2.6 正多边形与圆 同步练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

2.6 正多边形与圆 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则(    ) A. B. C. D. 2.若正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，则这个角度不可能是(    ) A. B. C. D. 3.如图，，，，是一个正多边形相邻的四个顶点，若，则这个多边形的边数为(    ) A. B. C. D. 4.如图，已知直线与正五边形的边，分别相交于点，，形成夹角和，则(    ) A. B. C. D. 5.如图，正五边形的对角线与相交于点，则的度数为(    ) A. B. C. D. 6.如图，正六边形内接于，的半径是，则正六边形的周长是(    ) A. B. C. D. 7.如图，以正五边形的边为一边，向内作，若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 8.六方钢也称六角棒，是钢材的一种，其截面为正六边形六方钢可以通过切割、钻孔、车削等方式进行加工，广泛应用于各种建筑结构和工程结构，如房梁、桥梁柱、输电塔等在学校开展的综合实践活动中，兴趣小组对六方钢截面图如图所示的性质进行研究，测得边长，那么图中四边形的面积是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，是正五边形的外接圆，连接，则的度数为______． 10.李师傅要在木板上开一个小孔，使其恰好能穿过一个正六边形的螺母，如图所示，若圆孔的周长等于，则正六边形螺母的边长为______． 11.如图，已知点是正六边形内一点，连结，，，若，，则的长为______． 12.参加创客兴趣小组的同学给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点出发，沿直线前进米后左转，再沿直线前进米，又向左转照这样走下去，机器人第一次回到出发地点时，一共走的路程是______米 13.如图，将正五边形纸片折叠，使点的对应点落在边的中点处，折痕为，点、的对应点分别记为、，则的大小是______ 14.“香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂”如图所示的窗棂的外边框可抽象为正六边形如图所示若该正六边形窗棂的边长为，则该窗棂的高为______． 15.如图，用个全等的正六边形按如下方式拼接可以拼成一个环状，使相邻的两个正六边形有公共顶点，所夹的锐角为，图中所示的是前个正六边形的拼接情况，拼接一圈后，中间会形成一个正多边形，则的值为______． 16.如图，点在正六边形的边上运动，若，写出一个符合条件的的值为______． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，正方形是半径为的的内接四边形，求正方形的边长和边心距． 18.本小题分 如图，正五边形中，对角线与交于点． 求的度数； 求证：四边形为菱形； 求四边形的面积与的面积比． 19.本小题分 如图，正方形内接于，为上一点，连接，． ______； 若，，求的长． 20.本小题分 如果一个多边形的各边都相等，且各内角也都相等，那么这个多边形就叫做正多边形，如图，就是一组正多边形，观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题． 将下面的表格补充完整： 正多边形的边数 的度数 ______ ______ ______ ______ ______ 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由； 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 21.本小题分 我们知道，各个内角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形对一个各条边都相等的凸多边形边数大于，可以由若干条对角线相等判定它是正多边形例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形． 已知凸五边形的各条边都相等如图，当时求证：五边形是正五边形； “已知凸六边形的各条边都相等，若，则六边形是正六边形”请判断此命题的真假，并说明理由 22.本小题分 我们学习了，多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形观察每个正多边形中的变化情况，解答下列问题： 将如表的表格补充完整： 正多边形边数 ______ 的 度数 ______ ______ ______ ______ 根据规律，是否存在一个正边形，使其中的？若存在，直接写出的值；若不存在，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图， 正六边形的每个内角为，正方形的每个内角为， 四边形的内角和是， ， ，， ， 故选：． 先根据正多边形的性质求出正六边形、正方形的每个内角，再根据多边形内角和定理求出四边形的内角和，再根据对顶角相等计算即可． 本题考查了正多边形内角和定理，对顶角的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：正八边形的中心角的度数为， 所以正八边形绕着它的中心旋转一定的角度后与自身重合，这个旋转的角度最小是，或者是的整数倍， 由于，，， 所以这个角度不可能是， 故选：． 求出正八边形的中心角的度数即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正八边形的性质以及中心角的计算方法是正确解答的关键． 3.【答案】  【解析】解：设是这个正边形的外接圆，连接，， ， ， 即， 解得， 经检验是原方程的解， 这个正多边形是正十二边形， 故选：． 根据圆周角定理求出正多边形的中心角的度数，再根据 进行计算即可． 本题考查了正多边形与圆的关系，掌握圆周角定理以及正多边形中心角的计算方法是正确解答的关键． 4.【答案】  【解析】解：五边形是正五边形， ， 四边形的内角和是， ， ， ，， ， 故选：． 先求出正五边形每个内角的度数，再求出四边形的内角和，即可求出的度数，再根据对顶角相等即可求出的度数． 本题考查了正多边形与圆，多边形的内角与外角，熟知正多边形的每个内角都相等，多边形的内角和定理是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：五边形为正五边形， ，， ， ， ， 故选：． 根据正多边形的各边都相等，各角都相等得出，，再根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出，在中根据三角形内角和定理即可求出的度数． 本题考查了正多边形与圆，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：如图，连接，． 在正六边形中，，， 是等边三角形， ， 正六边形的周长是． 故选：． 7.【答案】  【解析】解：正五边形的内角和为， ， ，， 为等边三角形， ， ， 故选：． 根据多边形的内角和、正多边形的性质得出每个角度数，然后在证出为等边三角形，再利用角的和差计算即可． 本题考查了多边形的内角和、正多边形的性质以及等边三角形的性质，熟练掌握多边形的内角和、正多边形的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 本题考查正六边形的性质，直角三角形的边角关系，熟练掌握相应的知识是正确解答的关键． 【解答】 解：如图，过点作，垂足为， 六边形是正六边形， ，且， ，， ， ， 为直角三角形， ，， ， ， 四边形的面积为． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：连接、、， 是正五边形的外接圆， ， ， ， 故答案为：． 连接、、，由是正五边形的外接圆，得，由圆周角定理得，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：如图，连接、， 圆孔的周长等于， 圆孔的半径， 六边形为正六边形， ， ， 为等边三角形， ， 正六边形螺母的边长为， 故答案为：． 连接、，根据圆的周长公式求出圆的半径，根据正六边形的性质求出，根据等边三角形的性质求出，得到答案． 本题考查的是正多边形和圆，掌握正六边形的中心角的求法是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解：如图，连接，过点作，垂足为，过点作，垂足分别为，，则， 六边形是正六边形， ，， ， ， 设，则 ， ， ，， ，， ， 解得取正值， 即． 故答案为：． 根据正六边形的性质，三角形面积公式以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 本题考查正多边形和圆，三角形的面积，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 12.【答案】  【解析】解：， 即机器人第一次回到出发地点时形成正边形， 所以一共走的路程是米， 故答案为：． 根据多边形的外角和是即可求出多边形的边数，然后根据每次前进米，即可得出共走的路程． 本题考查了正多边形和圆，得出机器人第一次回到出发地点时形成正边形是解题的关键． 13.【答案】  【解析】解：连接、、， 五边形是正五边形， ，， 在和中， ， ≌， ， 由折叠得点与点关于直线对称， 垂直平分， ，点是边的中点， ， ，， ， ， ， 故答案为：． 连接、、，由正五边形的性质得，可证明≌，得，由折叠得垂直平分，因为点是边的中点，所以，则，所以，则，于是得到问题的答案． 此题重点考查正多边形和圆、多边形内角和定理、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、等腰三角形的“三线合一”、平行线的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：如图，过点作于， 六边形为正六边形， ，， ， ， ，， ， 故答案为：． 过点作于，根据正六边形的性质得到，，解直角三角形求出，根据等腰三角形的性质求出． 本题考查的是正多边形和圆，掌握正六边形的内角的求法是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：正六边形的内角的度数为， 中间正边形的内角为 ， 中间正边形的外角为， 中间正边形的边数， 即这个正边形是正五边形， 故答案为：． 求出正六边形的内角度数，进而求出中间正的内角度数，进而求出其边数即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的内角与外角的计算方法是正确解答的关键． 16.【答案】  【解析】解：设正六边形的对称中心为点，连接、、、、、， ，， 是等边三角形， ， ， 、、三点在同一条直线上， ， ， ， ， ， 当与重合时，；当与重合时，，且， ， 故答案为：． 注：答案不唯一． 设正六边形的对称中心为点，连接、、、、、，则，，所以是等边三角形，则，可证明、、三点在同一条直线上，由，得，由，求得，则，推导出，写出一个满足条件的值即可． 此题重点考查等边三角形的判定与性质、正多边形的性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 17.【答案】正方形的边长和边心距分别为和．  【解析】解：作于点， 正方形是半径为的的内接四边形， ，， ，， ， 正方形的边长和边心距分别为和． 作于点，由正方形是半径为的的内接四边形，得，，则，，所以，则正方形的边长和边心距分别为和． 此题重点考查正多边形和圆、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，推导出，是解题的关键． 18.【答案】；   见解析；  ．  【解析】解：是正五边形， 每一个内角度数为：， ， ， ， ； 由可得：， ， ， 同理可求， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形为菱形； 四边形为菱形， ， ， 由知：， ， ， ， ∽， ：：， 设，则：：， 解得：或舍去， ， ， ，， ， 设与间的距离为， ， ． 先求出正五边形每一个内角度数，结合求出即可求解； 先根据有两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，结合即可求解； 证∽可得：：，设，则：：，解得：；根据：可得，根据：可得，即可求解． 本题考查了正多边形的性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相关结论是解题关键． 19.【答案】解：； 如图，作于， ，， ， ， ， ．  【解析】解：如图，连接， 正方形内接于，为上一点， ， ， ． 故答案为：； 如图，作于， ，， ， ， ， ． 连接，根据正方形内接于，可得； 作于，因为，，可得，因为，所以，即． 本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理．解题的关键是掌握圆周角定理． 20.【答案】，，，，   存在，，   不存在．理由见解答．  【解析】解：观察上面每个正多边形中的，填写下表： 正多边形边数 的度数 故答案为：，，，， 存在，理由如下： 设存在正边形使得， 得． 解得：， 存在正边形使得． 不存在． 理由：． 解得，． 为正整数， 不存在一个正边形，使其中的． 根据正多边形内角和公式求出每一个内角，根据等腰三角形的性质求出相应的角的度数，探求形成的规律． 根据得结论列出方程，求出方程的解即可； 根据得结论列出方程，求出方程的解，解不能为分数． 本题考查多边形的内角和与外角和、方程的思想，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，还需要懂得挖掘此题隐含着边数为正整数这个条件．探求的规律是解题关键． 21.【答案】解：若，五边形是正五边形，理由如下： 在、和中，， ≌≌， ，， 在和中，， ≌， ，， 四边形内角和为， ， ， ，， ， ， 同理：， 五边形是正五边形； 若，则六边形是正六边形； 是假命题；理由如下： 如下图所示：连接、、， 在和中，， ≌， ， ， ， ， 在和中，， ≌， ， 同理：， ， 凸六边形的各条边都相等， ， 在、和中，， ≌≌， 因此，如果、、都为相同的等腰直角三角形，符合题意， 但，而正六边形的每个内角都为， 六边形不是正六边形， 故答案为：假命题．  【解析】先证≌≌，再证明≌，再根据四边形的内角和与平行的性质证得即可得证； 连接、、，先证≌，再证≌，得到，再由全等三角形判断即可得出结论． 本题主要考查正多边形的证明，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质． 22.【答案】，，，，； 由得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的．  【解析】解：正三角形中的度数是正三角形的内角度数，即， 正方形中的度数为，即， 正五边形中的度数为，即， 正六边形中的度数为，即， 正边形中的度数为，即， 当时，即， 解得， 故答案为：，，，，； 由得，正边形中， 当时，即， 解得不是整数， 所以不存在一个正边形，使其中的． 根据正多边形的内角，内角和以及三角形内角和定理进行计算即可； 根据中的计算方法得出，代入计算即可． 本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，多边形内角和的计算方法是正确解答的前提，得出是解决问题的关键． 第6页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$