河北省石家庄第二十八中学2024-2025学年八年级上学期开学考数学 试题

1 八年级上学期开学第一练 数学试卷（2024.9） 本次诊断评价旨在有效检测寒假自主学习效果，及时做好阶段回头看，旨在精准把握学情，找 准新学期学习的起点，进而更加科学有效地开启新学期。在此提醒同学们将答案填涂或写在答题卡 对应题号处，答在试卷上无效。愿同学们平心静气，从审题开始，勾画关键词，准确提取信息，并 科学规范作答，合理使用草稿纸，把会做的题目一次性做对，做到零失误，发挥出自己应有的水平 就是成功！ 一、选择题(本大题有 12 个小题，每小题 3 分，共 36 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的) 1.下列式子是分式的是( C ) A. x 2 B. x＋1 2 C. x x＋y D. 1＋x 3 2．使分式 1 x－1 有意义的 x 的取值范围是( A ) A．x≠1 B．x≠－1 C．x<1 D．x>1 3．下列各式是最简分式的是( D ) A. 1 3 B. 2a 8 C. x2y 2x D. 3x x＋2 4．下列等式中不成立的是( D ) A. xy x2－xy ＝ y x－y B. y x － x y ＝ y2－x2 xy C. x2－2xy＋y2 x－y ＝x－y D. x2－y2 x－y ＝x－y 5．化简 x2 y－x － xy y－x ＝( A ) A．－x B．y－x C．x－y D．－x－y 6．分式方程 2x＋1 3－x ＝1 的解是( D ) A．x＝－ 1 2 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝ 2 3 7．化简：1÷ x y · y x ＝( B ) A．1 B. y2 x2 C. x y D. x2 y2 8．如果正数 x，y同时扩大到原来的 10 倍，那么下列分式中值保持不变的是( D ) 1 A. x－1 y－1 B. x＋1 y＋1 C. x 2 y 3 D. x x＋y 9．若关于 x 的方程 m－1 x－1 － x x－1 ＝0 有增根，则 m 的值是( B ) A．3 B．2 C．1 D．－1 10．下列说法：①解分式方程一定会产生增根；②方程 x－2 x 2 －4x＋4 ＝0的根为 2；③方程 1 2x ＝ 1 2x－4 的 最简公分母为 2x(2x－4)；④x＋ 1 x－1 ＝1＋ 1 x－1 是分式方程．其中正确的个数是( A ) A．1 B．2 C．3 D．4 11．用相同的钱，小聪买的笔芯数量是小明买的笔记本数量的 2 倍，每本笔记本比每支笔芯多 1 元， 设每支笔芯 x元，小明依题意列得两个方程，①2x＝x＋1；② 1 x ＝ 2 x＋1 ，下列判断正确的是( C ) A．只有①是对的 B．只有②是对的 C．①②都是对的 D．①②都是错的 12．从－3，－1， 1 2 ，1，3 这五个数中，随机抽取一个数，记为 a，若数 a 使关于 x 的不等式组 1 3 （2x＋7）≥3， x－a<0 无解，且使关于 x的分式方程 x x－3 － a－2 3－x ＝－1 有整数解，那么这 5 个数中所有 满足条件的 a的值之和是( B ) A．－3 B．－2 C．－ 3 2 D. 1 2 二、填空题(本大题有 4 个小题，每小题 3分，共 12 分) 13．分式 2 1 x x x   的值为 0，则 x 的值是 0 . 14．对分式 3 4a 2 b ， 1 2a ， 2 b 3 进行通分，确定的最简公分母应是 4a 2 b 3 ． 15．已知 a＋b＝5，ab＝3，则 1 a ＋ 1 b 的值为 5 3 ． 16．对于代数式 m，n，定义运算“※”：m※n＝ m＋n－6 mn (mn≠0)，例如：4※2＝ 4＋2－6 4×2 .若(x－1) ※(x＋2)＝ A x－1 ＋ B x＋2 ，则 2A－B＝－5． 12 三、解答题(本大题有 7 个小题，共 52 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分 8 分)计算： (1) x 2 －1 x＋1 · x 2 －x x 2 －2x＋1 ； 解：原式＝ （x＋1）（x－1） x＋1 · x（x－1） （x－1） 2 ＝x. （2） 3－a 2a－4 ÷(a＋2－ 5 a－2 )． 解：原式＝ 3－a 2a－4 ÷ a 2 －4－5 a－2 ＝ 3－a 2（a－2） · a－2 （a＋3）（a－3） ＝－ 1 2（a＋3） ＝－ 1 2a＋6 . 18．(本小题满分 5 分)已知：如图，点 A，B，C，D在同一条直线上，AB＝CD，AE∥CF，且 AE＝CF. 求证：∠E＝∠F. 证明：∵AE∥CF， ∴∠A＝∠FCD. ∵在△ABE 和△CDF 中， AE＝CF， ∠A＝∠FCD， AB＝CD. ∴△ABE≌△CDF(SAS)．∴∠E＝∠F. 12 19．(本小题满分 5 分)解方程： 1 x－3 ＝2＋ x 3－x ； 解：两边同乘 x－3，得 1＝2(x－3)－x， 解得 x＝7. 经检验：x＝7是原方程的解. 20.(本小题满分 8 分)嘉嘉和琪琪在争论这样一个问题： 嘉嘉说：“分式 x x－1 比 3 （x－1）（x＋2） 多 1 时，x的值是 1”； 琪琪说：“ x x－1 比 3 （x－1）（x＋2） 多 1 的情况根本不存在”． 你同意谁的观点呢？为什么？ 解：同意琪琪的观点． 由分式 x x－1 比 3 （x－1）（x＋2） 多 1，可得方程 x x－1 －1＝ 3 （x－1）（x＋2） . 去分母，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得 x＝1. 经检验，x＝1是原方程的增根， ∴原方程无解，即不存在 x x－1 比 3 （x－1）（x＋2） 多 1 的情况． 21．(本小题满分 8 分)学完分式运算后，老师出了一道题：“计算 2x x 2 －1 － 1 x－1 ”，小明解答如下： 解：原式＝ 2x （x＋1）（x－1） － x＋1 （x＋1）（x－1） ……第一步 ＝2x－(x＋1) ……第二步 ＝2x－x－1 ……第三步 ＝x－1. ……第四步 (1)上述解题过程中的错误从第二步开始． 13 (2)当 x 为 x－3＜0 的正整数解时，求 2x x 2 －1 － 1 x－1 的值． 解：当 x－3＜0 时，∴x＜3.∵x是正整数，且 x＝±1时，原式无意义，∴x＝2. ∴原式＝ 2x （x＋1）（x－1） － x＋1 （x＋1）（x－1） ＝ x－1 （x＋1）（x－1） ＝ 1 x＋1 ＝ 1 3 . 22．(本小题满分 9 分)甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙 队单独施工完成此项任务多用 10 天，且甲队单独施工 45 天和乙队单独施工 30 天的工作量相同． (1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天？ (2)若甲、乙两队共同工作了 3 天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了 不影响工程进度，甲队的工作效率提高到原来的 2 倍．在乙队恢复正常工作之前，要使甲队总的工 作量不少于乙队的工作量的 2 倍，那么甲队至少再单独施工多少天？ 解：(1)设乙队单独完成此项任务需 x 天，则甲队单独完成此项任务需(x＋10)天．根据题意， 得 45 x＋10 ＝ 30 x .解得 x＝20. 经检验，x＝20 是原方程的解． ∴x＋10＝30(天)． 答：甲队单独完成此项任务需 30 天，乙队单独完成此项任务需 20 天． (2)设甲队再单独施工 a 天．根据题意，得 3 30 ＋ 2a 30 ≥2× 3 20 .解得 a≥3. 答：甲队至少再单独施工 3天． 23．(本小题满分 9 分)定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式， 13 则称这个分式为“和谐分式”．如： x＋1 x－1 ＝ x－1＋2 x－1 ＝ x－1 x－1 ＋ 2 x－1 ＝1＋ 2 x－1 ， 2x－3 x＋1 ＝ 2x＋2－5 x＋1 ＝ 2x＋2 x＋1 ＋ －5 x＋1 ＝2＋ －5 x＋1 ，则 x＋1 x－1 和 2x－3 x＋1 都是“和谐分式”． (1)下列代数式中，属于“和谐分式”的是①③④(填序号)． ① x＋1 x ；② 2＋x 2 ；③ x＋2 x＋1 ；④ y 2 ＋1 y 2 . (2)将“和谐分式” a 2 －2a＋3 a－1 化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为： a 2 －2a＋3 a－1 ＝a －1＋ 2 a－1 ． (3)应用：先化简 3x＋6 x＋1 － x－1 x ÷ x 2 －1 x 2 ＋2x ，并求 x 取什么整数时，该式的值为整数． 解：原式＝ 3x＋6 x＋1 － x－1 x · x（x＋2） （x＋1）（x－1） ＝ 3x＋6 x＋1 － x＋2 x＋1 ＝ 2x＋4 x＋1 ＝ 2（x＋1）＋2 x＋1 ＝2＋ 2 x＋1 ， ∴当 x＋1＝±1 或 x＋1＝±2 时，分式的值为整数， 此时 x＝0 或－2 或 1 或－3. 又∵分式有意义时 x≠0，1，－1，－2， ∴x＝－3.