 根据题意，得或或或或 解得或或或或 知识点2 一元二次方程的一般形式 1. 一元二次方程的一般形式： 2. 概念解析： 一元二次方程经过整理后化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，叫做一元二次方程的一般形式 在一般式中，当b＝0时，则有这两种形式 a叫做二次项系数， b 叫做一次项系数， c叫做常数项 注意：a0 例2 .把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 （1）2x2=1-3x （2）5x（x-2）=4x2-3x. 解题通法： 要确定一元二次方程二次项、一次项、常数项，必须先把一元二次方程化为一般形式。 【解析】一元二次方程ax2+bx+c=0（a,b,c是常数且a≠0）的a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 解：（1）2x2=1-3x一般形式为2x2+3x-1=0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1； （2）5x（x-2）=4x2-3x.一般形式为x2-7x=0，二次项系数为1，一次项系数为-7，常数项为0． 【变式2-1】1．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）. 答案：见解析 解析：（1）一般形式为.二次项系数为3；一次项系数为；常数项为1. （2）一般形式为.二次项系数为4；一次项系数为5；常数项为. （3）一般形式为.二次项系数为1；一次项系数为5；常数项为0. （4）一般形式为.二次项系数为1；一次项系数为；常数项为1. （5）一般形式为.二次项系数为1；一次项系数为0；常数项为10. （6）一般形式为.二次项系数为1；一次项系数为2；常数项为. 【变式2-2】将方程化为一般形式为____________，其中二次项系数为________，一次项系数为________. 答案：；3；5 解析：将，开展为一般形式为：； 则可知一次项系数为5，二次项系数为3， 故答案为：，3，5. 知识点3 一元二次方程的解 1.一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边值相等的未知数的值，叫一元二次方程的解。也叫方程的根。 2.概念解析：一元二次方程如果有实数解，一定有两个，若x1、x2是方程ax2+bx+c=0 （a≠0）的解，一定有ax12+bx1+c=0, ax22+bx2+c=0成立.，可利用这两个等式求未知量。 例3-1.若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 解题通法： 已知某个值是方程的解求参数把这个值代入方程即可，判断某个值是否方程的解，分别代入方程左边、右边，左右两边值相等即为方程的解。 【分析】根据一元二次方程根的定义，将﹣1代入关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案． 【解答】解：由题意得： 把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0， 得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0， 解得：k＝±3， ∵k﹣3≠0， ∴k≠3， ∴k＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键． 【变式3-1】已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为( ) A. B. C.5 D.7 答案：C 解析：把代入关于x的一元二次方程得： ， ， 故选：C 【变式3-2】．若，则下列x的值一定是关于x的方程的根的是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：， ， 原方程可化为：， A、当时，，故不符合题意； B、当时，，故不符合题意； C、当时，，故不符合题意； D、当时，，故符合题意； 故选：D. 【变式3-3】．关于x的方程,其中a,b,c满足和.则该方程的根是( ) A.1,3 B.1, C.,3 D., 答案：B 解析：由题意可知,当时,； 当时,； ∴该方程的根是1,, 故选：B. 【变式3-4】．观察下列表格，一元二次方程的最精确的一个近似解是( ) x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 -0.99 -0.86 -0.71 -0.54 -0.35 -0.14 0.09 0.34 0.61 A.0.09 B.1.1 C.1.6 D.1.7 答案：D 解析：时，的值为0.09，与0最接近，一元二次方程的最精确的一个近似解是1.7. 故选D. 知识点4 根据实际问题列一元二次方程 1.审题  明确已知量与未知量，识别题目中的等量关系。这是解题的基础，需仔细分析题目条件，避免遗漏关键信息。 2.设元 直接设 ：直接设未知数为题目所问的量（如增长率、面积等）。 间接设 ：当直接设未知数复杂时，通过引入辅助变量间接求解。 3.列方程  根据等量关系建立一元二次方程。需注意单位统一，方程两边代数式需对应同一类量。 例4．第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日至2月14日在黑龙江哈尔滨举行.在亚冬会到来之际，某校组织了一次旱地冰球比赛，比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），共进行了30场比赛.设该校有x个队参赛，则根据题意可列方程为___________. 解题通法： 1. 审题 ：明确已知量与未知量，识别题目中的等量关系。这是解题的基础，需仔细分析题目条件，避免遗漏关键信息。 2. 设元：表示题目中的未知量 3.列方程：根据等量关系建立一元二次方程。 答案： 解析：由题意可列方程为. 【变式4-1】．．如图是一块长，宽的矩形菜地，现要在中间铺设相同宽度的石子路，余下的部分用于种植，且种植面积为.设石子路的宽度为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：根据题意，得.故选B. 【变式4-2】．．某地区居民2018年年人均收入为200美元,预计2020年年人均收入将达到1000美元,设2018年到2020年该地区居民人均收入平均年增长率为x,可列方程为( ) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵2019年的收入为： ∴2020年的收入为： ∵2020年收入为1000美元 ∴列出方程为：. 故选：B. 【变式4-3】．．“凤鸣”文学社在学校举行的图书共享仪式上互赠图书，每名同学都把自己的图书向本组其他成员赠送一本，某组共互赠了210本图书，如果设该组共有x名同学，那么依题意可列出的方程是（ ） A. B. C. D. 答案：B 解析：该组共有x名同学，则每名同学都要赠送本，因此可列方程为，故选B. 1、辩易错： 忽视一元二次方程中二次项系数不为0出错 例5.若关于x的一元二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m﹣4＝0的常数项为0．求m的值． 【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0），a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项． 【解答】解：由题意，得： m2﹣3m﹣4＝0，且m+1≠0， 解得m＝4． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 【变式5-1】．关于x的一元二次方程（m-3）x2+m2x=9x+5化为一般形式后不含一次项，则m的值为（　　） A. 0 B. ±3 C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】把原方程化为一般形式，根据一元二次方程的定义、一次项的概念列式计算即可． 解：（m-3）x2+m2x=9x+5， （m-3）x2+（m2-9）x-5=0， 由题意得：m-3≠0，m2-9=0， 解得：m=-3， 故选：D． 【变式5-2】若关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0有一个根为﹣1，则k的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．±3 D．9 【分析】根据一元二次方程根的定义，将﹣1代入关于x的一元二次方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0得到关于k的方程求解，再根据一元二次方程定义确定k值即可得到答案． 【解答】解：由题意得： 把x＝﹣1代入方程（k﹣3）x2+6x+k2﹣k＝0， 得：（k﹣3）﹣6+k2﹣k＝0， 解得：k＝±3， ∵k﹣3≠0， ∴k≠3， ∴k＝﹣3， 故选：A． 【点评】本题考查一元二次方程的定义及一元二次方程根的定义，熟练掌握相关概念是解决问题的关键． 2.综合应用 例6 .将4个数a，b，c，d排成2行2列，两边各加一条竖线，记成，定义＝ad﹣bc．上述记法就叫做二阶行列式．那么＝22表示的方程是一元二次方程吗？请写出它的一般形式． 【分析】根据二阶行列式计算方法列出方程． 【解答】解：根据题意，得：（x+1）•2x﹣（x+2）（x﹣2）＝22， 整理，得2x2+2x﹣x2+4＝22， 即：x2+2x﹣18＝0， 它符合一元二次方程的定义． 【点评】考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的一般形式，有理数的混合运算，掌握新定义运算法则是解题的关键． 【变式6-1】．若两个不同的方程和有公共根，则常数m的值是___________. 答案： 解析：设方程和的公共根为t，则得.如果，那么两个方程均为，不符合题意；如果，那么，把代入①，得，解得.故常数m的值为. 【变式6-2】．若a是关于x的一元二次方程的一个根，则的值是( ) A.2026 B.2025 C.2023 D.2022 答案：D 解析：是关于x的一元二次方程的一个根，，，故选D. 【变式6-3】．（1）观察下表中每个方程的解的特点： 方程 方程的解 方程 方程的解 ， ， ， ， ， ， … … … … 猜想：方程（，，）的两个根与方程__________的两个根互为倒数； （2）请证明你的猜想.（提示：采用“换元法”） 答案：（1） （2）证明见解析 解析：（1）由表格可得方程（，，）的两个根与方程的两个根互为倒数， 故答案为. （2）证明：由题易得，则两边同除以，得. 设，方程可变形为， 设方程的解是，， 可得方程的解是，. 把代入，得；把代入，得， 所以方程的解是，， 即方程（，，）的两个根与方程的两个根互为倒数. 已知a是方程x2﹣2020x+4＝0的一个解，则a2-2019a++10 的值为（　　） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+4＝0，变形得到a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a，然后利用整体代入的方法进行计算． 【解答】解：由题意得：a2﹣2020a+4＝0， ∴a2＝2020a﹣4，a2+4＝2020a， ∴原式＝2020a﹣4﹣2019a+ +10 ＝a-4++10 ＝+6 ＝+6 ＝2026． 故选：D． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是关键． 达标检测 一、选择题（每小题3分，共24分） 1．下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( ). A. B. C. D. 答案：C 解析：A.,若,是一元一次方程,故不符合题意； B.,是分式方程,故不符合题意； C.,符合一元二次方程的定义,故符合题意； D.,是一元三次方程,故不符合题意. 故选：C. 2．把一元二次方程化为一般形式后，二次项系数为( ) A.1 B.2 C.3 D.5 答案：A 解析：化为一般形式为， 二次项系数为1，故A正确. 故选：A. 3．关于x的方程,其中a,b,c满足和.则该方程的根是( ) A.1,3 B.1, C.,3 D., 答案：B 解析：由题意可知,当时,； 当时,； ∴该方程的根是1,, 故选：B. 4．为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价.某种药品原价为元，在连续进行两次降价后价格调整为元.设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 答案：C 解析：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得： ， 故选：C. 5．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A. B.0 C.或2 D.2 答案：D 解析：方程是关于的一元二次方程， 且， 解得， 故选：D 6．若a是方程的一个根，则的值为( ) A.2020 B. C.2022 D.2023 答案：C 解析：a是方程的一个根， ，则， ， 故选：C. 7．设，下表列出了x与y的6对对应值： x -1 0 1 2 3 4 y -7 -5 -1 5 13 23 根据表格能够发现一元二次方程的一个解的大致范围是( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：观察二次函数的6对对应值，可得： 当时，对应y的值的范围为， 又， 当时，对应的一元二次方程的一个解x的范围为. 故选：D. 8．欧几里得的《几何原本》记载，方程的图解法如下:画，使，再在斜边上截取，则该方程的一个正根是( ) A. 的长 B. 的长 C.的长 D. 的长 答案：C 解析：在中,由勾股定理可得,,，与方程相同,且的长度为正数,∴的长是方程的一个正根.故选C. 二、填空题（每小题4分，共20分） 9．已知关于x的方程的一个根是1，则实数k等于_______. 答案： 解析：∵关于x的方程的一个根是， ∴把代入， 可得：， 解得：. 故答案为：. 10．方程化为一元二次方程的一般形式是______． 答案： 解析：∵ ∴ ∴ 故答案为： 11．若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为___________. 答案：5 解析：方程是关于x的一元二次方程， 且， 解得. 12．对于实数a，b，我们定义一种新的运算#，规定：，若关于x的方程的一个实数根为4，则_________. 答案：3 解析：由题意得，， 其一个实数根为4， ， 解得， 故答案为：3. 13．已知关于x的一元二次方程,其中分别为三边的长.若是方程的根,则是__________三角形. 答案：等腰 解析：把代入得，所以,所以为等腰三角形. 三、解答题（共7小题，每小题8分，共56分） 14．小明说：“关于x的方程不可能是一元二次方程.”你认为小明的话有道理吗？为什么？ 答案：有道理.理由见解析 解析：有道理.理由：若关于x的方程是一元二次方程， 则，解得，此时， 故关于x的方程不可能是一元二次方程. 15．在一元二次方程中，若，则称a是该方程的中点值. （1）方程的中点值是______； （2）已知的中点值是3，其中一个根是2，则此时的值为______. （1）答案：4 解析：由，得， ， 该方程的中点值为4. （2）答案：48 解析：由，得， 该方程的中点值为3， ，解得. 的一个根是2， ，即， 解得. 符合题意. . 16．阅读与思考： 下面是小华求一元二次方程的近似解的过程. 如图，这是一张长、宽的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个同样大小的正方形，可制成一个底面积是的无盖长方体纸盒.小华在做这道题时，设剪去的正方形边长为，列出关于x的方程，整理得. 他想知道剪去的边长到底是多少，下面是他的探索过程. 探索方程的解： 第一步： x 0 1 2 17 9 因此：____________. 第二步： x 1.5 1.6 1.7 1.8 0.75 0.36 因此：____________. （1）请你帮助小华完成表格中未完成的部分，并写出x的范围； （2）通过以上探索，请直接估计出x的值.（结果保留一位小数） 答案：（1）3，，1，2，，， （2） 解析：（1）第一步：当时， ， 当时， ， ； 第二步：当时，， 当时，， . 故答案为：3，，1，2，，，； （2）通过以上探索，x的值约为. 17．判断下列各题括号内未知数的值是不是方程的根. （1）（，，）. （2）（，，）. （3）（，，）. （4）（，，）. 答案：（1）、是方程的根，不是方程的根 （2）、是方程的根，不是方程的根 （3）、是方程的根，不是方程的根 （4）是方程的根，、不是方程的根 解析：（1）当时， ， 当时， ， 当时， ， 、是方程的根，不是方程的根， 故答案为：、是方程的根，不是方程的根. （2）当时， ， 当时， ， 当时， ， 、是方程的根，不是方程的根， 故答案为：、是方程的根，不是方程的根. （3）当时， ， 当时， ， 当时， 、是方程的根，不是方程的根， 故答案为：、是方程的根，不是方程的根. （4）当时， 方程左边， 方程右边， 方程左边=方程右边； 当时， 方程左边， 方程右边， 方程左边方程右边； 当时， 方程左边 方程右边 方程左边方程右边； 是方程的根，、不是方程的根， 故答案为：是方程的根，、不是方程的根. 18．请阅读下列材料: 问题:已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍. 解:设所求方程的根为y,则,所以. 把代入已知方程,得. 化简,得, 故所求方程为. 这种利用方程的代换求新方程的方法，我们称为“换元法”. 请用阅读材料提供的“换元法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式). (1)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为__________. (2)已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数. 答案：(1) (2) 解析：(1)设所求方程的根为y,则,所以.把代入已知方程,得 .化简得,故所求方程为.故答案为. (2)设所求方程的根为y,则,所以.把代入已知方程,得.化简得,即所求方程为. 19．已知关于x的方程. （1）当m取何值时，此方程是一元二次方程？并求出此时方程的解. （2）当m取何值时，此方程是一元一次方程？ 答案：解：（1）当时，关于x的方程是一元二次方程， 方程的解为，. （2）当或0时，关于x的方程是一元一次方程. 解析： 20．已知关于的方程. （1）当取何值时，该方程是一元二次方程？ （2）当取何值时，该方程是一元一次方程？ 答案：（1）是一元二次方程， 则，解得. 当时，方程是一元二次方程. （2）是一元一次方程， ①，解得； ②，解得. 当或时，方程是一元一次方程. 学科网（北京）股份有限公司 $$