解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练-2026届高三数学一轮复习

解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练 解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练 考点目录 弦长问题 三角形面积问题 四边形面积问题 中点弦问题 考点一 弦长问题 1．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E的左、右焦点分别为且椭圆E的离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)已知直线过点，且与椭圆E交于点A，B，求证：是定值. 2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． (1)求的方程； (2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 3．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 4．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R． (1)求双曲线C的标准方程； (2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 6．（24-25高二下·河南·开学考试）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 7．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 考点二 三角形面积问题 1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)①求证：； ②求面积的取值范围. 2．（24-25高二下·海南海口·期末）已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 3．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知动点到的距离比点到直线的距离小1，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设，过点的直线交于两点（异于点）． （i）若，求直线的方程； （ii）过点与直线垂直的直线交于两点，设线段的中点分别为是坐标原点，求面积的最小值． 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程． (2)过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 7．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知椭圆过点，右焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B． （i）证明：． （ⅱ）求面积的最大值． 8．（25-26高三上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的上焦点也是抛物线的焦点，的上顶点为，下顶点为，且. (1)求的方程. (2)过点作一条斜率为的直线，与交于，两点，与交于，两点. （i）若为定值，求的值. （ii）是否存在实数，使得的面积恰好是的面积的3倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 考点三 四边形面积问题 1．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 2．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点． (1)求C的方程； (2)如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分． （ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点； （ⅱ）求四边形FPAQ的面积S的取值范围． 3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围. 4．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系中，分别以x轴和y轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求的方程； (2)是过右焦点的弦（不是长轴），的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记与的交点为M，与的交点为N，求四边形面积的最大值． 5．（2025·山西·模拟预测）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 8．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 考点四 中点弦问题 1．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 6．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，线段的中点为．当直线的倾斜角为时，有． (1)求双曲线的离心率； (2)若，求直线的一般式方程； (3)若三点不共线，且，求证：直线过定点． 7．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 8．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练 解析几何：弦长问题、面积问题、中点弦问题专项训练 考点目录 弦长问题 三角形面积问题 四边形面积问题 中点弦问题 考点一 弦长问题 1．（25-26高三上·河北保定·开学考试）已知椭圆E的左、右焦点分别为且椭圆E的离心率为 (1)求椭圆E的方程； (2)已知直线过点，且与椭圆E交于点A，B，求证：是定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由，得，即， 又椭圆的离心率为，所以，即，所以， 所以椭圆的方程为． （2）设点， 当直线的斜率不存在时，，所以 当直线的斜率存在时，设直线的方程为． 由消去，得． 所以． ，同理， 所以． 综上所述，（定值）.    2．（25-26高三上·广东·开学考试）已知椭圆（）的离心率，椭圆上动点到右焦点的距离最大值等于3． (1)求的方程； (2)设是坐标平面上的动点，且线段的垂直平分线与恰有一个公共点 ①求动点的轨迹方程； ②求线段的长度的取值范围． 【答案】(1) (2)① ；② 【详解】（1）由题可知，，解得，， 又，所以椭圆方程为. （2）由（1）知，设，则的中点为， ①当时，的垂直平分线方程为， 此时，则或；即或 当时，的垂直平分线方程为：， 由，消得， ， 整理得， 因为线段的垂直平分线与恰有一个公共点， 则， 即， 整理得， 即， 因为，所以， 而，也满足该式， 故点的方程为，即． ②由①知，点的方程是以为圆心，为半径的圆，且圆心为椭圆左焦点， 又易知点在圆内，则， 又由椭圆的性质知，，得到， 故所求线段MQ长度的取值范围是    3．（24-25高二下·四川资阳·开学考试）已知椭圆，分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆上异于的两个点，当四边形为菱形时，四边形的周长为，面积为4. (1)求椭圆的方程. (2)若，的斜率分别为，，且，证明：直线过定点. (3)在（2）的条件下，若直线，交于点，直线，交于点，求的最小值. 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）根据椭圆的对称性知，当M，N分别为椭圆的上、下顶点时，四边形为菱形， 由，，得，， 所以椭圆的方程为. （2）依题意，直线的斜率不为零，设直线的方程为，， 由消去整理得， 则，，， 而，则， 因此 ， 解得， 所以直线恒过定点. （3）由（2）知，，得 直线的方程为，直线的方程为， 则， 即，解得， 即可得点有，， 同理可得点有，， ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 4．（25-26高三上·辽宁·阶段练习）已知双曲线的焦距为4，左右焦点分别为，若点P为双曲线C上一点，过点P分别作双曲线C两条渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于点，四边形的面积为．设点分别为双曲线的左右顶点，过点的直线与双曲线交于点（不同于点．设直线与交于点G，直线与交于点H，双曲线在点处的切线交于点R． (1)求双曲线C的标准方程； (2)试探究是否是定值，若是，求出此定值；若不是，说明理由． 【答案】(1). (2). 【详解】（1）已知双曲线焦距为4，即，故. 又因为，所以 . 如图，设点在双曲线上，满足，双曲线的渐近线方程为. 而四边形的面积为，且​​由题意得四边形为平行四边形， 因为，， 解得，，则， 同理可得， 由平行四边形面积公式得=（为点到直线的距离）. 因为；渐近线为. 所以；代入得，可得， 所以解得，解得，. 所以双曲线的标准方程为. （2）易知斜率不存在时候不符合题意， 故设直线方程为，， 代入双曲线方程联立可得， 化简得. 且； 如图，设，，其中， 则由韦达定理得，. 直线过和，方程为. 直线过和，方程为. 直线与交于点，可得， 则，可得， 则， 可得， 则， 可得， 得到， 则，故， 因为，所以， 则， 得到，则， 故，故解得， 同理直线与交于点，其横坐标为. 而双曲线在点和处的切线方程分别为， 联立解得切线交点的坐标为，. 因此，点，，均在直线上； 设，，. 由中点坐标公式得中点坐标为 ， 故为和的中点，即，因此. 5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 6．（24-25高二下·河南·开学考试）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为. (1)求轨迹的方程. (2)已知直线与轨迹交于，两点，以，为切点作两条切线，分别为，，直线，相交于点.若，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）（1）由题意知动点M的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线， 所以轨迹C的方程为. （2）（2）设，.联立得， 则，， . 易知直线，的斜率存在，设直线的方程为，联立 ，得. 由，解得，所以切线的方程为. 同理可得，切线的方程为. 由解得即点. 因为，，，且，所以， 即 化简得，因此或故. 7．（24-25高二下·浙江温州·阶段练习）已知双曲线C：．过y轴正半轴上一点T作射线TA，TB交C于点，，且．为x轴正半轴上一点，满足． (1)若P为C的右焦点，求直线AB的方程； (2)求的取值范围； (3)若T在直线AB上，且，是否存在，使得？若存在，求；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或 (2) (3)不存在，理由见解析 【详解】（1）法1（设直线＋韦达定理，为（2）（3）作铺垫）： 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 因为， 所以，代入，解得， 故直线AB的方程为， （或者直线AB的方程为或）． 法2（定比点差法）： 因为A、B在C上，于是，即， 两式相减得， 因为C：，，，，故． 设，则，，， 因为，所以，即． 故， 联立解得，或，． 第一种情况，得； 第二种情况，同理得． 故直线AB的方程为或． （2）设，则，，， ，所以，即， 设AB：，联立得， 整理得， 故，， ，． 其中，所以，，又， 故，所以． 又，故， 故， 当，即时，，无解，舍去； 当，即时，整理得， 解得或． 综上所述，的取值范围是； （3）不存在，理由如下： 假设存在，等价于． 由（2）知，A、P、B三点共线，又T在直线AB上，所以T、A、P、B四点共线， 则直线，又，故， 从水平方向上看，有，整理得． 从竖直方向上看，有，整理得． 所以， 又由（2）得，， ，， 所以，，代入整理得． 而，所以，整理得， 所以，解得，与矛盾． 故不存在这样的． 8．（24-25高二下·甘肃兰州·期末）已知椭圆的短轴长为，点在上． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线与椭圆交于，两点，且，求的值． 【答案】(1)椭圆的标准方程为： (2) 【详解】（1）因为椭圆的短轴长为，所以短半轴长。 所以椭圆的标准方程为：，又因为点在椭圆上， 所以，所以，解得， 所以椭圆的标准方程为：； （2）设直线与椭圆的交点为 和 的坐标分别为。 由，可得， 整理得，，解得， 所以， 因为，所以， 所以，所以 整理得，解得或（舍去）， 所以. 考点二 三角形面积问题 1．（2024·河北·模拟预测）已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，点在椭圆上，直线与圆相切，且与椭圆交于两点，为坐标原点. (1)求椭圆的标准方程； (2)①求证：； ②求面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）根据题意，， 解得，所以椭圆的标准方程为； （2）①当直线斜率不存在时，则切线方程为， 联立可得， 所以，直线与椭圆的两个交点分别为、， 此时，即， 同理可知，直线与椭圆的两个交点分别为、， 此时，即； 当切线斜率存在时，设切线方程为， 与椭圆方程联立消去并整理可得， ，可得， 设点、，由韦达定理可得，， 因为直线与圆相切，则，即， 所以， ，所以，. 综上所述，； ②由题意可得点到直线的距离为， 由①知当切线斜率不存在时，，； 当切线斜率存在时，由弦长公式可得 ， 当时，， 当且仅当时，等号成立， 所以， 综上，的取值范围为. 2．（24-25高二下·海南海口·期末）已知A，F是椭圆的右顶点和左焦点，椭圆E过点，且焦距为2． (1)求椭圆E的标准方程； (2)直线与E交于M点（不与B点重合），求的面积． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为焦距为，即， 方法一：由题意可得：，解得，， 所以椭圆方程． 方法二：由题意可知：，右焦点，则， 可得， 即，可得， 所以椭圆方程． （2）因为，，直线方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得或， 可得， 且到直线的距离为， 所以的面积． 3．（24-25高二下·贵州安顺·期末）已知平面内一动点到点的距离与它到直线的距离之比为，过点的直线与动点的轨迹相交于两点． (1)求动点的轨迹的方程． (2)是否存在直线，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【详解】（1）因为点到点的距离为， 点到直线的距离为， 所以， 化简得，即， 所以动点的轨迹的方程为． （2）由题意可知直线的斜率不为0， 故设直线的方程为． 联立，得．直线l过点F，必有， 由韦达定理可得，， 所以的面积， ． 令，则，所以． 令，则在上单调递减， 所以，即面积的最大值为． 因为，所以不存在直线，使得面积为． 4．（25-26高三上·广东深圳·开学考试）已知动点到的距离比点到直线的距离小1，动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)设，过点的直线交于两点（异于点）． （i）若，求直线的方程； （ii）过点与直线垂直的直线交于两点，设线段的中点分别为是坐标原点，求面积的最小值． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【详解】（1）由题意知，动点到定点的距离等于点到定直线的距离，根据抛物线的定义可知，点的轨迹是抛物线； 因为，所以抛物线的方程为， 即点的轨迹C的方程为. （2）（ⅰ）由（1）可得，设直线的方程为，，.， 由方程组，消去，得， 则， 所以，. 由可得 解得或（舍）.所以直线的方程为，即 （ⅱ）由（ⅰ）可得，故 故， 将换成可得， 当时，或，故直线的方程为， 当时，， 故直线的方程为， 令，得，， 当且仅当时等号成立，所以面积的取值范围为，所以面积的最小值为. 5．（24-25高二下·安徽滁州·期末）在圆上任取一点，过点作轴的垂线段，垂足为．点在线段上，且满足．当点在圆上运动时，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的标准方程． (2)过点的直线交曲线于两点，过点与垂直的直线交曲线于，两点，其中在轴上方，，分别为，的中点． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii） 【详解】（1）解：设点是所求曲线上的一点，且， 由轴于，则，因为，可得， 因为点是圆上任意一点，则，即， 即曲线的标准方程为. （2）解：（i）当直线的斜率存在且不为时，设直线方程为，且， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 因为直线与直线垂直，所以直线的方程为， 设， 联立方程组，整理得， 可得，则， 所以点的坐标为， 则直线的斜率为 ， 所以直线的方程为， 即， 令，解得，所以直线过定点； 当直线的斜率不存在时，直线方程为，可得，则， 直线的方程为，可得，则，直线过定点， 综上可得，直线过定点. （ii）由（i）知，直线过定点，且， 可得，则 ， 令，则，则， 令在上为单调递增函数，当时，， 即时，面积取得最大值，最大值为. 6．（2025·安徽合肥·模拟预测）如图，圆，是圆内一个定点，是圆上任意一点.线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)记的左顶点为，直线与交于两点，直线的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方，是否存在点，使得与的面积之比为?若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）存在， 【详解】（1）由题意可知，， 由椭圆定义可得，点的轨迹是以为焦点的椭圆，且长轴长，焦距， 所以，因此曲线C方程为. （2）（ⅰ）设直线为，设 由，消去得， ，则， 所以， 则，整理得，解得或， 当时，直线方程为，过点，不合题意，舍去， 当时，直线方程为，过定点，命题得证. （ii）设，因为，则， 又，得到， 所以，又， 则，同理可得， 因为，， 又由（i）知，，所以 ， 得到， 所以， 则， 整理得，解得或， 又，则，代入，得到，此时，故存在满足题意. 7．（24-25高二下·广东深圳·期末）已知椭圆过点，右焦点． (1)求椭圆E的方程； (2)设直线与椭圆E交于P，A两点，过点作轴，垂足为点C，直线交椭圆E于另一点B． （i）证明：． （ⅱ）求面积的最大值． 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）由题意椭圆右焦点可得， 过点可得， 由整理得，得， 所以，椭圆的方程为． （2）(i)证明：直线与椭圆交于，两点，设P为第一象限点，，轴，如图，点的坐标为，点的坐标为， 设，则有，， 两式相减得：， 又，，， 又，， 又，，因此，． (ii)解：由对称性不妨设，在第一象限， 由与椭圆联立得， 所以，则． 设直线与倾斜角分别为，则， 所以， 由(i)，， 令，则 ， 当时，当时， 即在上单调递增，在上单调递减，因此， 即的最大值为． 8．（25-26高三上·云南临沧·阶段练习）已知椭圆的上焦点也是抛物线的焦点，的上顶点为，下顶点为，且. (1)求的方程. (2)过点作一条斜率为的直线，与交于，两点，与交于，两点. （i）若为定值，求的值. （ii）是否存在实数，使得的面积恰好是的面积的3倍？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）不存在，理由见解析 【详解】（1）由的方程可知，所以的半焦距， 又，所以，故的方程为； （2）设，，，， 由题意可得的方程为，与的方程联立，得， 消去得，， 所以，， 故， 将与的方程联立，得， 消去得，， 所以，故， （i）要使为定值，则，解得， 此时为定值； （ii）不存在，理由如下： 由已知可得，则点到的距离是点到的距离的3倍， 要使的面积恰好是的面积的3倍，则必须满足， 而， 即，故不存在满足条件的实数. 考点三 四边形面积问题 1．（24-25高二下·上海金山·期末）已知椭圆的长轴为，椭圆的离心率，左右焦点分别记作、，且，过、分别作直线、交椭圆于、（在轴上方），且； (1)求此椭圆方程． (2)当直线的斜率与直线的斜率都存在时，求证：为定值． (3)求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设，， ，得到； 又因为，所以，，． 即椭圆方程为． （2）设，，根据对称性，有，因为，都在椭圆上， 所以，，二式相减得，， 所以为定值． （3）由题意得，直线的倾斜角不为，由对称性得四边形为平行四边形， ， ，设直线的方程为，代入， 得．显然，，． 所以 ， 设，所以，． 所以． 当且仅当即时等号成立，所以． 所以平行四边形面积的最大值为．    2．（24-25高二下·江西宜春·阶段练习）已知椭圆的焦距为2，点在C上，F是C的右焦点． (1)求C的方程； (2)如果直线与C相交于P，Q两点，且射线FA平分． （ⅰ）求m的取值范围，并证明l过定点； （ⅱ）求四边形FPAQ的面积S的取值范围． 【答案】(1) (2)（i），证明见解析；（ii） 【详解】（1）设，则解得 所以C的方程为． （2）（ⅰ）将代入， 消去x并整理，得， ，即， 设，则． 由，可知轴， 所以AF平分等价于， 又， 所以，即， 整理，得， 所以，化简，得， 因为，所以， 将代入，得，结合，解得， 所以m的取值范围是． 又l的方程为，所以l经过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知， 则四边形FPAQ的面积 令，则； 由，得，解得． 所以， 令，易知在上是减函数， 又，所以当时，， 因此四边形FPAQ的面积的取值范围是． 3．（25-26高三上·湖北武汉·开学考试）已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点. (1)求动点的轨迹的方程； (2)分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方. （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)（ⅰ）,（ⅱ） 【详解】（1）圆，则圆心，， 因为线段的垂直平分线交于点， 所以， 由于，所以，又， 根据椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，所以， 则动点的轨迹的方程为：. （2）由题可得直线，的斜率不为0， 设直线的方程为：，直线的方程为：，， （ⅰ）因为，所以， 联立，可得：，解得：或， 因为点在轴上方.，所以，即， 所以 联立，可得：，解得：或， 因为点，在轴上方.，所以，即， 所以， 所以. （ⅱ）联立，可得：， 所以， ， 则， 联立，可得：， 所以， ， 则 所以，且，则四边形为平行四边形，为对角线的交点， 根据对称性可知，四边形的面积四边形的面积的一半， 四边形的高， 所以， ， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以， 所以四边形的面积的取值范围为：. 4．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）在平面直角坐标系中，分别以x轴和y轴为实轴和虚轴建立复平面，已知复数，在复平面内满足为定值的点的轨迹为曲线．且点在曲线上． (1)求的方程； (2)是过右焦点的弦（不是长轴），的中点为G，过点A，B分别作直线l：的垂线，垂足分别为C，D，l与x轴的交点为E． （ⅰ）证明：； （ⅱ）记与的交点为M，与的交点为N，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析 （ii） 【详解】（1）根据题意，复数满足为定值，即： 点到点和的距离之和为定值，由椭圆定义， 该轨迹为椭圆，则焦距，故：， 已知点在椭圆上，即长半轴， 则，因此，曲线的方程为：. （2）（ⅰ）易知椭圆右焦点为，设直线方程： ，设      联立 ，消得： 由韦达定理：      又，, 所以，， 要证，即证, 即证， 即证， 即证， 又根据韦达定理：，得证.           （ⅱ）如图：    在中，因为，G是中点，所以是中点， 由（ⅰ）同理可得，所以四边形是平行四边形， 且G是中点，所以是中点，连接， 易知 所以, 由（ⅰ）得：， 令椭圆的右焦点为，则       即      计算 （令）化简得： ， 由对勾函数单调递增， （对求导），所以，则： ， 故：. 所以四边形MGNE面积的最大值为：. 5．（2025·山西·模拟预测）已知点，为平面内一动点，以为直径的圆与轴相切，点的轨迹记为. (1)求的标准方程. (2)过点的直线与交于，两点，过点且垂直于的直线交轴于点，过点且垂直于的直线交轴于点.当四边形的面积最小时，求的方程. 【答案】(1) (2) 或 【详解】（1）设，则以为直径的圆的圆心为， 根据圆与y轴相切，可得， 化简得 ， 所以C的方程为. （2）由题意可知：直线的斜率存在且不为0， 设直线：，， 联立， 所以， 设直线的倾斜角为，则 所以， 所以 ， ， 设，则 ， 所以， 当在上单调递增，当在上单调递减， 所以当时，即时，面积最小，此时， 故直线的方程为： ，即 或.    6．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知椭圆的离心率为，且过点. (1)求椭圆的方程； (2)若斜率为的直线与椭圆交于两点，且点在第一象限，点分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可得：，解得， 由椭圆过点，得，联立解得，， 所以椭圆的方程为. （2）由题意可设， 因点在第一象限，则， 设，，点，到直线的距离分别为，， 由，消可得， ，当时，， 所以，， 所以， ，，直线的一般式方程：， 所以，， 所以， 所以， 当时，有最大值为. 7．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于两点． (1)求椭圆的方程； (2)若， ①证明：； ②若直线经过原点，与椭圆交于两点，且，求四边形面积的取值范围． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1），得， 将带入椭圆方程有，解得，． 所以椭圆方程为． （2）设，， 由，得， ，（*） ①由于， 所以． 将（*）带入得，化简得． ②设的中点为，因为，所以， 不妨设，， 到直的距离为，， ． 由，得点坐标为， 则， 由点为椭圆上点，， 得，即， 所以， 所以． 综上，四边形面积的取值范围为． 8．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，． (1)求双曲线的方程； (2)证明：四边形的面积为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当且仅当与轴垂直时，，此时， 即， 则双曲线的方程为． （2）（2）证明： 当直线与轴垂直时，，四边形是矩形，面积为； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， 联立消去可得： ， 此时，并且， 故； 设与轴交于点， 由及双曲线的对称性，可知四边形ADEB是平行四边形， 面积， 双曲线两条渐近线方程为， 联立， 同理可得， 则． 所以，四边形的面积为定值． 考点四 中点弦问题 1．（24-25高二下·陕西汉中·期末）已知、分别是椭圆的左、右顶点，的离心率为，且. (1)求椭圆的方程； (2)已知是线段上一点（异于、），过点的直线与椭圆交于、两点（异于、），直线、分别交直线于、两点. （i）若的中点为，求的方程； （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）存在，或 【详解】（1）由题可知，解得， 所以椭圆的方程为. （2）（i）设、，， 若的中点为，则，. 又，两式相减可得， 即， 所以，所以，故的斜率为. 因为点在上，所以的方程为，即； （ii）设，由题可知直线的斜率不为，可设直线， 由得， 即， 则，得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，, 令可得，即点， 同理可得点，， 则，， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当或时，为定值. 2．（24-25高二下·河南·期末）设椭圆过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过点且斜率为的直线与椭圆交于两点，求线段中点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因椭圆过点， 则有，解得， 所以椭圆C的标准方程为：； （2）依题意，直线的方程为：，由消去y并整理得：， 显然，设，则， 因此线段中点的横坐标，其纵坐标， 所以线段中点的坐标为.    3．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知直线与曲线. (1)若与有公共点，求实数的取值范围； (2)若与有两个不同的公共点，且线段中点的横坐标为，求实数的值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）联立 的取值范围 （2）设 由得. 线段中点的横坐标为 4．（2025·贵州贵阳·模拟预测）已知双曲线的渐近线为，双曲线的左顶点为，直线与双曲线C相交于A，B（异于点P）两点． (1)求双曲线C的方程； (2)若的中点为，求直线l的方程； (3)若以为直径的圆恒过点P，试判断直线l是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)过定点，定点坐标为． 【详解】（1）双曲线的渐近线为，依题意，， 而双曲线C的左顶点为，则， 所以双曲线的方程为． （2）由（1）知，双曲线的方程为，设， 由消去得，， ，且， ，由为的中点，得，解得，满足， 所以直线l的方程为，即. （3）由（2）知，．， 则 ，由以为直径的圆恒过点P，得， 于是，解得或， 当时，直线过，不符合题意； 当时，直线过定点， 所以直线l过定点，该定点坐标为.    5．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点. (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程； (3)若（不在直线上），证明：直线过定点. 【答案】(1) (2). (3)证明见解析 【详解】（1）因为，， 所以，故的标准方程为· （2） 设，，根据题意易得. 因为是上的两点，所以 两式相减得，即 因为， 所以 所以直线的方程为 经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为. （3）证明：依题意可设直线的方程为. 由，得 则，， ，由（2）知， 因为，所以 即 即 即，得，解得或. 当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去； 当时，直线，满足，则直线过定点 故直线过定点 6．（2025·湖北·模拟预测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，是上的两点，线段的中点为．当直线的倾斜角为时，有． (1)求双曲线的离心率； (2)若，求直线的一般式方程； (3)若三点不共线，且，求证：直线过定点． 【答案】(1)2 (2) (3)过定点，证明见解析 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则， 当直线的倾斜角为时，有，则， 所以，即，此时点的横坐标为， 代入的方程，得，故，即， 因，所以，故，解得， 故的离心率为. （2）由（1）知，设，， 因为是上的两点，故， 两式相减得：， 若，则直线的斜率不存在， 由双曲线的对称性可知，此时线段的中点位于轴，故不符合题意； 若，则， 因为是线段的中点，所以，， 则， 所以直线的方程为，即， 经检验此时该直线与双曲线有两个交点，满足题意， 则直线的一般式方程为. （3）由三点不共线，故设直线， 联立，得， 则，，， 因为，且是线段的中点，则， 所以，则， 因，， 所以， 即， 即， 即， 得，解得或， 若，则直线，过点，不符合题意； 若，则直线，满足，则过定点， 则直线过定点. 7．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）已知抛物线C：的焦点为，且抛物线的焦点到准线的距离为2． (1)求该抛物线的方程； (2)在抛物线上求一点，使得点到直线的距离最短； (3)过点的直线与抛物线交于两点，且为的中点，求直线的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为抛物线的焦点到准线的距离为2，故， 所以． （2）设与平行的直线：， 联立，得， 由，得，∴切线：， 此时切线到直线的距离最短， 由，解得，即． （3）设，，则， 由，得， 若，则A、B关于x轴对称，为AB中点不符合题意； 若，则， 所以直线的方程为，即， 经检验，满足题意. 8．（2025·浙江台州·二模）已知抛物线：的焦点为，直线l与抛物线交于A，B两点，且为线段AB的中点． (1)求抛物线的标准方程； (2)求直线l的方程； (3)过点作抛物线的两条切线，分别交l于C，D两点，求面积的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为抛物线：的焦点为， 所以， 所以抛物线. （2）由题易知直线的斜率存在．设，则可得． 因为线段的中点为，所以， 所以，则的方程为，即． （3）设抛物线的切线方程为， ，即，由，可得， ，设的方程为， 联立， ，同理， ， 点到直线线的距离，所以， 令， 因为，则，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，此时. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$