第五章 二元一次方程组 同步练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 一、单选题 1．二元一次方程（   ） A．有一个解 B．有两个解 C．无解 D．有无数个解 2．下列方程中与方程有公共解的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（ ） 、的运算 运算的结果 A． B． C． D． 4．《九章算术》中有一段文字的大意是：有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为人，羊价为钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 5．盲盒近来火爆，这种不确定的“盲抽”模式受到了大家的喜爱，一服装厂用某种布料生产玩偶A与玩偶B组合成一批盲盒，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，现计划用135米这种布料生产这批盲盒（不考虑布料的损耗），设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，使得恰好配套，则下列方程组正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 7．古代一歌谣：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树．请你动脑筋，鸦树各几何？若设乌鸦有x只，树有y棵，由题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 8．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知方程组与方程组的解相同，则的值为 10．如果将方程变形为用含的式子表示，那么 ． 11．若将二元一次方程写成用含的代数式表示的形式，则 ． 12．某个一次函数的图像与直线平行，并且经过点，则这个一次函数解析式为 ； 13．某航空公司某航班，旅客乘机所携带行李的质量x（kg）与其运费y（元）由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客携带的30kg行李的所需运费为 元． 三、解答题 14．如图，甲、乙两地相距，一列“复兴号”动车组列车从乙地出发，以的速度向丙地行驶．设（单位：）表示列车行驶的时间，（单位：）表示列车与甲地之间的距离． (1)写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； (2)当时，求的值． 15．某公司在“”四川汶川大地震中车辆损失严重，重建急需用车，但暂时又无力购车，于是准备与出租车公司签订租车合同．以每月行驶千米计算，甲出租车公司的月租车费用为元，乙出租车公司的月租车费用为元，如果，，这两个函数的图像如图所示． (1)求函数的解析式； (2)如果每月用车的行驶路程为千米，那么租用哪家公司的车合算？请说明理由． 16．如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，已知直线与轴、轴分别相交于点、，且点的坐标为． (1)求值； (2)若点是线段上的一点，的面积为2，求点的坐标． 17．随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆A型汽车、5辆B型汽车的进价共计980万元；3辆A型汽车、7辆B型汽车的进价共计940万元． (1)求A，B两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若端午节搞活动，该公司了解到A、B两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆A型汽车可获利0.6万元，销售1辆B型汽车可获利0.4万元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少万元？ 18．如图是某长途汽车站旅客携带行李费用（元）与行李重量（千克）之间的函数图像． (1)直接写出旅客可以免费携带行李的最大重量； (2)当时，求行李费用（元）与行李重量（千克）之间的函数关系式； (3)求旅客携带80千克行李时所付的费用； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．D 【分析】本题考查二元一次方程的解，解题的关键是掌握：方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．据此解答即可． 【详解】解：∵二元一次方程，任意给一个值，就有唯一的一个值与它对应， ∴二元一次方程有无数个解． 故选：D． 2．C 【分析】本题考查二元一次方程的解，把分别代入四个选项的方程组，看是否满足方程，然后根据二元一次方程的解的定义判断． 【详解】解：A、当时，方程不成立，所以A选项错误； B、当时，方程不成立，所以B选项错误； C、当时，方程成立，所以C选项正确； D、当时，方程不成立，所以D选项错误． 故选：C． 3．D 【分析】根据表格得出方程组，求出、的值，然后代入代数式中求值即可． 本题考查了有理数的混合运算，代数式求值，解二元一次方程组，正确计算是解题的关键． 【详解】解：根据题意得， 解得， 将代入中， 得． 故选：D． 4．C 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找出题目中的等量关系，将文字信息转化为数学式子． 明确题目中的两个等量关系：每人出5钱时，总钱数加上还差的钱等于羊价；每人出7钱时，总钱数加上还差的3钱等于羊价；设合伙人数为x人，羊价为y钱，根据上述等量关系分别列出方程，组成方程组． 【详解】解：分析题目中的等量关系： 若每人出5钱，还差钱，则总钱数加上还差的钱等于羊价即， 若每人出7钱，还差3钱，则总钱数加上还差的3钱等于羊价即， 因此，可列方程组为， 故选：C． 5．B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据题意可知：生产玩偶A的布的米数+生产玩偶B的布的米数=总的布的米数，一个盲盒搭配2个玩偶A和3个玩偶B，已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，然后即可列出相应的二元一次方程组． 【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B， 依题意，得：． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查了二元一次方程，熟练掌握二元 一次方程的定义，是解题的关键 根据二元一次方程的定义，需满足：①含有两个未知数；②未知数的项的次数为1；③整式方程．逐一分析选项即可． 【详解】A. ，含两个未知数，但乘积项的次数为2，不符合条件②，排除． B. ，含两个未知数，但y的次数为2，不符合条件②，排除． C. ，整理为，含两个未知数，且次数均为1，是整式方程，符合所有条件． D. ，含三个未知数，不符合条件①，排除． 故选：C． 7．A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“三个栖一棵，五个地上落；五个栖一棵，闲了一棵树”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设乌鸦有x只，树有y棵， 依题意，得： 故选：A． 8．A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 9． 【分析】本题考查了同解方程组，依题意得，解得，再将代入中解二元一次方程组即可得出的值，进而求得的值． 【详解】解：依题意得：， 解得：， 将代入得：， 解得：． ∴ 故答案为：． 10．/ 【分析】此题考查了代入消元法，把含的项放到方程左边，移项，化系数为1即可． 【详解】解：， 移项，得． 故答案为：． 11． 【分析】本题考查了等式的基本性质，先移项，再两边同时除以即可得解，熟练掌握等式的基本性质是解此题的关键． 【详解】解：移项可得：， 两边同时除以可得：， 故答案为：． 12． 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，掌握两条直线是平行的关系，则他们的自变量系数相同是解答本题的关键． 设直线的解析式为，根据两直线平行的问题得到，然后把点代入可计算出即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵一次函数的图像与的图像平行， ∴， ∴， 把代入得， 解得， 故直线的解析式为． 故答案为：． 13．450 【分析】根据图形，得出该一次函数经过点，用待定系数法求出其函数表达式，再求出时函数的值即可． 【详解】解：由图可知，得出该一次函数经过点， 设该一次函数表达式为， 把代入得： ，解得：， ∴该一次函数表达式为， 把代入得：， ∴旅客携带的30kg行李的所需运费为450元， 故答案为：450． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解一次函数表达式的方法和步骤． 14．(1)，是的一次函数 (2) 【分析】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． （1）根据题意，首先计算得出与之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：根据题意，列车与乙地的距离表示为：（）， 甲、乙两地相距， 列车与甲地之间的距离表示为：， ， 是的一次函数． （2）当时，． 15．(1) (2)租用甲出租车公司合算 【分析】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，解题关键是会用待定系数法求一次函数解析式． （1）根据待定系数法求一次函数解析式方法，将点、代入解析式即可； （2）利用已知得函数的图象经过点，求出，得出答案即可． 【详解】（1）解：设函数的解析式为． 根据题意，函数的图象经过点、， 得：， 解得：， 所以函数的解析式为； （2）设函数的解析式为． 根据题意，得函数的图象经过点， ∴， 解得：， 当时，， ， ∴． ∴如果每月用车的行驶路程为千米，应租用甲出租车公司． 16．(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求函数解析式以及三角形的面积公式，解题关键是（1）利用待定系数法求出k值；（2）根据三角形的面积公式求出P点的纵坐标． （1）依据题意，将点E的坐标代入一次函数解析式中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）依据题意，结合（1）中得k值可得出一次函数解析式，由点E的坐标可得出线段的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入一次函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，将点代入到中， ∴， ； （2）解：， ∴直线的解析式为：， ∵点E的坐标为， ∴， ， ， 当时，， ， ∴当的面积为2时，点P的坐标为． 17．(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆 (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：①找准等量关系，正确列出二元一次方程组；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；③利用总利润每辆利润数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用利用总利润每辆利润数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆. （3）解：方案一获得利润：（万元； 方案二获得利润：（万元； 方案三获得利润：（万元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是万元． 18．(1)40千克 (2)； (3)40 【分析】（1）根据图像即可得到最多能免费携带行李的重量； （2）根据待定系数法即可求出当的函数关系式； （3）把代入解析式即可求解； 【详解】（1）解：由图可知旅客最多能免费携带40千克的行李； （2）设时，函数的解析式为， 把点代入， 得，解得 ∴时行李费用（元）与行李重量（千克）之间的函数关系式为； （3）把代入（元）． 【点睛】此题主要考查一次函数的应用，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$