人教版七年级数学上册全册教学设计

目录 学科网（北京）股份有限公司 第一章　有理数 1.1　正数和负数1 1.2　有理数及其大小比较3 1.2.1　有理数的概念3 1.2.2　数　轴5 1.2.3　相反数7 1.2.4　绝对值9 1.2.5　有理数的大小比较11 第二章　有理数的运算 2.1　有理数的加法与减法13 2.1.1　有理数的加法13 第1课时　有理数的加法法则13 第2课时　有理数加法的运算律15 2.1.2　有理数的减法17 第1课时　有理数的减法法则17 第2课时　有理数加减混合运算19 2.2　有理数的乘法与除法21 2.2.1有理数的乘法21 第1课时　有理数的乘法法则21 第2课时　乘法的运算律23 2.2.2　有理数的除法25 第1课时　有理数的除法25 第2课时　加减乘除混合运算27 2.3有理数的乘方29 2.3.1　乘　方29 第1课时　有理数的乘方29 第2课时　有理数的混合运算31 2.3.2　科学记数法33 2.3.3　近似数35 第三章　代数式 3.1列代数式表示数量关系37 第1课时　代数式37 第2课时　列代数式　39 第3课时　反比例关系41 3.2　代数式的值43 第四章　整式的加减 4.1　整　式45 第1课时　单项式45 第2课时　多项式47 4.2　整式的加法与减法49 第1课时　合并同类项49 第2课时　去括号52 第3课时　整式的加减54 第五章　一元一次方程 5.1　方程56 5.1.1　从算式到方程56 第1课时　方　程56 第2课时　一元一次方程58 5.1.2　等式的性质60 5.2　解一元一次方程　62 第1课时　合并同类项解一元一次方程 62 第2课时　移项解一元一次方程64 第3课时　去括号解一元一次方程66 第4课时　去分母解一元一次方程68 5.3　实际问题与一元一次方程70 第1课时　配套、工程问题70 第2课时　销售、球赛积分问题72 第3课时　方案比较、分段计费问题74 第六章　几何图形初步 6.1　几何图形76 6.1.1　立体图形与平面图形76 第1课时　认识立体图形与平面图形76 第2课时　从不同的方向看立体图形和立体 图形的展开图78 6.1.2　点、线、面、体80 6.2　直线、射线、线段82 6.2.1　直线、射线、线段82 6.2.2　线段的比较与运算84 6.3　角87 6.3.1　角87 6.3.2　角的比较与运算89 第1课时　角的比较与运算89 第2课时　角平分线91 6.3.3　余角和补角93 第一章　有理数 1.1　正数和负数 理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量. 1.通过实际生活情境,抽象出负数的概念,并学会用符号表示正数和负数. 2.会用正数和负数表示具有相反意义的量,认识“0”的意义. 3.使学生经历对正负数的学习,体会数学与生活的紧密联系,培养学生分析和解决实际问题的能力. 重点:会判断正数、负数,运用正负数表示具有相反意义的量,理解“0”表示的意义. 难点:对负数的理解以及相反意义的量的理解. 1.通过身边熟悉的事物,让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要,数学与我们的生活密不可分. 2.让学生充分思考,交流探究,进一步体会“负”与“正”是相对的,是表示相反意义的量.经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣;提升学生的能力,促进学生的发展. (一)情境导入 数学与数是分不开的,它是一门研究数的学问.现在我们一起来回忆一下,小学里已经学过哪些类型的数? 学生回答后,教师指出:小学里学过的数可以分为三类:自然数、分数和小数,它们都是由于实际需要而产生的. 观察下列图片,体会数的产生和发展过程. 根据实际生活的需要,人们引进了另一种数,你知道是什么数吗?结合你在实际生活中接触到的数,试举例. (二)新知初探 探究一　正数和负数的概念 在生活、生产和科研中,经常遇到数的表示和运算等问题. 例如:北京冬季里某一天的气温为-3 ℃~3 ℃.“3 ℃”的含义是什么?“-3 ℃”的含义是什么? 追问1　零上温度与零下温度是具有相反意义的量,零上4摄氏度怎样表示?零下5摄氏度怎样表示? 追问2　珠穆朗玛峰高于海平面8 848.86 m可以记作+8 848.86 m,吐鲁番盆地的艾丁湖低于海平面154.31 m,应该怎样表示?这里具有相反意义的量是什么? 追问3　某仓库昨天运进货物8吨可以记作 8吨,今天运出货物4吨,应该怎样表示?这里具有相反意义的量是什么?你还能举出其他类似的例子吗? 追问4　怎样区别具有相反意义的量才好呢? 待学生思考后,请学生回答、评议、补充. 小结:为了用数表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量,如零上温度、前进、收入、上升、高出等规定为正的,而把与它们相反的量,如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的,正的量用算术里学过的数表示,也可以加上符号“+”(读作正),负的量用学过的数前面加上“-”(读作负)号来表示(零除外). 任务一　意图说明 通过学生身边的实例,使学生获取大量的感性材料,为正确建立相反意义的量奠定基础.采取比较轻松的方式,尽量避免使概念复杂化,让学生觉得数学并不难学,增强学生的自信心. 探究二　“零”的认识 我们在小学时知道:0表示没有,0不能作除数,0乘任何数都等于0. 1.你知道温度计中的“0”刻度表示什么意思吗? 答:温度计中的0不是表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度,是零上温度与零下温度的分界点. 2.在表示某地的高度时,用正数表示高于海平面的海拔,用负数表示低于海平面的海拔,那么海拔为0 m表示什么意思? 追问　在日常生活中,你还能举出类似的例子吗? 小结:零既不是正数,也不是负数.在实际意义中,0往往表示基准,比如海平面、警戒水位等,有着丰富的内涵. 任务二　意图说明 通过对实际生活中具体问题的分析,能够帮助学生加深对“0”的内涵的理解,0不仅表示没有,更是正数和负数的分界. 探究三　例题讲解 1.(1)在知识竞赛中,如果用+10分表示加10分,那么扣20分应该怎样表示? (2)某人转动转盘,如果用+5圈表示按逆时针方向转了5圈,那么按顺时针方向转了12圈应该怎样表示? (3)在某次乒乓球质量检测中,如果一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么-0.03 g表示什么? 解:(1)-20分. (2)-12圈. (3)低于标准质量0.03 g. 2.下列各数中,哪些是正数?哪些是负数? -2,7,-,+0.201 4,-1.732,0,. 解:正数有7,+0.201 4,. 负数有-2,-,-1.732. 3.(1)一个月内,小明体重增加1.2 kg,张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值; (2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下: A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减秒3%. 写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率. 解:(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg. (2)四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是:A品牌-2%,B品牌4%,C品牌1%,D品牌-3%. 任务三　意图说明 1.通过对实例的分析,让学生知道如何用正负数表示具有相反意义的量. 2.先让学生自己独立完成,教师巡视、点拨,然后分组交流,学生间互相纠错,教师及时给予评价、点评,加深学生对正负数的理解. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.大于0的数叫作正数,正数前面加上“-”的数叫作负数. 2.0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界. 3.具有相反意义的量应满足的条件: ①必须是同类量,而且是成对出现的; ②只要求意义相反,不要求数量一定相等. 1.2　有理数及其大小比较 1.2.1　有理数的概念　　　　　 理解有理数的意义. 1.理解有理数的概念. 2.掌握有理数的分类标准,能够把给出的有理数进行分类. 3.通过对有理数分类的探索,让学生了解分类的思想方法的作用,树立分类讨论的观点和能够正确地进行分类的能力. 重点:会把所给的有理数进行正确的分类. 难点:掌握有理数的分类方法. 1.通过回忆小学对数的分类,引导学生对前面学过的数进行思考,促进学生积极主动地参加学习活动,亲自体验知识的形成过程.避免教师直接分类带来学习的枯燥性. 2.要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透,明确分类标准不同,分类的结果也不相同,且分类结果应是无遗漏、无重复的. (一)情境导入 下面是某旅行社对冬季某天天气的预报,方便大家出行: 某地的最高气温为6 ℃,最低气温达到-10 ℃,平均气温是0 ℃,而同一天北京的气温为-3 ℃~7 ℃. 问题1　上面的这段文字中出现了什么数? 问题2　像,,,0.2,3.25…又是什么数? (二)新知初探 探究一　有理数的概念 1.想一想,我们已经学过的数有哪些?请你说出两个你认为不同的数. 2.请观察下列一组数. 1,3,5.7,6,-7,-9,-10,0,,,-3,-7.4,-15.2. 问题　以上各数,哪些是小学学过的数?它们可以分为哪几类?哪些是我们刚学过的数?说出它们的名称. 追问1　整数可以写成分数的形式吗?请尝试把以上问题中的整数写成分数的形式. 追问2　想一想小数与分数有什么关系? 小结:可以写成分数形式的数称为有理数,其中,可以写成正分数形式的数为正有理数,可以写成负分数形式的数为负有理数. 任务一　意图说明 通过简单问题引入,既能促使学生回忆所学知识,又能诱发学生学习的兴趣,同时在解答问题的过程中让学生体会、感悟有理数的概念. 探究二　有理数的分类 思考并回答下列问题: (1)0是整数吗?是正数吗?是有理数吗? (2)-2是整数吗?是正数吗?是有理数吗? (3)自然数就是整数吗?是正数吗?是有理数吗? 追问1　“正数”与“整数”有什么不同?与它们相对的是什么数? 追问2　有理数除正数外还有什么数,你能根据符号(正,负)对有理数进行分类吗? 追问3　你能先将有理数按“正”和“负”的属性分,再按每类数的“整”“分”进行分类吗? 小结:有理数的分类结果: 有理数 任务二　意图说明 学生通过自主学习获得新知,体验成功的快乐.从不同的角度对问题进行研究,有利于促进学生思维方式向多样化发展.让学生经历知识的探究过程,学会分类的思想方法,感受分类的方法和原则——统一标准、不重不漏,同时培养学生自主学习的习惯. 探究三　例题讲解 1.下列各数中,哪些是正整数?哪些是负分数?哪些是有理数? +7,-3.141 5,π,0,,-3,10,-0.,-3. 解:正整数有+7,10. 负分数有-3.141 5,-3,-0.. 有理数有+7,-3.141 5,0,,-3,10,-0.,-3. 2.将下列各数填入相应的集合里:-9,+,0,-2,2 000,+61,,-10.8. 正有理数集合{…}; 负有理数集合{…}; 正整数集合{…}; 负整数集合{…}. 解:正有理数集合. 负有理数集合. 正整数集合{2 000,+61,…}. 负整数集合{-9,…}. 任务三　意图说明 1.帮助学生巩固有理数的分类方法,体验分类的方法和原则. 2.让学生理解分类的标准不同,结果也不相同. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数的概念. 2.有理数的分类: (1)按符号(正,负)进行分类; (2)按“整”和“分”进行分类. 3.注意0的特殊性,分类时不要遗漏. 1.2.2　数　轴 能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的思想方法. 1.通过与温度计的类比认识数轴,能正确地画出数轴. 2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数. 3.通过数轴概念的学习,初步体会数形结合的思想方法. 重点:正确理解数轴的概念,掌握数轴的画法和用数轴上的点表示有理数. 难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系(数形结合). 1.通过创设问题情境,激发学生的学习热情,发现生活中的数学.让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程,加深对数轴概念的理解,同时培养学生的抽象和概括能力. 2.教师要给学生思维活动提供具体、直观、感性的支持,借助直观演示、动手操作、启发诱导,让学生由感性认识逐步上升到理性认识,再到抽象概括的认识规律. (一)情境导入 回忆正负数的意义并回答以下问题: 在一条东西方向的马路上,有一个学校,学校东 50 m 和西150 m处分别有一个书店和一个超市,学校西100 m和东200 m处分别有一个邮局和医院,以学校为“基准”,向东记作“+”,向西记作“-”,用正负数表示书店、超市、邮局、医院的位置. (二)新知初探 探究一　数轴的概念 1.问题:在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境. 画一条直线表示马路,从左到右表示从西到东的方向,在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1 m长,用点B和点D分别表示柳树和交通标志杆的位置,用点D和点E分别表示槐树和电线杆的位置,请根据要求画出图形. 追问1　说出点B,点C,点D,点E分别相对于点O的位置. 答:点B在点O右边,距离点O 3个单位长度,点C在点O右边,距离点O 7.5个单位长度,点D在点O左边,距离点O 3个单位长度,点E在点O左边,距离点O 4.8个单位长度. 追问2　在上面的问题中,“东”与“西”,“左”与“右”都具有相反意义,在一条直线上取一个点O为基准点,用0表示它,点O右边的点用正数表示,那么点O左边的点可以用什么数表示?点B,C,D,E所表示的点分别用哪些有理数表示? 答:负数　+3,+7.5,-3,-4.8 追问3　用上述方法,我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对关系表示出来了,你能说出3和-4.8分别表示什么位置吗? 答:3表示位于汽车站牌东侧3 m处的柳树的位置,-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆的位置. 2.温度计可以看作是表示正数、0和负数的直线.它和上面的问题中所画的图形有什么共同点,有什么不同点? 小结:在数学上,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件: (1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点; (2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向; (3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,… 像这样,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 任务一　意图说明 从生活中的实例出发引出如何用数轴表示点,贴近生活、直观具体,易于使学生接受.在教师的层层设问中,让学生感受到可以用直线上的点来表示位置,且在表示位置时,必须设置基准点和单位长度. 探究二　用数轴表示有理数 观察画好的数轴,思考以下问题: (1)原点表示什么数? 答:原点表示0. (2)原点右边的点表示什么数?原点左边的点表示什么数? 答:原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数. (3)+3,-,-1.5,0分别在数轴的什么位置? 答:+3在数轴的正半轴上,距离原点3个单位长度,-在数轴的负半轴上,距离原点个单位长度,-1.5在数轴的负半轴上,距离原点1.5个单位长度,0在原点上. 小结:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点. 任务二　意图说明 探究二中的(1)(2)让学生思考,并与同桌相互叙述,互相纠正补充,然后举手回答.(3)可以让学生在黑板上画图指出.教师也可以给出其他的数让学生说出其对应的点在数轴上的位置.通过以上问题可以加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想. 探究三　例题讲解 1.下列所画数轴对不对?如果不对,指出错在哪里. ① ② ③ ④ ⑤　⑥　⑦ 解:①错,没有原点;②错,没有正方向;③正确;④错,没有单位长度;⑤错,单位长度不统一;⑥正确;⑦错,正方向标错. 2.在所给数轴上画出表示下列各数的点. 1,-5,-2.5,4,0 解: 3.在下面数轴上,A,B,C,D各点分别表示的是什么数? 解:(1)A点表示2;(2)B点表示0.25;(3)C点表示-0.75;(4)D点表示-1.5. 任务三　意图说明 1.通过学生指出数轴上已知点所表示的数,是由“形”到“数”的思维过程,加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想. 2.根据给定的数在数轴上进行描点,是由“数”到“形”的思维过程,再次渗透数形结合的思想方法. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴. 2.数轴的画法. 3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示. 1.2.3　相反数 能借助数轴理解相反数的意义,掌握求有理数的相反数的方法. 1.借助数轴理解相反数的概念,并能求给定有理数的相反数. 2.通过运用相反数解决实际问题,体会相反数的意义和作用. 3.通过理解相反数的概念,渗透数形结合等思想方法,培养学生的概括能力和推理论证能力. 重点:理解相反数的意义,会求有理数的相反数. 难点:从数和形两个方面理解相反数,初步体会数形结合的思想方法. 1.从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”. 2.在认识相反数的意义的过程中,通过数形结合,让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性. (一)情境导入 成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到楚国去,楚国在南边,他硬要往北边走.他的马越好,赶车的本领越大,盘缠带得越多,走得越远,就越到不了楚国. 1.如果点O表示魏国的位置,点A表示楚国的位置,我们假设楚国与魏国的距离为30 km,以魏国为原点,我们规定向南为正方向,而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km,请同学们把这3个点在数轴上表示出来. 2.你还能在数轴上表示出类似于A,B这样的点吗? (二)新知初探 探究一　互为相反数的概念 问题　观察下列一组数:+1和-1,+2.5和-2.5,+4和-4,并把它们在数轴上表示出来. 思考 (1)上述各对数有什么相同之处?有什么不同之处? 答:只有符号不同,其他都相同 (2)观察各对数所对应的两个点的位置关系有什么规律? 答:分别位于原点两侧,且到原点的距离相等. (3)请再写出一组具有上述特点的数. 答:+5和-5(答案不唯一). 小结:只有符号不同的两个数互为相反数. 追问1　定义中“只有符号不同”这几个字该怎样解释? 追问2　定义中“相反”两字又该怎样理解? 追问3　“-3是相反数”这句话对吗?0的相反数是多少? 任务一　意图说明 1.通过观察各对数的特点及在数轴上的位置,让学生理解相反数从“数”的角度看只有符号不同,从“形”的角度看位于原点两侧且到原点的距离相等. 2.通过对学生进行层层设问,再根据学生判断的结果加深对相反数“互为”的理解,提高学生全面分析问题的能力. 探究二　相反数的表示和性质 1.6的相反数是多少?8的相反数是多少?a的相反数是多少? 答:6的相反数是-6,8的相反数是-8,a的相反数是-a. 追问1　如果a=+3,那么a的相反数怎样表示?如果a=-5,那么a的相反数又怎样表示? 答:-(+3),-(-5). 追问2　你能说出-(+7),-(-2)分别表示什么意义吗?它们的结果分别是多少? 答:-(+7)表示+7的相反数,结果是-7,-(-2) 表示-2的相反数,结果是2. 追问3　在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数,如果在这些数前面加上“+”号呢? 答:表示它本身. 2.在数轴上,画出几组表示相反数的点,并观察这两个点具有怎样的特征? 答:位于原点两侧,且与原点的距离相等. 追问　数轴上到原点的距离相等的两个点所表示的数有什么特点?它们是什么关系? 答:只是符号不同,它们互为相反数. 小结:在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,并且与原点的距离相等. 任务二　意图说明 1.通过求几个正数的相反数归纳出相反数的表示方法即为在数的前面加上“-”号.通过在数轴上观察表示相反数的点的特点,理解相反数的几何意义. 2.学生在教师引导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生主动探究数学规律的能力. 探究三　例题讲解 1.写出下列各数的相反数:16,-3,0,-,0.7,-3. 分析:只需将各数前面的正、负号换一下即可,但要注意0的相反数是0. 解:相反数依次为:-16,3,0,,-0.7,3. 2.化简下列各数. (1)-(+10); (2)+(-0.15); (3)+(+3); (4)-(-12);(5)+[-(-1.1)]; (6)-[+(-7)]. 解:(1)-(+10)=-10. (2)+(-0.15)=-0.15. (3)+(+3)=3. (4)-(-12)=12. (5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1. (6)-[+(-7)]=-(-7)=7. [方法归纳] 对于数字前面含有多个符号的数的化简,只要观察“-”号的个数即可.如果有奇数个“-”号,结果的符号就是“-”号;如果有偶数个“-”号,结果的符号就是“+”号. 3.若a表示一个数,那么-a一定是负数吗? 解:若a是正数,则-a表示负数,若a表示负数,则-a是正数,若a=0,则-a表示0. 小结:正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0. 任务三　意图说明 1.通过化简含多重符号的数进一步理解相反数的表示方法,巩固所学知识,培养学生灵活运用定义的能力. 2.通过讨论a的值,渗透分类讨论的数学思想,进一步培养学生的符号意识. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.相反数 (1)只有符号不同的两个数; (2)a的相反数是-a,0的相反数是0; (3)互为相反数的两个数到原点的距离相等. 2.多重符号的化简 (1)一个数前面有偶数个“-”号,结果为正数. (2)一个数前面有奇数个“-”号,结果为负数. 1.2.4　绝对值 借助数轴理解绝对值的意义,掌握求有理数的绝对值的方法. 1.从实际出发,借助数轴理解绝对值的意义,会求一个已知数的绝对值. 2.通过运用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用. 3.在理解绝对值概念的过程中,渗透数形结合、分类讨论等思想. 重点:绝对值的概念与求法. 难点:理解绝对值的几何意义. 1.从实际生活情境出发,激发兴趣,知识建构循序渐进,思想方法有机渗透,知识形成过程清晰明了,创设平等、民主、和谐的课堂气氛,使学生广泛参与自主学习、合作交流. 2.课堂上留给学生一定的提问时间,从而暴露学生知识的缺陷,通过问题引导学生联想,大胆猜想,可以拓宽学生的知识面,增强知识的系统性,加深对课本知识的理解,培养学生的创新意识和发散思维. (一)情境导入 两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶10 km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗?它们的行驶路程相同吗? 它们的行驶路线不同,行驶路程相同. 在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们不需要考虑数的正负性,比如:在计算行驶路程时,与行驶方向无关,这时所走的路程只需要用正数来表示,这样就需要引进一个新的概念——绝对值. (二)新知初探 探究一　绝对值的意义 1.思考并完成填空: (1)在数轴上,表示数+2的点与原点的距离是　2　;  (2)在数轴上,表示数-2的点与原点的距离是　2　.  2.我们知道,互为相反数的两个数(0除外)只有符号不同,这两个数的相同部分在数轴上表示什么? 答:表示有理数的点到原点的距离. 追问1　数轴上表示某数的点到原点的距离与它所表示的数的正负性有关系吗? 答:没有关系. 小结:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作|a|. 追问2　如果a分别取+5,-10,0时,a的绝对值分别表示什么意义? 答:数轴上表示+5,-10,0的点到原点的距离. 追问3　当a分别取上述数时,a的绝对值怎样表示?结果又是多少? 答:|+5|=5,|-10|=10,|0|=0. 任务一　意图说明 通过学生思考并填空引出绝对值的概念,教师引导学生挖掘绝对值概念的内涵,使学生在活动的过程中感悟知识的形成过程. 探究二　绝对值的性质 1.(1)问题:借助数轴分别说出+3,+5,+1.5的绝对值. 答:|+3|=3,|+5|=5,|+1.5|=1.5. 追问　观察这些数,它们有什么特点?观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系?把你得到的结论写出来. 答:正数的绝对值是它本身. (2)问题:借助数轴分别说出-3,-4.5,-50的绝对值. 答:|-3|=3,|-4.5|=4.5,|-50|=50. 追问　观察这些数,它们有什么特点?观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系?把你得到的结论写出来. 答:负数的绝对值是它的相反数. 小结:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0. 追问1　如果一个数的绝对值是一个负数,那么这样的数存在吗? 答:不存在. 追问2　一个数的绝对值一定是什么数? 答:非负数. 2.若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗?你能用含字母的式子表达这一规律吗? (1)当a是正数时,|a|=　a　;  (2)当a是负数时,|a|=　-a　;  (3)当a=0时,|a|=　0　.  小结:|a|= 任务二　意图说明 通过层层设问,引导学生分别归纳总结正数、负数的绝对值与数本身的关系,渗透分类讨论的数学思想. 探究三　例题讲解 1.求下列各数的绝对值:12,,-7.5,0,-(-3),-(+5). 解:|12|=12,=,|-7.5|=7.5,|0|=0,|-(-3)|=|3|=3,|-(+5)|=|-5|=5. 2.把下列各数表示在数轴上,并写出绝对值最大的是哪个数?绝对值最小的是哪个数? 4,2.5,-3,-1.5. 解:如图所示. 由数轴可得,绝对值最大的数是4,绝对值最小的数是-1.5. 3.化简: -|+3|,|-(-8)|,-,-|+(-6)|. 解:-|+3|=-(+3)=-3, |-(-8)|=|+8|=8, -=-+1=-1, -|+(-6)|=-|-6|=-(+6)=-6. 任务三　意图说明 1.通过求一个数的绝对值,让学生明白求一个有理数绝对值的方法. 2.让学生先独立完成任务,然后通过交流展示归纳方法,进一步加深对绝对值的理解. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.绝对值的概念: 数轴上表示数a的点与原点的距离. 2.绝对值的性质 (1)|a|≥0; (2)|a|= 1.2.5　有理数的大小比较 能比较有理数的大小. 1.通过实际生活情境,结合数轴归纳出有理数大小的比较法则. 2.能利用数轴比较有理数的大小,会利用绝对值比较两个负数的大小. 3.通过对温度计的观察和用数轴上的点来表示有理数,探索有理数大小的比较法则,进一步感受数形结合的思想方法. 重点:借助数轴比较两个有理数的大小. 难点:比较两个负数的大小. 从基础出发,从简单到复杂,层层递进,让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法,引导学生亲身经历知识的产生和归纳总结过程,突出学生的主体地位.通过学生参与教学活动,动手排列数,动眼观察数的特点,动脑总结归纳比较两个负数大小的法则. (一)情境导入 如图是未来一星期天气预报图,其中最低气温是多少?最高气温是多少?你能将这七天中每天的最低温度按从低到高的顺序排列吗? (二)新知初探 探究一　用数轴比较有理数的大小 某一天我国5个城市的最低气温如下: 武汉:5 ℃　北京:-10 ℃　上海:0 ℃ 广州:10 ℃哈尔滨:-20 ℃ (1)你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗? 解:-20 ℃<-10 ℃<0 ℃<5 ℃<10 ℃. (2)将上述五个城市的最低气温标在水平的数轴上. 解: (3)请大家思考这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什么关系? 答:在数轴上,左边的点表示的数小于右边的点表示的数. 追问1　在数轴上,原点左边的点表示什么样的数?右边的点表示什么样的数?原点表示什么数? 答:原点左边的点表示负数,原点右边的点表示正数,原点表示0. 追问2　你能根据数轴的特点归纳出正数,负数和0的大小比较方法吗? 答:正数大于0,0大于负数,正数大于负数. (4)分别求出-20和-10的绝对值,观察数轴,你能说出这两数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系吗? 答:-20的绝对值为20,-10的绝对值为10. -20与-10相比,绝对值大的数本身反而小. 追问　再找几对类似的负数试一下,除了用数轴比较两个负数的大小外,从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗? 答:两个负数,绝对值大的反而小. 小结:有理数大小比较的一般法则: (1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数; (2)两个负数,绝对值大的反而小. 任务一　意图说明 1.通过情境模拟,唤起学生已有的生活经验,为本课的学习做铺垫,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,让学生感受到数学就在自己身边,激发学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观.让学生通过自己的归纳找到正数,0,负数的大小比较及两个负数的大小比较的规律. 2.先留给学生自主思考的时间,然后引导学生进行分析,为进一步学习积累数学活动经验. 探究二　例题讲解 1.在数轴上表示数-3,-5,4,0,并比较它们的大小,将它们按从小到大的顺序用“<”号连接. 解:-3,-5,4,0在数轴上表示如图所示: 将它们按从小到大的顺序排列为-5<-3<0<4. 2.比较下列各组数的大小: (1)-与0;(2)5与0;(3)2.5与-7. 解:(1)-<0. (2)5>0. (3)2.5>-7. 3.比较下列各组数的大小. (1)+(-3)和-(+2);(2)-和-. 解:(1)先化简,+(-3)=-3,-(+2)=-2, 因为|-3|>|-2|, 所以-3<-2, 即+(-3)<-(+2). (2)两个负数作比较,先求它们的绝对值. =,==. 因为<, 所以<. 所以->-. 小结:有理数的大小比较: (1)利用数轴比较大小,先把各个数在数轴上表示出来,然后利用在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于零,负数都小于零,正数都大于负数比较大小; (2)比较两个负数的大小,利用两个负数,绝对值大的反而小进行比较.基本步骤为:①求出两个负数的绝对值,并比较两个绝对值的大小;②根据法则得出结论. 任务二　意图说明 让学生掌握有理数比较大小有两种方法:可以通过数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数来进行比较,也可以通过有理数的大小比较法则来进行比较. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 比较有理数大小的方法. (1)数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大; (2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小. 第二章　有理数的运算 2.1　有理数的加法与减法 2.1.1　有理数的加法 第1课时　有理数的加法法则　　 掌握有理数的加法运算,能运用有理数的加法运算解决简单的问题. 1.从实际生活情境出发,归纳出有理数的加法法则. 2.初步掌握有理数的加法法则,并能准确地进行有理数的加法运算. 3.经历探索有理数加法法则的过程,体会分类和归纳的思想方法. 重点:有理数加法法则的理解和运用. 难点:探索有理数的加法法则. 1.从学生身边的实际生活出发,通过自主探究、合作交流对两个有理数加法运算的过程进行总结,为加法运算法则的归纳奠定基础. 2.坚持以学生为主体,教师为主导,致力联系学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中. (一)情境导入 我们已经熟悉正数及0的加法运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数的范围.例如,在本章引言中,把收入记作正数,支出记作负数,在求“结余”时,需要计算18.5+(-6.5),12.0+(-15.2)等.这里用到正数与负数的加法. (二)新知初探 探究一　有理数的加法法则 一只可爱的小狗,在一条东西走向的笔直公路上行走,现规定向东为正,向西为负. 想一想 问题1　如果小狗先向东行走2 m,再继续向东行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米? 解:小狗一共向东行走了　3　m,写成算式为 (+2)+(+1)=3(m).  问题2　如果小狗先向西行走2 m,再继续向西行走 1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米? 解:两次行走后,小狗向西走了　3　m.用算式表示为(-2)+(-1)=-3(m).  你从上面两个式子中发现了什么? 答:符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 想一想 问题3　(1)如果小狗先向西行走3 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米? 解:小狗两次一共向西走了　1　m.  用算式表示为(-3)+(+2)=-1(m). (2)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走 3 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米? 解:小狗两次一共向东走了　1　m.  用算式表示为(-2)+(+3)=1(m). 追问　你从上面的两个式子中发现了什么? 答:绝对值不相等,符号相反的两个数相加,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差. 问题4　如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走 2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米? 解:小狗一共行走了　0　m.  写成算式为(-2)+(+2)=　0　(m).  追问　你从上面的式子中发现了什么? 答:互为相反数的两个数相加得0. 想一想 问题5　如果小狗先向西行走3 m,然后在原地休息,则小狗向哪个方向行走了多少米? 解:小狗向西行走了　3　m.  写成算式为(-3)+0=　-3　(m).  追问　你从上面的式子中发现了什么? 答:一个数与0相加,结果仍是这个数. 小结:有理数的加法法则 1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和. 2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0. 3.一个数与0相加,仍得这个数. 追问　按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算,它和小学学过的正数及0的加法运算一致吗? 答:不一致,小学的加法不涉及符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值. 任务一　意图说明 引导学生通过自主探究、合作交流对加法的运算过程进行总结,为加法运算法则的归纳奠定基础,同时学生也通过实际问题情境,亲自参与了探索发现、获取知识和技能的全过程,培养了学生的分类和归纳概括的能力. 探究二　例题讲解 1.计算: (1)(-24)+(+18);(2)(-10)+(-3); (3)(+15)+(-5);(4)+3+-3; (5)0+-13. 解:(1)(-24)+(+18)=-(24-18)=-6. (2)(-10)+(-3)=-(10+3)=-13. (3)(+15)+(-5)=+(15-5)=+10. (4)+3+-3=0. (5)0+-13=-13. 2.某商场卖出两件衣服,第一件亏损48元,第二件盈利26元,则该商场卖出这两件衣服后的利润是多少元?盈利还是亏损? 解:亏损48元记作-48元,盈利26元记作 +26元.则利润为(-48)+(+26)=-(48-26)=-22(元).所以商场亏损22元. 任务二　意图说明 1.通过例题进一步熟悉有理数的加法法则.通过口答、纠错,活跃课堂气氛,充分调动学生的积极性,让学生在一种比较活跃的氛围中解决各种问题. 2.通过应用有理数知识解决生活中的实际问题,一方面体会有理数加法的应用价值,另一方面培养学生在具体情况下灵活应用有理数知识解决实际问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 有理数的加法法则: 确定类型 定符号 绝对值 同号 相同符号 加数的绝对值的和 异号(绝对值不相等) 取绝对值较大的加数的符号 加数中较大者与较小者的差 互为相反数 结果是0 与0相加 仍得这个数 第2课时　有理数加法的运算律 理解有理数加法的运算律,能运用运算律简化运算.能运用有理数的运算解决简单的问题. 1.通过小学学过的运算律,概括出有理数的加法交换律和结合律. 2.掌握有理数加法的运算律,并能运用加法运算律简化运算及解决实际问题. 3.经历探索有理数加法的运算律的过程,体验探索归纳的数学方法. 重点:掌握有理数的加法交换律和结合律. 难点:运用加法交换律、结合律简化运算. 1.从实际生活出发,使学生在已有的知识经验的基础上构建新知,主动探索有理数加法交换律和结合律,从而激发他们学习的兴趣,使他们由被动地接受学习变成主动探索获取知识. 2.课堂中学生通过自主互助交流,不断地总结规律、方法和解题技巧. (一)情境导入 宋国有个非常喜欢猴子的老人.他养了一群猴子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心意.因为粮食缺乏,老人想限制口粮.那天,他故意先对猴子们说:“以后给你们吃桃子,早晨三颗晚上四颗,好不好?”众猴子听了都很愤怒.老人马上改口说:“那就早上四颗晚上三颗吧,够了吗?”众猴子非常高兴,大蹦大跳起来. 大家听完故事,请说说你的看法. (二)新知初探 探究一　有理数加法的运算律 1.(1)计算: ①2+(-3)=　-1　,(-3)+2=　-1　;  ②11+(-7)=　+4　,(-7)+11=　+4　.  (2)比较以上每组两个算式有什么特征?各组两个算式的结果有什么关系? 答:交换了两个加数的位置　算式的结果相等 (3)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗? (4)请你再换几个加数,试一试,看一看所得的结果如何? (5)从上述计算中,你得到了什么结论? 答:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变. 追问　你能用字母把这个结论表示出来吗? 答:a+b=b+a. 小结:有理数的加法交换律: 有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.字母表示:a+b=b+a. 追问　这里的a,b可以表示什么? 答:任意有理数. 2.(1)计算: ①[3+(-5)]+(-7)=　-9　,3+[(-5)+(-7)]=　-9　;  ②[8+(-4)]+(-6)=　-2　,8+[(-4)+(-6)]=　-2　.  (2)两次所得的和相同吗?换几个加数再试一试. 答:相同. (3)从上述计算中,你能得出什么结论?用字母表示这个结论. 小结:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变. 追问　我们学习运算律的目的是什么? 答:简化有理数的加法运算. 任务一　意图说明 1.通过层层设问,让学生在动手操作的基础上,通过计算、观察、比较,从而得到加法的交换律和结合律在有理数范围内仍然适用. 2.引导学生通过自主探究、合作交流,进一步理解加法的运算律也适用于有理数,并从感性认识上升到理性认识. 探究二　例题讲解 计算: (1)(-2)+(+7)+(-8); (2)(-1)+(+4)+(-2)+(+7). 解:(1)(-2)+(+7)+(-8) =[(-2)+(-8)]+(+7) =(-10)+(+7) =-3. (2)(-1)+(+4)+(-2)+(+7) =[(-1)+(-2)]+[(+4)+(+7)] =(-3)+(+11) =8. 小结:把正数与负数分别相加,从而简化计算,这样做既运用加法交换律又运用加法的结合律. 问题　回顾以上例题的解答,思考:将怎样的加数结合在一起,可使运算简便? 小结: (1)先把正数或负数分别结合在一起相加; (2)有相反数的可先把相反数相加,能凑整的可先凑整; (3)有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加. 任务二　意图说明 先让学生在练习本上解答例题,然后教师根据学生的解答情况指定几名学生板演,并引导学生发现简化加法运算一般有三种方法:消去互为相反数的两数(其和为0)、同号结合或凑整数. 探究三　有理数加法运算律的实际应用 10袋小麦称后(单位: kg)如图所示,10袋小麦一共多少千克?如果每袋小麦以50 kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克? 解:法一　先计算10袋小麦的总质量: 50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5(kg). 再计算总计超过多少千克: 502.5-50×10=2.5(kg). 答:10袋小麦总计超过标准质量2.5 kg,总质量是502.5 kg. 法二　每袋小麦超过标准质量的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4. 0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4 =[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4) =2.5(kg). 50×10+2.5=502.5(kg). 答:10袋小麦总计超过标准质量2.5 kg,总质量是502.5 kg. 任务三　意图说明 通过本题的学习使学生感受到在解决实际问题时,解题方法的多样性和灵活性,但对于具体解题时要根据不同题目的特点,采用不同的解题方法. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数加法的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 2.有理数加法运算律的实际应用. 2.1.2　有理数的减法 第1课时　有理数的减法法则 掌握有理数的减法运算.能运用有理数的减法运算解决问题. 1.经历探索有理数减法法则的过程,体会有理数减法与加法的关系. 2.理解并掌握有理数的减法法则,能熟练进行有理数的减法运算. 3.通过减法到加法的转化,让学生初步体会转化的数学思想. 重点:有理数减法法则和运算. 难点:归纳总结有理数的减法法则,并体会其意义. 1.通过生活中的现实情境引入,感受数学知识与生活的联系,激发学生的学习兴趣,并体会有理数减法的必要性. 2.通过实例计算,激发学生的探索精神.通过适量的数学练习,使学生在计算中巩固解题技能,在小组交流中体验有理数的减法的运算魅力,并在教师的指导下自行归纳运算法则;学生亲身体验知识的形成过程,感悟数学的转化思想. (一)情境导入 如图所示的是某日北京的天气情况,从下图我们可以得知北京从周五到下周二的最高温度为6 ℃,最低温度为-5 ℃.那么它的温差怎么算?6-(-5)=? (二)新知初探 探究一　有理数的减法法则 问题1　你能从如图所示的温度计上看出5 ℃比 -5 ℃ 高多少摄氏度吗?用式子如何表示? 解:能.5-(-5)=10(℃). 问题2　5+(+5)=　10　.  结论:由上面两个式子你能得出什么? 解:5-(-5)=5+(+5). 问题3　用上面的方法考虑: 0-(-3)=　3　,0+(+3)=　3　,则0-(-3)=　0+(+3)　;  1-(-3)=　4　,1+(+3)=　4　,则1-(-3)=　1+(+3)　;  -5-(-3)=　-2　,-5+(+3)=　-2　,则-5-(-3)=　-5+(+3)　.  问题4　计算: 9-8=　1　;9+(-8)=　1　,则9-8=　9+(-8)　;  15-7=　8　;15+(-7)=　8　,则15-7=　15+(-7)　.  追问　通过上面的探究过程,你能得到什么结论? 答:有理数的减法可以转化为加法来进行. 小结: 有理数减法法则: 减去一个数,等于加这个数的相反数. 有理数减法法则也可以表示成a-b=a+(-b). 任务一　意图说明 让学生动手完成后进行比较,发现规律,揭示了有理数运算中加法与减法的关系,建立新知与旧知之间的联系,体会转化的数学思想,并总结出有理数的减法法则. 探究二　例题讲解 1.计算: (1)(-3)-(-5); (2)0-7; (3)2-5; (4)7.2-(-4.8); (5)-3-5. 解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2. (2)0-7=0+(-7)=-7. (3)2-5=2+(-5)=-3. (4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12. (5)-3-5=-3+-5= -8. 2.已知|a|=5,|b|=3,且a>0,b<0,求a-b的值. 解:由|a|=5,|b|=3,得a=±5,b=±3. 又因为a>0,b<0,所以a=5,b=-3. 所以a-b=5-(-3)=5+3=8. 小结:进行有理数的减法运算时,将减法转化为加法,再根据有理数加法法则进行运算.要特别注意减数的符号. 思考　在小学,只有当a大于或等于b时(其中a,b是0或正数),我们才能计算a-b(例如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你能计算a-b(例如1-2,(-1)-1)吗? 追问　一般地,在有理数范围内,较小的数减去较大的数,所得的差的符号是什么? 任务二　意图说明 通过例题的解决加深对减法法则的理解,同时规范学生的解题过程,培养学生自主学习的能力. 探究三　有理数减法的应用 1.世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度是 8 848.86 m,吐鲁番盆地的海拔高度是-154.31 m,两处高度相差多少米? 解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m). 答:两处高度相差9 003.17 m. 2.如图所示的是某市1月份连续4天的天气预报数据,哪一天的温差最大,哪一天的温差最小? 1月13日 阴转多云 -8~2 ℃ 1月14日 晴 -9~-2 ℃ 1月15日 阴 -9~0 ℃ 1月16日 阴转多云 -11~-3 ℃ 解:1月13日的温差:2-(-8)=10(℃), 1月14日的温差:-2-(-9)=7(℃), 1月15日的温差:0-(-9)=9(℃), 1月16日的温差:-3-(-11)=8(℃), 所以温差最大的是1月13日的温差10 ℃.温差最小的是1月14日的温差7 ℃. 小结:应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时,一般是两个量比较,求一个量比另一个量多(或少)多少,列减法算式即可. 任务三　意图说明 进一步加强学生对减法法则的运用,同时提高学生对实际问题的分析和解决能力,与开始前后呼应,体会数学与现实生活的紧密联系. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数减法法则: 减去一个数,等于加这个数的相反数,即a-b=a+(-b). 2.有理数减法法则的应用: (1)将有理数减法统一成加法运算; (2)解决一些简单的实际问题. 第2课时　有理数的加减混合运　　　 掌握有理数的加减混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算. 1.理解加减法统一成加法的意义,能熟练地进行有理数加减法的混合运算. 2.能根据具体问题适当运用运算律简化运算. 3.通过加减法的相互转化,培养应变能力、计算能力. 重点:熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序. 难点:能根据具体问题,适当运用运算律进行简化运算. 1.通过对两种算法的比较、分析,让学生体会到加减混合运算可以统一为加法运算,以及加减混合运算可以写成省略括号及加号的和的形式. 2.在例题的讲解中,让学生进行板书并讲解,让学生会做、会讲,真正地理解、认识到易错点,同时教师重点强调解题的规范性和每一步的理论依据,帮助学生更好地理解计算的过程. (一)情境导入 问题　一口深3.5 m的深井,一只青蛙从井底沿井壁往上爬,第一次爬了0.7 m又下滑了0.1 m,第二次往上爬了0.42 m又下滑了0.15 m,第三次往上爬了1.25 m又下滑了0.2 m,第四次往上爬了 0.75 m 又下滑了0.1 m,第五次往上爬了0.65 m. 请问小青蛙爬出井了吗? (二)新知初探 探究一　加减法统一成加法 1.计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7). 问题1　这个算式中有加法,也有减法,根据有理数减法法则,你能把它改写成加法运算吗? 解:(-20)+(+3)+(+5)+(-7). 问题2　根据学过的有理数的加法运算计算出结果. 解:(-20)+(+3)-(-5)-(+7) =(-20)+(+3)+(+5)+(-7) =[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)] =(-27)+(+8) =-19. 追问　在计算过程中你运用了哪些运算律? 答:加法交换律,加法结合律. 小结:引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算. a+b-c=a+b+(-c). 2.算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是哪几个有理数的和?说出这些有理数. 答:-20,+3,+5,-7的和. 为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,写为-20+3+5-7. 我们可以读作“负20、正3、正5、负7的和”,或读作“负20加3加5减7”. 上面的运算过程也可以简单地写成: (-20)+(+3)-(-5)-(+7) =-20+3+5-7 =-20-7+3+5 =-27+8 =-19. 任务一　意图说明 让学生进一步体会在做有理数的加减混合运算时,将加减法统一成加法,然后运用加法的交换律和结合律进行简便运算. 探究二　例题讲解 1.把下列算式改写为省略括号和加号的形式: (1)(-40)-(+27)+19-24-(-32); (2)(-9)-(-2)+(-3)-4. 解:(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32) =-40-27+19-24+32. (2)(-9)-(-2)+(-3)-4 =-9+2-3-4. 问题　观察以上几个式子,你能发现简化符号的规律吗? 小结:省略括号与加号时,数字前“-”号是奇数个取“-”,偶数个取“+”. 2.计算:(-2)+(+30)-(-15)-(+27). 解:(-2)+(+30)-(-15)-(+27) =(-2)+(+30)+(+15)+(-27) =-2+30+15-27 =(-2-27)+(30+15) =-29+45 =16. 3.计算:14-25+12-17. 解:14-25+12-17 =14+12-25-17 =26-42 =-16. [方法归纳] 有理数加减混合运算的步骤 (1)将加减混合运算转化为加法运算; (2)省略加号和括号; (3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加; (4)按有理数加法法则计算. 任务二　意图说明 让学生进一步体会有理数的加减混合运算,把减法都转化为加法,并运用加法运算律进行简化运算.同时强调使用交换律的时候一定要连同前面的符号一起交换. 探究三　加减混合运算的应用 动物园在检查成年麦哲伦企鹅的身体状况时,最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重称量,以4 kg为标准,超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示,称重记录如表所示,求这6只企鹅的总体重. 编号 1 2 3 4 5 6 差值/kg -0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06 解:(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06) =[(-0.08)+(+0.08)]+[(+0.05)+(-0.05)]+(0.09+0.06) =0.15(kg). 4×6+0.15=24.15(kg). 答:这6只企鹅的总体重为24.15 kg. 任务三　意图说明 让学生充分体会有理数的加减混合运算,同时提高学生对实际问题的分析和解决能力,与开始前后呼应,体会数学与现实生活的紧密联系. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.加减法统一成加法 (1)减法变加法:a+b-c=a+b+(-c); (2)运用加法运算律简化运算; (3)按有理数加法法则计算. 2.省略括号法 (1)省略括号; (2)同号数放在一起; (3)进行加减运算. 2.2　有理数的乘法与除法 2.2.1　有理数的乘法 第1课时　有理数的乘法法则 掌握有理数的乘法运算.能运用有理数的乘法运算解决简单问题. 1.类比正数及0的乘法,归纳有理数的乘法法则. 2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算. 3.通过有理数的乘法法则的推导,渗透分类讨论的思想,转化思想. 重点:能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算. 难点:有理数乘法法则的推导. 在小学学习的数的乘法及刚接受有理数加减法的基础上,进一步学习有理数的基本运算,教学时强调学生自主探索,在互相交流的过程中理解和掌握有理数乘法法则的本质;另外,要求学生在探索有理数乘法法则的过程中,初步体验分类讨论的数学思想,鼓励学生归纳和总结,形成良好的数学心理品质. (一)情境导入 甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少? 我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数后,怎样进行有理数的乘法运算呢? (二)新知初探 探究一　有理数的乘法法则 如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处. 填一填: (1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为　-2 cm　;  (2)如果3 min后记为+3 min,那么3 min前应记为　-3 min　.  想一想: (1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 后它在什么位置? 结果:3 min后蜗牛在l上点O　右　边6 cm处.可以表示为(+2)×(+3)=　6(cm)　;  (2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 后它在什么位置? 结果:3 min后蜗牛在l上点O　左　边　6　cm处.可以表示为(-2)×(+3)=　-6(cm)　;  (3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 前它在什么位置? 结果:3 min前蜗牛在l上点O　左　边　6　cm处.可以表示为　(+2)×(-3)=-6(cm)　;  (4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 前它在什么位置? 结果:3 min前蜗牛在l上点O　右　边　6　cm处.可以表示为　(-2)×(-3)=6(cm)　;  (5)原地不动或运动时间为零,结果是什么? 结果:仍在原处,即结果都是　0　,可以表示为　0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0　.  根据上面的结果可知: (1)正数乘正数,积为　正　数;负数乘负数,积为　正　数;(同号得正)  (2)负数乘正数,积为　负　数;正数乘负数,积为　负　数;(异号得负)  (3)积的绝对值等于各乘数的绝对值的　积　;  (4)零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是　0　.  小结: 有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积. 任何数与0相乘,都得0. 问题　设a,b为正有理数,c为任意有理数,则 (+a)×(+b)=　a×b　,(-a)×(-b)=　a×b　;  (-a)×(+b)=　-(a×b)　,(+a)×(-b)=　-(a×b)　;  c×0=　0　,0×c=　0　.  追问　两个有理数相乘,积是有理数吗? 任务一　意图说明 引导学生通过观察数轴,分别得出正数乘正数,负数乘正数,正数乘负数,负数乘负数,一个数与零相乘的结果,从而归纳出有理数乘法的法则.通过乘法法则的推导,揭示了有理数乘法运算中分类讨论的数学思想. 探究二　倒数 计算并观察结果有何特点? (1)×2; (2)(-0.25)×(-4). 解:(1)×2=1. (2)(-0.25)×(-4)=1. 小结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数. 思考　数a(a≠0)的倒数是什么? 答:a≠0时,a的倒数是. 任务二　意图说明 先计算再观察结果,归纳出倒数的概念,再引出互为倒数概念的同时,要注意与互为相反数的概念比较,避免产生混淆. 探究三　例题讲解 1.计算: (1)8×(-1);(2)-×(-2); (3)-×-. 解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8. (2)-×(-2)=+×2=1. (3)-×-=+×=. [方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值. 2.求下列各数的倒数. (1)-;(2)2;(3)-1.25;(4)5. 解:(1)-的倒数是-. (2)2=,故2的倒数是. (3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-. (4)5的倒数是. 3.用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1 km,气温的变化量为-6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化? 解:(-6)×3=-18(℃). 答:气温下降18 ℃. 任务三　意图说明 1.通过练习帮助学生巩固提高,不仅使学生掌握了运算法则,而且积累了解题经验,发展了他们有条理地思考的能力. 2.教师应提前想到学生容易出现的错误并加以纠正,但只有让学生亲身经历错误,才能真正提高学生解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数乘法法则: (1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积; (2)任何数与0相乘,都得0. 2.倒数:乘积是1的两个数互为倒数. 第2课时　乘法的运算律 掌握有理数的乘法运算.理解有理数乘法的运算律,能运用运算律简化运算. 1.掌握有理数乘法的运算律,能利用乘法的运算律进行简化计算. 2.会确定多个因数相乘时积的符号,并会用乘法法则进行多个因数的乘积运算. 3.经历探索有理数的乘法运算律的过程,使学生感受从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律. 重点:多个因数的乘法运算及乘法运算律的应用. 难点:利用分配律来简化计算. 1.在猜测运算律在有理数范围内依然适用的基础上,通过举例验证让学生感受由感性认识上升到理性认识的必要性.同时符号语言更能简捷深刻地揭示问题的共性,有助于学生对一般问题的认识,而且为数学交流提供了有效途径. 2.通过观察、思考,引导学生进行分析、讨论和推理,导出数学规律,鼓励学生勤于思考,各抒己见,进一步培养学生的逻辑思维能力和表达交流能力. (一)情境导入 在小学里,我们都知道,数的乘法满足交换律、结合律和分配律,例如 3×5=5×3; (3×5)×2=3×(5×2); 3×(5+2)=3×5+3×2. 学习了有理数后,这些运算律是否仍然适用呢?这就是这节课我们要研究的内容. (二)新知初探 探究一　有理数乘法的运算律 问题1　计算下列各题: (1)5×(-6),(-6)×5; (2)[3×(-4)]×(-5),3×[(-4)×(-5)]. 追问1　比较它们的结果,你有什么发现? 追问2　上面的两组运算分别体现了什么运算律. 小结:一般地,在有理数乘法中,两个数相乘,交换乘数的位置,积不变. 乘法交换律:ab=ba. 在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变. 乘法结合律:(ab)c=a(bc). 问题2　阅读,并思考: 计算:5×[3+(-7)]=　5×(-4)　=　-20　,  5×3+5×(-7)=　15-35　=　-20　,  5×[3+(-7)]　=　5×3+5×(-7).  思考　在上述运算过程中,你得到什么规律呢? 小结:一般地,在有理数中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加. 分配律:a(b+c)=ab+ac. 任务一　意图说明 引导学生经过对具体算式的探索,猜想,发现运算律的一般化的表示形式,学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果. 探究二　例题讲解 1.计算: (1)(-85)×(-25)×(-4); (2)2×3×0.5×(-7). 解:(1)(-85)×(-25)×(-4) =(-85)×[(-25)×(-4)] =(-85)×100 =-8 500. (2)2×3×0.5×(-7) =(2×0.5)×[3×(-7)] =1×(-21) =-21. 2.用两种方法计算:+-×12. 解:法一　+-×12 =+-×12 =-×12 =-1. 法二　+-×12 =×12+×12-×12 =3+2-6 =-1. 小结: (1)运用交换律时,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换; (2)运用分配律时,要用括号外的因数乘括号内每一个因数,不能有遗漏; (3)三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中几个因数相乘; (4)括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,使用分配律. 任务二　意图说明 1.通过两种方法的运算,一方面是对有理数乘法法则和运算律的巩固,另一方面可以使学生直观地体会到乘法运算律的简便性. 2.检测学生是否能够熟练、正确地应用有理数的乘法运算律进行解答,对出现的问题有针对性地再次强调. 探究三　多个有理数的乘法法则 1.判断下列各式的积是正的、负的还是0? 2×3×4×(-5)(　负　);  2×3×(-4)×(-5)(　正　);  2×(-3)×(-4)×(-5)(　负　);  (-2)×(-3)×(-4)×(-5)(　正　);  8×(-8.1)×0×(-19.6)(　0　).  问题　几个不为0的数相乘,积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系?如果有乘数为0,那么积有什么特点? 小结:几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数; 负的乘数的个数是奇数时,积为负数; 几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0. 2.计算: (1)(-3)××-×-; (2)(-5)×6×-×. 解:(1)(-3)××-×- =-3××× =-. (2)(-5)×6×-× =5×6×× =6. 任务三　意图说明 分组讨论交流,鼓励学生通过观察实例,用自己的语言表达所发现的规律.培养学生善于观察、勤于思考的习惯,让学生体验获得结论的过程. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数的乘法运算律: (1)乘法交换律:ab=ba; (2)乘法结合律:(ab)c=a(bc); (3)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac. 2.(1)多个有理数的乘法法则: 几个不为0的数相乘,负的乘数的个数为 (2)几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0. 2.2.2　有理数的除法 第1课时　有理数的除法 掌握有理数的除法运算. 1.根据除法是乘法的逆运算探究除法法则. 2.掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算. 3.经历把除法问题转化为乘法问题,体会转化的数学思想. 重点:应用有理数的除法法则进行运算. 难点:有理数的除法法则的推导. 1.采用课本的引例为探究除法法则的导入,让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.从而使学生掌握除法的两种运算方法. 2.通过学生自主学习、探究,培养学生自立的精神.在学习中,教师可以有意识地培养学生的竞争意识,让学生在学习过程中能及时反思自己出现的问题,养成良好的学习习惯. (一)情境导入 1.小明从家里到学校,每分钟走50 m,共走了 20 min,问小明家离学校有多远? 解:50×20=1 000(m). 即小明家离学校1 000 m. 放学时,小明仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟? 解:1 000÷50=20(min).即应该走20 min. 2.从上面这个例子你可以发现,有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系? 答:有理数除法是有理数乘法的逆运算. (二)新知初探 探究一　有理数的除法法则 1.(1)根据“除法是乘法的逆运算”填空: (-4)×(-2)=8,则8÷(-4)=　-2　;  6×(-6)=-36,则(-36)÷6=　-6　;  -×=-, 则-÷-=　　;  (-8)×9=-72,则(-72)÷9=　-8　;  (2)计算: 8÷(-4)=-2,8×-=　-2　,则8÷(-4)　=　8×-;  (-36)÷6=-6,则(-36)×=　-6　,则 (-36)÷6　=　(-36)×;  -÷-=,-×-=　　,则-÷-　= -×-;  (-72)÷9=-8,则(-72)×=　-8　,则 (-72)÷9　=　(-72)×.  问题　上面各组数计算结果有什么关系?由此你能得到什么结论? 答:上面各组数计算结果相同. 由此可得到:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数. 小结:有理数的除法法则(一): 除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数. 用字母表示为a÷b=a×(b≠0). 2.利用上面的除法法则计算下列各题: (1)(-54)÷(-9);(2)(-27)÷3; (3)0÷(-7);(4)(-24)÷(-6). 解:(1)(-54)÷(-9)=(-54)×-=6. (2)(-27)÷3=(-27)×=-9. (3)0÷(-7)=0×-=0. (4)(-24)÷(-6)=(-24)×-=4. 想一想:从上面我们能发现商的符号有什么规律? 答:商的符号与被除数、除数的符号有关. 小结:有理数除法法则(二): 两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商. 0除以任何一个不等于0的数,都得0. 思考　到现在为止,我们有了两个除法法则,那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除问题呢? 解:两个法则都可以用来求两个有理数相除的值. 如果两数相除,能够整除的就选择法则二,不能够整除的就选择用法则一. 任务一　意图说明 以小组合作的方式通过观察几组算式,找出被除数、除数、商的符号特征和绝对值的特点,进而猜测、推理出一般的除法算式的特点,最后归纳总结除法法则.学生亲历了知识产生的过程,将知识内化. 探究二　例题讲解 1.计算: (1)(-15)÷(-3); (2)(-4.8)÷0.6; (3)-÷+; (4)(-60)÷+3. 解:(1)(-15)÷(-3)=15÷3=5. (2)(-4.8)÷0.6=-(4.8÷0.6)=-8. (3)-÷+=-×=-. (4)(-60)÷+3=(-60)×=-. 2.化简下列分数: (1); (2); (3). 解:(1)=(-2)÷3=-(2÷3)=-. (2)=(-3)÷6=-(3÷6)=-. (3)=(-28)÷(-49)=28÷49=. [方法归纳] 化简分数时要注意分子、分母的符号,同号结果为正,异号结果为负. 由上面的计算可得=-,从而可以得到是负分数,是有理数;反过来看,有理数-也可以写成这样两个整数相除的形式. 思考　再取几对数试一试?你能得到什么结论? 根据有理数的除法,形如(p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数). 小结:有理数就是形如(p,q是整数,q≠0)的数. 任务二　意图说明 1.通过例题的训练,让学生熟练运用法则,学会选择使用法则,了解除法的运算步骤,加强学生在计算技巧、方法、顺序、符号等方面的训练,减少出错机会. 2.通过分数的化简,让学生明白有理数可以表示为分数形式. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 有理数的除法法则 (1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数. 用字母表示为a÷b=a·(b≠0); (2)两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商; (3)0除以任何一个不等于0的数,都得0. 第2课时　加减乘除混合运算　　 掌握有理数的混合运算(以三步以内为主),能运用运算律简化运算,能运用有理数的运算解决简单问题. 1.掌握有理数的混合运算法则及运算顺序. 2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除混合运算,并在运算过程中合理使用运算律. 3.会用计算器进行有理数的运算.培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值. 重点:有理数的混合运算. 难点:正确而合理地按有理数的运算顺序计算. 1. 从小学学过的四则运算顺序出发,与前面学过的运算法则结合,并注意弥补运算能力存在的不足和缺漏,使学生完整系统地掌握好计算规则.教师指导学生解题时,要特别提醒学生注意运算顺序和结果的符号,并善于观察题目特征,合理选择运算律. 2.采用开放式教学,让学生自主学习.让学生在组内采取你答我评的方式,使学生既掌握了运算顺序,又培养了学生的语言表达能力.最后在进行运算时,让学生比一比谁的计算更快更准确,培养了学生的参与意识和竞争意识. (一)情境导入 问题1　小学的四则混合运算的顺序是怎样的? 答:先乘除,后加减,同级运算从左至右,有括号时先算括号内,再算括号外. 括号计算顺序:先小括号,再中括号,最后大括号. 问题2　我们目前都学习了哪些运算? 答:加法、减法、乘法、除法. 一个运算中,含有有理数的加、减、乘、除等多种运算,称为有理数的混合运算. (二)新知初探 探究一　有理数的乘除混合运算 1.计算: (1)-2.5÷×-; (2)-÷-×-1. 解:(1)-2.5÷×- =-××- =×× =1. (2)-÷-×-1 =-×-×- =-×× =-4. 问题　观察上面的乘除混合运算,运算顺序是什么?你能得出什么结论? 小结: (1)乘除混合运算往往先将除法化为乘法,然后确定积的符号,最后求出结果(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算); (2)有理数除法化为有理数乘法以后,可以利用有理数乘法的运算律简化运算. 任务一　意图说明 学生试着做出乘除混合运算的计算题,在教师的引导下,从中总结归纳乘除混合运算的技巧,培养学生的运算技能. 探究二　有理数的加、减、乘、除混合运算 1.问题1　观察式子3+50÷2×--1,含有哪几种运算?先算什么,后算什么? 解:加法、减法、乘法、除法都有,先算乘除,后算加减. 问题2　观察式子-3×(2+1)÷(5-12),应该按照什么顺序来计算? 解:先算括号内,再按从左往右顺序计算. [归纳]有理数混合运算的顺序 先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的. 2.计算: (1)-8+4÷(-2); (2)(-7)×(-5)-90÷(-15). 解:(1)-8+4÷(-2) =-8+(-2) =-10. (2)(-7)×(-5)-90÷(-15) =35-(-6) =35+6 =41. 小结:在进行有理数的混合运算时,应先观察算式的特点,若能应用运算律进行简化运算,就先简化运算,在简化运算后,再按混合运算的顺序进行运算. 任务二　意图说明 在教师设计的问题的回答过程中,复习先前的知识,为后续的学习做好铺垫.然后教师组织学生合作完成例题的解答,教师对有疑问的同学给以适当的指导;再通过练习加以巩固,达到让学生掌握有理数加减乘除混合运算的目的. 探究三　有理数的混合运算的实际应用 某公司去年1月-3月平均每月亏损1.5万元,4月-6月平均每月盈利32万元,7月-10月平均每月盈利21.7万元,11月-12月平均每月亏损2.3万元,这个公司去年总的盈亏情况如何? 解:记盈利额为正数,亏损额为负数,公司去年全年总的盈亏为 (-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2 =-4.5+96+86.8-4.6 =173.7. 答:这个公司去年全年盈利173.7万元. 教师操作多媒体,展示电子计算器面板示意图,介绍计算器的简单使用方法. 小结: 1.计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多. 2.提倡在明确算理的情况下,恰当地使用计算器进行一些比较复杂的有理数加减乘除法的混合运算. 任务三　意图说明 1.通过操作计算器,培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值. 2.按课本介绍的方法操作.教师巡视,关注学习有困难的学生,给予指导.注意不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见使用说明. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数的加减乘除混合运算顺序:先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的. 2.进行有理数的混合运算时应注意运用运算律进行简化计算. 2.3　有理数的乘方 2.3.1　乘　方 第1课时　有理数的乘方 理解乘方的意义,掌握有理数的乘方运算. 1.在现实背景中感受有理数乘方的必要性,掌握有理数乘方的相关概念. 2.能够正确进行有理数的乘方运算. 3.通过探索有理数乘方的运算过程,感受化归的数学思想. 重点:正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算. 难点:有理数的乘方的运算及幂的符号法则. 1.从实际问题出发,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念. 2.通过类比乘法与加法的关系,使得学生对乘方和乘法的关系有大致的猜测和感性认识,为下一步的验证提供方向,也感受到数学中类比的思想. (一)情境导入 古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒麦子,在第二个格子中放进第一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易,可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗? (二)新知初探 探究一　乘方的意义 问题1　若正方形的边长为2,则它的面积为多少? 2×2=22,读作2的平方(或二次方). 问题2　棱长为2的正方体的体积为多少? 2×2×2=23,读作2的立方(或三次方). 问题3　某种细胞每30 min便由一个分裂成两个.经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个? 提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞?分裂两次呢?分裂三次呢?四次呢?那么3 h共分裂了多少次?有多少个细胞?请列出算式. 解:一次:2个; 两次:2×2个; 三次:2×2×2个; 四次:2×2×2×2个. 3 h共分裂六次,六次:2×2×2×2×2×2个. 问题4　这些式子有什么相同点? 解:它们都是乘法,并且它们各自的因数都相同. 思考　同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗? 小结:一般地,n个相同的乘数a相乘,即,记作an,读作“a的n次方”. 求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”. 一个数可以看作这个数本身的1次方,例如8就是81,指数1通常省略不写. 任务一　意图说明 1.通过实际问题,为学生提供数学活动的机会,通过动手实践和合作交流,使学生在现实情境中得出乘方的定义,经历数学知识的发生、发展过程.强调乘方是一种特殊的乘法运算. 2.通过解决练习中的问题,让学生明确对于分数及负数的乘方,书写时底数一定要添加括号. 探究二　例题讲解 1.计算: (1)(-3)3;　(2)-2;　(3)-3; (4)(-1)2 025. 解:(1)(-3)3=(-3)×(-3)×(-3) =-(3×3×3) =-27. (2)-2=-×-=. (3)-3=-×-×-=-. (4)(-1)2 025=-1. 问题　负数的幂的正负与指数有什么关系? 小结: (1)负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数; (2)-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1; (3)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0. 2.(1)(-2)2与-22表示的意义一样吗? (2)2与表示的意义一样吗? 解:(1)不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数. (2)不一样,2表示的平方,表示2的平方再除以3. 3.用计算器计算(-8)5和(-3)6. 解:用带符号键(-)的计算器. ((-)8) ^　 5= 显示:(-8)^ 5 -32 768. ((-)3) ^　 6= 显示:(-3)^ 6 729. 所以(-8)5=-32 768,(-3)6=729. 任务二　意图说明 1.通过具体的例子,引导学生归纳得出幂的符号法则.底数是正数,负数或0时,幂的符号是有区别的. 2.通过习题巩固学生的计算能力,让学生逐步熟悉有理数的乘方运算,进一步规范幂的书写格式,使学生加深对有理数的乘方运算的印象. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.乘方的意义 (1)一般地,n个相同的乘数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”; (2)求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂. 2.乘方运算的符号法则 (1)正数的任何次幂都是正数; (2)零的任何正整数次幂都是零; (3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数. 3.(-a)n与-an的区别和联系 (-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数. 第2课时　有理数的混合运算 掌握有理数的混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算. 1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序. 2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律. 重点:掌握有理数的混合运算的法则,正确、熟练地进行有理数的混合运算. 难点:灵活巧妙地应用运算律进行简便计算. 1.在复习回顾四则运算法则的基础上,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯. 2.小组讨论有理数运算法则后,教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定,特别是加入乘方以后,学生对乘方运算不熟悉,容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错,需要进行针对性讲解及练习. (一)情境导入 前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉,如果遇到有理数的混合运算,你有信心进行准确的计算吗?下图是小玲和小亮的对话,你同意小亮的说法吗? (二)新知初探 探究一　有理数的混合运算 下列式子30+5÷22×--1,含有哪几种运算?先算什么,后算什么?并进行计算. 解:式子中含有加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.先算乘方,再算乘除,最后算加减. 30+5÷22×--1 =30+5÷4×--1 =30+×--1 =30--1 =28. 小结:做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序: (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行; (3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 任务一　意图说明 利用小学学习的四则混合运算的法则,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯,同时还让学生体会知识的延续性. 探究二　例题讲解 1.计算:2×(-3)3-4×(-3)+15. 解:原式=2×(-27)-(-12)+15 =-54+12+15 =-27. 2.计算:(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2). 解:原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2) =-8+(-3)×(-14)-(-4.5) =-8+42+4.5 =38.5. 3.计算:(-3)2×-+-. 解:法一　原式=9×-=-11. 法二　原式=9×-+9×-=-6-5=-11. 小结:有理数的混合运算可用下面的口诀记忆:混合运算并不难,符号第一记心间;加法需取大值号,乘法同正异负添;减变加改相反数,除改乘法用倒数;混合运算按顺序,乘方乘除后加减. 任务二　意图说明 1.学生通过交流,正确归纳出有理数混合运算顺序,再在实际解题过程中寻找规律,发现问题,学生间互相辨析指正.在这个过程中教师重点引导学生发现自己的错误,规范学生的解答过程.. 2.合理选择步骤和运算律可以简化运算. 探究三　数字规律探究 1.观察下面三行数: -2,4,-8,16,-32,64,…;① 0,6,-6,18,-30,66,…;② -1,2,-4,8,-16,32,….③ (1)第①行数按什么规律排列? (2)第②③行数与第①行数分别有什么关系? (3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和. 解:(1)第①行数是-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,…. (2)第②行数是第①行相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,…. 第③行数是第①行相应的数的倍,即(-2)×,(-2)2×,(-2)3×,(-2)4×,…. (3)每行数中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10× =1 024+(1 024+2)+1 024× =1 024+1 026+512 =2 562. 2.为了求1+2+22+23+24+…+22 024的值,可令S=1+2+22+23+…+22 024,则2S=2+22+23+24+…+22 025,因此2S-S=22 025-1,所以 1+2+22+23+…+22 024=22 025-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52 024=　　.  任务三　意图说明 观察等式,可发现规律,根据规律即可进行解答.通过练习可培养学生对数的感觉,提高学生抽象与归纳的能力,培养学生思维的逻辑性和灵活性,进一步发展学生的思维. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.有理数的混合运算 (1)先乘方,再乘除,最后加减; (2)同级运算,从左到右进行; (3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行. 2.应用运算律简化运算. 2.3.2　科学记数法 会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示). 1.通过对实际问题的探究,感受用科学记数法表示大数的科学性,感受数学的简洁美. 2.会用科学记数法表示大于或等于10的数. 3.通过探索归纳科学记数法中10的指数与原数整数位数之间的关系,培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力. 重点:会用科学记数法表示大于或等于10的数. 难点:探索归纳出用科学记数法表示的数中10的指数与原数整数位数之间的关系. 1.利用实际生活中的熟悉问题调动学生的求知欲和积极性,再通过复习乘方的意义,引导学生思考如何利用10的乘方表示一些大数,但究竟怎么表示,有什么规律就由学生独立探究,经历小组讨论,表述评判,最后由教师点拨总结等几个环节,使新知识的教与学的目的顺利达到. 2.通过问题的设置调动学生的思维,通过对问题的探究与交流,师生共同发现用科学记数法表示的数中10的指数与小数点移动位数之间的关系,让学生在深刻理解、牢固掌握知识的同时,体会知识的生成过程. (一)情境导入 生活中,我们经常会遇到一些比较大的数.例如: 1.全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽. 2.光的速度约为300 000 000 m/s. 3.地球离太阳约有1亿五千万千米. 4.地球上煤的储量估计15万亿吨以上. 像这些较大的数据,书写和阅读都有一定的难度,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读、易于计算呢? (二)新知初探 探究一　用科学记数法表示数 1.回顾有理数的乘方,计算: 101=　10　,102=　100　,103=　1 000　,  104=　10 000　,106=　1 000 000　,1010=　10 000 000 000　,….  讨论: (1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系? (2)指数与运算结果的数位有什么关系? [归纳总结] (1)10n=1,n恰好是1后面0的个数; (2)10n=,n比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少.如: 1=107. 2.把下列各数写成10的n次幂的形式(即写成10(　)):100,10 000,100 000 000,300,32 000,345 000 000. 解:100=102,10 000=104,100 000 000=108. 300=3×100=3×102 32 000=3.2×10 000=3.2×104 345 000 000=3.45×100 000 000=3.45×108. 小结:我们可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.这种记数方法叫作科学记数法. 对于小于-10的数也可以类似表示. 追问　下列三组数是用科学记数法表示的数吗?为什么? (1)0.137×1010;(2)13.7×108;(3)137×107. 任务一　意图说明 1.让学生对幂的意义进行回忆,弄清指数与其结果中零的个数的关系,为学生对下面将要学习的科学记数法的理解做好铺垫. 2.通过把大于10的数写成10的幂的形式,让学生进一步掌握10的指数与原数的整数位的关系. 探究二　例题讲解 1.用科学记数法表示下列各数: 1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000. 解:1 000 000=1×106, 57 000 000=5.7×107, -123 000 000 000=-1.23×1011. [方法归纳] 用科学记数法表示一个n位整数时,10的指数是n-1. 2.光的速度是300 000 000 m/s,太阳光从太阳射到地球的时间约500 s,请你计算出太阳与地球的距离是多少米(结果用科学记数法表示)? 解:300 000 000×500 =150 000 000 000 =1.5×1011(m). 答:太阳与地球的距离为1.5×1011 m. 任务二　意图说明 检查学生的学习效果,看其能否真正掌握科学记数法.找同学板演,便于发现问题.也可以借助此环节,引导学生进行解题后的总结,进一步达成学习目标. 探究三　还原用科学记数法表示的数 下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数? (1)2003年10月15日,中国首次发射载人航天飞行,神舟五号飞船绕地球飞行了14圈,行程约为 6×105 km; (2)一套《辞海》大约有2.3×107个字; (3)1972年3月发射的“先驱者10号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器,至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时,它已飞离地球1.22×1010 km. 解:(1)6×105=600 000. (2)2.3×107=23 000 000. (3)1.22×1010=12 200 000 000. 小结:反过来,如果用科学记数法表示的数10的指数是n,那么原数有n+1位整数位. 任务三　意图说明 通过将用科学记数法表示的数还原,加深学生对科学记数法的理解,对学生存在的问题及时有效地进行反馈,让老师及时准确地掌握学生的课堂学习效果. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.科学记数法 (1)把一个大于10的数表示成a×10n的形式; (2)a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数. 2.还原用科学记数法表示的数. 2.3.3　近似数 了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算. 1.结合实际问题理解近似数的概念,并能按要求取近似数. 2.通过学习近似数和精确度的意义以及它们在生活中的应用,让学生体会学习数学的重要性. 重点:理解近似数、精确度的意义,能根据具体要求取近似数. 难点:按给定的精确度求一个数的近似数. 1.多角度选择生活事例作为情境,激发学生参与学习的热情,以学生身边最熟悉的数据引导学生认识概念,再在习题的解答和纠错中准确接受新知识. 2.应给予学生充足的时间,组织学生独立思考、动手操作、合作交流,进一步体会近似数与其精确度之间的关系. (一)情境导入 北京地铁1号线是我国最早的地铁路线,共设36座车站,全长52.7 km. “36”一定是准确的数据吗? “52.7”一定是准确的数据吗?它又是怎么来的? (二)新知初探 探究一　准确数与近似数 1.问题1　 (1)我班有　　　　名学生,　　　　名男生,　　　　名女生;  (2)你今年约　　　　岁;  (3)你的体重约为　　　kg,身高约为　　　cm;  (4)我们的数学课本有　　　　页;  (5)量一量,我们的数学课本的长是　　　cm,宽是　　　　cm.  问题2　在这些数据中,哪些数据是与实际接近的?哪些数据是与实际完全符合的? (1)(4)与实际完全符合,(2)(3)(5)是与实际接近的. 2.问题　(1)什么样的数是近似数?你能举例说明吗? 我们得不到与实际完全相符的数,而是通过测量、估算得到的数,都是近似数.例如,姚明的身高是2.26 m. (2)有时,我们为了叙述、书写方便,通过四舍五入得到的数也是近似数.例如,2023年全国高考报名的考生共1 291万人. 3.下列语句中,哪些数据是精确的,哪些数据是近似的? (1)妈妈去买水果,买了8个苹果,大约3 kg; (2)小民与小李买了2瓶水,4根黄瓜,6袋牛肉干,约20元,然后骑车去大约3.5 km外的地方郊游,大约玩了4.5 h回家; (3)我国共有56个民族. 解:精确数:8,2,4,6,56;近似数:3,20,3.5,4.5. 4.判断下列各数,哪些是近似数,哪些是准确数 (1)某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加;(　近似数　) (2)检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌 800 000 万个;(　近似数　) (3)张明家里养了5只鸡;(　准确数　) (4)据统计,2023年全中国中小学生人数为1.1亿.(　近似数　) 小结:经过“四舍五入”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数;能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数,一般通过计数数出来的数都是准确数. 任务一　意图说明 提出现实生活中的实际问题,根据自己已有的生活经验观察身边熟悉的事物,收集一些数据,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,从而理解近似数与准确数的意义. 探究二　按要求取近似值 1.小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米. 根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少?根据小颖的测量呢?谁的测量结果会更精确一些? 解:根据小明的测量,这片树叶的长度约为3 cm,根据小颖的测量,这片树叶的长度约为3.2 cm. 小颖的测量结果更精确一些. 2.按四舍五入法对圆周率π取近似数,有 π≈3(精确到　个位　),π≈3.1(精确到　0.1　,或叫作精确到　十分位　),π≈3.14(精确到　0.01　,或叫作精确到　百分位　),π≈3.142(精确到　0.001　,或叫作精确到　千分位　),π≈3.141 6(精确到　0.000 1　,或叫作精确到　万分位　),……  3.下列结论正确的是(C) A.近似数4.230和4.23的精确度是一样的 B.近似数89.0是精确到个位 C.近似数0.005 10与0.051 0的精确度不一样 D.近似数6万与近似数60 000的精确度相同 小结:近似数是一个与准确数接近的数,其接近程度可以用精确度表示. 一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位. 任务二　意图说明 注重学生的自主学习与探究,通过自主学习获得新知,体验成功的快乐.让学生感受四舍五入取得的近似数是精确到哪一位,即精确度是多少. 探究三　例题讲解 1.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数: (1)0.015 8(精确到0.001); (2)304.35(精确到个位); (3)1.804(精确到0.1); (4)1.804(精确到0.01). 解:(1)0.015 8≈0.016;(2)304.35≈304; (3)1.804≈1.8;(4)1.804≈1.80. 2.下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位? (1)600万;(2)7.03万; (3)5.8亿;(4)3.30×105. 解:(1)600万,精确到万位; (2)7.03万,精确到百位; (3)5.8亿,精确到千万位; (4)3.30×105,精确到千位. 任务三　意图说明 通过例题,培养学生的迁移类比能力;通过讨论,让学生搞清求近似数的关键是确定省略的最高位上的数字是几,根据是否满5来决定舍还是入,总结交流,提炼方法. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.判断准确数与近似数. 2.会按照精确度求一个数的近似数. 3.根据近似数判断精确度. 第三章　代数式 3.1　列代数式表示数量关系 第1课时　代数式 借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义. 1.结合生活中的具体实例,初步感受用字母表示数的必要性. 2.理解代数式的意义,会用代数式表示实际问题中的数量关系. 3.通过列代数式,形成初步的符号感,提高应用数学的意识. 重点:用代数式表示实际问题中的数量关系. 难点:理解并会用语言表达代数式的意义. 让学生经历在实际问题中用字母表示数,初步理解用字母表示数的意义及目的,可以先用数,后用字母来表示.让学生循序渐进的学习本部分内容,在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数,发展学生的符号感.在数学教学中,让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题. (一)情境导入 我们不少同学都是唱着儿歌长大的,朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀.其中有一首歌是这样唱的: 一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,一声扑通跳下水;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,两声扑通跳下水;三只青蛙三张嘴,六只眼睛……,a只青蛙a张嘴,2a只眼睛4a条腿,a声扑通跳下水,由此看出a是一个字母,它代表“很多只”的数量,用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系. 今天我们就学习用字母表示数. (二)新知初探 探究一　代数式的概念 1.智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一,某品牌苹果采摘机器人可以1 s完成5 m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手8 s可以采摘一个苹果,根据这些数据回答下列问题: 问题1　该机器人10 s能识别多大范围内的苹果? 5×10=50(m2). 追问1　该机器人60 s能识别多大范围内的苹果? 答:5×60=300(m2). 追问2　该机器人t s能识别多大范围内的苹果? 答:5×t=5t(m2). 问题2　该机器人识别n m3范围内的苹果需要多少秒? 答:n÷5=(s). 问题3　若该机器人搭载了10个机械手,与采摘工人同时工作1 h,假设工人m s可以采摘一个苹果,则机器人可比工人多采摘多少个苹果? 解:机器人多采摘的苹果个数=机器人采摘的苹果个数-工人采摘的苹果个数 =机器人的采摘效率×工作时间-工人的采摘效率×工作时间 =10××3 600-×3 600 =4 500-. 2.用含有字母的式子表示下列数量. (1)练习簿的单价为a元,100本练习簿的总价是　100a　元;  (2)练习簿的单价为b元,a本练习簿的总价是　ab　元;  (3)练习簿的单价为0.5元,圆珠笔的单价是 3.2元,买a本练习簿和b支笔的总价是　(0.5a+3.2b)　元;  (4)小明的家离学校s km,小明骑车上学.若每小时行10 km,则需　　h;  (5)若每千克苹果元,则买m kg苹果需　m　元;  (6)某人个子高,经测量他通常跨一步的距离为 1 m,若取向前为正,向后为负,那么他向前跨a步为　+a　m,向后跨a步为　-a　m.  小结:代数式的概念 (1)用运算符号把数或表示数的字母连接起来的式子,称为代数式; (2)单独的一个数或字母也是代数式. 任务一　意图说明 从实际问题出发,引导学生将实际问题转化为数学问题,渗透数学建模思想,让学生从语言表述到符号表述的情境中深刻理解用字母表示数的意义,培养学生的创造性和发散性思维. 探究二　例题讲解 1.(1)苹果原价是p元/ kg,现在按九折优惠出售,用代数式表示苹果的售价; (2)一个长方形的长是0.9 m,宽是p m,用代数式表示这个长方形的面积; (3)某产品前年的产量是n件,去年的产量比前年的产量的2倍少10件,用代数式表示去年的产量; (4)一个长方体水池底面的长和宽都是a m,高是h m,池内水的体积占水池容积的三分之一,用代数式表示池内水的体积. 解:(1)苹果的售价是0.9p元/kg. (2)这个长方形的面积是0.9p m2. (3)去年的产量是(2n-10)件; (4)由长方体的体积=长×宽×高,得这个长方体水池的容积是a·a·h m3,即a2h m3,故水池内水的体积为a2h m3. 小结:用字母表示数后,同一个代数式可以表示不同实际问题中的数量或数量关系. 2.说出下列代数式的意义: (1)2a+3; (2)2(a+3); (3); (4)x2+2x+8. 解:(1)2a+3的意义是a的2倍与3的和. (2)2(a+3)的意义是a与3的和的2倍. (3)的意义是c除以a,b的积的商. (4)x2+2x+8的意义是x的平方,x的2倍与8的和. 小结:描述一个代数式的意义,可以从字母本身出发来描述字母之间的数量关系,也可以联系生活实际或几何背景赋予其中字母一定的实际意义加以描述. 任务二　意图说明 1.学生结合以前学的知识,理解数量关系,列出正确的代数式,进一步感受用字母表示数的意义与方法. 2.让学生理解用字母表示数后,同一个字母可以表示不同的量,同一个式子可以表示不同的含义. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.代数式 (1)代数式的概念; (2)代数式书写时的注意事项. 2.用代数式表示实际问题中的数量关系. 第2课时　列代数式 分析具体问题中的简单数量关系,并用代数式表示. 1.会根据实际问题列出代数式,进一步规范代数式的书写格式; 2.能理解一些简单代数式的实际背景,培养符号感; 3.通过具体情境,培养把实际问题抽象为数学问题的能力. 重点:列代数式. 难点:解释代数式的实际背景或几何意义. 从学生了解代数式的概念到列代数式,培养学生爱思考,爱学习的习惯,让学生学会运用所学知识解决实际问题,提高解决问题的能力.教学过程中,也应拓展学生的思维,培养他们观察、分析的能力及抽象思维能力、语言能力、创造能力和类比联想能力. (一)情境导入 今年暑假,老师从深圳出发,随旅游团到北京旅游.虽然做了充分准备,但是还遇到了许多数学难题.希望大家能帮帮老师! (1)深圳的气温为x ℃,北京的气温比深圳低4 ℃,北京的气温为　(x-4)　 ℃.  (2)深圳到北京的距离是s km,高铁的速度为 300 km/h,到达北京需　　h.  (3)我们有a个成人,b个学生,成人门票为60元/人,学生门票为20元/人,则买门票需付　(60a+20b)　元钱.  (4)太和殿占地呈长方形,长m m,宽n m,太和殿占地面积有多少平方米呢? (二)新知初探 探究一　列代数式表示数量关系 思考　如何用代数式表示a,b两数的和与差的积? 可以按下面的步骤列代数式: 所以a,b两数的和与差的积为(a+b)(a-b). 1.用代数式表示: (1)a除以b的商与c的和; (2)比a的2倍与b的差小6的数; (3)a,b两数和的平方与它们差的平方的和; (4)三个连续的偶数(用同一个字母表示),以及它们的和. 解:(1)+c. (2)(2a-b)-6. (3)(a+b)2+(a-b)2. (4)设n是整数,三个连续偶数可表示为2n-2,2n,2n+2,它们的和为(2n-2)+2n+(2n+2). 2.用代数式表示 ①a的平方的3倍与5的差; ②比a的倒数与b的倒数的和大1的数; ③a,b两数的平方和减去它们乘积的2倍; ④a,b两数的平方差除以a,b两数的和的平方. 解:①3a2-5;②++1;③a2+b2-2ab;④. 小结:用代数式表示数量关系时,一般要将句子分层,逐层分析,一步步列出代数式. 任务一　意图说明 让学生通过理解题目中的数量关系,用代数式将这些数量关系表示出来,进一步培养了学生的符号感,学生通过讨论、交流,能准确地理解并掌握代数式的意义. 探究二　列代数式表示实际问题 1.用代数式表示: (1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为 b元的饮料所需的钱数. (2)爸爸把a元钱存入银行,存期3年,年利率为2.75%,到期时的利息是多少元? (3)某商品的进价为x元,先按进价的1.1倍标价,后又降价80元出售,现在的售价是多少元? 解:(1)购买2个单价为a元的面包和3瓶单价为b元的饮料所需的钱数为(2a+3b)元. (2)根据题意,得a×2.75%×3=8.25%a,因此到期时的利息为8.25%a元. (3)现在的售价为(1.1x-80)元. 2.甲、乙两地之间公路全长240 km,汽车从甲地开往乙地,行驶速度为v km/h. (1)汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时? (2)如果汽车的行驶速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶多少小时?汽车加快速度后可以早到多少小时? 解:(1)汽车从甲地到乙地需要行驶 h. (2)如果汽车行驶的速度增加3 km/h,那么汽车从甲地到乙地需要行驶 h,汽车加快速度后可以早到-h. 小结:用字母表示数,字母可以和数一样参与运算,从而可以用代数式把数量或数量关系简明地表示出来,更具有一般性. 任务二　意图说明 引导学生将实际问题转化为数学问题,渗透数学建模思想,让学生从语言表述到符号表述的情境中深刻理解用字母表示数的意义,培养学生的创造性和发散性思维. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 列代数式: (1)列代数式表示数量关系; (2)列代数式表示实际问题; (3)列代数式时,字母可以与数一样参与运算. 第3课时　反比例关系　　　 结合具体情境体会反比例关系的意义. 1.通过实际生活情境,理解反比例关系的概念. 2.能判断一个给定的数量关系是否为反比例关系,并会用代数式表示反比例关系. 3.经历抽象反比例关系的进程,初步体验反比例关系是描述变量关系的重要数学模型. 重点:反比例关系的判断,用代数式表示反比例关系. 难点:反比例关系的理解. 让学生从生活实际中发现数学问题,从而引入学习内容,不仅激发了学生学习数学的兴趣,还激起了学生自主参与的积极性和主动性,为自主探究新知创造了现实背景.在教学过程中,以学生学习的正比例关系为基础,在学生之间创设相互交流、相互合作、相互帮助的关系,让学生通过充分讨论交流后得出它们的相同点与区别,在此基础上来揭示反比例关系的意义. (一)情境导入 新学期伊始,小明想买一些笔记本为以后的学习做准备.妈妈给了小明30元钱,小明可以如何选择笔记本的价钱和数量呢? 笔记本 单价x/元 1.5 2 2.5 3 5 7.5 … 购买的笔记 本数量y/本 … 通过填表,你发现x,y之间具有怎样的关系?你还能举出这样的例子吗? (二)新知初探 探究一　反比例关系 1.某品牌苹果采摘机器人可以1 s完成5 m2范围内苹果的识别.则2 s识别范围是　10　m2,3 s识别范围是　15　m2,4 s识别范围是　20　m2,…,t s识别范围是　5t　m2.  追问　机器人能识别的范围与所用时间之间的比值有什么规律? 答:比值总是一定的,它们成正比例关系. 2.北京是全球首个既举办过夏季奥运会,又举办过冬季奥运会的城市,在冬季奥运会前,某赛场计划造雪260 000 m3. (1)根据每天造雪量,计算所需的造雪天数,填写表格. 每天造雪量/m3 5 000 5 200 6 500 … 造雪天数 … (2)在这个实际问题中,一共包含有哪些量?每天造雪量和造雪天数这两个量是怎样变化的?它们之间有什么关系? 解:此问题包含三个量:造雪总量、每天造雪和造雪天数. 造雪天数随着每天造雪量的变大而变小,且造雪天数与每天造雪量的乘积一定. 小结:两个相关联的量,一个量变化,另一个量也随着变化,且这两个量的乘积一定,这两个量就叫作反比例的量,它们之间的关系叫作反比例关系. 如果用字母x和y表示两个相关联的量,用k表示它们的积(k是一个确定的值,且k≠0),反比例关系用xy=k,或y=来表示,其中k叫作比例系数. 3.用代数式表示下列各量之间的关系,并判断它们之间是否成反比例关系. (1)京沪线铁路全程为1 463 km,某次列车的平均速度v(单位:km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位:h)之间的关系; (2)某住宅小区要种植一块面积为1 000 m2的长方形草坪,草坪的长y(单位:m)与宽x(单位:m)之间的关系; (3)已知北京市的总面积为1.64×104 km2,人均占有面积S(单位:km2/人)与全市总人口n(单位:人)之间的关系. 解:(1)v=,反比例关系. (2)y=,反比例关系. (3)S=,反比例关系. 任务一　意图说明 从实际问题入手,充分利用已有的生活经验和背景知识,挖掘问题中变量的相互关系及变化规律,逐步加深理解.从而让学生充分理解反比例关系的本质:即两个量的乘积一定.再通过练习进一步加深理解,学生先独立思考,然后相互交流探索结论.最后教师予以评讲. 探究二　例题讲解 1.判断下列各题中的两个量是否成反比例关系,并说明理由. (1)体积一定时,圆柱的底面积S与高h之间的关系; (2)煤的总量一定,每天的烧煤量与烧煤的天数; (3)已知A,B两地的距离一定,小明从A地步行到B地的速度与步行的时间. 解:(1)反比例关系,底面积S与高h的乘积一定. (2)因为烧煤的天数×每天的烧煤量=煤的总量,乘积一定,所以每天的烧煤量与烧煤的天数成反比例关系. (3)反比例关系,小明从A地步行到B地的速度与步行的时间的乘积一定. 2.如图所示,四个圆柱形容器内部的底面积分别为10 cm2,20 cm2,30 cm2,60 cm2,分别往这四个容器中注入300 cm3的水. (1)四个容器中水的高度分别是多少厘米? (2)分别用x(单位:cm2)和y(单位:cm)表示容器内部的底面积与水的高度,用式子表示y与x的关系,y与x成什么比例关系? 解:(1)四个容器中水的高度分别是 =30(cm),=15(cm),=10(cm), =5(cm). (2)xy=300或y=,y与x成反比例关系. 任务二　意图说明 让学生通过对上述两道题的探究,进一步加深对反比例关系意义的理解,增强用代数式表示反比例关系的解题技能,教师巡视,再给出答案并解决易错点. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.反比例关系 (1)一个量随着另一个量的变化而变化; (2)两个量的乘积一定. 2.用代数式表示两个量之间的关系. 3.2　代数式的值 会把具体数代入代数式进行计算. 1.理解代数式的值是由代数式中字母的取值确定的. 2.掌握求代数式的值的方法,并能解决较简单的实际问题. 3.通过求代数式的值的过程初步体会到数学中抽象概括的思维方法. 重点:会求代数式的值. 难点:正确求出代数式的值,会用代数式解决简单的实际问题. 1.通过活动使学生感知代数式运算在判断和推理上的意义,增强学生学习数学的兴趣. 2.应给予学生充足的时间,组织学生独立思考、动手操作、合作交流,体验字母取值的变化与代数式值的变化之间的联系,能利用代数式的值推断一些代数式所反映的规律. (一)情境导入 一位医生研究得出由父母身高预测子女成年后身高的公式:儿子身高是由父母身高的和的一半,再乘1.08;女儿的身高是父亲身高的0.923倍加上母亲身高的和再除以2.例如:已知父亲身高a m,母亲身高b m,则儿子身高为×1.08 m,女儿身高为 m. 你能用这个公式预测身边同学的最终身高吗? (二)新知初探 探究一　求代数式的值 1.为了开展体育活动,学校要购置一批排球,每班配5个,学校另外留20个.学校总共需要购置多少个排球? 问题1　若全校的班级数是n个,则需要购置的排球总数是多少? 解:5n+20. 问题2　如果班级数是15,则需要购置的排球总数是多少? 解:用15代替字母n,那么需要购置的排球总数是 5n+20=5×15+20=95(个). 问题3　如果班级数是20,则需要购置的排球总数是多少? 解:用20代替字母n,那么需要购置的排球总数是5n+20=5×20+20=120(个). 追问　比较问题2,问题3两题的运算结果,你有什么想法? 小结:一般地,用数值代替代数式中的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果,叫作代数式的值. 当字母取不同的数值时,代数式的值一般也不同. 2.根据下列x,y的值,分别求代数式2x+3y的值: (1)x=15,y=12;(2)x=1,y=. 解:(1)当x=15,y=12时,2x+3y=2×15+3×12=66. (2)当x=1,y=时,2x+3y=2×1+3×=3.5. 任务一　意图说明 让学生通过计算,理解求代数式值的本质,给字母代入不同的值可以得到代数式的不同值,使学生感受代数式求值可以理解为一个转换过程或某种算法. 探究二　例题讲解 1.根据下列a,b的值,分别求代数式a2-的值. (1)a=4,b=12; (2)a=-3,b=2. 解:(1)当a=4,b=12时,a2-=42-=13. (2)当a=-3,b=2时, a2-=(-3)2-=. 2.某健身俱乐部有两种交费方式:甲方式为交 600元的会员费后,每次收费60元;乙方式为每次健身收费100元. (1)若陈老师去健身x次,按甲、乙两种方式各应交费多少元? (2)若陈老师去健身18次,你认为采取哪种方式更合算?请通过计算说明. 解:(1)当陈老师去健身x次时,按甲方式应交费(600+60x)元,按乙方式应交费100x元. (2)当x=18时,按甲方式应交费600+60×18=1 680元,按乙方式应交费100×18=1 800元,因为1 680<1 800,所以采取甲方式交费更合算. 小结: (1)代入时要“对号入座”,避免代错字母; (2)代入后要恢复省略的乘号; (3)分数的立方、平方运算,要用括号括起来. 任务二　意图说明 通过例题的解决让学生进一步理解求代数式的值的方法,即先代入,后计算.培养学生善于观察,勤于思考的习惯,让学生体验获得结论的过程. 探究三　用公式描述数量关系 1.在小学阶段学习过许多图形的周长、面积或体积公式: 长方形的面积=　长×宽　;  正方形的面积=　边长2　;  三角形的面积=　×底×高　;  梯形的面积=　(上底+下底)×高　;  圆的周长=　2πr　;  圆的面积=　πr2　;  长方体的体积=　长×宽×高　;  正方体的体积=　边长3　;  圆柱的体积=　底面积×高　;  圆锥的体积=　×底面积×高　.  2. 某学校操场最内侧的跑道由两段直道和两段半圆形的弯道组成,其中直道的长为a m,半圆形弯道的直径为b m. (1)用代数式表示这条跑道的周长; (2)当a=67.3 m,b=52.6 m时,求这条跑道的周长(π取 3.14,结果取整数). 解:(1)两段直道的长为2a m,两段弯道组成一个圆,它的直径为b m,周长为πb m,因此,这条跑道的周长为(2a+πb)m. (2)当a=67.3 m,b=52.6 m时, 2a+πb=2×67.3+3.14×52.6≈300(m). 因此,这条跑道的周长约为300 m. 3.一块三角尺的形状和尺寸如图所示,用代数式表示这块三角尺的面积S.若a=10 cm,b=17.3 cm,r=2 cm,求这块三角尺的面积(π取 3.14). 解:三角形的面积为ab,圆的面积为πr2, 这块三角尺的面积(单位:cm2)S=ab-πr2, 当a=10 cm,b=17.3 cm,r=2 cm时, S=×10×17.3-3.14×22=73.94(cm2). 因此,这块三角尺的面积是73.94 cm. 任务三　意图说明 通过解答例题,让学生掌握用代数式表示常见几何图形的面积公式的方法.进一步理解了代数式和代数式求值的概念,锻炼学生的计算能力,激发学生的兴趣. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.代数式的值. 2.求代数式的值 (1)代入;(2)计算. 3.用公式表示数量关系. 第四章　整式的加减 4.1　整　式 第1课时　单项式 理解单项式的概念. 1.理解单项式的相关概念,并能准确地找出单项式的系数、次数. 2.能用单项式表示具体问题中的数量关系. 3.在经历用字母表示数量关系的过程中,发展学生的符号感. 重点:理解单项式的概念,并能准确地找出单项式的系数、次数. 难点:理解单项式的概念. 教学过程要重点展示概念的形成过程,由学生观察、分析、比较,找出单项式的共同特点,再归纳、抽象概括,形成单项式及相关概念的定义.整个教学过程要遵照启发式原则,凡是经学生努力探究能找出的知识都交由学生自主完成,这样有助于提升学生用数学解决问题的能力. (一)情境导入 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛为一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和 92 km/h.请根据这些数据回答: 汽车在主桥上行驶t h的路程是多少千米? 解:t×92=92t(km). 观察所列式子包含什么运算,有什么特点. (二)新知初探 探究一　单项式的相关概念 1.用含有字母的式子填空. (1)边长为m的正方形的周长为　4 m　,面积为　m2　;  (2)铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔单价的2.5倍,圆珠笔的单价是　2.5x　元;  (3)一辆汽车的速度是v km/h,t h的行驶路程为　vt　km;  (4)半径为r cm的圆的周长是　2πr　cm,面积为　πr2　cm2.  [归纳] (1)上面各式的运算中数字和字母之间,字母与字母之间的运算都是乘法运算(都是表示数字与字母、字母与字母的积).这样的式子叫作单项式,单独的一个数或一个字母也是单项式.例如:2 024,a,等是单项式; (2)单项式的系数、次数:单项式中的数字因数叫作系数;一个单项式中,所有字母的指数的和叫作这个单项式的次数. 2.下列各式中,哪些是单项式? x,,a,4x+6,x2-y,,-16. 解:单项式有:x,a,-16. 任务一　意图说明 让学生讨论分析归纳出单项式的概念,强调单项式必须为数或字母的乘积,即可以是字母之间相乘,数字之间相乘,数字和字母之间相乘.并且单独的一个数或一个字母也是单项式.紧接着让学生从单项式的结构中分析归纳出单项式的次数和系数的概念,重点强调学生容易出错的地方:单项式的系数包含其前面的符号. 探究二　例题讲解 1.判断下列各式是否是单项式,如果不是,请简要说明理由;如果是,请指出它的系数与次数. (1)x+1;(2);(3)πr2;(4)-a2b. 解:(1)x+1不是单项式,因为代数式中出现了加法运算. (2)不是单项式,因为代数式中出现了数字与字母的除法运算. (3)πr2是单项式,系数是π,次数是2. (4)-a2b是单项式,系数是-,次数是3. 2.用单项式填空,并指出它们的系数和次数: (1)若三角形的一条边长为a,这条边上的高为h,则这个三角形的面积为　　　　;  (2)一个长方体包装盒的长、宽、高分别为x cm,y cm,z cm,则这个长方体包装盒的体积为　　　　cm3;  (3)有理数n的相反数是　　　　;  (4)《北京2022年冬奥会——冰上运动》是为了纪念北京2022年冬奥会冰上运动发行的邮票.邮票1套共5枚,价格为6元,其中一种版式为一张 10枚(2套),某中学举行冬奥会有奖问答活动,买了 m张这种版式的邮票作为奖品,共花费　元.  (5)《中华人民共和国国旗法》规定,国旗旗面为红色长方形,其长与高之比为3∶2,有五种通用尺度(即尺寸规格).若一种尺度的国旗的长为 a cm,则这种尺度的国旗旗面的面积为　cm2.  解:(1)ah,它的系数是,次数是2; (2)xyz,它的系数是1,次数是3. (3)-n,它的系数是-1,次数是1. (4)12m,它的系数是12,次数是1. (5)a2,它的系数是,次数是2. 3.写出只含有x,y,而且系数是-3,次数是4的单项式. 解:-3xy3　-3x2y2　-3x3y 任务二　意图说明 1.通过练习帮助学生充分理解单项式的概念. 2.注重分析,抓住概念易混淆处和判断易出错处,强化认识,帮助学生理解单项式系数、次数,为进一步学习新知识做好铺垫. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.单项式 (1)由数或字母的积组成的代数式; (2)单独的一个数或一个字母. 2.单项式的系数:单项式中的数字因数. 3.单项式的次数:一个单项式中,所有字母的指数的和. 第2课时　多项式 理解多项式和整式的概念. 1.理解多项式和整式的概念. 2.能准确迅速地确定一个多项式的项数和次数. 3.经历对多项式概念的探索过程,培养学生的符号感. 重点:理解多项式的有关概念. 难点:会确定一个多项式的项数和次数. 学生先观察式子的共同特点,从而归纳出多项式的有关概念.因为学生已有单项式知识的经验,所以教学中要注重学生自主学习,充分让学生主动探究发现,培养学生主动学习的兴趣和能力,让学生充分感知多项式相关概念的形成过程,并及时通过练习巩固所学知识. (一)情境导入 用代数式表示: (1)若三角形的边长分别为a,b,c,则三角形的周长是　a+b+c　;  (2)若某班有男生x人,女生21人,则这个班共有学生　(x+21)　人;  (3)鸡兔同笼,鸡a只,兔b只,则共有头　(a+b)　个,脚　(2a+4b)　只.  观察以上所得出的四个式子,与上节课所学单项式有何区别? (二)新知初探 探究一　多项式的相关概念 问题　列式表示下列数量: (1)温度由t ℃下降5 ℃后是　(t-5)　℃;  (2)买一个篮球需要x元,买一个排球需要y元,买一个足球需要z元,那么买3个篮球、5个排球、2个足球共需要　(3x+5y+2z)　元;  (3)如图(1)所示,三角尺的面积为　ab-πr2　;  (4)如图(2)所示的是一所住宅区的建筑平面图,这所住宅的建筑面积是　(x2+2x+18)　m2.  图(1)　图(2) 追问　上述几个式子都是单项式吗?这些式子有什么共同特点?与单项式有什么关系? 解:上述几个式子都不是单项式.这些式子是两个或多个单项式相加的形式. 小结: (1)几个单项式的和叫作多项式; (2)多项式中的每个单项式叫作多项式的项,不含字母的项叫作常数项; (3)多项式里,次数最高的项的次数,叫作这个多项式的次数; (4)单项式与多项式统称整式. 练习 (1)在代数式a,2x2+y,+1,-5,3m-3n中,多项式有　2x2+y,3m-3n　.整式有　a,2x2+y,-5,3m-3n　;  (2)多项式x2+y-z的项分别为　x2,y,-z　,每项的次数分别为　2次,1次,1次　;  (3)多项式3m3-2m-5+m2的项分别为　3m3,-2m,-5,m2　,每项的次数分别为　3次,1次,0次,2次　,常数项是　-5　.  小结: (1)多项式的各项应包括它前面的符号; (2)多项式没有系数的概念,但其每一项均有系数,每一项的系数也包括前面的符号; (3)要确定一个多项式的次数,先要确定此多项式中各项(单项式)的次数,然后找次数最高的; (4)一个多项式的最高次项可以不唯一. 任务一　意图说明 1.通过特征的讲述,由学生自己归纳出多项式的定义,教师可给予适当的提示及补充. 2.教师介绍多项式的项和次数以及常数项等概念,并让学生比较多项式的次数与单项式的次数的区别与联系,渗透类比的数学思想. 探究二　例题讲解 1.说出下列多项式的项、次数和常数项. (1)2a2-ab2-1; (2)3x2+y2; (3)xy3+2xy+y5-. 解:(1)2a2-ab2-1的项是2a2,-ab2,-1,次数是3,常数项是-1. (2)3x2+y2的项是3x2,y2,次数是2,没有常数项. (3)xy3+2xy+y5-的项是xy3,2xy,y5,-,次数是5,常数项是-. 2.用多项式填空,并指出它们的项和次数. (1)一个长方形相邻两条边的长分别为a,b,则这个长方形的周长为　　　　.  (2)m为一个有理数,m的立方与2的差为　.  (3)某公司向某地投放共享单车,前两年每年投放a辆,为环保和安全起见,从第三年年初起不再投放,且每个月回收b辆,第三年年底,该地区共有这家公司的共享单车的辆数为　　　　.  (4)如图所示是我国南北朝时期的官员独孤信的印章,它由18个相同的正方形和8个相同的等边三角形围成.如果其中正方形和等边三角形的边长都为a,等边三角形的高为b,那么这个印章的表面积为　　　　.  解:(1)2a+2b,它的项分别为2a,2b,次数是1. (2)m3-2,它的项分别为m3,-2,次数是3. (3)2a-12b,它的项分别为2a,-12b,次数是1. (4)18a2+4ab,它的项分别为18a2,4ab,次数是2. 3.已知-5xm+104xm+1-4xmy2是关于x,y的六次多项式,求m的值,并写出该多项式. 解:由题意,得m+2=6,所以m=4. 所以该多项式为-5x4+104x5-4x4y2. 变式:若关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项,求m,n的值. 解:因为关于x的多项式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次项和一次项, 所以m=0,n-1=0,则m=0,n=1. 任务二　意图说明 1.通过练习帮助学生充分理解多项式的项和次数. 2.特别提醒学生注意,多项式的项包括前面的符号,多项式的次数应为次数最高项的次数. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.多项式:几个单项式的和叫作多项式. 2.多项式的项:多项式中的每个单项式叫作多项式的项. 3.常数项:不含字母的项叫作常数项. 4.多项式的次数:多项式里,次数最高的项的次数叫作多项式的次数. 4.2　整式的加法与减法 第1课时　合并同类项 掌握合并同类项的法则. 1.通过具体情境感受合并同类项的必要性,理解合并同类项法则所依据的运算律. 2.理解同类项的概念,掌握合并同类项的法则,并能准确合并同类项. 3.经历合并同类项的过程,培养学生分类、化繁为简等数学思想方法. 重点:会判断同类项并能合并同类项. 难点:合并同类项法则的形成过程及应用. 1.从学生已有的知识和经验出发,从实际问题入手,引出合并同类项的概念.通过独立思考、讨论交流等方式归纳出合并同类项的法则,通过例题教学、练习等方式巩固相关知识.教学中应激发学生主动参与的学习动机,培养学生思维的灵活性. 2.充分引导学生观察、分类、找出同类项并正确合并同类项,同时在合并同类项时师生共同总结出“记号分类+括号分组”方法以及合并同类项的三个基本步骤,便于学生积累学习经验. (一)情境导入 周末,你和爸爸妈妈要外出游玩,中午决定在外面用餐,爸爸、妈妈和你各自选了要吃的东西,爸爸选了一个汉堡和一杯可乐,妈妈选了一个汉堡和一个冰激凌,你选了一对蛋挞和一杯可乐,买的时候你该怎么向服务员点餐?生活中处处有数学的存在.可以把具有相同特征的事物归为一类,在多项式中也可以把具有相同特征的单项式归为一类. (二)新知初探 探究一　同类项 1.有八只小白兔,每只小白兔身上都标有一个单项式,你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗?(你用几个房间都可以) 小结:同类项 (1)所含字母相同; (2)相同字母的指数也相同. 2.先判断每一组是否是同类项,若不是,为前者配一个同类项. (1)2x2y与-3x2y;(2)2abc与2ab;(3)-3pq与3qp;(4)-4x2y与5xy2. 解:(1)是.(2)不是.2abc的一个同类项为abc.(3)是.(4)不是.-4x2y的一个同类项为x2y. [方法归纳] 同类项的“两相同”和“两无关” ①“两相同”:一是所含字母相同,二是相同字母的指数也分别相同.这“两相同”同时也是判断同类项的标准,两者缺一不可; ②“两无关”:一是与系数的大小无关;二是与所含字母的顺序无关. 练习 (1)下面不是同类项的是(A) A.2m与2n B.-2a2b与ba2 C.-x2y2与6x2y2 D.-2与5 (2)如果单项式3xmy与-5x3yn是同类项,那么m+n=　4　.  任务一　意图说明 通过有趣的提问方式能提高学生的兴趣.首先肯定学生正确的分类方法,并进行有目的地引导,让学生理解什么是同类项,培养学生的语言表达能力及从特殊到一般的归纳能力. 探究二　合并同类项 1.周末,小明一家要外出游玩,爸爸、妈妈和小明各自选了他们要吃的东西: 买的时候,小明该怎么说? 2.港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛为一体的世界上最长的跨海大桥.一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为96 km/h,在海底隧道和主桥上行驶的平均速度分别为72 km/h和92 km/h. 如果汽车通过海底隧道需要a h,从香港口岸行驶到东人工岛的时间是通过海底隧道时间的 1.25倍,你能用含a的代数式表示香港口岸到西人工岛的全长吗? 解:72a+96×1.25a =72a+120a. 思考　如何计算72a+120a呢? (1)运用有理数的运算律计算. 72×2+120×2=　;  72×(-2)+120×(-2)=　;  (2)根据(1)中的方法完成下面的运算,并说明其中的道理. 72a+120a=　.  解:(1)72×2+120×2=(72+120)×2=192×2. 72×(-2)+120×(-2)=(72+120)×(-2)=192×(-2). (2)72a+120a=(72+120)a=192a. 3.填空: (1)72a-120a=　;  (2)3m2+2m2=　;  (3)3xy2-4xy2=　;  解:(1)72a-120a=(72-120)a=-48a. (2)3m2+2m2=(3+2)m2=5m2. (3)3xy2-4xy2=(3-4)xy2=-xy2. 上述运算有什么共同特点,你能从中得出什么规律. 小结: (1)把多项式中的同类项合并成一项叫作合并同类项; (2)合并同类项的法则: 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变. 任务二　意图说明 先通过生活情境让学生感觉到合并同类项的必要性,再结合乘法分配律,让学生讨论归纳,得出合并同类项的法则. 探究三　例题讲解 1.合并下列各式的同类项: (1)xy2-xy2; (2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2. 解:(1)xy2-xy2 =1-xy2 =xy2. (2)4a2+3b2+2ab-4a2-4b2 =(4a2-4a2)+(3b2-4b2)+2ab =-b2+2ab. 小结:合并同类项的一般步骤: 一找:找出同类项,当项数较多时,通常在同类项的下面做相同的标记; 二移:运用加法交换律、结合律将多项式中的同类项结合; 三合:利用合并同类项法则,合并同类项; 四排:合并后的结果按某一个字母的降幂(或升幂)排列. 2.(1)求多项式2x2-5x+x2+4x-3x2-2的值,其中x=; (2)求多项式3a+abc-c2-3a+c2的值,其中a=-,b=2,c=-3. 解:(1)2x2-5x+x2+4x-3x2-2 =(2+1-3)x2+(-5+4)x-2 =-x-2. 当x=时,原式=--2=-. (2)3a+abc-c2-3a+c2 =(3-3)a+abc+-+c2 =abc, 当a=-,b=2,c=-3时,原式=-×2×(-3)=1. 3.(1)水库水位第一天连续下降了a h,平均每小时下降2 cm;第二天连续上升了a h,平均每小时上升0.5 cm,这两天水位总的变化情况如何? (2)某商店原有5袋大米,每袋大米为x kg.上午售出3袋,下午又购进同样包装的大米4袋.进货后这个商店有大米多少千克? 解:(1)把下降的水位变化量记为负,上升的水位变化量记为正.第一天水位的变化量是-2a cm,第二天水位的变化量是0.5a cm. 两天水位的总变化量(单位:cm)是-2a+0.5a=(-2+0.5)a=-1.5a. 这两天水位总的变化情况为下降了1.5a cm. (2)把进货的数量记为正,售出的数量记为负. 则上午大米质量的变化量是-3x kg,下午大米质量的变化量是4x kg, 5x-3x+4x=(5-3+4)x=6x. 所以进货后这个商店共有大米6x kg. 任务三　意图说明 通过对例题的解决,让学生从观察和探究中发现规律,教师加以引导与启发,并鼓励学生用自己的语言表述,让学生归纳与总结同类项的概念与合并同类项的步骤,从而提高学生的表达能力、数学语言的组织能力与归纳总结能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.同类项 (1)所含字母相同; (2)相同的字母指数也分别相同. 2.合并同类项法则 合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,字母连同它的指数不变. 第2课时　去括号 掌握去括号的法则. 1.通过具体情境体会去括号的必要性,了解去括号法则的依据. 2.归纳去括号法则,能利用法则进行去括号运算. 重点:去括号法则,准确应用法则将整式化简. 难点:去括号时出现符号错误. 1.通过分配律探索去括号法则,使学生达到温故知新的效果. 2.让学生更形象、更具体地体会去括号法则的合理性,整个过程以学生为主,让学生观察、思考、合作交流来发现去括号法则,效果较好.在教学中还应给予学生较多的思考、反思、总结的时间. (一)情境导入 我们来看本章引言中的问题(3). 汽车通过主桥的行驶时间是b h,那么汽车在主桥上行驶的路程是92b km;通过海底隧道所需时间比通过主桥的时间少0.15 h,那么汽车在海底隧道行驶的时间是(b-0.15)h,行驶的路程是72(b-0.15)km.因此,主桥与海底隧道长度的和(单位:km)为 92b+72(b-0.15)　① 主桥与海底隧道长度的差(单位:km)为 92b-72(b-0.15)② 上面的代数式①②都带有括号,应如何化简它们? (二)新知初探 探究一　去括号法则 1.运用分配律去括号: (1)+(3-x)=　3-x　,  +(3-x)=　-x　;  (2)-(3-x)=　-3+x　,  -(3-x)=　-+x　.  2.由于字母表示的是数,所以可以利用分配律将括号前的乘数与括号内的各项相乘,去掉括号,再合并同类项. 92b+72(b-0.15)=92b+72b-10.8=164b-10.8, 92b-72(b-0.15)=92b-72b+10.8=20b+10.8. 小结:一般地,一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项,再把所得的积相加. 任务一　意图说明 首先列出带有括号的不同式子,思考如何化简这些式子,自然的想法就是去括号.根据以前学过的分配律探索去括号的方法,培养学生归纳、概括的能力,使学生建立初步的符号感. 探究二　例题讲解 1.下列去括号正确吗?如有错误,请改正. (1)+(-a-b)=a-b; (2)5x-(2x-1)-xy=5x-2x+1+xy; (3)3xy-2(xy-y)=3xy-2xy-2y; (4)(a+b)-3(2a-3b)=a+b-6a+3b. 解:(1)错误,应该是+(-a-b)=-a-b. (2)错误,应该是5x-(2x-1)-xy=5x-2x+1-xy. (3)错误,应该是3xy-2(xy-y)=3xy-2xy+2y. (4)错误,分配律使用错误,应该是(a+b)-3(2a-3b)=a+b-6a+9b. 2.化简下列各式: (1)8a+2b+(5a-b); (2)(4y-5)-3(1-2y); (3)(2x2+x)-[4x2-(3x2-x)]. 解:(1)8a+2b+(5a-b) =8a+2b+5a-b =13a+b. (2)(4y-5)-3(1-2y) =4y-5-3+6y =10y-8. (3)(2x2+x)-[4x2-(3x2-x)] =2x2+x-(4x2-3x2+x) =2x2+x-(x2+x) =2x2+x-x2-x =x2. [方法归纳] (1)用分配律将数字因数乘括号内的每一项,切勿漏乘; (2)当含有多重括号时,可以由内向外逐层去括号,也可以由外向内逐层去括号.每去掉一层括号,若有同类项可随时合并,这样可使下一步运算简化,减少差错. 3.两船从同一港口出发反向而行,甲船顺流而下,乙船逆流而上,两船在静水中速度都是50 km/h,水流速度是a km/h. 问:(1)2 h后两船相距多远? (2)2 h后甲船比乙船多航行多少千米? 解:顺水速度=船速+水速=(50+a)km/h, 逆水速度=船速-水速=(50-a)km/h. (1)2 h后两船相距2(50+a)+2(50-a)=100+2a+100-2a=200(km). (2)2 h后甲船比乙船多航行2(50+a)-2(50-a)=100+2a-100+2a=4a(km). 任务二　意图说明 1.通过对例题的解决,让学生进一步掌握用分配律去括号的方法,注意总结易错点,如漏乘,符号错误等. 2.可以让学生先独立尝试解决,然后通过学生反馈的情况,教师针对一些存在的问题进行示范性讲解. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.去括号法则: 一个数与一个多项式相乘,需要去括号,去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项,再把所得的积相加. 2.注意: (1)去括号法则的依据是分配律; (2)去括号时改变了式子的形式,但并没有改变式子的值. 第3课时　整式的加减 能进行简单的整式加减运算. 1.从实际背景中去体会进行整式的加减的必要性. 2.知道整式加减运算的法则,熟练进行整式的加减运算. 3.经历探索整式加减运算的过程,进一步培养学生观察、归纳、类比、概括等能力 重点:会进行整式加减的运算,并能说明其中每一步的依据. 难点:灵活准确地运用整式的加减运算的步骤进行计算. 1.先通过探索性练习,引导学生总结归纳出整式加减的一般步骤,并应用其进行整式加减的准确运算,可采用以旧带新的方式,让学生在练习中熟悉法则,纠正错误,弥补不足. 2.教学过程中由学生小组讨论概括出整式加减的一般步骤,然后出示例题,由学生解答,同时采取由学生出题,其他同学抢答等形式,来提高学生的学习兴趣,充分调动他们的主观能动性,从而提高课堂教学效率. (一)情境导入 小亮和小莹到某小学去看望小学生,小亮买了10支钢笔和5本字典作为礼物;小莹买了6支钢笔、4本字典和2个文具盒作为礼物.钢笔的售价为每支a元,字典的售价为每本b元,文具盒的售价为每个c元. 请你计算: (1)小亮花了　(10a+5b)　元;小莹花了　(6a+4b+2c)　元;小亮和小莹共花　(16a+9b+2c)　元;  (2)小亮比小莹多花　(4a+b-2c)　元.  想一想:如何进行整式的加减运算? (二)新知初探 探究一　整式的加减 问题　任意写一个两位数,交换它的十位数字与个位数字,又得到一个新两位数,两个数相加.重复几次看看,谁能先发现这些和有什么规律?对于任意一个两位数都成立吗? 解:如果用a,b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字,那么这个两位数可以表示为　10a+b　.交换这个两位数的十位数字和个位数字,得到的新两位数是　10b+a　.将这两个数相加:　10a+b　+　10b+a　=　10a+b+10b+a　=　11a+11b　=　11(a+b)　.结论:这些和都是11的倍数.  追问　任意写一个三位数,交换它的百位数字与个位数字,又得到一个数,两个数相减.你又发现了什么规律? 解:设这个三位数的百位上的数字为a,十位上的数字为b,个位上的数字为c,则原三位数为100a+10b+c,百位上的数字与个位上的数字交换后的三位数为100c+10b+a,它们的差为 (100a+10b+c)-(100c+10b+a) =100a+10b+c-100c-10b-a =99a-99c =99(a-c). 规律:它们的差都是99的倍数. 在上面的两个问题中,分别涉及了整式的什么运算?说说你是如何运算的? 小结: 几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 任务一　意图说明 利用提供的两个数字游戏,让学生通过用字母表示数量关系的过程,发展符号感,体会整式的加减运算的必要性,在活动过程中让学生充分发挥主体作用,从自己的视点去观察、归纳、自然地认识到整式的加减实质上就是去括号,合并同类项. 探究二　例题讲解 1.计算: (1)(2a-3b)+(5a+4b); (2)(8a-7b)-(4a-5b). 解:(1)(2a-3b)+(5a+4b) =2a-3b+5a+4b =7a+b. (2)(8a-7b)-(4a-5b) =8a-7b-4a+5b =4a-2b. [方法归纳] (1)几个整式相加减,通常用括号把每一个整式括起来,再用加、减连接,然后进行运算; (2)整式加减实际上就是:去括号、合并同类项; (3)运算结果,常将多项式的某个字母(如x)降幂(升幂)排列. 2.做大小两个长方体纸盒,尺寸如下(单位:cm): 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 1.5a 2b 2c (1)做这两个纸盒共用纸多少平方厘米? (2)做大纸盒比小纸盒多用纸多少平方厘米? 解:(1)小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ac)cm2,大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ac)cm2,做这两个纸盒共用纸(2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ca)=(8ab+10bc+8ac)cm2. (2)做大纸盒比做小纸盒多用纸(6ab+8bc+6ca)-(2ab+2bc+2ca)=(4ab+6bc+4ac)cm2. [方法归纳] 整式加减解决实际问题的一般步骤: (1)根据题意列式; (2)去括号、合并同类项; (3)得出最后结果. 3.求a-2a-b2-a+b2+1的值,其中a=2,b=-. 分析:原式去括号合并得到最简结果,把a与b的值代入计算即可求出值. 解:a-2a-b2-a+b2+1 =a-2a+b2-a-b2+1 =-3a+b2+1, 当a=2,b=-时, 原式=-3×2+×-2+1 =-6++=-4. 任务二　意图说明 通过解决例题对本节的法则进行巩固练习,训练学生的运算技能,帮助学生灵活运用整式的加减运算步骤进行计算. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.整式加减的法则: 几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项. 2.利用整式加减解决实际问题的一般步骤: (1)根据题意列式;(2)去括号、合并同类项;(3)得出最后结果. 3.化简求值时,一般先将整式进行化简,再把数值代入计算. 第五章　一元一次方程 5.1　方程 5.1.1　从算式到方程 第1课时　方　程　　 能根据现实情境理解方程的意义,能根据具体问题列出方程. 1.通过现实生活中的例子,理解方程的意义. 2.初步学会找实际问题中的等量关系,设出未知数,列出方程. 3.从具体问题中更深入地认识方程与现实生活的联系,体会方程是刻画现实世界的数学模型. 重点:理解方程的意义,能根据具体问题列出方程. 难点:找出具体问题中的等量关系,列方程. 通过实际问题引入课题,然后运用算术的方法给出解答.在各环节的安排上都设计成一个个的问题,使学生能围绕问题展开思考、讨论.通过本节的教学让学生体会到从算式到方程是数学的进步,渗透化未知为已知的重要数学思想.使学生体会到数学与日常生活密切相关,认识到许多实际问题可以用数学方法解决. (一)情境导入 鸡兔同笼问题: 今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何? 你有哪些方法解决这道经典有趣的数学题? 解:①94÷2-35=12(只),35-12=23(只), 所以鸡有23只,兔有12只. ②设鸡有x只,兔有(35-x)只, 则2x+4(35-x)=94,即-2x+140=94. (二)新知初探 探究一　方程的概念 1.甲、乙两支登山队沿同一条路线同时向一山峰进发,甲队从距大本营1 km的一号营地出发,每小时行进1.2 km;乙队从距大本营3 km的二号营地出发,每小时行进0.8 km.多长时间后,甲队在途中追上乙队? 在这个问题中,甲、乙两队的行进速度是已知的,行进的时间和路程是未知的. 问题1　如果设两队行进的时间为x h,根据“路程=速度×时间”,甲队和乙队的行进路程可以分别表示为　1.2x　km和　0.8x　km.  问题2　甲、乙两队距大本营的路程可以分别表示为　(1.2x+1)　km和　(0.8x+3)　km.  问题3　想一想,甲队追上乙队时,他们距大本营的路程有什么关系? 答:甲队距大本营的路程=乙队距大本营的路程. 问题4　根据这个关系,你能列出怎样的式子? 答:2x+1=0.8x+3. 2.用买12个大水杯的钱,可以买16个小水杯,大水杯的单价比小水杯的单价多5元,两种水杯的单价各是多少元? 问题1　如果设大水杯的单价为x元,那么小水杯的单价为　(x-5)　元.  问题2　因为用买12个大水杯的钱,可以买16个小水杯, 所以可以列出式子　12x=16(x-5)　.  3.如图所示是一枚长方形的庆祝中国共产党成立100周年纪念币,其面积是4 000 mm2.长和宽的比为8∶5(即宽是长的).这枚纪念币的长和宽分别是多少毫米? 问题1　如果设这枚纪念币的长为x mm,则纪念币的宽可以表示为　x　mm,面积可以表示为　x2　mm2.  问题2　已知纪念币的面积为4 000 mm2,所以可以列出式子　x2=4 000　.  小结:先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式,这样的等式叫作方程. 任务一　意图说明 1.通过设置丰富的问题情境,使学生经历模型化的过程,激发学生的好奇心和主动学习的欲望. 2.让学生通过对三个方程的分析得出方程的定义,可加深学生对方程概念的理解,同时还可以锻炼学生思维的主动性,更深入地认识方程与现实生活的联系. 探究二　例题讲解 1.根据下列条件列出方程: (1)x的5倍比x的2倍大12; (2)某数的比它的倒数小5; (3)某数的5倍减去4等于该数的6倍加上1; (4)x的20%与15的差的一半等于-2. 解:(1)5x-2x=12. (2)设某数为x,根据题意,得x+5=. (3)设某数为x,依题意,得5x-4=6x+1. (4)(20%x-15)=-2. 2.根据下列问题,设未知数并列出方程: (1)某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人,这所学校有多少名学生? (2)如图所示,一块正方形绿地沿某一方向加宽 5 m,扩大后的绿地面积是500 m2,求正方形绿地的边长. 解:(1)设这所学校的学生数为x,那么女生数为0.52x,男生数为(1-0.52)x. 根据“女生比男生多80人”,列得方程 0.52x-(1-0.52)x=80. (2)设正方形绿地的边长为x m,那么扩大后的绿地面积为(x2+5x)m2. 根据“扩大后的绿地面积是500 m2”.列得方程 x2+5x=500. 追问　用方程的方法来解决实际问题,一般要经历哪几个步骤? 小结:分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是用数学解决实际问题的一种方法.步骤如下: 实际问题方程 任务二　意图说明 通过例题的解决,让学生得出列方程是除算术法外解决实际问题的另一种方法.先让学生尝试交流解答,然后教师巡视学生解答情况有针对性地进行评讲. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.方程的概念:先设出字母表示未知数,然后根据问题中的相等关系,列出一个含有未知数的等式. 2.列方程解决实际问题的基本思路: (1)设未知数(用字母); (2)找等量关系(表示出相关的量); (3)列出方程. 第2课时　一元一次方程　　　 理解方程解的意义,经历估计方程解的过程. 1.理解方程的解的概念,学会判断某个数值是不是方程的解. 2.理解一元一次方程的概念,并会进行简单的辨别. 重点:理解方程的解与一元一次方程的概念. 难点:会判断一个数值是不是方程的解. 1.以问题为主线,诱导学生思考问题,进而去解决问题,问题的设计要遵循学生的思维特点,着重引导学生探索、归纳,注重过程教学. 2.由几个具体的实例,通过学生的合作学习、观察、归纳,概括出一元一次方程的定义,使得教学过程螺旋式上升,学生易于理解. (一)情境导入 如果告诉我你的年龄乘2再减5等于几,我就能猜出你的年龄,试一下. 如果把小丽的年龄乘2再减5的话,结果等于65,谁能“猜”出小丽的年龄呢? 你能告诉我,你是怎么“猜”出来的吗?要想发现其中的奥秘需要同老师一起来学习本节课的内容. (二)新知初探 探究一　方程的解 1.对于方程4x=24,容易知道x=6可以使等式成立,对于本章引言中的问题列出的方程1.2x+1=0.8x+3,你知道x等于什么时,等式成立吗?我们来试一试. 解: x 1 2 3 4 5 6 … 1.2x+1 2.2 3.4 4.6 5.8 7 8.2 … 0.8x+3 3.8 4.6 5.4 6.2 7 7.8 … 由表格,我们知道当x=5时,1.2x+1的值与 0.8x+3的值相等,所以方程1.2x+1=0.8x+3中的未知数的值应是x=5. 小结: (1)一般地,使方程左、右两边的值相等的未知数的值,叫作方程的解. (2)求方程的解的过程,叫作解方程. 2.(1)x=2,x=是方程2x=3的解吗? (2)x=10,x=20是方程12x=16(x-5)的解吗? 解:(1)当x=2时,方程2x=3的左边=2×2=4,右边=3,方程左、右两边的值不相等,所以x=2不是方程2x=3的解; 当x=时,方程2x=3的左边=2×=3, 右边=3,方程左、右两边的值相等, 所以x=是方程2x=3的解. (2)当x=10时,方程12x=16(x-5)的左边=12×10=120,右边=16×(10-5)=80,方程左、右两边的值不相等,所以x=10不是方程12x=16(x-5)的解. 当x=20时,方程12x=16(x-5)的左边=12×20=240,右边=16×(20-5)=240, 方程左、右两边的值相等,所以x=20是方程 12x=16(x-5)的解. [方法归纳] 判断一个数值是不是方程的解的步骤: (1)将数值代入方程左边进行计算; (2)将数值代入方程右边进行计算; (3)若左边=右边,则是方程的解,反之,则不是. 任务一　意图说明 采用“尝试—发现—归纳”的方法:让学生尝试后发现,让方程两边相等的未知数的值是方程的解,最后教师进行归纳,通过练习进一步理解方程的解的意义以及如何判断方程的解. 探究二　一元一次方程的概念 1.观察下列方程,它们有什么共同点? 1.2x+1=0.8x+3,12x=16(x-5),0.52x-(1-0.52x)=80, 问题1　每个方程中,各含有几个未知数? 解:方程含有1个未知数. 问题2　说一说每个方程中未知数的次数. 解:未知数的次数都是1. 问题3　等号两边的式子有什么共同点? 解:等号两边的式子都是整式. 小结: 一般地,如果方程中只含有一个未知数(元),且含有未知数的式子都是整式,未知数的次数都是1,这样的方程叫作一元一次方程. 2.判断下列方程是不是一元一次方程,并说明理由. (1)-x+3=x3;(2)2x-9=5y;(3)x=2; (4)=x-3;(5)6-y=1. 解:(1)-x+3=x3,不是,因为不是一次方程. (2)2x-9=5y,不是,因为有两个未知数. (3)x=2,不是,因为不是整式方程. (4)=x-3是一元一次方程. (5)6-y=1是一元一次方程. 3.方程(m+1)x|m|是关于x的一元一次方程,则(B) A.m=±1 B.m=1 C.m=-1 D.m≠-1 任务二　意图说明 让学生通过对三个方程的分析得出一元一次方程的定义,可进一步加深学生对方程概念的理解,同时还可以锻炼学生思维的主动性.通过练习的解决从不同角度进一步理解一元一次方程的概念. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.方程的解:使方程左、右两边的值相等的未知数的值. 2.解方程:求方程的解的过程. 3.一元一次方程 (1)只含有一个未知数(元); (2)含有未知数的式子都是整式; (3)等式两边都是整式. 5.1.2　等式的性质　　 掌握等式的基本性质,能运用等式的基本性质进行等式的变形. 1.理解等式的基本性质,能运用等式的基本性质进行等式的变形. 2.能正确应用等式的性质解简单的一元一次方程. 3.经历用等式的性质解方程的过程,培养学生观察、分析、概括及逻辑思维能力. 重点:理解等式的性质,并能利用其解一元一次方程. 难点:能熟练运用等式的性质对方程进行变形. 1.类比小学中学过的等式性质,将数的范围从正数扩展到有理数,引导学生进行自主探究,教给学生类比、猜想、验证等研究问题的方法,培养学生善于动手、善于观察、善于思考的学习习惯. 2.由于等式的性质是解方程的基础和依据,因此在教学时应给予特别重视,变形的每一步都要让学生说出依据,从而培养学生的推理能力. (一)情境导入 上节课我们学习了方程的解,你能说出2x=3,x+1=3这样简单方程的解吗?你能直接看出方程 2x-12=13-x的解吗?若不能,那么应如何求出它的解呢?因为方程是含有未知数的等式,因此,我们就从等式的性质入手来解方程. (二)新知初探 探究一　等式的性质 问题1　等式是用“=”连接的式子,你能举出几个等式的例子吗? 解:m+n=n+m,x+2x=3x,3×3+1=5×2,3x+1=5y. 这样的式子,都是等式,一般的等式可以用a=b来表示. 小结: 等式的两个基本事实: (1)等式两边可以交换.如果a=b,那么b=a. (2)相等关系可以传递.如果a=b,b=c,那么a=c. 问题2　(1)小学已经学过等式的一些性质,回想一下这些性质有哪些? 解:等式两边同时加(或减)同一个正数,同时乘同一个正数,或同时除以同一个不为0的正数,结果仍相等. (2)小学中等式的性质在引入负数后还成立吗?根据问题2中(1)的结果,判断下列等式是否成立,并说明理由. ①a+(-5)=b+(-5); ②a-(-5)=b-(-5); ③-5a=-5b; ④=. 解:①成立,a+(-5)=a-5,b+(-5)=b-5, 因为a-5=b-5,所以a+(-5)=b+(-5). ②成立,a-(-5)=a+5,b-(-5)=b+5, 因为a+5=b+5,所以a-(-5)=b-(-5). ③成立,-5a是5a的相反数,-5b是5b的相反数,因为5a=5b,所以-5a=-5b. ④成立,是的相反数,是的相反数, 因为=,所以=. (3)根据问题2中(2)的结果,你能得到什么结论?说出你的想法. 小结: 等式的性质1 等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等. 如果a=b,那么a±c=b±c. 等式的性质2 等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等. 如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么=. 任务一　意图说明 回忆小学中学过的等式的性质,再把正数范围扩大到有理数,从而水到渠成,对发现的结论用文字、数学语言分别表达出来,培养学生观察、思考、分析、总结、归纳的能力,又培养了学生的语言表达能力,特别是培养了学生用符号语言表示等式性质的能力. 探究二　例题讲解 1.(1)怎样从等式x-5=y-5得到等式x=y? (2)怎样从等式3+x=1得到等式x=-2? (3)怎样从等式4x=12得到等式x=3? (4)怎样从等式=得到等式a=b? 解:(1)依据等式的性质1两边同时加5. (2)依据等式的性质1两边同时减3. (3)依据等式的性质2两边同时除以4或同乘. (4)依据等式的性质2两边同时除以或同乘100. 2.根据等式的性质填空,并说明依据. (1)如果2x=5-x,那么2x+　　　　=5;  (2)如果m+2n=5+2n,那么m=　　　　;  (3)如果x=-4,那么　　　　·x=28;  (4)如果3m=4n,那么m=　　　　·n.  解:(1)2x+x=5;根据等式的性质1,等式两边加x,结果仍相等. (2)m=5;根据等式的性质1,等式两边减2n,结果仍相等. (3)-7·x=28;根据等式的性质2,两边乘-7,结果仍相等. (4)m=2·n;根据等式的性质2,等式两边除以2,结果仍相等. 3.利用等式的性质解下列方程: (1)x+6=17; (2)-3x=15; (3)2x-1=-3; (4)-x+1=-2. 解:(1)方程两边减6,得x+6-6=17-6,于是 x=9. (2)方程两边除以-3,得=,于是 x=-5. (3)方程两边加1,得2x-1+1=-3+1, 化简,得2x=-2,两边除以2,得x=-1. (4)方程两边减1,得-x+1-1=-2-1, 化简,得-x=-3,方程两边乘-3,得x=9. 任务二　意图说明 1.通过学生对新知的应用,让学生体会到新知识在解决问题时的优越性、概括性及抽象性. 2.巩固等式的两个性质的运用,加深对等式的基本性质的理解,并且能够利用等式的性质解一元一次方程. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.基本事实: (1)如果a=b,那么b=a. (2)如果a=b,b=c,那么a=c. 2.等式的性质: (1)性质1:如果a=b,那么a±c=b±c. (2)性质2:如果a=b,那么ac=bc;如果a=b(c≠0),那么=. 3.应用:根据等式的性质解方程. 5.2　解一元一次方程 第1课时　合并同类项解一元一次方程 　　　　　　 　　　　　 　　　　　 能解一元一次方程. 1.会正确利用合并同类项解ax+bx=c类型的一元一次方程. 2.通过对实例的分析,体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用. 3.通过学习用合并同类项解一元一次方程,体会等式变形的转化过程. 重点:建立方程解决实际问题,会解ax+bx=c类型的一元一次方程. 难点:分析实际问题中的已知量和未知量,找出相等关系,列出方程. 先让学生回顾合并同类项的相关知识,为学习用合并同类项解方程做好铺垫.再通过自主探索、合作交流的学习方式.让学生从熟悉的生活实例出发,探索获得一元一次方程的解法,体验知识的形成过程,体会观察、分析、归纳等解决问题的技能与方法.在教学中采用引导发现的方法,课堂训练中鼓励学生自己动手,体现学生在课堂上的主体地位.整个教学过程中充分调动学生学习积极性,培养学生合作学习、主动探究的习惯. (一)情境导入 《算法统宗》中有这样一段记载:“三百七十八里关,初日健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关.”其大意是:有人要去某关口,路程378里,第一天健步行走,从第二天起,由于脚痛,每天走的路程都为前一天的一半,一共走了六天才到达目的地.求此人第三天走的路程. 解:若设第3天走的路程为x里,则第2天走的路程为　2x　里,第1天走的路程为　4x　里,  依次往后推,第4天走的路程为　x　里,第5天走的路程为　x　里,第6天走的路程为　x　里,  根据题意列方程,得　4x+2x+x+x+x+x=378　,  如何解这个方程呢? (二)新知初探 探究一　用合并同类项解一元一次方程 问题　某校三年共购买计算机140台,去年购买的数量是前年的 2倍,今年购买的数量又是去年的2倍,前年这所学校购买了多少台计算机? 追问1　如何列方程?分哪些步骤? 答:(1)设未知数:设前年购买计算机x台. (2)找相等关系. 追问2　本题中的等量关系是什么?根据等量关系列出怎样的方程? 答:前年购买量+去年购买量+今年购买量=140台. 根据等量关系可得x+2x+4x=140. 追问3　还有不同的设未知数的方法吗? 答:若设去年购买计算机x台,则得方程+x+2x=140;若设今年购买计算机x台,则得方程++x=140. 试一试:把一元一次方程x+2x+4x=140转化为x=m的形式. 思考　上述解方程中的“合并”起了什么作用? 小结:解方程中“合并”起了化简作用,把含有未知数的项合并为一项,从而达到把方程转化为ax=b的形式,其中a,b是常数,“合并”的依据是逆用分配律. 任务一　意图说明 通过学生身边的事例,以学生身边的实际问题展开讨论,突出数学与实际生活的联系.通过采取提问的方式,让学生主动思考,逐步培养学生独立解决问题的能力. 探究二　例题讲解 1.解下列方程: (1)2x-x=6-8; (2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15×4-6×3. 解:(1)合并同类项,得-x=-2, 系数化为1,得x=4. (2)合并同类项,得6x=-78, 系数化为1,得x=-13. 2.足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的,黑、白皮块数目的比为3∶5,一个足球表面一共有32个皮块,黑色皮块和白色皮块各有多少个? 解:设黑色皮块有3x个,则白色皮块有5x个. 根据题意,列方程3x+5x=32,解得x=4. 则黑色皮块有3x=3×4=12, 白色皮块有5x=5×4=20. 答:黑色皮块有12个,白色皮块有20个. [方法归纳] 当题目中出现比例时,一般可通过间接设元,设其中的每一份为x,然后用含x的代数式表示各数量,根据等量关系,列方程求解. 3.有一列数,按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,….其中某三个相邻数的和是-1 701,这三个数各是多少? 解:设所求三个数中的第1个数是x,则后两个数分别是-3x,9x. 由三个数的和是-1701,得x-3x+9x=-1 701. 合并同类项,得7x=-1 701. 系数化为1,得x=-243. 所以-3x=729,9x=-2 187. 答:这三个数是-243,729,-2 187. 小结:用方程解决实际问题的过程: 实际问题一元一次方程作答 分析实际问题中的数量关系,利用其中的相等关系列出方程,是解决实际问题的一种数学方法. 任务二　意图说明 1.展示解方程的过程,使解法中各步骤的先后顺序清晰,渗透算法程序化的思想. 2.通过学生的思考和老师的讲解,理解合并同类项的依据是分配律,系数化为1的依据是等式的性质2,让学生意识到解方程的过程是有依据的,知识之间是有联系的. 3.通过用方程解决实际问题,归纳列方程解决实际问题的步骤,体验用方程来解题的优势,体会方程是刻画现实世界的重要模型. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.解方程的步骤: (1)合并同类项(分配律); (2)系数化为1(等式的性质2). 2.列方程解应用题的步骤: (1)设未知数; (2)分析题意找出等量关系; (3)根据等量关系列方程; (4)解方程并作答. 第2课时　移项解一元一次方程　 能解一元一次方程. 1.理解移项的意义,掌握移项的方法. 2.学会运用移项解形如“ax+b=cx+d”的一元一次方程. 3.通过分析实际问题中的数量关系,建立方程解决问题,进一步认识方程模型的重要性. 重点:用移项解形如ax+b=cx+d的一元一次方程. 难点:能够抓住实际问题中的相等关系,列一元一次方程解决实际问题. 先通过用等式的基本性质解一元一次方程的学习作为铺垫,引导学生得到移项的定义和法则.让学生体会新知识的学习与事物的发展变化总是由易到难的,而解决新问题的方法往往是化“新”为“旧”.对于移项过程中出现的常见错误应给学生进行针对性训练.引导学生正确地解方程. (一)情境导入 把一些图书分给某班学生阅读,若每人分3本,则余20本;若每人分4本,则还缺25本.这个班有多少学生? 解:设这个班有x名学生,那么每人分3本时,图书总数是　3x+20　;每人分4本时,图书总数是　4x-25　,则可列方程为　3x+20　=　4x-25　.  你能解这个方程吗?显然解这个方程的第一步不是合并同类项,因为两种同类项分别分布在等号的两边,不能直接合并,那么怎么才能进行合并同类项呢? (二)新知初探 探究一　用移项法解一元一次方程 请运用等式的性质解下列方程: (1)4x-15=9①; 两边同时　加15　,得  ②　4x=9+15　.  合并同类项,得 　4x=24　.  系数化为1,得 　x=6　.  (2)2x=5x-21③. 两边同时　减5x　,得  ④　2x-5x=-21　.  合并同类项,得 　-3x=-21　.  系数化为1,得 　x=7　.  比一比:从方程①到②,从方程③到④,有哪些项发生了变化,它们是如何变化的?小结: (1)移项的定义:一般地,把方程中的某些项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫作移项; (2)移项的依据及注意事项: 移项实际上是利用等式的性质1. 注意事项:移项一定要变号. 思考　以上解方程中“移项”起了什么作用? 通过移项,含未知数的项与常数项分别位于方程左右两边. 任务一　意图说明 通过学生思考、观察和教师的讲解,认识移项变形,得出移项的方法,便于学生理解移项的原理.调动学生进一步学习新知识的积极性,渗透化归思想. 探究二　例题讲解 1.解下列方程: (1)3x+7=32-2x;(2)x-3=x+1. 解:(1)移项,得3x+2x=32-7. 合并同类项,得5x=25. 系数化为1,得x=5. (2)移项,得x-x=1+3. 合并同类项,得-x=4. 系数化为1,得x=-8. [方法归纳] 解一元一次方程ax+b=cx+d(a,b,c,d均为常数,且a≠c)的一般步骤: ①移项;②合并同类项;③系数化为1. 练习　解下列方程: (1)5x-7=2x-10; (2)-0.3x+3=9+1.2x. 解:(1)移项,得5x-2x=-10+7. 合并同类项,得3x=-3. 系数化为1,得x=-1. (2)移项,得-0.3x-1.2x=9-3. 合并同类项,得-1.5x=6. 系数化为1,得x=-4. 2.某制药厂制造一批药品,如果用旧工艺,则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t;如果用新工艺,则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之比为2∶5,采用两种工艺的废水排量各是多少? 解:若设新工艺的废水排量为2x t,则旧工艺的废水排量为5x t.由题意,得 5x-200=2x+100. 移项,得5x-2x=100+200. 合并同类项,得3x=300. 系数化为1,得x=100. 所以2x=200,5x=500. 答:新工艺的废水排量为200 t,旧工艺的废水排量为500 t. 练习　某区期末考试一次数学阅卷中,阅B卷第28题(简称B28)的教师人数是阅A卷第18题(简称A18)教师人数的3倍,在阅卷过程中,由于情况变化,需要从阅B28中调12人到A18阅卷,调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人,求阅B28和阅A18的原有教师人数各为多少? 解:设原有教师x人阅A18,则原有教师3x人阅B28. 依题意,得3x-12=x+3. 移项,得3x-x=3+12. 合并同类项,得x=15. 系数化为1,得x=6. 所以3x=18. 答:阅A18原有教师6人,阅B28原有教师18人. 任务二　意图说明 通过例题的解决进一步巩固利用移项、合并同类项解方程的方法.通过练习,及时巩固新知识,加深对化归思想的理解.加强解方程步骤书写的规范性.通过解决实际问题,进一步体验用方程来解题的优势. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.移项 (1)定义:把等式一边的某项变号后移到另一边; (2)依据:等式的基本性质1. 2.移项解一元二次方程 (1)移项; (2)合并同类项; (3)系数化为1. 3.列一元一次方程解决实际问题. 第3课时　去括号解一元一次方程　　　　　 能解一元一次方程. 1.了解“去括号”是解方程的重要步骤,会解含有括号的一元一次方程. 2.会用一元一次方程解决实际问题. 3.通过列方程解决实际问题,进一步体会方程模型的作用. 重点:能正确运用去括号法则解一元一次方程. 难点:用一元一次方程解决实际问题. 1.首先利用身边的实际生活问题,让学生列方程,得出有括号的方程,激起学生的学习欲望,通过把未知转化为已知的解题思想,探究去括号解方程的思想方法和步骤,并在例题的解答中发现问题,解决问题,巩固知识,达到加深理解的效果. 2.注重学生主体能力的发挥及老师的引导作用,强调做题的基本技能和基本技巧,简单的教学内容让学生自学完成任务,教师个别指导,较难的内容首先让学生自主探究发现问题,教师再进行指导. (一)情境导入 神话故事“哪吒闹海”众所周知,另有描写“哪吒斗夜叉”的场面:哪吒和夜叉真是各显神通,分身有术,只杀得走石飞沙昏天暗地,只见“八臂一头是夜叉,三头六臂是哪吒,三十六头难分辨,手臂缠绕百零八,试向看官问一句,几个夜叉几哪吒?” 解:设有x个哪吒,则有(36-3x)个夜叉. 依题意,有6x+8(36-3x)=108. 你会解这个方程吗? (二)新知初探 探究一　利用去括号法则解一元一次方程 问题1　某工厂采取节能措施,去年下半年与上半年相比,月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时),全年的用电量是150 000 kW·h,这个工厂去年上半年平均每月的用电量是多少?请列出方程. 解:设去年上半年每月平均用电x kW·h,则下半年每月平均用电　(x-2 000)　kW·h;  上半年共用电　6x　kW·h,下半年共用电　6(x-2 000)　kW·h.  根据全年用电150 000kW·h, 列方程,得6x+6(x-2 000)=150 000. 思考　本题还有其他列方程的方法吗? 设上半年平均每月用电x kW·h. 则下半年平均每月的用电量为kW·h. 根据下半年与上半年相比,月平均用电量减少 2 000 kW·h, 可列方程为x-=2 000. 问题2　观察下面的方程,结合去括号法则,你能求得它的解吗? 6x+6(x-2 000)=150 000 解:去括号,得　6x+6x-12 000=150 000　.  移项,得　6x+6x=150 000+12 000　.  合并同类项,得　12x=162 000　.  系数化为1,得　x=13 500　.  追问　去括号法则的依据是什么? 答:乘法分配律 小结:去括号解一元一次方程的步骤:(1)去括号;(2)移项;(3)合并同类项;(4)系数化为1. 任务一　意图说明 通过实际问题让学生进一步体会方程模型的作用,同时认识到学习求解含有括号方程的必要性.引导学生通过去括号解这个方程,归纳出去括号解一元一次方程的步骤. 探究二　例题讲解 解下列方程: (1)2x-(x+10)=5x+2(x-1); (2)3x-7(x-1)=3-2(x+3). 解:(1)去括号,得2x-x-10=5x+2x-2. 移项,得2x-x-5x-2x=-2+10. 合并同类项,得-6x=8. 系数化为1,得x=-. (2)去括号,得3x-7x+7=3-2x-6. 移项,得3x-7x+2x=3-6-7. 合并同类项,得-2x=-10. 系数化为1,得x=5. 小结: 解一元一次方程的注意事项: (1)去括号时不要漏乘,不要出现符号错误; (2)移项时要变号. 任务二　意图说明 通过例题的解决进一步巩固利用去括号法则解一元一次方程的方法.通过练习、及时巩固新知识,发现解题过程中的错误,加强解一元一次方程步骤书写的规范性,加深对转化思想的理解. 探究三　去括号解方程的应用 1.一艘船从甲码头到乙码头顺流而行,用了2 h;从乙码头返回甲码头逆流而行,用了2.5 h.已知水流的速度是3 km/h,求船在静水中的平均速度. [点拨]等量关系:这艘船往返的路程相等,即顺流速度×顺流时间=逆流速度×逆流时间. 解:设船在静水中的平均速度为x km/h,则顺流速度为(x+3) km/h,逆流速度为(x-3)km/h. 根据往返路程相等,列出方程,得 2(x+3)=2.5(x-3). 去括号,得2x+6=2.5x-7.5. 移项及合并同类项,得0.5x=13.5. 系数化为1,得x=27. 答:船在静水中的平均速度为27 km/h. 2.为鼓励居民节约用电,某地对居民用户用电收费标准作如下规定:每户每月用电如果不超过 100 kW·h,那么每度按0.50元收费;如果超过100 kW·h不超过200 kW·h,那么超过部分每度按0.65元收费;如果超过200 kW·h,那么超过部分每度按0.75元收费.若某户居民在9月份缴纳电费310元,那么他这个月用电多少kW·h? 分析:若一个月用电200 kW·h,则这个月应缴纳电费为0.50×100+0.65×(200-100)=115(元).故当缴纳电费为310元时,该用户9月份用电量超过200 kW·h. 解:设他这个月用电x kW·h. 根据题意,得0.50×100+0.65×(200-100)+0.75(x-200)=310, 解得x=460. 答:该用户这个月用电460 kW·h. 小结:对于此类阶梯收费的题目,需要弄清楚各阶段的收费标准,以及各节点的费用.然后根据缴纳费用的金额,判断其处于哪个阶段,然后列方程求解即可. 任务三　意图说明 1.掌握用一元一次方程解决实际问题的方法,进一步熟练掌握列方程解应用题的一般步骤:①根据题意找出等量关系;②列出方程;③解方程;④作答. 2.提高学生分析问题、解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.去括号解一元一次方程的步骤: (1)去括号;(2)移项;(3)合并同类项;(4)系数化为1. 2.去括号解方程的实际应用 第4课时　去分母解一元一次方程　 　　　　　 能解一元一次方程. 1.掌握含分母的一元一次方程的解法. 2.能列出一元一次方程解决实际问题. 3.通过去分母解方程,让学生了解数学中的“化归”思想;通过列方程解决实际问题,让学生逐步建立方程思想. 重点:利用去分母解一元一次方程. 难点:探究通过“去分母”的方法解一元一次方程,归纳解一元一次方程的步骤. 1.通过实际问题引出带有分母的一元一次方程,进而探究其解法,并归纳去分母的方法及解方程的步骤,整个教学过程流畅自然,学生易于接受. 2.让学生多说、多思考,对于学生提出的问题和解决问题的方法,教师都要给予鼓励和引导,并随时观察解决,评价时应充分考虑到每个学生的差异. (一)情境导入 如图所示,翠湖在青山、绿水两地之间,距青山50 km,距绿水70 km.某天,一辆汽车匀速行驶,途经王家庄、青山、绿水三地的时间如表所示.王家庄距翠湖的路程有多远? 地名 王家庄 青山 绿水 时间 10:00 13:00 15:00 解:设王家庄距翠湖的路程为x km,则王家庄距青山的路程为　(x-50)　km,  王家庄距绿水的路程为　(x+70)　km.  由表知,汽车从王家庄到青山的行驶时间为　3　h,从王家庄到绿水的行驶时间为　5　h.  根据汽车在各段的行驶速度相等,列得方程　=　.  这个方程与上节学过的一元一次方程有什么不同之处?你会解这个方程吗? (二)新知初探 探究一　解含分母的一元一次方程 1.解方程=. 这个方程中未知数的系数不是整数,如果能化去分母,把未知数的系数化成整数,就可以使解方程中的计算更简便. 方程两边都乘15,得　5(x-50)=3(x+70)　,  去括号,得　5x-250=3x+210　,  移项,得　5x-3x=210+250　,  合并同类项,得　2x=460　,  系数化为1,得　x=230　.  2.解方程: -2=-. 想一想 (1)若使方程不含有分母,方程两边应该同乘什么数? (2)去分母时要注意什么问题? 解:(1)去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数10), 得5(3x+1)-10×2=(3x-2)-2(2x+3). 去括号,得15x+5-20=3x-2-4x-6. 移项,得15x-3x+4x=-2-6-5+20. 合并同类项,得16x=7. 系数化为1,得x=. (2)去分母时要注意不能漏乘没有分母的项. 小结:解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1. 任务一　意图说明 让学生在自己摸索、探究、合作的基础上得出解一元一次方程的步骤.为学生提供充分从事数学活动的机会,激发学生的学习积极性,使学生主动参与学习的全过程,使每个学生都明确解一元一次方程的一般步骤. 探究二　例题讲解 解下列方程: (1)-1=2+; (2)3x+=3-. 解:(1)去分母(方程两边乘4), 得2(x+1)-4=8+(2-x). 去括号,得2x+2-4=8+2-x. 移项,得2x+x=8+2-2+4. 合并同类项,得3x=12. 系数化为1,得x=4. (2)去分母(方程两边乘6), 得18x+3(x-1)=18-2(2x-1). 去括号,得18x+3x-3=18-4x+2. 移项,得18x+3x+4x=18+2+3. 合并同类项,得25x=23. 系数化为1,得x=. 小结:(1)去分母时,应在方程的左右两边乘分母的最小公倍数; (2)去分母的依据是等式的性质2,去分母时不能漏乘没有分母的项; (3)去分母与去括号这两步分开写,不要跳步,防止忘记变号. 任务二　意图说明 通过解题过程的体验,把含有分母系数的一元一次方程化成不含分数系数的方程,然后求解,使学生对解方程的认识更加完整,渗透了化归的思想. 探究三　去分母解方程的应用 某单位计划“五一”期间组织职工旅游,如果单独租用40座的客车若干辆刚好坐满;如果租用50座的客车则可以少租一辆,并且有40个剩余座位. (1)该单位参加旅游的职工有多少人? (2)如果同时租用这两种客车若干辆,问有无可能使每辆车刚好坐满?如有可能,两种车各租多少辆(此问可只写结果,不写分析过程)? 解:(1)设该单位参加旅游的职工有x人. 由题意,得-=1,解得x=360. 答:该单位参加旅游的职工有360人. (2)有可能.因为租用4辆40座的客车、4辆50座的客车刚好可以坐360人,正好坐满. 任务三　意图说明 1.掌握列一元一次方程解决实际问题的方法,进一步理解列方程解应用题的一般步骤:①根据题意找出等量关系;②列出方程;③解方程;④作答. 2.提高学生分析问题、解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母;(2)去括号;(3)移项;(4)合并同类项;(5)系数化为1. 5.3　实际问题与一元一次方程 第1课时　配套、工程问题 能根据具体问题列出方程.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 1.掌握配套问题和工程问题中有关量的基本关系式,并会寻求相等关系列方程求解. 2.通过列方程解决实际问题的过程,体会一元一次方程与实际生活的密切联系,加强数学建模思想的应用意识. 重点:正确列出一元一次方程解决实际问题. 难点:能够准确找出实际问题中的等量关系,并建立模型解决问题. 1.以生活中一个常见的问题展开,提高学生的兴趣,让学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关.然后通过例题教学,为学生提供探索空间,通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动,充分调动学生学习的积极性.让学生在实践中获得解决问题的方法. 2.引导学生用不同的方式设未知数,用不同的相等关系列方程,并加以比较研究,同时让学生注意到检验方程解的合理性,切实提高学生分析问题和解决问题的能力. (一)情境导入 前面我们学习了一元一次方程的解法,本节课,我们将讨论一元一次方程的应用.生活中,有很多需要进行配套的问题,如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等,大家能举出生活中配套问题的例子吗? (二)新知初探 探究一　产品配套问题 问题1　某厂欲制作一些方桌和椅子,1张方桌与 4把椅子刚好配成一套,为了使桌椅刚好配套,商家应制作椅子的数量是桌子数量的　4　倍.方桌与椅子的数量之比是　1∶4　.  问题2　某车间有22名工人,每人每天可以生产 1 200个螺钉或2 000个螺母.1个螺钉需要配2个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名? 解:列表分析: 产品类型 生产人数 单人产量 总产量 螺钉 x 1 200 1 200x 螺母 22-x 2 000 2 000(22-x) 等量关系:螺母总量=螺钉总量×2. 设应安排x名工人生产螺钉,(22-x)名工人生产螺母. 由题意,得2 000(22-x)=2×1 200x. 解得x=10. 所以22-x=12. 答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母. 小结:解决配套问题的思路: (1)利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据; (2)利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据. 任务一　意图说明 通过提问和学生回答,了解学生对问题中信息的理解能力,引导学生对问题中信息通过表格做初步梳理和简单加工;通过对表格填空,检验学生是否能够理解问题中信息的含义,并渗透如何寻求相等关系. 探究二　工程问题 问题1　一份工作,甲单独做需要6天完成,乙单独做需要5天完成. (1)若把工作总量设为1,则甲的工作效率(甲一天完成的工作量)是　　,乙的工作效率是　　;  (2)甲做x天完成的工作量是　　,乙做x天完成的工作量是　　,甲、乙合作x天完成的工作量是　+x　.  问题2　整理一批图书,由1个人整理需要40 h完成.现计划由一部分人先整理4 h,然后增加2人与他们一起整理8 h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人进行整理? 分析:设先安排x人做4 h. 列表: 人均效率 人数 时间 工作量 前一部分 工作 x 4 后一部分 工作 x+2 8 等量关系:前部分工作总量+后部分工作总量=总工作量1 解:设先安排x人整理4 h. 根据题意,得+=1. 解得x=2. 答:应先安排2人进行整理. 小结:解决工程问题的基本思路: 1.三个基本量:工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是:工作量=工作效率×工作时间. 2.相等关系:工作总量=各部分工作量之和. (1)按工作时间,工作总量=各时间段的工作量之和; (2)按工作者,工作总量=各工作者的工作量之和. 3.通常在没有具体数值的情况下,把工作总量看作1. 任务二　意图说明 通过活动使学生掌握在工程问题中,通常把全部工作量简单表示为1,并得出计算工作量的基本公式是:工作量=人均效率×人数×时间.如果一件工作分几个阶段完成,那么“各阶段工作量的和=总工作量”. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下: 第2课时　销售、球赛积分问题 能根据具体问题列出方程.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 1.根据商品销售中的数量关系列一元一次方程解决与打折销售有关的实际问题,并掌握解此类问题的一般思路. 2.掌握解决“球赛积分问题”的一般思路,并会根据方程的解的情况对实际问题作出判断. 3.通过体验运用方程解决实际问题的过程,培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力. 重点:能根据打折销售问题和积分问题中的数量关系列出一元一次方程,能运用方程解决实际问题. 难点:将实际问题转化为数学问题,正确分析销售问题中的数量关系,找出相等关系,建立方程并正确求解. 1.紧密联系实际,用切身的体会与经历进行讲解,有助于活跃课堂气氛,提高和增强学生的学习效果.商品销售中的“进价”“标价”“成本”及“利润”是理解题意的关键点,应向学生进行详细的讲解. 2.以学生为主体,让学生以探究为主线,采取合作、交流、探究的方式进行学习,课堂上学生积极主动,不断体现学习的欲望和热情,使学生的知识得到巩固的同时使生活经验、学习方法等也得到提高. (一)情境导入 生活中,我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息,你知道它们的意思吗?你喜欢看篮球比赛吗?你对篮球比赛中的积分规则了解吗? (二)新知初探 探究一　销售中的盈亏 1.填空: (1)商品原价200元,9折出售,售价是　180　元;  (2)商品进价是150元,售价是180元,则利润是　30　元,利润率是　20%　;  (3)某商品原来每件零售价是a元,现在每件降价10%,降价后商品每件零售价是　0.9a　元;  (4)某种品牌的彩电降价20%以后,每台售价为 a元,则该品牌彩电每台原价应为　1.25a　元;  (5)某商品按定价的8折出售,售价是12.8元,则原定价是　16　元.  以上问题中有哪些量? 解:成本价(进价);标价(原价);销售价;利润;盈利;亏损;利润率. 这些量之间有何关系? 小结:销售问题中的常用数量关系 (1)售价、进价、利润的关系:商品利润=商品售价-商品进价; (2)进价、利润、利润率的关系:利润率=×100%; (3)标价、折扣数、商品售价的关系:商品售价=标价×; (4)商品售价、进价、利润率的关系:商品售价=商品进价×(1+利润率). 2.一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损,或是不盈不亏? 解:设盈利25%的那件衣服的进价是x元, 根据题意,得x+0.25x=60,解得x=48. 类似地,设另一件亏损衣服的进价为y元,它的商品利润是-25%y元, 根据题意,得列方程y+(-25%y)=60, 解得y=80. 那么这两件衣服的总进价是x+y=128(元), 而两件衣服的总售价为120元,总售价小于总进价,所以这两件衣服亏损8元. 任务一　意图说明 1.通过结合具体问题的思考和讨论得出各数量间的关系.使学生明白在销售问题中各种量之间的关系,这是解决销售问题的关键,为进一步的探究活动做铺垫. 2.通过合作交流,学生自己讲解展示,达到“兵教兵”的目的,让学生自己成为课堂的主人. 探究二　比赛积分问题 某次篮球联赛积分榜如下: 队名 比赛场次 胜场 负场 积分 前进 14 10 4 24 东方 14 10 4 24 光明 14 9 5 23 蓝天 14 9 5 23 雄鹰 14 7 7 21 远大 14 7 7 21 卫星 14 4 10 18 钢铁 14 0 14 14 问题1　你能从表格中了解到哪些信息? 答:(1)每队的胜场数+负场数=这个队比赛场次. (2)每队胜场总积分+负场总积分=这个队的总积分. (3)每队胜场总积分=胜1场得分×胜场数(答案不唯一). 问题2　你能从表格中看出负一场积多少分吗? 答:由钢铁队得分可知负一场积1分. 问题3　你能进一步算出胜一场积多少分吗? 分析:设胜一场积x分,根据表中其他任何一行可以列方程求解,这里以第一行为例. 解:设胜一场积x分, 由题意,得10x+1×4=24.解得x=2. 经检验,x=2符合题意. 所以胜一场积2分. 问题4　怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系? 解:若一个队胜m场,则负(14-m)场,胜场积分为2m,负场积分为14-m, 总积分为2m+(14-m)=m+14. 即胜m场的总积分为(m+14)分. 问题5　某队胜场总积分能等于它负场总积分吗? 解:设一支队胜y场,则负(14-y)场. 由题意,得2y=14-y. 解得y=. y表示所胜的场数,必须是整数,所以y=不符合实际.由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分. 任务二　意图说明 1.先将球赛积分表呈现给学生,然后师生共同讨论解决问题的方法,使学生感受数学在实际生活中的应用,培养学生利用表格提供的信息解决问题的能力. 2.通过练习使学生刚刚获取的经验得到进一步的巩固和深化,进一步熟悉利用建模思想解决实际问题的方法和过程,从而提高分析和解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.商品销售问题中常见的等量关系. 2.解决有关表格的问题时,根据表格中给出的相关信息,找出数量间的关系. 第3课时　方案比较、分段计费问题　　 　　　　　 能根据具体问题列出方程.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性. 1.掌握用一元一次方程解决方案比较问题、分段计费问题的方法. 2.通过对具体实例的分析和对问题的解决,体会数学的严谨性与数学在生活中的应用价值,增强应用方程模型解决问题的意识和能力. 重点:在实际背景中找到相等关系建立方程模型,并解决实际问题. 难点:由实际问题抽象出数学模型的探究过程. 通过教师层层设问,由浅入深,循序渐进,引导学生对问题的逐步探究,最终得到问题的解决.首先从熟悉的实际生活入手,切入课题,让学生感受生活中处处有数学,数学来源于实践,也服务于实践.本节教学要以学生为主体,以探究为主线,采取合作交流的探究方式进行学习,使学生的知识得到巩固的同时,生活经验、学习方法等也得到提高. (一)情境导入 空调是日常经常用到的家用电器,为我们的生活带来了极大的便利性,在选购的时候一定要重视.能效等级是衡量空调能效的重要指标之一,购买空调时要注意能效等级,选择能效等级低的空调可以更省电,但是能效等级低的空调一般价格也贵一些. 你能分析购买哪种空调综合费用较低吗? (二)新知初探 探究一　方案比较问题 购买空调时,需要综合考虑空调的价格和耗电情况.某人打算从两款空调中选购一台,如表是这两款空调的部分基本信息.如果电价是0.5元/(kW·h),请你分析他购买、使用哪款空调综合费用较低. 两款空调的部分基本信息. 匹数 能效等级 售价/元 平均每年耗 电量/kW·h 1.5 1级 3 000 640 1.5 3级 2 600 800 问题1　在这个问题中,综合费用=　空调的售价　+　电费　.  选定一种空调后,售价是确定的,电费则与使用的时间有关. 设空调的使用年数是t,则1级能效空调的综合费用(单位:元)是　3 000+0.5×640t即3 000+320t　.  3级能效空调的综合费用(单位:元)是　2 600+0.5×800t即2 600+400t　,  问题2　t取何值时,两款空调的综合费用相等? 解:列方程,得3 000+320t=2 600+400t, 解得t=5. 所以t取5时,两款空调的综合费用相等. 问题3　t取何值时,哪款空调综合费用较低? 解:表示3级能效空调的综合费用的式子可变形为 2 600+400t =3 000+320t+(80t-400) =3 000+320t+80(t-5). 当t<5时,80(t-5)是负数,这表明3级能效空调的综合费用较低; 当t>5时,80(t-5)是正数,这表明1级能效空调的综合费用较低. 由此可见,同样是1.5匹的空调,1级能效空调虽然售价高,但由于比较省电,使用年份长(超过5年)时综合费用反而低.根据相关行业标测空调的安全使用年限是10年(从生产日期计起),因此购买、使用1级能效空调更划算. 练习　下表中有两种移动电话计费方式: 月使用 费/元 主叫限定 时间/分钟 主叫超时费/ (元/分钟) 被叫 方式一 58 150 0.25 免费 方式二 88 350 0.19 免费 设一个月内移动电话主叫为t分钟(t是正整数),当t在不同时间范围内取值时,方式一和方式二的计费如下表: 主叫时间t/分钟 方式一计费/元 方式二计费/元 t<150 58 88 t=150 58 88 150<t<350 58+0.25(t-150) 88 t=350 108 88 t>350 58+0.25(t-150) 88+0.19(t-350) (1)比较表格的第2,3行,你能得出什么结论? (2)比较表格的第2,4行,你能得出什么结论? (3)当t>350时,两种计费方式哪种更合算呢? 解:(1)当t≤150时,方式一计费少. (2)当t大于150且小于350时,存在某一个值,使得两种方式计费相等. 由题意,得58+0.25(t-150)=88,解得t=270. (3)当t>350时, 方式一:58+0.25(t-150)=108+0.25(t-350), 方式二:88+0.19(t-350), 所以当t>350时,方式二计费少. 任务一　意图说明 让学生体验使用表格整理信息的益处,同时考察学生列式表示未知量的能力.让学生通过分类讨论得到“方程模型”,并利用方程求出关键数据,使学生认识到方程的重要性和应用价值,增强学生对方程模型的应用意识和应用能力.在得出方程模型的结论之后,引导学生利用结论解释实际问题,从而完成建模解题的完整过程. 探究二　分段计费问题 为了鼓励居民节约用水,某市自来水公司按如下方式对每户月用水量进行计费:当月用水量不超过 10 t时,每吨的收费标准相同;当月用水量超过10 t 时,超出10 t的部分每吨收费标准也相同.下表是小明家1~4月份用水量和缴费情况: 月份 1 2 3 4 用水量/ t 8 10 12 15 费用/ 元 16 20 26 35 请根据表格中提供的信息,回答以下问题: (1)若小明家5月份用水量为20 t,则应缴水费多少元? (2)若小明家6月份缴纳水费29元,则小明家6月份用水多少吨? 解:(1)从表中可以看出10 t以内,每吨2元,超过10 t的部分每吨3元,所以小明家5月份的水费是10×2+(20-10)×3=50(元). (2)设小明家6月份用水x t,29>10×2, 所以x>10. 所以10×2+(x-10)×3=29,解得x=13. 答:小明家6月份用水13 t. 任务二　意图说明 通过解决分段收费问题使学生刚刚获取的经验得到巩固和深化,进一步熟悉列一元一次方程解决问题的方法与过程,从而提高分析和解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.方案选择问题:方案选择问题可通过列方程或列式计算求解,再通过分类讨论或比较选出最优方案. 2.分段计费问题:现实生活中,像“阶梯水费”“阶梯电费”“出租车计费”这样特殊的计费问题,由于其不同区间的计费标准各不相同,需要分段计费再汇总. 第六章　几何图形初步 6.1　几何图形 6.1.1　立体图形与平面图形 第1课时　认识立体图形与平面图形 通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面等概念. 1.能从简单实物的外形中抽象出几何图形,并了解立体图形与平面图形的区别. 2.会判断一个图形是立体图形还是平面图形,能准确识别简单几何体. 3.通过从现实世界中抽象出图形,培养学生观察、分析的能力及合作交流能力. 重点:识别简单的几何图形,培养几何直观. 难点:从实物中得出几何图形,理解立体图形与平面图形的区别与联系. 通过学生熟悉的物体作为切入点,让学生直观地感受常见的立体图形,同时体会数学来源于生活并服务于生活,在学生自己动手实践、小组合作的基础上,发现并认识立体图形与平面图形,使学生得到探索发现的成功感,自然获取知识并形成应用能力. (一)情境导入 观察实物及欣赏图片: 我们生活在一个图形的世界中,图形世界是多姿多彩的.其中蕴含着大量的几何图形.本节我们就来研究图形问题. (二)新知初探 探究一　几何图形 观察这个纸盒,从中可以看出哪些你熟悉的图形? 从整体上看,它的形状是　长方体　;看不同的侧面,得到的是　正方形　或　长方形　;看棱得到的是　线段　;看顶点得到的是　点　.类似地观察足球或篮球的外形,可以得到球、圆等.  小结: 我们在小学学习过的点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等,都是从形形色色的物体外形中得出的,它们都是几何图形. 任务一　意图说明 点、线段、三角形、四边形、圆、长方体、圆柱、圆锥、球等都是学生在小学中已经学习过的图形,通过找一找,结合具体实例引入.从熟悉的生活中识别几何图形,不仅帮助学生理解,而且让他们感受生活中处处有数学. 探究二　立体图形 1.说一说下面这些几何图形有什么共同特点? 解:这些几何图形的各部分不都在同一平面内,它们是立体图形. 你还能举出其他立体图形的例子吗? 认识棱柱与棱锥: 你能再举出一些棱柱、棱锥的实例吗? 2.观察小茗的房间,说说你能看到哪些立体图形. 解:球、圆柱、正方体、长方体、三棱柱、圆锥…. 3.根据已有的数学经验,我们能否把它们进行分类?你的标准是什么? 小结:常见立体图形的分类 常见立体图形 任务二　意图说明 1.通过图片的展示使学生能够在丰富多彩的现实生活中辨认出特征鲜明的立体图形.鼓励学生用自己的语言进行表述与交流,在交流中发现棱柱与棱锥的区别. 2.通过练习,进一步让学生从较为复杂的组合体中找出常见的立体图形,使学生感受到生活中很多丰富多彩的立体图形其实都是由简单的立体图形组合而成的. 探究三　平面图形 1.观察与思考: 说一说下面这些几何图形有什么共同特点? 解:这些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形. 2.思考　立体图形和平面图形是同一类图形吗?它们之间有什么联系? 解:(1)立体图形与平面图形是两类不同的几何图形,但它们是互相联系的. (2)立体图形中某些部分是平面图形,如正方体的每个面都是正方形. 小结:各部分都在同一平面内的几何图形是平面图形.平面图形和立体图形是有联系的:立体图形的某些部分是平面图形. 任务三　意图说明 1.通过观察常见的平面图形,归纳总结出平面图形是各部分都在同一平面内的几何图形. 2.对常见立体图形与平面图形进行分析,让学生感受立体图形与平面图形的区别与联系,将对图形的感性认识升华为理性认识,更清晰、准确地理解所学知识. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.平面图形与立体图形的区别和联系.2.识别简单的几何图形. 第2课时　从不同的方向看立体图形和立体图形的展开图 经历从不同角度观察立体图形的过程,知道简单立体图形的侧面展开图.在这样的过程中,发展几何直观和空间观念. 1.能识别从不同方向看简单物体得到的平面图形. 2.了解常见立体图形与将它展开得到的平面图形的对应关系,并能根据展开图判断立体图形. 3.通过“从不同方向观察物体”和“展开几何体”的活动过程,发展学生的几何直观、空间观念和合理的想象能力. 重点:了解立体图形从不同方向看能够得到平面图形,了解基本几何体与其展开图的关系,体会一个立体图形可以有多种展开图. 难点:会画简单立体图形从不同方向看得到的平面图形,能够画出简单立体图形的展开图,或根据展开图判断立体图形. 1.以观察实物得到的直观感受作为基础,再引导学生想象、验证自己的结论,培养学生的空间想象能力. 2.从学生身边的包装盒入手,把学生熟悉的生活“搬到”课堂上,调动学生的生活积累,吸引学生的注意力,激发学生的探索欲.在实践过程中,注意给学生充分的时间和空间,让学生参与自制的简单图形,并将其展开和折叠等操作活动,增强学生动手操作的能力,使学生感受到数学来源于生活,数学应用于生活. (一)情境导入 《题西林壁》 苏轼 横看成岭侧成峰,远近高低各不同. 不识庐山真面目,只缘身在此山中. 诗中描绘出诗人面对庐山看到的不同的画面,你能用简洁的图形把它们的形象勾勒出来吗? (二)新知初探 探究一　从不同方向看几何体 1.如图所示,把水壶放在桌面上,那么下面三幅图片分别是从哪个方向看得到的? 2.如图所示,这是一个工件的立体图,设计师常常画出从不同的方向看得到的平面图形来表示它,你能分别画出从前面看、从左面看、从上面看它的平面图形吗? 解:如图所示. 从前面看　从左面看　从上面看 3.下图是一个由9个正方体组成的立体图形,分别从前面、左面、上面观察这个图形,各能得到什么平面图形? 解:分别从前面,左面,上面观察这个立体图形,得到的平面图形如图所示. 从　前　面看　从　左　面看　从　上　面看  小结:画出从不同的方向看物体的形状的方法:首先观察物体,画出外轮廓线,然后将图形补充完整,其中看得见部分的轮廓线通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线.从前面、上面看到的图形要长对正,从前面、左面看到的图形要高平齐,从上面、左面看到的图形要宽相等. 任务一　意图说明 1.让学生体会从前、后、左、右、上、下各个方向看立体图形.通过活动,让学生成为课堂学习的主人,让学生自主学习,合作交流,并能合理清晰地表达自己的思维过程. 2.给学生充足的时间观察讨论,并发表意见,领会从不同的方向看得到的图形可能是不同的.培养学生的空间观念,提高学生分析问题和解决问题的能力. 探究二　立体图形的展开图 1.如图所示,将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成哪些平面图形? 正方体的展开图: 思考　这些正方体展开图可以分为几种?观察上面的11种正方体的展开图有没有什么规律? 巧记正方体的展开图口诀: 正方体盒巧展开,六个面儿七刀裁,十一类图记分明; 一四一有6种,二三一有3种,二二二与三三各1种; 对面相隔不相连,识图巧排“凹”和“田”. 2.下列四个图形中,不能作为正方体的展开图的是(D) A B C D 3.如图所示,“价”在下,“观”在后,“心”和“间”在哪里? 解:“心”在上,“间”在前. 4.下面图形是一些几何体的表面展开图,你能说出这些几何体的名字吗? 解:长方体、三棱柱、四棱锥. 任务二　意图说明 学生在动手操作的同时能够体会由立体图形转化为平面图形的过程,激发学生探究的兴趣,发展学生的空间观念.通过仔细观察正方体这11种展开图的特点,能够快速记忆正方体的展开图. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.从不同的方向观察立体图形. (1)判断从不同的方向看到的图形; (2)根据从不同的方向看到的图形判断几何体. 2.立体图形的展开图. (1)几何体的展开图; (2)由展开图判断几何体. 6.1.2　点、线、面、体 通过实物和模型,了解从物体抽象出来的几何体、平面、直线和点等概念. 1.知道点、线、面、体是构成几何图形的元素.进一步认识点、线、面、体的几何特征. 2.探索点、线、面、体的关系,初步掌握点动成线、线动成面、面动成体. 3.通过观察、操作等实践活动,进一步发展学生的空间观念. 重点:认识点、线、面、体,知道它们之间的联系. 难点:培养空间想象能力,能够想象出点、线、面运动后所形成的几何图形. 用多媒体给学生创设生动的学习活动情境,引导学生观察生活中的美妙画面,激发学生的学习兴趣,从而对点、线、面、体知识形成初步的认识.在学习中注重让学生主动参与学习活动,观察感受,亲身经历体验图形的变化过程,通过自主、合作、探究学习,感悟知识的生成、变化、发展,激发学生的联想与再创造能力. (一)情境导入 日常生活中,我们经常看到下列情况:夏天的夜空散布着点点星星;流星划过天空留下一道明亮的光线;把一枚硬币在桌面上快速旋转,呈现在眼前的是一个球.今天,我们将从几何的角度来研究这些现象. (二)新知初探 探究一　图形构成的元素 1.观察下图的长方体,思考问题:它有几个面?面和面相交形成了几条线?线和线相交形成了几个点? 答:6个面、12条线、8个点. 2.(1)观察下面的图形,从它们外形中分别可以抽象出什么立体图形? 答:正方体,圆柱,球,长方体. (2)思考　包围着体的是什么? 答:包围着体的是面. (3)观察这些包围几何体的面,它们有区别吗? 答:面是有区别的,可以分为平面和曲面.围成体的面只是平面或曲面的一部分. (4)面与面相交的地方形成了什么图形? 答:面与面相交的地方形成线,线分为直线和曲线. (5)线与线相交的地方形成了什么图形? 答:线与线相交的地方是点,点只代表位置,没有大小,所以点都是相同的. 小结: (1)体由面围成,面有平的面和曲的面; (2)面与面相交成线,线有直线和曲线; (3)线与线相交成点. 任务一　意图说明 学生通过具体的图形、实物,寻找到点、线、面,同时也发现任何一个图形都是由点、线、面构成的,也就是说点、线、面是构成几何图形的基本要素.这一结论应由学生经过自主认知的过程而得出,从而实现学生自主获取知识的目的,让学生也收到成功的喜悦,进一步激发学习热情. 探究二　由点、线、面运动而形成的图形 问题1　笔尖可以看作是一个点,这个点在纸上运动时,形成了什么?你能举出其他实例吗? 解:形成了线,这可以说成:点动成线.汽车运动一段距离,它运动的距离就是一条线. 问题2　汽车雨刷可以看作什么几何图形?它在挡风玻璃上运动时的路线形成了什么? 解:雨刷看作线,形成了平面图形,这可以说成线动成面. 实际生活中的“线动成面”. 问题3　长方形纸片绕它的一边旋转一周,会形成什么图形? 解:形成了圆柱. 做一做 如图所示,上面的平面图形绕轴旋转一周,可以得到下面的立体图形,把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来. 小结:点动成线、线动成面、面动成体. 任务二　意图说明 1.学生通过讨论、归纳、总结,得出结论:点动成线、线动成面、面动成体. 2.学生主动参与学习活动,观察感受,经历体验图形的变化过程,通过合作学习,感悟知识的生成、变化、发展,激发学生的联想与再创造能力.学生自己动手实践操作,加深学生印象,化解难度. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.列举日常生活中“点动成线、线动成面、面动成体”的实例. 2.总结概括点、线、面、体之间的关系. 6.2　直线、射线、线段 6.2.1　直线、射线、线段 了解从实物抽象出来的直线、射线、线段等概念,掌握基本事实:两点确定一条直线. 1.在现实情境中理解线段、射线、直线的概念,并会用不同的方式表示. 2.通过操作活动,了解“两点确定一条直线”的几何事实,积累数学活动经验. 重点:线段、射线和直线的概念及它们的区别与联系. 难点:理解几何语句的意义并能建立几何语句与图形之间的联系. 1.给学生充分探寻直线的基本知识,直线、射线、线段的表示方法的素材和动手动脑、合作交流的时间与空间,鼓励学生在活动观察时感受概念的形成过程,获得数学体验.提醒学生结合生活经验、留心周围事物,借助实物来认识图形. 2.通过“看图形说话”和“按语句画图”的活动,鼓励学生大胆发表自己的见解与想法,充分调动学生的积极性,发展学生的创新能力,激发学生积极思考,引导学生自主探究与合作交流. (一)情境导入 我们在小学已经学过线段、射线和直线,它们可以分别和图中的哪个事物相对应?结合图片你能回忆起线段、射线和直线的哪些特征? 伸向远方的火车铁轨 激光束 木棒 解:铁轨对应直线,激光束对应射线,木棒对应线段. (二)新知初探 探究一　直线 问题1　如图所示,过一点O可以画几条直线?过两点A,B可以画几条直线? 解:过一点O可以画无数条直线,过两点A,B可以画一条直线. [归纳] 经过两点有一条直线,并且只有一条直线.简述为两点确定一条直线. 想一想 如图所示,如果你想将一根木条固定在墙上并使其不能转动,至少需要几个钉子?你知道这样做的依据是什么吗? 解:2个,依据为两点确定一条直线. 问题2　如图所示,有哪些方法可以表示下列直线? 解:直线m、直线CE、直线EC. [归纳]表示直线的方法 (1)用一个小写字母表示,如直线m; (2)用两个大写字母表示,注:这两个大写字母可交换顺序. 问题3　如图所示,说一说点A,B和直线l有哪些位置关系? 解:点A在直线l上,点B在直线l外或者说:直线l经过点A,直线l不经过点B. 问题4　如图所示,直线a与直线b有什么位置关系? 解:直线a和b相交于点O. [归纳]当两条不同的直线有一个公共点时,我们就称这两条直线相交,这个公共点叫作它们的交点. 小结: (1)两点确定一条直线; (2)直线的表示方法:用一个小写字母或直线上两个点的大写字母表示; (3)点与直线的位置关系:点在直线上,点在直线外; (4)两条直线相交. 任务一　意图说明 1.让学生进行自主学习,共同探索,加深对点与直线的位置关系,两条直线相交的理解,掌握直线的规范性表示方法. 2.将数学回归生活,利用生活经验使学生进一步理解“经过两点有且只有一条直线”这一基本事实,并让学生学会用数学知识解释生活经验. 探究二　射线与线段 问题1　类比直线的表示方法,想一想下图中射线该如何表示? 解:射线用它的端点和射线上的另一点来表示(表示端点的字母必须写在前面)或用一个小写字母表示.记作:射线OA(或射线d). 思考　射线OA与射线AO有区别吗? 问题2　类比直线的表示方法,想一想下图中线段该如何表示? 解:线段用表示端点的两个大写字母表示,或用一个小写字母表示. 记作:线段AB(或线段BA)或线段a. 问题3　根据下列语言画出相应的图形. (1)连接AB; (2)延长线段AB; (3)延长线段BA. 解:(1)如图①所示,连接AB,即为画以A,B为端点的线段. 图① (2)如图②所示,延长线段AB,是指按从端点A到B的方向延长. 图② (3)如图③所示,延长线段BA,是指按从端点B到A的方向延长,也可说反向延长线段AB. 图③ 问题4　分别画一条直线、射线和线段,议一议它们之间的联系和区别. 解:(1)直线、射线、线段三者的联系: ①将线段向一个方向无限延长就形成了射线; ②将线段向两个方向无限延长就形成了直线; ③线段和射线都是直线的一部分. (2)直线、射线、线段三者的区别: 类型 端点个数 延伸性 能否度量 线段 2个 不能延伸 可度量 射线 1个 向一个方向无限延伸 不可度量 直线 无端点 向两个方向无限延伸 不可度量 任务二　意图说明 引导学生通过读题,归纳总结射线与线段的表示方法,以及线段、射线、直线的区别与联系,说一说怎样画线段、射线,然后在草稿纸上画出图形.让学生自己说出想法,培养学生独立操作、自主探索的数学实验学习能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.线段、射线、直线的表示. 2.线段、射线、直线的区别与联系. 3.直线的性质: (1)两点确定一条直线; (2)两条直线相交只有一个交点. 6.2.2　线段的比较与运算 会比较线段的长短,理解线段的和、差,以及线段中点的意义.掌握基本事实:两点之间,线段最短.理解两点间距离的意义,能度量和表达两点间的距离. 1.掌握用测量法与叠合法来比较线段的长短. 2.借助具体情境,了解“两点之间,线段最短”的基本事实. 3.理解线段等分点的意义,能够运用线段的和、差、倍、分关系求线段的长度. 重点:掌握比较线段长短的正确方法,线段中点的概念及表示方法.理解基本事实:“两点之间,线段最短”. 难点:利用线段的和、差、倍、分求线段的长度. 从学生熟知的生活情境中提出问题,让学生有目的的探索问题,自然地就把实际问题转化为数学问题——线段的大小比较;在比较方法的探索上让学生大胆设想,教师适当引导就可以得出比较方法,让学生反复动手操作,熟练掌握方法,恰当引出“线段的中点”的定义,让学生在动手中摸索并熟悉工具的运用,通过例题与练习让学生加深理解,并在思维上进行升华拓展. (一)情境导入 观察三组图形,你能比较出每组图形中线段a和b的长短吗? 三组图形中,线段a与b的长度均相等.很多时候,眼见未必为实,所以想准确比较线段的长短,还需要更加严谨的办法. (二)新知初探 探究一　线段长短的比较 问题1　做手工时,在没有刻度尺的条件下,如何从较长的木棒上截下一段,使截下的木棒等于另一根短木棒的长? 解:如图所示,将两根木棒叠放在一起,一端对齐,从较短的那根对应的地方截取. 思考　画在黑板上的线段是无法移动的,在只有圆规和无刻度的直尺的情况下,请大家想想办法,如何再画一条与它相等的线段? 问题2　作一条线段等于已知线段. 如图所示,已知:线段a,作一条线段AB,使AB=a. 解:第一步:用直尺画射线AF; 第二步:用圆规在射线AF上截取AB=a,如图所示. 所以线段AB为所求. 问题3　你们平时是如何比较两个同学的身高的?你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗? 比较两个同学高矮的方法: (1)用卷尺分别度量出两个同学的身高,将所得的数值进行比较(度量法); (2)让两个同学站在同一平地上,脚底平齐,观看两人的头顶,直接比出高矮(叠合法). 问题4　比较线段AB,CD的长短. (1)度量法:分别测量线段AB,CD的长度,再进行比较; (2)叠合法:将点A与点C重合,再进行比较. 若点A与点C重合,点B落在C,D之间,那么 AB<CD; 若点A与点C重合,点B与点D重合,那么AB=CD; 若点A与点C重合,点B落在CD的延长线上,那么AB>CD. 任务一　意图说明 1.学生通过亲身实践,感受知识的形成过程,培养学生的动手、动脑、动口能力.学生归纳两条线段的长短关系,进而向学生渗透分类的数学思想. 2.学生第一次应用直尺、圆规进行的基本作图,必须予以充分重视.首先要教学生正确地使用圆规,然后要求学生明确对作图工具的规定,作完图要标注字母,写出结果. 探究二　线段的基本事实 议一议 如图所示,从A地到B地有四条道路,除它们外能否再修一条从A地到B地的最短道路?如果能,请你联系以前所学的知识,在图上画出最短路线. 解:能.如图所示,线段AB为最短路线. 小结: (1)经过比较,我们可以得到一个关于线段的基本事实: 两点之间的所有连线中,线段最短.简单说成:两点之间,线段最短; (2)连接两点的线段的长度,叫作两点间的距离. 练习1　如图所示,这是A,B两地之间的公路,在公路工程改造计划时,为使A,B两地行程最短,应如何设计线路?请在图中画出,并说明理由. 解:如图所示.连接AB,线段AB即为所求.理由如下:两点之间,线段最短. 练习2　如图所示,把原来弯曲的河道改直,A,B两地间的河道长度有什么变化? 解:A,B两地间的河道长度变短. 任务二　意图说明 利用生活经验使学生进一步理解“两点之间,线段最短”这一基本事实,并让学生学会用数学知识解释生活经验. 探究三　线段的和、差、倍、分 画一画 在直线上画出线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是　a　与　b　的和,记作 AC=　a+b　.如果在AB上画线段BD=b,那么线段AD就是　a　与　b　的差,记作AD=　a-b　.  做一做 1.如图所示,点B,C在线段AD上,则AB+BC=　AC　;AD-CD=　AC　;BC=　AC　-　AB　=　BD　-　CD　.  2.如图所示,已知线段a,b,画一条线段AB,使 AB=2a-b. 解:如图所示. 观察与思考: 在一张纸上画一条线段,折叠纸片,使线段的端点重合,折痕与线段的交点位于线段的什么位置? 解:位于线段的中点. 小结:如图(1)所示,点M把线段AB分成相等的两条线段AM与BM,点M叫作线段AB的中点.类似地,还有线段的三等分点[如图(2)所示]、四等分点[如图(3)所示]等. 图(1) 图(2) 图(3) 几何语言:因为点M是线段AB的中点, 所以AM=MB=AB(或AB=2AM=2MB). 反之也成立:因为AM=MB=AB(或AB=2AM=2MB), 所以点M是线段AB的中点. 任务三　意图说明 1.学生动手操作,观察猜想,寻找归纳线段之间的数量关系. 2.通过折叠纸片让学生发现线段的中点把线段分成相等的两部分,从而归纳出线段中点的概念,并让学生能根据语言描述画出相应的图形,再进行推理计算. 探究四　例题讲解 1.如图所示,若AB=6 cm,点C是线段AB的中点,点D是线段CB的中点,求线段AD的长. 解:因为点C是线段AB的中点, 所以AC=CB=AB=×6=3(cm). 因为点D是线段CB的中点, 所以CD=CB=×3=1.5(cm). 所以AD=AC+CD=3+1.5=4.5(cm). 2.如图所示,B,C是线段AD上两点,且AB∶BC∶CD=3∶2∶5,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=24,求线段AB,BC,CD的长. 解:设AB=3x,BC=2x,CD=5x. 因为点E,F是线段AB,CD的中点, 所以BE=x,CF=x. 因为EF=24, 所以EB+BC+CF=24. 可列方程x+2x+x=24, 解得x=4. 所以AB=12,BC=8,CD=20. [方法归纳] 求线段的长度时,当题目中涉及线段长度的比例或倍分关系时,通常可以设未知数,运用方程思想求解. 任务四　意图说明 通过问题的解决让学生进一步理解中点与线段和差的意义,学生在独立自主解答问题的过程中,进一步巩固所学的知识,夯实基础,同时培养学生发现问题,解决问题的能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.线段的比较与性质: (1)比较线段:度量法和叠合法; (2)两点之间,线段最短. 2.线段长度的计算: (1)线段的中点:把线段AB分成两条相等线段的点; (2)两点间的距离:连接两点间的线段的长度. 6.3　角 6.3.1　角　 理解角的概念,认识度,分,秒等角的度量单位,能进行简单的单位换算. 1.理解角的定义和相关概念,掌握角的表示方法. 2.认识角的单位,会进行度、分、秒之间的换算. 3.通过在图片、实例中找角,培养学生的观察、探究、抽象、概括的能力以及把实际问题转化为数学问题的能力. 重点:理解角的两种定义,掌握角的表示方法,认识角的单位. 难点:掌握角的表示方法及度、分、秒的换算. 1.从学生熟悉的实物出发,引导学生明确角的初步概念.给学生提供主动探索的时间、空间,能让学生表述的要让学生自己去表述,能让学生总结的要让学生自己推导出结论,能让学生思考的要让学生自己去思考,能让学生观察的要让学生自己去观察. 2.在学习角的表示方法和角的单位及换算时,通过教师讲授、学生自学、独立尝试、组内交流讨论、集体点评等方式让学生自觉发现问题,解决问题. (一)情境导入 观察下面的实物,你发现这些实物能抽象出什么样的共同形象? (二)新知初探 探究一　角的定义 观察与思考 观察以上角的图案,你能归纳出角的特点吗?尝试去描述一下角是由什么组成的图形? [归纳总结] 角的有关概念 静态定义:有公共端点的两条射线组成的图形,叫作角. 动态定义:角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形. 想一想 如图所示,射线OA绕点O旋转,当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时,形成什么角?继续旋转,当OB和OA重合时,又形成什么角? 答:当OB和OA成一条直线时,形成平角;当OB和OA重合时,形成周角. 练习　下列关于角的说法:①角是由两条射线组成的图形;②角的边越长,角越大;③在角一边延长线上取一点D;④角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.其中正确的有(A) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 任务一　意图说明 通过学生的观察、对比、分析和讨论,发现角的共同特征,并在此基础上归纳角的定义,以此来培养学生的观察能力和运用数学语言表述的能力. 探究二　角的表示方法 问题1　有哪些方式可以表示如图所示的角? 1.用一个大写字母表示:∠　O　.  2.用三个大写字母表示:∠　AOB　或∠　BOA　.  3.用一个小写希腊字母或数字表示:∠　α　或 ∠　1　.  问题2　如图所示中有哪些角?如何表示?还能用∠O表示∠AOB吗? 图中的角有　∠AOC(或∠1),∠BOC(或∠α),∠AOB　,　不能　(选填“能”或“不能”)用∠O表示∠AOB.  任务二　意图说明 通过学生自学课本,独立尝试,组内交流讨论,归纳出角的三种表示方法,教师适时指导,纠正存在的问题. 探究三　角的度量 怎么知道这个角的大小? 角的度量工具:量角器. 我们常用量角器量角,度、分、秒是常用的角的度量单位.把一个周角360等分,每一份就是1度的角,记作1°;把1度的角60等分,每一份叫作1分的角,记作1';把1分的角60等分,每一份叫作1秒的角,记作1″. 1周角=　360　°,1平角=　180　°;1°=　60　',1'=　60　″.  任务三　意图说明 通过让学生用量角器度量角,掌握角的度量方法,观察量角器度量角的大小表示方法,利用度、分、秒之间的换算关系进行计算,让学生体会度、分、秒之间的换算方法. 探究四　方位角 1.如图所示,正东:射线OA;正南:射线OB;正西:射线OC;正北:射线OD;西北方向:射线OE;西南方向:射线OF;东北方向:射线OH;东南方向:射线OG. 2.如图所示,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°、南偏西10°、西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B、货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方向的方法,画出表示客轮B、货轮C和海岛D方向的射线. 题图 解图 解:如图所示. 任务四　意图说明 通过问题的解决理解方位角和表示方位的射线,在学生完成题中的问题后归纳出方位角的表示方法.注意讲清楚方位角是以正北或正南方向的射线为一个角的始边,而表示物体运动的方向的射线是角的另一边. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.角的概念:有公共端点的两条射线组成的图形. 2.角的表示方法: (1)三个大写字母或一个大写字母表示; (2)一个数字表示; (3)一个小写希腊字母表示. 3.度、分、秒的换算. 4.方位角. 6.3.2　角的比较与运算 第1课时　角的比较与运算　　　 能比较角的大小,会计算角的和、差. 1.掌握角的大小的比较方法. 2.通过动手操作,学会借助三角尺拼出不同度数的角,理解角的和、差的意义及数量关系. 3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算. 重点:掌握角的大小的比较方法,理解角的和、差的意义及数量关系. 难点:角的和、差、倍、分计算. 1.类比线段的大小比较的方法引出角的大小的比较的两种方法:度量法、叠合法.在学习过程中,要让每个学生都能主动地思考问题,采取小组合作学习的方式来激发学生的学习兴趣. 2.在教学中让学生经历角的大小比较方法的探究过程,提高学生参与数学活动的积极性,同时也不轻视技能训练,让学生仔细辨别,深入探讨,认真挖掘,使学生能尝到学习成功的喜悦,初步达到知识的“内化”. (一)情境导入 有一天聪聪和明明各带了一把折扇(状态如下). 下面是他们的一段对话: 聪聪:“我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些”. 明明:“我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些”. 同学们有办法帮他们进行判断吗? (二)新知初探 探究一　角的比较 问题1　如图所示,已知线段AB和线段CD,如何比较这两条线段的大小呢? 解:线段的大小可以用度量法和叠合法来比较. 问题2　如图所示,已知∠ABC和∠DEF,类比线段的长短比较方法,你会比较角的大小吗? 小结:角的比较 (1)度量法:量出度数,再比较大小; (2)叠合法:把角的一条边叠合在一起,通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小. ∠AOB　<　∠A'O'B'　∠AOB　=　∠A'O'B'  ∠AOB　>　∠A'O'B'  练习 (1)如图所示,射线OC,OD分别在∠AOB的内部、外部,下列各式错误的是(D) A.∠AOB<∠AOD B.∠BOC<∠AOB C.∠COD<∠AOD D.∠AOB<∠AOC (2)如图所示,其中最大的角是　∠AOD　,∠DOC,∠DOB,∠DOA的大小关系是　∠DOA>∠DOB>∠DOC　.  任务一　意图说明 1.通过类比线段的大小比较方法,让学生学会角的大小比较的方法. 2.让学生分组讨论角的比较方法,提醒学生可类比问题1中的方法.在学生讨论过程中,教师观察并听取学生解决问题的方法和建议.注意不要急于给出结论,要调动学生的积极性,吸引其注意力. 探究二　角的和、差 问题1　图中有几个角?你能结合图形说明什么是两个角的和与差吗? 解:图中有3个角:∠AOC,∠AOB,∠BOC. ∠AOC是∠AOB与∠BOC的和,记作∠AOC=∠AOB+∠BOC; ∠AOB是∠AOC与∠BOC的差,记作∠AOB=∠AOC-∠BOC; ∠BOC是∠AOC与∠AOB的差,记作∠BOC=∠AOC-∠AOB. 问题2　一副三角尺的各个角分别是多少度?借助三角尺画出15°,75°的角. 解:一副三角尺的各个角分别是30°,60°,90°,45°.借助三角尺画出15°,75°的角如图所示. 你还能画出哪些度数的角?有什么规律吗? 还能画出　105°,120°,135°,150°　等度数的角.  规律:凡是　15°　的倍数的角都能画出.  任务二　意图说明 1.角的和与差本质上是数形结合的典型,通过开放性的问题能使学生觉得新颖,使学生深刻理解角的和、差的意义,同时也培养学生的发散思维. 2.通过让学生用三角板组合各种角的度数,进一步理解角的和与差的意义及其数量关系. 探究三　例题讲解 1. 如图所示,O是直线AB上一点,∠AOC=53°17',求∠BOC的度数. 解:因为∠AOB是平角, ∠AOB=∠AOC+∠BOC, 所以∠BOC=∠AOB-∠AOC=180°-53°17' =179°60'-53°17' =126°43'. 2.(1)如图(1)所示,若∠AOC=35°,∠BOC=40°,则∠AOB=　75　°;  图(1)　图(2) (2)如图(2)所示,若∠AOB=60°,∠BOC=40°,则∠AOC=　20　°;  (3)若∠AOB=60°,∠AOC=30°,则∠BOC=　90°或30°　.  任务三　意图说明 通过解决具体问题,强化角的和与差的应用,可使学生牢记其几何语言的描述形式.锻炼学生在复杂图形中识别角与角之间的数量关系. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.角的大小比较的方法:度量法、叠合法. 2.角的和、差运算. 第2课时　角平分线 理解角平分线的概念,会计算角的和、差. 1.在操作活动中认识角的平分线,能画出一个角的平分线. 2.能利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 3.会进行涉及度、分、秒的角度的计算. 重点:理解角平分线的概念和角的和、差、倍、分的意义及数量关系. 难点:会利用角的平分线的定义解决有关角的计算问题. 1.通过复习回顾,创设情境引入等逐步调动学生的积极性,让学生感受数学来源于生活,唤起学生学习的兴趣,为学生提供充足的自主学习的时间和空间,创造一个有利于学生主动发展的教育环境. 2.让学生感受知识产生、发展的过程,学会观察、发现、归纳等学习方法,在教学中让学生经历角平分线的概念的探究过程,提高学生参与数学活动的积极性. (一)情境导入 我们知道,可以通过折纸的方法将一条线段分成两条相等的线段,那么你能用折纸的方法将一个角分成两个相等的角吗? (二)新知初探 探究一　角平分线 1.动手做一做:如图所示,在纸上画∠AOB,然后将其剪下来,将其沿经过顶点的线对折,使边OA与OB重合.将角展开,折痕上任取一点记作点C. 类比线段中点的定义,填空: ∠AOC=∠COB;∠AOB=　2　∠AOC=　2　∠BOC.  一般地,从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线. 应用格式: 因为OC是∠AOB的平分线, 所以∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠BOC=2∠AOC. 类似地,还有角的三等分线,四等分线等. 练习 在一张半透明的纸上通过折线作出角的平分线. 小结:角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线. 任务一　意图说明 通过折纸寻找角的平分线,进一步理解角的和与差的数量关系,学生在动手的过程中,培养了操作能力,同时也培养了他们的兴趣,体会了数学中类比思想的运用. 探究二　例题讲解 1.如图所示,OB是∠AOC的平分线,OD是∠COE的平分线. (1)如果∠AOC=80°,那么∠BOC是多少度? (2)如果∠AOB=40°,∠DOE=30°,那么∠BOD是多少度? (3)如果∠AOE=140°,∠COD=30°,那么∠AOB是多少度? 解:(1)因为OB平分∠AOC,∠AOC=80°, 所以∠BOC=∠AOC=×80°=40°. (2)因为OB平分∠AOC, 所以∠BOC=∠AOB=40°. 因为OD平分∠COE, 所以∠COD=∠DOE=30°. 所以∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°. (3)因为∠COD=30°,OD平分∠COE, 所以∠COE=2∠COD=60°. 所以∠AOC=∠AOE-∠COE=140°-60°=80°. 又因为OB平分∠AOC, 所以∠AOB=∠AOC=×80°=40°. 2.把一个周角7等分,每一份是多少度的角(精确到分)? 解:360°÷7 =51°+3°÷7 =51°+180'÷7 ≈51°26'. 答:每份是51°26'的角. 练习1 如图所示,∠BOA=90°,OC平分∠BOA,OA平分∠COD,求∠BOD的大小. 解:因为∠BOA=90°,OC平分∠BOA, 所以∠COA=∠BOA=×90°=45°. 又因为OA平分∠COD, 所以∠AOD=∠COA=45°. 所以∠BOD=∠BOA+∠AOD=90°+45°=135°. 练习2 计算: (1)15°37'+42°51'; (2)90°-68°17'50″; (3)50°26'×3; (4)178°53'÷5. 解:(1)15°37'+42°51'=57°88'=58°28'. (2)90°-68°17'50″=89°59'60″-68°17'50″= 21°42'10″. (3)5°26'×3=15°78'=16°18'. (4)178°53'÷5=35°46'36″. 任务二　意图说明 通过应用角的和差解决具体问题,强化角平分线的定义的应用,可使学生牢记其几何语言的描述形式.锻炼学生在复杂图形中识别角与角之间的数量关系. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.角平分线的定义:从一个角的顶点出发,把这个角分成两个相等的角的射线,叫作这个角的平分线. 2.角的运算. 6.3.3　余角和补角 理解余角、补角的概念,探索并掌握同角(或等角)的余角相等、同角(或等角)的补角相等的性质. 1.在具体情境中认识余角和补角,会利用互余、互补关系求出角的度数. 2.探索并掌握余角和补角的性质. 3.通过互余与互补关系的应用,进一步提高学生的抽象概括能力和逻辑推理能力. 重点:理解余角、补角的概念及性质. 难点:运用余角、补角的相关知识解题. 1.通过动态课件演示引出概念,充分调动学生的学习兴趣,把学生吸引到课堂上来,使数学知识充满新鲜感,增强学生对几何图形的敏感性. 2.在具体的教学过程中坚持“数形结合”,从学生熟悉的知识着手,讲解余角和补角的性质时,先以代数的形式出现,然后在练习中再强化从图形上形象地理解性质,激发学生的学习兴趣,促成好的学习方法,养成良好的学习习惯. (一)情境导入 如图所示,坝底是由石块堆积而成,要测出∠1的度数,你有什么简单的方法吗? 要解决这问题,我们先来学习余角和补角. (二)新知初探 探究一　余角和补角的概念 1.如图所示,将一张长方形纸片,沿一个角折叠后,折痕与长方形的边形成了4个角. 思考 1.∠1与∠2有什么数量关系? 解:∠1+∠2=90°. 2.∠3与∠4有什么数量关系? 解:∠3+∠4=180°. 小结: (1)如果两个角的和等于90°(直角),就说这两个角互为余角(简称这两个角互余). (2)如果两个角的和等于180°(平角),就说这两个角互为补角(简称这两个角互补). 练习 (1)图中给出的各角,哪些互为余角? (2)图中给出的各角,哪些互为补角? 解:(1)10°和80°,25°和65°,44°和45°互为余角. (2)10°和170°,30°和150°,60°和120°,80°和100°互为补角. 任务一　意图说明 1.让学生从直观的角度去感受互为余(补)角的概念.并用语言去表达这个概念,培养学生的归纳总结能力和口头表达能力. 2.学生回答后教师再进行说明,强调互为余角反映的是角的数量关系,而不是角的位置关系. 探究二　余角和补角的性质 思考　如图所示,∠1与∠2,∠3都互为补角,∠2与∠3的大小有什么关系?请说明理由. 解:∠2=∠3.理由如下: 因为∠1与∠2,∠3都互为补角, 所以∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°. 所以∠2=180°-∠1,∠3=180°-∠1. 所以∠2=∠3. 追问　你能将这个结论用数学语言进行叙述吗? 小结:同角(等角)的补角相等. 类似地,可以得到同角(等角)的余角相等. 任务二　意图说明 1.让学生先通过观察得到结论,再对结论进行推理说明,最后用数学语言归纳总结出性质,培养学生的推理能力与归纳总结能力. 2.充分放手给学生,让学生自己得出结论,体验到探究的乐趣. 探究三　例题讲解 1.若一个角的补角等于它的余角的4倍,求这个角的度数. 解:设这个角为x°,则它的补角是(180-x)°,余角是(90-x)°. 根据题意,得180-x=4(90-x).解得x=60. 答:这个角的度数是60°. 2. 如图所示,点A,O,B在同一条直线上,射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC,图中哪些角互为余角? 解:因为点A,O,B在同一条直线上, 所以∠AOC和∠BOC互为补角. 又因为射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC, 所以∠COD+∠COE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=90°. 所以∠COD和∠COE互为余角. 同理∠AOD和∠BOE,∠AOD和∠COE,∠COD和∠BOE也互为余角. 3.如图所示,点O是直线AB上一点,∠BOC=∠DOE=90°,请说明: (1)∠1=∠2; (2)∠COF=∠AOE. 解:(1)因为∠BOC=∠DOE=90°, 所以∠COE+∠1=90°,∠COE+∠2=90°. 所以∠1=∠2. (2)因为∠1+∠COF=180°,∠2+∠AOE=180°,∠1=∠2, 所以∠COF=∠AOE. 任务三　意图说明 1.通过例题的讲解使学生巩固互余和互补的概念,初步体会由定义求一个锐角的余角和一个角的补角的过程. 2.通过应用余角和补角的性质解决问题,进一步培养学生的逻辑推理能力. (三)当堂达标 具体内容见同步课件 (四)课堂小结 1.余角和补角的概念. 2.余角和补角的性质. $$