第二章 一元二次方程 练习题 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第二章 一元二次方程 一、单选题 1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 2．若是关于x的一元二次方程的一个根，则的值为（　　） A．2018 B．2020 C．2022 D．2024 3．已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的方程是一元二次方程，则（   ） A． B． C． D． 5．有4人患了流感，经过两轮传染后共有196人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染的人数相同，则三轮传染后有（　　）人得了流感. A．1372 B．343 C．1512 D．2744 6．若一元二次方程的两根为与，则的值为（  ） A．2 B． C．4 D． 7．关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 8．关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 二、填空题 9．某社区为改善环境，决定加大绿化投入．四月份绿化投入25万元，六月份绿化投入48万元，设平均每月绿化投入的增长率为x，根据题意，可列得方程为 ． 10．已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值是 ． 11．有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染了 个人． 12．已知：m、n是方程的两根，则 ． 13．实数，满足，则的最小值等于 ． 三、解答题 14．解方程： (1)． (2)． 15．已知关于的一元二次方程． (1)求证：无论取何值，此方程总有两个不相等的实数根； (2)已知2是此方程的一个根，求的值和这个方程的另一个根． 16．如图，公园原有一块长16m、宽12m的矩形空地．后来在这块空地中划出不同区域种植不同品种的鲜花，中间铺设同样宽度的石子路将各区域间隔开．已知各区域鲜花面积的和为，求所铺设的石子路的宽度． 17．某专卖店销售一种工业设备，3月份的售价2万元/台，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种设备售价每增加0.1万元/台时，每月就会少售出1台．4月份该专卖店想将销售额提高，这种设备售价应定价为多少万元/台？ 18．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销． (1)若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求每次下降的百分率； (2)经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得504元的利润，每件售价应定为多少元？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】本题考查一元二次方程的识别，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键．只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程；一般形式为：．先将各个方程化简成一元二次方程的一般形式，再根据一元二次方程的定义判断即可． 【详解】解：A、方程，化简后为：，是关于的一元二次方程，符合题意； B、方程不是整式方程，因此不是关于的一元二次方程，不符合题意； C、方程，必须限定二次项系数不为0，即，因此不一定是关于的一元二次方程，不符合题意； D、方程，化简后为：，不是关于的一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 2．C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，代数式求值，理解方程的根的定义，会用整体代换法求整式的值是解题的关键．由一元二次方程的根为得，化简得，整体代入计算，即可求解． 【详解】解：将代入， 得， 则， 则， 故选：C． 3．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的两根为，，则+．由题意得，，而，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：B． 4．B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数是2次的整式方程叫一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程 ∴， 故选：B． 5．A 【分析】本题考查了运用一元二次方程解决实际问题．设每轮传染中平均每人传染x人，根据初始4人经过两轮传染后总人数为196，建立方程求解x，再计算三轮后的总人数．正确的列出方程是解题的关键． 【详解】解：设每轮传染中平均每人传染x人，则每轮传染后患病总人数是上一轮的倍，根据题意得， ， ， ， ，（舍去）， ∴每轮传染中平均每人传染6人， 则三轮传染后得流感的人数为（人）． 故选：A． 6．C 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得．由①式求出m的值，再代入②式即可得解． 本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：由， 得， ∵与是一元二次方程的两根， ∴， 由①得， ∴，， 代入②得，， ∴． 故选：C． 7．D 【分析】且，然后解不等式即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义，解一元一次不等式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有实根， ∴且， 解得且， 故选：D． 8．A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 9． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该社区六月份绿化投入金额=该社区四月份绿化投入金额平均每月绿化投入的增长率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据题意得，解方程即可．解题的关键是掌握：根的判别式是一元二次方程根的判别式，方程有两个不等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无实数根． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， ∴实数的值是． 故答案为：． 11．10 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：10． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程的解的含义，根与系数的关系，求解代数式的值．根据m、n是方程的两根，即可得到，，，，从而得到，，再代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵m、n是方程的两根， ∴，，，， ∴，， ∴ ； 故答案为：3． 13．/ 【分析】本题考查的是一元二次方程的根的判别式的应用，先整体代入将原式化为，再根据一元二次方程根的判别式求出，即可求出最小值． 【详解】解：， ， ， ， ， 实数，满足， ， 当时，， 当时， 有2个实数根， ， 解得：且， ， ， 的最小值为； 综上所述，的最小值为． 14．(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了利用因式分解法解一元二次方程．熟练掌握因式分解法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴， ∴，或， 解得，； （2）解：， ∴， ， ， ， ∴，或， 解得，． 15．(1)见解析 (2)，方程的另一个根为 【分析】本题围绕一元二次方程展开，（1）通过根的判别式证明方程根的情况；（2）利用根的定义和方程求解（或韦达定理）得出和另一根，核心是对一元二次方程根的相关知识（判别式、根的定义、韦达定理 ）． （1） 根的判别式应用：通过计算得：，利用平方数非负性，证明无论取何值，，以此判定方程总有两个不相等实数根，重点考查对根的判别式概念及作用的理解． （2）方程根的定义与求解：已知根，代入方程可求出的值，再回代方程求解另一根；或结合韦达定理，利用根与系数关系求另一根，考查对“方程的根满足方程”这一基本定义，以及韦达定理（根与系数关系）的运用，体现“代入求值”“方程求解”的解题思路． 【详解】（1）证明：由题意得：， 则：， 无论取何值，，则， 不论取何值，该方程都有两个不相等的实数根． （2）解：将代入方程可得，解得， 当时，原方程为，解得：， 即方程的另一个根为． 16．所铺设的石子路的宽度为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 设铺设的石子路的宽度为，根据鲜花的面积为，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其符合实际的值即可得出结论． 【详解】解：设所铺设的石子路的宽度为． 根据题意，得． 解得（不合题意，舍去）． 答：所铺设的石子路的宽度为． 17．这种设备售价应定价为3万元/台或5万元/台 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设这种设备售价应定价为x万元/台，则销售量为台，再根据四月份该专卖店想将销售额提高列出方程即可． 【详解】解：设这种设备售价应定价为x万元/台， 由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：这种设备售价应定价为3万元/台或5万元/台． 18．(1)每次下降的百分率为 (2)每件售价应定为元 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，正确的列出方程是解题的关键： （1）设每次下降的百分率为，根据题意，列出方程进行求解即可； （2）设每件售价应定为元，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为，由题意，得： ， 解得：或（舍去）； 答：每次下降的百分率为； （2）设每件售价应定为元，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， ∵尽快减少库存， ∴； 答：每件售价应定为元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$