2.2平方根与立方根 课件 2025-2026学年 北师大版（2024）八年级数学上册

第1课时 2 平方根与立方根 第二章 实数 某模具厂要制面积如下表所示的正方形模具，你能帮他们计算出这些正方形模具的边长是多少吗？ 面积x2=a 1 1.96 2.25 9 16 25 36 边长x 1 3 4 6 1.4 1.5 5 这些正方形模具的边长和面积是什么关系呢？ 1.了解算术平方根的概念，会用根号表示一个正数 的算术平方根. 2.会求一个正数的算术平方根，并解决实际问题. 特殊地：0的算术平方根是0. 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x就叫作a的算术平方根.记作 ，读作“根号a”. 例如：144的算术平方根是12. 算术平方根的定义： 负数没有算术平方根. 算术平方根的性质 【例1】求下列各数的算术平方根： （1）625. （2）0.0081. （3）6. （4）(-2)². （5） . （6） . 【例题】 【解析】（1）因为 ，所以625的算术平方根是25，即 （2）因为 ，所以0.0081的算术平方根是 0.09，即 （3）6的算术平方根是 （4）因为 ，所以 的算术平方根是2， 即 （5） ，16的算术平方根是4，即 的算术平方 根是4. （6） 所以 的算术平方根是0.5. 2025/8/17 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.判断 （1）13是169的算术平方根. （2）-6是 36 的算术平方根. （3）0.01是0.1的算术平方根. （4）-5是-25的算术平方根. 【跟踪训练】 （1）正数的算术平方根是____数，0的算术平方根是____，算术平方根等于它本身的数是________. 0，1 0 正 （2） 的算术平方根是____. （3） 的算术平方根的相反数的绝对值是_____. 4 2.填空 3.求下列各数的算术平方根 （1）25； （2） （3）0.36； （4） 【解析】（1）因为 ，所以25的算术平方根是5，即 （2）因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 （3）因为 ，所以0.36的算术平方根是0.6，即 （4） ，所以 的算术平方根是2. 4.下列各式中哪些有意义？哪些无意义？ 答：有意义的是 ， ， 无意义的是 【解析】设每块地板砖的边长为x m.由题意，得 所以，每块地板砖的边长是0.5 m. 【例2】用大小完全相同的240块正方形地板砖，铺一间面积为60 m2的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？ 【例题】 “欲穷千里目，更上一层楼” 说的是登得高看得远.若观测 点的高度为h，观测者视线能达到的最远距离为d≈ ， 其中R是地球半径（通常取6 400 km），小丽站在海边一块岩 石上，眼睛离地面的高度为20 m，她观测到远处一艘船刚露 出海平面，此时该船离小丽有多远？ 【解析】由R=6 400 km、h=0.02 km,得 答：此时该船离小丽有16km. 【跟踪训练】 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a, 那么这个正数x就叫作a的算术平方根. 2.正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0， 负数没有算术平方根. 1.9的算术平方根是（ ） A．3 B．－3 C．81 D．－81 【解析】选A. 9的算术平方根是3. A 2.4的算术平方根是（ ） A．2 B.－2 C.±2 D.16 【解析】4算术平方根为正数，且平方后等于4. A 3.给出四个数0， ，0.3，其中最小的是（ ） A．0 B． C． D．0.3 【解析】因为正数都大于0，负数都小于0，所以 最小. C 4.若 ，则x-y的值为（ ） A．1 B．－1 C．7 D．－7 【解析】由算术平方根的意义与平方的意义可得，ｘ+ｙ-1=０，ｙ+３=0，解得ｘ=4，ｙ=-3，所以x-y=７. Ｃ 第2课时 2.2 平方根与立方根 第二章 实数 如果一个数的平方等于9，那么这个数是多少？ 3和-3的平方都等于9 填一填：写出左圈和右圈中的“？”表示的数： 64 -11 11 0.6 0 没有 x 2 x 8 -8 ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ ？ 121 0.36 0 -4 -0.6 1.了解平方根的概念，会用根号表示一个正数的平方根，并进行相关的计算. 2.了解开平方和平方是互逆运算，会利用这个互逆运算求某些非负数的平方根. 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x就叫作a的平方根（或二次方根）. 例如，因为3和-3的平方都等于9，我们就说3和 -3是9的平方根.也可以说9的平方根是±3. 1.平方根的定义： 【新知】 2.平方根的表示方法、读法 根号 被开方数 （ 是非负数） 读作：正、负根号 （1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？ 3.性质： （1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数； （2）0只有一个平方根，它是0本身； （3）负数没有平方根. 【议一议】 两种运算有什么不同？ +1 -1 +2 -2 +3 -3 1 4 9 x x2 1 4 9 +1 -1 +2 -2 +3 -3 这是什么运算？ 平方运算 x2 x 【想一想】 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方，a叫作被开方数. 可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根. 平方与开平方有什么关系？ 开平方的定义： 【新知】 【例】求下列各数的平方根： （1）25 （2）0.81 （3）15 （4）（-2）² （5）0 （6）-3 【例题】 【解析】（1）因为 ，所以25的平方根是±5，即 （2）因为 ，所以0.81的平方根是±0.9，即 （3）15的平方根是± （4）因为 ，所以 的平方根是±2，即 （5）0的平方根是0. （6）-3没有平方根. 1.一个数的平方等于它本身，这个数是________, 一个数的平方根等于它本身，这个数是________. 2.若3a+1的平方根是0，那么a一定是______. 3.若4a+1的平方根是±5，则a=______. 1, 0 0 6 【跟踪训练】 通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.平方根的定义： 一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a， 那么这个数x就叫作a的平方根（或二次方根）. 2.开平方的定义： 求一个数a的平方根的运算，叫作开平方. 1.4的平方根是 （ ） A. 2 B.  2 C. 16 D. 16 【解析】4的平方根是 = 2. B 2.2的平方根是_________. 【解析】根据平方根的定义得出2的平方根是± . 答案:± 3.一个数x的平方根等于m+1和m-3，则m= ，x= . 【解析】根据一个正数的平方根互为相反数得，m+1和 m-3互为相反数，即m+1+m-3=0，解得m=1，则m+1=2， m-3=-2，所以x=4. 答案:1 4 4.若|a-9|+（b-4）²=0，则 的平方根是____. 【解析】因为|a-9|和（b-4）²都是非负数，且|a-9|+ （b-4）²=0，所以|a-9|=0，（b-4）²=0，所以a=9,b=4， ,其平方根为 答案: 5.求下列各式中的x: (1) x²=16 (2) x²= (3) x²=15 (4) 4x²=81 【解析】 6.已知 ，求x的值． 解：∵ ∴ ∴ x=12 或 x=－10. 第二章 实数 2.2 平方根与立方根 第3课时 情境引入 1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根. （重点） 2.能用开立方运算求某些数的立方根，了解开立方和 立方互为逆运算.（重点，难点） 某化工厂使用半径为1米的一种球形储气罐储藏气体，现在要造一个新的球形储气罐，如果要求它的体积必须是原来体积的8倍，那么它的半径应是原来储气罐半径的多少倍？ 问题：要做一个体积为27cm3的正方体模型（如图），它的棱长要取多少？你是怎么知道的？ 解：设正方体的棱长为x㎝,则 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 所以 x=3. 答：正方体的棱长为3㎝. 立方根的概念及性质 知识点1 42 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 想一想 (1)什么数的立方等于-8？ (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又该是多少？ -2 立方根的概念 一般地，如果一个数x的立方等于 ，这个数x就叫作 的立方根，也叫作 的三次方根．记作 　　. 立方根的表示 一个数 的立方根可以表示为: 根指数 被开方数 读作:三次根号 ， 总结归纳 填一填： 根据立方根的意义填空： 因为 23 =8，所以8的立方根是（　）； 因为( )3 =0.125,所以0.125的立方根是（　 ）； 因为( )3 =0，所以0的立方根是（　）； 因为( )3 = －8，所以－8的立方根是（ ）； 0 2 -2 0 -2 45 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 立方根的性质 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根， 零的立方根是零. 立方根是它本身的数有 1, -1, 0； 平方根是它本身的数 只有0. 【归纳总结】 叫作被开方数 3叫作根指数 每个数 都有一个立方根，记作 ，读作“三次 根号 ”. 例如：当x3=7时，x是7的立方根． 求一个数 的立方根的运算叫作开立方， 叫作被开方数 注意:这个根指数3绝对不可省略. 开立方及相关运算 知识点2 47 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 求下列各数的立方根:   【例题】 (5) -5的立方根是 求下列各式的值:   2 4 0 -2 -3 探究1 = = 温馨提示：开立方与立方运算互为逆运算. 体会: (1)求一个负数的立方根,可以先求出这个负数绝对值的立方根,然后再取它的相反数. (2)负号可从“根号内” 直接移到“根号外” . 求下列各式的值:   探究2 -0.2 -0.2 【例2】求下列各式的值: 平方根 立方根 性 质 正数 0 负数 表示方法 被开方数的范围 两个，互为相反数 一个，为正数 0 0 没有平方根 一个，为负数 平方根与立方根的区别和联系 可以为任何数 非负数 立方根 立方根的概念及性质 开立方及相关运算 (4)一个数的立方根不是正数就是负数；( ) (1)25的立方根是5； ( ) 1.判断下列说法是否正确. × (2)任何数的立方根都只有一个； ( ) (3)如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数一定是零； ( ) × × (5) 0的平方根和立方根都是0 . ( ) √ √ 55 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 解：33 = 27，43 = 64 因为27 < 50 < 64 所以 3.立方根概念的起源与几何中正方体有关，如果一个正方体的体积为V，这个正方体的棱长为多少？ 解： 4.求下列各式的值. （1） （2） （3） （4） = – 0.3 = = = = = 57 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 5.将体积分别为 600 cm3 和 129 cm3 的长方体铁块，熔成一个正方体铁块，那么这个正方体的棱长是多少？ 解:因为600+129=729， 729的立方根是9， 所以正方体的棱长为9 cm. 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 第二章 实数 2.2 平方根与立方根 第4课时 情境引入 1.了解估算的基本方法. 2.能够运用估算解决生活中的实际问题. 3.了解计算器开方的方法． 4.能够运用计算器开方比较数的大小． 某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园.已知这块荒地的长是宽的2倍，它的面积为400000m2. (1)公园的宽大约是多少？它有1000m吗？ 1000 2000 S=2000000 ∵2000×1000=2000000 > 400000， ∴公园的宽没有1000 m. 61 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 (2)如果要求误差小于10米，它的宽大约是多少？ x 2x S=400000 x•2x=400000, 2x2=400000, x2=200000, x= 大约是多少呢？ 解：设公园的宽为x米. 问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？ 通过“精确计算”可比较 两个数的大小关系 估算的基本方法 知识点1 63 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 估算无理数大小的方法： (1)利用平方与开平方互为逆运算来确定无理数的整数部分； (2)根据所要求的误差确定小数部分. 总结归纳 所以 的值约是3.5或3.6. 例1：怎样估算无理数 ？ (误差小于0.1) 的整数部分是3， 【例题】 65 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 按要求估算下列无理数： 解： 【跟踪训练】 例2：通过估算，比较 与 的大小. 解： 用估算法比较数的大小 知识点2 67 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 两个带根号的无理数比较大小的结论： 1. 2. 3.若a,b都为正数，则 总结归纳 68 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 方法归纳 对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法： 1.先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较； 2.当符号相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大； 3.若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小. 69 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 1.通过估算,比较下面各组数的大小: 70 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 【例3】利用计算器比较下列两数的大小. 解: 按键： 3 ， 2， 显示 显示 按键： 1.442 249 57； 1.414 213 562； 所以 与 SHIFT 用计算器比较数的大小 知识点3 71 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 估算 估算的基本方法 估算在生活中的应用 用计算器开方 使用计算器进行开方运算 用计算器开方比较数的大小 用计算器探索数的规律 1.用计算器比较下面两数的大小： (1) (2) 解:（1） 3.236 067 977； （2） 3.339 148 045； 73 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 2.利用计算器求下列各式的值（结果保留4个有效数字） （2） ； （3） ； （4） ； （1） 解：（1）≈28.28； （2）≈1.639； （3）≈0.7616； （4）≈-0.7560. $$