2.3二次根式 练习 2025-2026学年北师大版（2024）数学八年级上册

2.3二次根式 练习 一、单选题 1．下列式子是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 4．若是二次根式，则满足的条件是（   ） A．、均为非负数 B．且 C． D． 5．下列二次根式：①；②；③；④．其中与是同类二次根式的是（   ） A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 6．已知，则（   ） A． B． C． D．2a 7．计算的结果是（   ） A． B．4 C．3 D． 8．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 9．若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 10．若，，则的值是（   ） A．2 B．4 C．5 D．7 二、填空题 11．计算： ． 12．计算：＝ ． 13．已知，那么的值是 ． 14．计算： ． 15．定义运算“@”的运算法则为：，则 ． 三、解答题 16．当时，求． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：______； (3)当时，求的值． 17．计算：． 18．计算： (1) (2) 19．已知最简二次根式与是同类二次根式． (1)求的值； (2)若，化简：． 20．先化简，再求值：，其中，． 《2.3二次根式 练习》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D C C A B C B 1．A 【分析】本题考查的知识点是二次根式的定义，解题关键是熟练掌握二次根式的识别方法． 二次根式的定义：一般地，把形如的式子叫做二次根式．根据此定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：A．是二次根式，符合题意； B．不是二次根式，不符合题意； C．不是二次根式，不符合题意； D．不是二次根式，不符合题意． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 4．D 【分析】本题考查二次根式的定义（二次根式要求被开方数 ），解题关键是准确把握二次根式被开方数的取值范围，对，需保证整体非负，要注意分式有意义（）且被开方数非负的综合要求，核心是理解二次根式被开方数的非负性本质．根据二次根式被开方数回答即可． 【详解】解：∵是二次根式， 且， （已隐含）． 故选：D． 5．C 【分析】本题考查二次根式的化简、分母有理化、同类二次根式等知识．将题中四个数分别化成最简二次根式，再结合同类二次根式的定义解题即可． 【详解】解：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是①④． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查复合二次根式的化简，完全平方公式，令，得出，代入原式得，解得，得出，进而可得出答案 【详解】解：令， ∴， ∴， ∴， 移项，两边平方得， 解得：， ∴， ∴， 故选：C 7．A 【分析】此题考查了二次根式的除法法则，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 根据二次根式的除法法则计算即可． 【详解】解：． 故选：A． 8．B 【分析】本题主要考查二次根式的化简以及乘除运算，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键．先将各项根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘除运算法则进行计算． 【详解】解： 故选：B 9．C 【分析】本题考查同类二次根式，化简二次根式， 根据同类二次根式的定义，化简后根号内的数相同，由此建立方程求解． 【详解】∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ∴． 故选：C． 10．B 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式的变形计算，掌握其运算法则是关键，利用代数恒等式将表达式转化为已知量进行计算． 【详解】解：已知，， ∴，， ∵， ∴， ∴代入，原式， 故选：B． 11． 【分析】本题主要考查二次根式的加减，先将二次根式化简再合并即可 【详解】解：， 故答案为： 12． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质和运算法则化简运算即可，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，能够正确的判断出化简过程中被开方数的符号是解答此题的关键．先化简，再分同正或同负两种情况作答即可． 【详解】解：， ∵， ∴x、y同号， 当，时，原式； 当，时，原式； 故答案为：． 14．7 【分析】本题主要考查了实数混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键．根据负整数指数幂运算法则和立方根定义，进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：7． 15．6 【分析】此题考查了实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．根据题中的新定义化简所求式子，计算即可得到结果． 【详解】解：∵， ， 故答案为：6． 16．(1)小亮 (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解答本题的关键． （1）根据二次根式的性质分析即可； （2）根据二次根式的性质分析即可； （3）先根据二次根式的性质化简，再把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴ ， 当时， 原式， ∴小亮的解法是错误的； （2）解：错误的原因在于未能正确运用二次根式的性质：， 当时，； （3）解：∵， ∴， ∴原式． 17．． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先计算二次根式乘除，根据二次根式的性质化简，然后进行合并即可，熟记二次根式运算顺序及运算规则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 18．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除混合计算，二次根式的加减计算，熟知二次根式的相关计算法则是解题的关键． （1）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法即可； （2）先利用平方差公式去括号，然后去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．(1) (2) 【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． （1）由最简二次根式、同类二次根式的定义可得，解方程即可； （2）先判断出，，再化简绝对值和二次根式即可． 【详解】（1）解：由题意，得， 解得． （2）解：由，得， ，． 原式 ． 20． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据完全平方公式展开，再化简，最后将字母的值代入，根据二次根式的性质化简，即可求解． 【详解】解：原式 ． 当，时，原式． 学科网（北京）股份有限公司 $$