第06讲 空间直角坐标系的建系方法讲义(思维导图+知识点+10题型)-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

第06讲 空间直角坐标系的建系方法 目 录 思 维 导 图 2 学 习 目 标 2 知识点回顾 2 题 型 分 类 3 空间建系常用方法 4 题型01：利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 4 题型02：利用线面垂直建立空间直角坐标系 13 题型03：利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 24 题型04：利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 35 题型05：利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系 41 题型06：做线面垂直辅助线建系 49 不规则几何体建系 59 题型01：斜棱柱垂面型建系 59 题型02：斜棱柱垂线法建系 64 题型03： 棱锥垂面型建系 69 题型04：斜面棱锥型建系 72 题型05： 平行六面体型建系 76 题型06：等角射影角平分线型建系 79 题型07：台体建系 81 题型08：不规则几何体型建系 85 题型09：翻折型建系 87 题型10：无垂面垂线型 90 巩 固 提 升 94 核 心 突 破 111 思 维 导 图 学 习 目 标 1.理解空间直角坐标系的构成（三条两两垂直且交于原点的数轴，即x轴、y轴、z轴）及相关概念（坐标原点、坐标轴、坐标平面、点的坐标表示）。明确建立空间直角坐标系的基本原则：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，以简化点的坐标表示和后续向量运算。 2.掌握常见几何体（如正方体、长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥等）的空间直角坐标系建立方法：对于正方体、长方体，通常以一个顶点为原点，从该顶点出发的三条棱所在直线为坐标轴。对于直棱柱，常以底面的一个顶点（或中心）为原点，底面内两条垂直的直线为x、y轴，侧棱所在直线为z轴。 对于正棱锥，可将顶点在底面的投影作为原点，底面内两条垂直的直线为x、y轴，高所在直线为z轴。 能根据几何体的几何特征（如对称性、垂直关系等），灵活选择原点和坐标轴，确保建系合理、坐标计算简便。在建系后，能准确写出几何体各顶点的坐标，为后续用空间向量解决问题奠定基础。 3.培养空间想象能力，能在脑海中构建几何体与空间直角坐标系的对应关系，理解坐标与几何位置的联系。提升观察与分析能力，通过观察几何体的结构特点（如垂直棱、对称面等），快速确定合适的建系方案，体会“数形结合”思想在空间几何中的应用。 4.能运用合适的建系方法解决具体立体几何问题，通过建立坐标系将几何问题转化为代数运算，感受建系在简化问题中的作用。在复杂几何体（如组合体）中，能分解结构、找到关键垂直关系，成功建立空间直角坐标系，体现知识的综合运用能力。 知 识 点 回 顾 常用方法： 方法一.建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行： 1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。 2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。 3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。 4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。 5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。 方法二.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 方法三.利用线面垂直建系 方法四.利用面面垂直建系 方法五.利用正棱锥的中心与高所在直线建系 方法六.利用图形中的对称关系建系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 题 型 归 纳 空间建系常用方法 题型01：利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图，在正方体中，是的中点，是的中点．    (1)证明：平面． (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定可证得结论； （2）设正方体棱长为，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接，交于，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面. （2）设该正方体的棱长为，以为坐标原点，为轴正方向可建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 平面和平面所成锐二面角的余弦值为. 【典型例题2】如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点， 平面.    (1)求证：平面； (2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为； 若___________，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理进行证明； （2）选①：根据异面直线所成角的定义计算得到；选②：根据直线与平面所成角的的定义计算得到；选③：利用等体积转换计算得到；然后再利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，    平面平面， 平面平面， ， 是的中点，是的中点， 又， 平面，平面， ，又，，平面， 平面平面， 又，平面. 平面. （2）如图， 选①：异面直线与所成角为或其补角， 由（1）， ； 选②：平面直线与平面所成角为，，， ； 选③：设，由是的中点，得， ， 所以，解得，所以； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则所以 令，则， 设平面的一个法向量为，则 所以令，则， 记平面与平面的夹角为， 则.    【变式练习1】如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．    (1)求证：； (2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由,E是的中点可得结合平面平面可证平面，继而可证 （2）先设再由的大小为利用空间向量得方法构建的方程来求解, 可得. 【详解】（1）,E是的中点， 又平面平面， 平面平面， 且平面． 平面． 又 平面， ． （2）在直三棱柱中，平面． 又 平面， ． 又， 平面且， 平面． 又 平面 平面．平面， 、 从而可得两两垂直． 所以如图以为原点，建立如图所示空间直角坐标系．    的面积为，且矩形中 可得解得． 则， ． 设， ． 又， 设平面的法向量， 则， 不妨取，则， ∴， 由（1）平面，∴平面的一个法向量， ． 解得,又可知 又由图可知当为的中点时，二面角为钝二面角符合题意， 综上，在上存在一点D，此时，使得二面角的大小为． 【变式练习2】如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，,是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证得平面； （2）利用向量法求得平面与平面夹角的余弦值； （3）利用向量法求得点到平面的距离. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 由于四边形是矩形，所以， 由此，以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则； 所以， 因为，所以， 由于，所以， 由于，平面， 所以平面； （2）设平面的法向量， 则，即 不妨令,可得， 且为平面的一个法向量， 于是， 所以平面与平面夹角的余弦值为； （3）设点到平面的距离为， 由（2）可知平面的法向量，， 设点到平面的距离为， 则， 所以点到平面的距离为.    【变式练习3】如图，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用线面平行的判定证面、面，再由面面平行的判定得面面，最后根据面面平行的性质证结论； （2）构建空间直角坐标系，向量法求线面角的正弦值； （3）由（2）所得坐标系，向量法求面面角的余弦值； 【详解】（1）由，面，面，则面， 由，面，面，则面， 而，面，故面面， 由面，则平面； （2）由平面，平面，则，又， 以为原点构建空间直角坐标系，，， 所以，则，，， 令面的一个法向量，则，若，则， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为.    （3）由（2）知：，则， 令面的一个法向量，则，若，则， 所以，即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式练习4】如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由图形性质可由线线垂直证明平面，然后证明即可； （2）方法一：建立合适的空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面的一个法向量，然后利用空间向量的数量积求解线面角的正弦值即可. 方法二：利用几何法构造线面角，通过求解三角形计算即可. 【详解】（1）在正方形中，有， 则， 又，平面，∴平面， 而平面，∴； （2）方法一：∵正方形的边长为2，点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）得平面，    ∴分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则, ∴， 设平面的一个法向量为， 则有，可取， 令直线与平面所成角为， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为； 方法二：连接交于点，连接， ∵正方形中，点E是的中点，点F是的中点， ∴， ∴点G为的中点，则， 又，∴， 又平面，∴平面， 又面，所以面平面， 平面平面，∴在面的射影在上， 则为直线与平面所成角，    由（1）可得，∴为直角三角形， 在正方形中，，， 易得，， 又，∴， ∴， ∴直线与平面所成角的正弦值为. 题型02：利用线面垂直建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图，直四棱柱的底面为菱形，且，，E，F分别为BC，的中点．    (1)证明：平面平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理作答. （2）连接，以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角余弦作答. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为菱形，，连接，如图，    显然为正三角形，由为的中点，得，而平面， 平面，则，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． （2）连接，由（1）知是正三角形，为的中点，则，而，即有， 又平面，于是两两垂直， 以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，    由，得， ，，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 所以平面和平面的夹角的余弦值为． 【典型例题2】如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得平面，即可证得. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， 因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以. （2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， 因为， 所以是正三角形， 设， 则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以 ， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为， 因为， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【变式练习1】已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影为B，二面角的大小为， (1)求与BC所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据已知结合几何知识得出与，即可得出为二面角的平面角，则，令，则，在中，得出，在中，根据，，，，列式求解即可得出，过B作，又因为平面ABC，所以BM、BC、两两垂直，即可以、、为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系，得出，，即可根据直线间夹角的向量求法得出答案； （2），所以，得出，则，根据平面的法向量的求法求出平面EBC与平面的法向量，即可根据二面角为，列式求解出，即可得出答案. 【详解】（1）连接，因为在平面ABC上的射影为B， 所以平面ABC， 取AC的中点F，由于， 所以， 连接，由三垂线定理可得， 则为二面角的平面角，即，则， 令，则， 则在中，， 所以， 在中，，，，， 所以，解得， 过B作，又因为平面ABC， 所以BM、BC、两两垂直， 以、、为x、y、z轴正方向建立如图所示空间直角坐标系， 可得，，，， 则，， 则， 则与BC所成角的余弦值为 （2）设，所以，可求得，则， 设平面EBC的法向量为，由，， 得， 解得， 因为是三棱柱， 所以， 设平面的法向量， 由，， 得，解得， 若二面角为， 则，即，解得， 所以的值为. 【变式练习2】如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值.    【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意，再解三角形得，由线面垂直判定定理知平面，再由面面垂直的判定定理得证； （2）方法一（向量法）：建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可； 方法二（几何法）：过点作交于点，过作交于点，连接，则即为平面与平面所成二面角的平面角. 在中，求解完成. 【详解】（1）平面平面. 在中，， 又平面 平面， 平面，所以平面平面. （2）   方法一：取的中点，连接， 则两两互相垂直，以为坐标原点， 所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系. 则， . 设平面的一个法向量为，则 所以令，得. 设平面的一个法向量为， 则所以令，得. 记平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. 几何法：      方法二：过点作交于点，过作交于点， 连接，则即为平面与平面所成二面角的平面角. 证明如下： 平面平面. 又 平面 平面平面 ， 又平面， 平面平面，， 所以即为平面与平面所成二面角的平面角. 在Rt中，， ， 即平面与平面夹角的余弦值为. 【变式练习3】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先利用平面几何的知识与线面垂直的性质证得两两垂直，从而建立空间直角坐标系，求出和平面的法向量，由此证得线面平行； （2）结合（1）中结论，求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （3）先利用线面角结合向量法求得的坐标，再利用空间向量点面距离公式求解即可. 【详解】（1）记的中点为，连结， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 因为，所以平行四边形是矩形，则， 因为平面，平面，所以，则两两垂直， 故以为坐标原点，分别以，，为轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，， 因为为的中点，所以，则， 设平面的一个法向量为，而，， 则，令，则， 所以，则， 又平面，所以平面． . （2）设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 设平面的一个法向量为，而，， 所以，令，则， 记平面与平面夹角为，则， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. （3）依题意，不妨设，则，， 又由（2）得平面的一个法向量为，记直线与平面所成角为， 所以，解得（负值舍去）， 所以，则， 而由（2）得平面的一个法向量为， 所以点到平面的距离为. 【变式练习4】如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .    (1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 【答案】(1)存在，在平面可以找到一点，使得直线平面 (2) 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，即，故，从而找到点M的位置； （2）先求出是二面角的平面角，大小为，得到，设，则，建立空间直角坐标系，求出方向上的单位向量，求出P到直线的距离. 【详解】（1）延长交直线于点， 点为的中点， ， ， ∴， ，即， 四边形为平行四边形，即. ， ∴，故， 平面平面， 平面， 平面， 平面， 故在平面内可以找到一点，使得直线平面；    （2）如图所示，，即， 且异面直线与所成的角为，即， 又平面， 平面. 平面， 又平面， 平面， 平面， ， 因此是二面角的平面角，大小为. . 不妨设，则. 以A为坐标原点，平行于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴， 建立空间直角坐标系， ， ，方向上的单位向量坐标为， 则在上的投影的绝对值为， 所以到直线的距离为. 【变式练习5】如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线面垂直的判定，证明BE⊥AC，PA⊥BE即可； （2）以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，再根据线面角的向量求法求解即可. 【详解】（1）∵AB＝BC，E为AC的中点，∴BE⊥AC. 又PA⊥平面ABC，BE⊂平面ABC，∴PA⊥BE. ∵PA∩AC＝A，且PA,PC⊂平面PAC，∴BE⊥平面PAC. ∵BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAC. （2）存在.由（1）及已知得PA⊥BE，PA⊥AC， ∵点E，F分别为AC，PC的中点， ∴EF∥PA，∴EF⊥BE，EF⊥AC. 又BE⊥AC，∴EB，EC，EF两两垂直. 分别以的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图， 则，，，. 设，， 所以， 设平面PBC的法向量为， 则，即， 令，则，， ∴， 由已知得，即，即，， 解得或，由，故. 所以存在满足条件的点G，点G为PB的中点. 题型03：利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 【典型例题1】三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，由求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 则，即， 所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得到，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得到，则， 所以， 又二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为. 【典型例题2】图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.    (1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； (2)求图2中与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，证明即可得四点共面；再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答. （2）在平面内作，垂足为，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答. 【详解】（1）依题意，，则，即确定一个平面， 所以四点共面； 显然，平面， 因此平面，又平面 所以平面平面. （2）在平面内作，垂足为，而平面平面， 于是平面，由荾形的边长为，得， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，      则，, 设平面的法向量，则，取，得， 又，设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 【变式练习1】如图，三棱锥，平面平面，点为线段上的动点．      (1)若点为的中点时，求的长； (2)当时，是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为 【答案】(1)； (2)存在，点为的中点. 【分析】（1）取的中点，结合已知，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. （2）借助（1）的坐标系，确定点的坐标，借助共线向量表示出的坐标，利用空间向量结合线面角的正弦求解作答. 【详解】（1）在三棱锥中，，取的中点，连接，则， 而平面平面，平面平面，平面，则平面， 在平面内过作，则平面，于是两两垂直， 以为原点，以射线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    而，则， ，线段中点， 于是，由，得， 解得，而，则，即， 所以. （2）由（1）知，当时，点，， 由为线段上的动点，得，，即点， 则，显然平面的法向量，令直线与平面所成的角为， 则，解得，即点为的中点， 所以当点为的中点时，直线与平面所成角的正弦值为. 【变式练习2】在三棱锥中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若为的中点，且，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为点，利用面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，由平面可得出，进而利用线面垂直的判定定理可证得平面； （2）推导出点为线段的中点，设，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）过点作，垂足为点，    且平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 由平面，可得， 又因为平面，平面，则， 且，、平面，所以平面. （2）因为，，可知：为中点． 又因为为的中点，则∥， 由（1）可知：平面，则平面， 且、平面，可得，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图．    因为平面，平面，则， 设，则，， 则，，，，，， 设平面的法向量为，则，， 由，即， 令得，，则． 设平面的法向量为，，， 由，可得， 令，可得，，则， 可得． 由图象可知：二面角是钝角，所以二面角的余弦值为. 【变式练习3】如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.    (1)求证：； (2)若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取的中点，连接、、，证明出平面，再由线面垂直的性质可证得结论成立； （2）推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，然后利用空间向量法结合同角三角函数的基本关系可求得平面与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接、、.    底面是一个边长为的菱形，且，则，是正三角形， 为的中点，， 是正三角形，为的中点，， ，、平面，平面， 平面，. （2）解：由（1）知，， 当平面平面时，平面平面，平面， 平面，又， 以为坐标原点，、、的正方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系.    则、、、、、， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，令，可得， 所以，， 则， 平面与平面所成角的正弦值为. 【变式练习4】如图，在三棱锥中，平面平面    ，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可证得，再利用面面垂直的性质的定理可证得结论成立； （2）推导出点为的中点，然后以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值. 【详解】（1）证明：由得，，， ，由余弦定理可得， ，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面. （2）解：因为平面，平面，平面平面，故， 而是的中点，故为中位线，得， 又，故为中点， 由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设点，其中，，，， 所以，，解得， 则，解得，故点， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 设平面的法向量为，， 则，取，可得， 所以，. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 【变式练习5】如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)线段上不存在点使得，理由见解析 【分析】（1）先证明线面平行，再利用线面平行的性质证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，用空间向量来求解二面角； （3）先假设存在点，设出点的坐标，利用等量关系建立方程，看方程是否有根，判断是否有这样的点. 【详解】（1）∵，平面ABFE，平面ABFE ∴平面ABFE ∵平面与平面交于，平面CDE ∴ （2）取AD中点O，连接OE，OB，BD ∵， ∴是等边三角形 由三线合一得：OB⊥AD ∵， ∴是等腰直角三角形 ∴OE⊥AD ∵四边形和三角形所在平面互相垂直，交线为AD ∴OE⊥底面ABCD, ∵平面ABCD, ∴OE⊥OB, 故OE，OB，OA三线两两垂直, 以O为坐标原点，分别以OA，OB，OE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， ，， , ∵且由第一问得知, 所以四边形CDEF是平行四边形, ∴可得：， ∴， 设平面BCF的法向量为 则即： 令，得：， 解得： 其中平面ABC的法向量为 设二面角大小为，由题意得为锐角 所以    （3）不存在满足条件的点M，使得AM⊥EM，理由如下： 若AM⊥EM，则，因为点M在线段BC上，所以设（）， 则，解得：，， 所以 ，， 所以，整理得： 因为，此方程无解，所以线段上不存在点使得 【变式练习6】如图，已知四棱台的底面是菱形，且，侧面是等腰梯形， ，为棱上一点，且.    (1)求证：平面平面； (2)若过点的平面与平行，且交直线于点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）延长四棱台的四条侧棱交于点，取中点，证明平面后可得证面面垂直； （2）以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，首先求出平面的一个法向量，确定出与重合，再由向量法求得二面角． 【详解】（1）分别延长四棱台的四条侧棱交于点，则由，得， 又，所以，即为等腰直角三角形，从而为等腰直角三角形，是直角顶点， 取中点，连接，则，， 又，由题意是等边三角形，因此，， 所以，所以， 又，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， ， 设平面的一个法向量是，则， 即，取，则，，即， 设 ，则， 所以，， 所以与重合． 所以二面角即为二面角， ， 设平面的一个法向量是， 则，取，得， 又平面的一个法向量是， ， 所以二面角的余弦值是． 【点睛】结论点睛：若直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，则 ①两异面直线所成的角为 ，； ②直线与平面所成的角为 ，； ③二面角的大小为 ，. 题型04：利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点．    (1)求证：平面； (2)若，四棱锥的体积为，求与平面所成角． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）利用三角形中位线结合线面平行的判定定理进行证明； （2）构建空间直角坐标系，然后利用法向量求解与平面所成角． 【详解】（1）   连接，因为底面是正方形，且顶点P在底面上的射影为正方形的中心， 所以， 又因为点是中点， 所以由三角形中位线定理可得； 因为平面，平面， 所以平面； （2）， 解得： 以故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    由已知可得 ， 设平面的一个法向量是. 由，得， 令，则， 又因为与平面所成角与互余， 所以与平面所成角为. 【变式练习1】如图，在三棱锥中，，D是AC的中点，E是AB上一点，平面PDE. (1)证明：平面PBC； (2)若，，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面PDE，得到，再由，得到，然后利用线面平行的判定定理证明； （2）取DE的中点O，连结PO，过点O作交BC于点F，易证，，再以为正交基底建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量，平面PBE的一个法向量，再由求解. 【详解】（1）证明：因为平面PDE，平面PDE， 所以， 因为，且直线平面ABC， 所以， 因为平面PBC，平面PBC， 所以平面PBC； （2）取DE的中点O，连结PO，过点O作交BC于点F， 因为，所以， 因为平面PDE，平面PDE， 所以，因为平面ABC， 所以平面，所以． 如图，以，为正交基底建立空间直角坐标系， 因为D是AC的中点，， 所以，，，， 因为，所以，即， 所以，，，； 设平面的一个法向量， 则即 令，得，， 所以平面的一个法向量， 设平面PBE的一个法向量， 则即 令，得，， 所以平面PBE的一个法向量， 所以 设二面角为，， 所以， 所以二面角的正弦值为． 【变式练习2】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      (1)求异面直线，所成角的大小； (2)在线段上存在点且，探究二面角的大小并说明理由. 【答案】(1) (2)二面角为，理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形三线合一性质可得出，由线面垂直可得出，进而得出平面，即可得出异面直线，所成角. （2）建立空间直角坐标系，写出，，，点的坐标，得出平面和平面的法向量，根据两个平面法向量关系，得出二面角的大小. 【详解】（1）由，为的中点，得， 又平面，得， 因为，所以平面， 而平面，得到.故异面直线所成角为. （2）如图，以为坐标原点，过点作交与点，方向为轴，方向为轴，方向为轴建立空间直角坐标系，          则，，，，所以，，，，， 又因为，则，得，所以， 设平面的法向量为， 平面的法向量为， 由，得，取，则 由，得，取，则 因为，故二面角为. 【变式练习3】如图，三棱锥和均为棱长为2的正四面体，且A，B，C，D四点共面，记直线AE与CF的交点为Q. (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平面几何的知识证得与，从而利用线面垂直的判定定理证得面，进而得到面，结合正四面体的性质可得是底面的中心，由此可求得，再利用切割法即可求得解； （2）利用（1）中结论，建立空间直角坐标系，分别求得面与面的法向量，从而利用空间向量夹角余弦的坐标表示求得二面角的余弦值，进而得解. 【详解】（1）连结，连结，过作，且，如图， 因为三棱锥和均为棱长为2的正四面体， 易得，则，则， 所以，所以， 因为，所以，则， 又是的中点，所以， 又面，所以面， 因为，所以面， 又三棱锥是正四面体，所以是底面的中心， 在边长为的等边中，易得，， 在中，，则， 又，所以，则， 因为， 所以 ， 故三棱锥的体积为. （2）由（1）知四边形是菱形，则， 又，，所以两两垂直， 故以为原点建立空间直角坐标系如图， 则， 故， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设面的一个法向量为，则， 令，则，故， 设二面角为， 所以， 所以， 所以二面角的正弦值为. 题型05：利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图，已知正三棱柱中，点分别为棱的中点.      (1)若过三点的平面，交棱于点，求的值； (2)若三棱柱所有棱长均为2，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）延长交延长线于点，连接交于点，然后结合三角形的中位线定理可求得结果； （2）解法一：取中点连接，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，解法二：设点到平面的距离为，连接，易证平面，然后利用等体积法求出，设与平面所成角为，则可得答案. 【详解】（1）延长交延长线于点，连接交于点，连接，则过三点的截面就是平面四边形， 因为是中点，∥且， 所以是的一条中位线， 所以∥且， 所以；    （2）解法一：取中点连接，因为正三棱柱为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，    所以， 所以， ， 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以， 设与平面所成角为，则 ， 与平面所成角的正弦值为； 解法二：设点到平面的距离为，连接， 因为，是中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为等边三角形的边长为2，所以， 所以， 所以等腰三角形的底边上的高为， 所以的面积为，又的面积为， 因为，所以，得，又， 设与平面所成角为， 则， 故平面所成角的正弦值为. 【典型例题2】如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为圆的直径，．    (1)求点到面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由，结合等积法，即可求解； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为圆柱的轴截面是边长为4的正方形，可得， 因为，可得，且到的距离为， 又因为面面，所以到面的距离为， 由， 又由，可得，解得， 即点到平面的距离为 （2）解：以为坐标原点，垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，如图所示 可得，，，， 则，，，， 设为平面法向量，则， 取，可得，所以 设为平面法向量，则， 取，可得，所以， 设面与面夹角为，可得．   【变式练习1】如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P，Q，是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝a，．    (1)当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是的重心； (2)在（1）条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 【答案】(1)当时，点在平面内的射影恰好是的重心. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，证得平面，过点作，得到，进而证得平面，得到是在平面内的射影，结合恰好是的重心，得到，在直角中，即可求解； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：取的中点，连接， 可得，且，平面，所以平面， 过点作，交于点， 因为平面，所以， 又，平面，所以平面， 即是在平面内的射影， 因为恰好是的重心，所以， 在直角中，，， 所以，所以，解得， 所以时，点在平面内的射影恰好是的重心. （2）解：以为坐标原点，所在的直线为轴，所在的直线为轴， 作，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 由图象可得平面与平面所成二面角的平面角为锐角， 所以， 即平面与平面所成二面角的余弦值为．    【变式练习2】已知圆台的轴截面为，圆台的上底面圆半径与高都等于1，下底面圆半径等于2，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的弧的四等分点，经过三点的平面与弧交于点，且三点在平面的同侧．    (1)判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论； (2)为下底圆周上左半部分(靠近点)的一个动点，且与点在的不同侧，当四棱锥的体积等于时，求二面角的余弦值． 【答案】(1)平面，证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，由线线平行得到线面平行； （2）根据题意求出为上靠近的四等分点，根据已知条件建系，结合二面角的向量计算公式求解答案即可. 【详解】（1）平面，证明如下： 因为圆台的两个底面互相平行 所以平面与圆台两个底面的交线平行，即， 又因为点为上底圆周上靠近点的的四等分点， 所以点为下底圆周上靠近点的的四等分点， 所以， 所以点为下底圆弧的中点， 所以，所以． 又因为平面，平面， 所以平面 （2）梯形的面积为， 设到平面的距离为， 则四棱锥的体积等于，所以， 如图所示，在平面内，过点作，则， 同理可知，为上靠近的四等分点， 连接，在平面内，过点作， 因为平面，平面，所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以，，， 设平面的法向量为， 则，令，则， 同理平面的一个法向量为， 设二面角大小为，由图可知，二面角为钝角， 所以， 所以二面角的余弦值为 【变式练习3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：直线平面，并求三棱锥的体积： (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设，由正弦定理和三角形相似关系可证得，结合面面垂直的性质可证得平面，由此可得，由线面平行的判定可得结论；由平行关系可得，根据棱锥体积公式可求得结果； （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法，可确定当时，取得最大值，由此可确定，利用点到面的距离的向量求法可求得结果. 【详解】（1）设，连接，    为底面圆的内接正三角形，，为中点， 又，，； ，，，， ，∽，，； 平面，平面，平面平面， 平面平面，平面，平面， 又平面，， 平面，平面，平面； 为中点，，即， 又平面，平面，，， ，平面，平面， ，，， 又，平面， . （2），为中点，又，为中点，， ，， 以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，，， ，，，，， 设，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设直线与平面所成角为， ， 令，则，， ， ，当，即时，， ，此时， ， 点到平面的距离. 【点睛】关键点点睛：本题求解点到面距离的关键是能够通过共线向量和线面角的向量求法，将线面角的正弦值表示为关于变量的函数的形式，通过函数最值的求法确定正弦值的最大值，从而确定动点的位置. 题型06：做线面垂直辅助线建系 【典型例题1】如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.    (1)求证：平面 (2)求棱与BC所成的角的大小； (3)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)P为棱的中点， 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判断定理得到证明. （2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式求解即可； （3）利用已知条件求出点P的坐标，利用向量法求解平面角的余弦值. 【详解】（1）因为三棱柱中，，所以， 因为顶点在底面上的射影恰为点，平面，所以，所以， 又，平面，平面，所以平面. （2）以A为原点，射线，，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，所以，， 设棱与BC所成的角为， 所以，又，所以， 故棱与BC所成的角为. （3）设，则. 于是，解得， 则P为棱的中点，其坐标为. 设平面的一个法向量，则， 令，得， 而平面的一个法向量， 则， 故二面角的平面角的余弦值是. 【典型例题2】如图，在三棱锥中，平面平面，． (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长； （2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量，再由空间向量的夹角公式计算即可得解． 【详解】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 平面平面，平面平面，轴平面，轴 ，可知轴平面， ， 又，则，， 则， 所以， 所以． （2）设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【变式练习1】如图，在三棱锥中，，平面平面，，，． (1)证明：平面； (2)若点D在线段AC上，直线PD与直线BC所成的角为，求平面DBP与平面CBP夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由勾股定理证明，由已知面面垂直证明线面垂直，再到线面垂直，从而证得结果； （2）建立空间直角坐标系, 由直线PD与直线BC所成的角，求得点坐标，再求平面DBP与平面CBP的法向量，得出两平面夹角的余弦值． 【详解】（1）证明：在中，因为，，， 所以，所以， 因为，平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又，，平面， 所以平面． （2）以B为坐标原点，BA为x轴正方向，BC为y轴正方向，过B垂直于平面ABC的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由题意得，， ，平面平面，平面平面，过点作于点，则平面ABC，，，则， 所以，，，， 设点，， 则， 所以，，， 所以点坐标为， 所以 因为直线与直线所成的角为， ，解得 所以点坐标为，则． 设平面的法向量为 则，取，可得． 因为平面， 所以平面的一个法向量为，所以 所以平面与平面夹角的余弦值． 【变式练习2】在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且直线与平面所成角为为中点.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，转化为证明平面； （2）根据（1）的结果，过点作延长线的垂线，垂足为，以点为原点，建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用法向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）由为等边三角形，且为中点，得. 又因为，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面 （2）过作延长线的垂线，垂足为，连接. 由（1）知，平面，又因为平面，所以. 因为，平面，所以平面. 直线与平面所成角为，则. 以为坐标原点，的方向为轴正方向，的方向为轴正方向，过点作与轴平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由题可得，.        设为平面的法向量，则 可取 设为平面的法向量，则 可取 因为， 则， 所以二面角的正值为 【变式练习3】四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到、，从而得到，即可得证； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得. 【详解】（1）连接，因为平面，平面， 所以、， 又，，， 所以，所以，所以， ，平面， 所以平面. （2）如图建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设平面的法向量为，则，令， 则， 设二面角为，由图可得二面角为钝二面角， 所以，所以二面角的余弦值为. 【变式练习4】如图1，已知正三棱锥分别为的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点的展开点分别为，点的展开点分别为），其中的面积为．在三棱锥中，      (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，然后由线面垂直的判定可证得结论； （2）在平面展开图中过作直线的垂线，垂足为，垂线交于点，则由的面积为可求得，再求得，从而可求出，解法一：如图2，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，解法二：如图3，设平面与平面的交线为，可得为平面与平面的夹角（或其补角），然后在三角形中求解即可. 【详解】（1）证明：因为三棱锥为正三棱锥，为的中点， 所以， 又因为平面， 所以平面； （2）如图1，在平面展开图中过作直线的垂线，垂足为，垂线交于点， 所以， 因为分别为的中点，所以， 所以，得， 在正三角形中，因为，所以，所以， 在中，．      解法一：如图2，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则． 设为平面的一个法向量， 因为， 所以，即，令，可得． 设为平面的一个法向量， 因为， 所以，即，令，可得． 设平面与平面夹角为， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 解法二：如图3，设平面与平面的交线为， 因为∥，所以∥平面，所以∥∥． 在等腰三角形中，， 在等腰三角形中，，所以， 则为平面与平面的夹角（或其补角）． ，则在等腰三角形中，， 在三角形中，， 由余弦定理得， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 【变式练习5】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    不规则几何体建系 题型01：斜棱柱垂面型建系 斜棱柱垂面型，从以下几方面思考： 1. 垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的Z轴 2. 垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系。 【典型例题1】如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.      (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求线面夹角； （3）建系，利用空间向量求面面夹角 【详解】（1）连接，由题意可知：为等边三角形，且是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，，所以平面， 且平面，可得，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接，由题意可知：为等边三角形，则， 因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，如图，以为坐标原点原点建立空间直角坐标系， 则，可得，设平面的法向量，则， 令，则，即，可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）可知：平面，则为平面的法向量，由（2）可得：， 所以平面与平面所成角的余弦值.    【变式练习1】如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）连接，则为的中点，然后由三角形中位定理可得∥，再由线面平行的判定定理可证得结论； （2）由题意可证得平面，所以以为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，利用空间向量求解即可. 【详解】（1）连接，因为四边形为平行四边形，所以为的中点，因为为的中点， 所以∥，又平面，平面，所以∥平面.    （2）因为，又，，平面，所以平面， 因为平面，所以，又，，平面， 所以平面，因为平面，所以平面平面，取的中点， 因为，所以，因为平面平面，平面平面， 所以平面，，建立如图所示空间直角坐标系，，   由得，则， 设平面的法向量为，则，令，所以 ， 因为平面，所以可取平面的法向量为.设平面与平面所成角为，由图可知为锐角，则，故平面与平面所成角为. 【变式练习2】如图，三棱柱中，，D是AC的中点，. (1)证明：⊥平面； (2)若点到平面的距离是棱长AB的，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2). 【分析】（1）先证明，结合，利用线面垂直的判定证明平面，进而得到，再证明，并利用线面垂直判定证明⊥平面； （2）建立空间直角坐标系，设，由条件证明，求平面和平面的法向量，结合向量夹角公式求二面角的余弦值.. 【详解】（1）因为，D是AC的中点，所以BD⊥AC，因为，，平面， 所以BD⊥平面，又平面，所以 因为，D是AC的中点，所以，因为，，平面， 所以⊥平面． （2）由（1）知⊥平面，，所以两两垂直， 以为原点，以所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 因为，平面，所以，AC⊥平面， 因为，所以，取的中点，连接，，可得， 所以平面，即为平面，又AC平面， 所以平面平面，过点作于点H，平面， 平面平面，则⊥平面，所以， 令，则因为，， 所以，所以，，所以，所以， 因为，，所以，所以，， ，设平面的一个法向量为， 则得，令，则，所以为平面的一个法向量， 又BD⊥平面，所以是平面的一个法向量，， 所以二面角的余弦值为. 【变式练习3】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点在线段上，，平面平面．    (1)求四面体的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)(2) 【分析】（1）取的中点，连接，过点作的平行线，易证，根据面面垂直的性质可得平面，从而可得平面，以点为原点，建立空间直角坐标系，取的中点，连接，根据求得点得坐标，根据，求出，再根据锥体得体积公式即可得解； （2）利用向量法求解即可. 【详解】（1）取的中点，连接，过点作的平行线，在菱形中，为等边三角形，又底面是边长为4的菱形，，且，又平面平面，平面平面平面，平面，又平面，又平面，又，如图以点为原点，建立空间直角坐标系，，取的中点，连接，则， ，，设，则， 由，得，即， 设，则，， ，； （2）设平面的一个法向量为，由， 得取，又， ∴直线与平面所成角的正弦值为：.     题型02：斜棱柱垂线法建系 斜棱柱垂线型建系 如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴。这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以有以下思维： 1. 让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 2. 借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 【典型例题1】如图，在三棱柱中，为的中点，，，，点在底面上的射影为点.    (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，进而可证平面； （2）如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成角的余弦值，即可得解． 【详解】（1）连接交于点，连接，则是的中点， 由于、分别是，的中点， 所以，由于平面，平面，所以平面；       （2）由点在底面上的射影为点，所以平面． 在中，，，，，过作的平行线为，易知，，两两垂直，如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，，得，，，，，设平面的法向量， ，令，则，， ，设平面的法向量为， ，令，则，， 平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，则，所以平面与平面所成角的正弦值为． 【变式练习1】斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.    (1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)存在，(2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，假设在棱（含端点）存在一点使，利用，结合向量垂直的坐标表示即可求得答案. （2）求出平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）因为点在下底面的投影为的中点，故平面， 连接，由题意为正三角形，故, 以为原点，分别为轴建立如图所示空间直角坐标系：   则，， 设，可得，， 假设在棱（含端点）上存在一点使，则， 则； （2）由（1）知，设平面的法向量为， 则，令，则，则，又， 则到平面的距离为，即点到平面距离为. 【变式练习2】如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据圆的几何关系证明先线垂直，再根据线面垂直的性质和线面垂直判定即可求解；（2）根据线面角法向量求法和均值不等式即可求解. 【详解】（1）因为点为棱的中点，，所以A,B,C三点共圆，且AC为直径，所以. 因为平面，平面，所以.又因为，平面， 所以平面.因为平面，所以. （2）设，以为轴，为轴，过点与垂直的直线为轴，建立如图空间直角坐标系，   则 所以，，，设平面的法向量为， 所以令，则，.所以.所以 （当且仅当，即时，等号成立）. 所以直线与平面所成角的正弦的最大值为. 【变式练习3】如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形． (1)求证：； (2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）先证明平面,再根据线面垂直的性质定理即可证明结论； （2）建立平面直角坐标系，求得相关点坐标，设，求出平面的一个法向量，根据平面与平面的夹角的余弦值求得参数，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】（1）连接与相交于点，连接，如图所示： ∵四边形为菱形，∴为的中点，则． 为等边三角形，有，平面，，∴平面,平面，∴，又，平面，，∴平面,∵平面，∴． （2）由（1）知，，且平面， 故平面，而平面，故平面平面，分别取的中点，连接， 则，∴平面，为等边三角形，，而平面平面，平面，故平面，以为原点，，，的方向分别为轴、轴、轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，， 设，则，∴，，设平面的一个法向，则有， 令，则，，即，又∵平面的法向量为， ∴平面与平面的夹角的余弦值为, ∴，∴或（舍），此时，又， ∴点到平面的距离为：． 题型03： 棱锥垂面型建系 棱锥垂面型建系 棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴。 如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度。z轴可以选择合适的底面垂线组处 【典型例题1】如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．    (1)证明：平面平面． (2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可证得，再利用面面垂直的性质的定理可证得结论成立； （2）推导出点为的中点，然后以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，即可求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：由， 得，，，， 由余弦定理可得， ，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）因为平面，平面，平面平面，故， 而是的中点，故为中位线，得， 又，故为中点， 由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，   则、、、， 设点，其中，，，，所以，，解得，则，解得，故点， 设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 那么二面角的正弦值为. 【变式练习1】如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据线面垂直判定可得平面，得到；由勾股定理可证得；由线面垂直和面面垂直的判定可证得结论； （2）作，垂足为，且，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）四边形为直角梯形，，，又，，平面，平面，又平面，；作， ，，，，又，， ，，，，平面，平面， 平面，平面平面.（2）作，垂足为，且， 由（1）知：平面，平面，，，，，，， ，，则，以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，， 平面，是平面的一个法向量；设平面的法向量，又，，，令，解得：，，； ；由图形可知：平面与平面所成二面角为锐二面角， 平面与平面所成二面角的余弦值为. 题型04：斜面棱锥型建系 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高。再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系。 【典型例题1】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    【变式练习1】四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，. (1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明； (2)求二面角A-EB-C的余弦值. 【答案】(1)点是的中点，证明见解析(2) 【分析】（1）先取点是的中点，再应用面面垂直判定定理证明面面. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法先求平面与平面的法向量，再用两个法向量所成角的余弦值得到二面角A-EB-C的余弦值. 【详解】（1）当点是的中点时，面面.证明：由点是的中点，得，又，，所以，，四边形是平行四边形.根据，得四边形是矩形，故.因为面，面，所以，因为，，面， 于是面，由于面，因此面面. （2）结合（1）中结论，不妨令为的中点，因为面面，面面， 所以过点作于点，则面， 以为轴，以过点所作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，则，因为面，面，所以， 在中，根据，，可得，，，， 则，，，，，，. 设面的法向量为，则，即令，则，，所以， 设面的法向量为，则即令，则，，所以. ，设二面角的大小为，易知，所以，因此二面角的余弦值为.. 题型05： 平行六面体型建系 平行六面体型建系 平行六面体建型，一般情况下，平行六面体具有特殊性：平行六面体的测棱和底面两边所成的角度相等，此时，侧棱在底面射影是底面相邻边所成角度的角平分线（可证明），可以选侧棱上合适的点做底面投影以作为z轴建系。 【典型例题1】）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AC=2BD=2AA1=4，AC1⊥CC1，AA1⊥BD，E是侧棱BB1上一点.    (1)若BE＝B1E，证明：CC1⊥平面AC1E； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，交于点，连接，，可证，，进而可证平面，进而，，可证结论； （2）过作，垂足为，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：如图，设，交于点，连接，，   因为四边形是菱形，，，所以，. 因为，，平面，，所以平面， 因为平面，所以，连接，，所以， 因为，所以，所以. 因为，所以，所以.因为，平面，， 所以平面. （2）过作，垂足为，因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面. 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为，所以，    则，所以.易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以. 设二面角的大小为， 所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【变式练习1】如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)1(2) 【分析】（1）应用等体积法求出点到平面距离； （2）空间向量法求线面角的正弦值即可. 【详解】（1）在平行六面体中，是三棱柱， ， 设点到平面的距离为，则，所以， 即点到平面的距离为1． （2）在中，，所以是菱形，连接交于，则， 由（1）知点到平面的距离为1，所以平面． 设点在直线上射影为点， 则，且， 所以和重合，即． 以为坐标原点，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则， 根据，则， ，设平面的一法向量为， 则，取，则， 设直线与平面所成角为，则， 所以直线与平面所成角正弦值为．    题型06：等角射影角平分线型建系 等角射影平分线型建系 如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线。此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”： 大题解答时，需要简单的证明才能使用 【典型例题1】如图，在四棱柱中， (1)求证：平面平面； (2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答. （2）由（1）的信息，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）设交于点，连接，如图， 因为，则点在线段的垂直平分线上，即有为的中点， 又因为，则，又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作，又平面平面，因此平面， 射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为为棱的中点，则点是正的重心，又，平面，且，则，所以，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式练习】如图，在三棱柱中，，，． (1)求证：； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据已知可推得，，进而得出平面，.然后根据勾股定理，可证得，进而得出平面，即可得出证明； （2）设，以点为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，然后求出以及平面的法向量，根据向量法即可求出答案. 【详解】（1），，.，，. ，平面，平面，平面. 又平面，.在中，有.，， ，，.又平面，平面，， 平面.平面，． （2）由（1）知，平面，. 设，则，， 则以为原点，分别以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，，，，， ，，.设平面的一个法向量为， ，即，取，则，，所以是平面的一个法向量， ，直线与平面所成角的正弦值． 题型07：台体建系 台体建系型 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。 非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维 【典型例题1】如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． (1)证明：平面BCD； (2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO.根据题意得到和，利用线面垂直的判定得到平面CBD，然后利用中位线定理得到四边形EFGO为平行四边形，进而得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量的夹角公式进而求解. 【详解】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO．在菱形ABED中，． 因为平面ABED，平面ABED，所以．又因为，平面CBD，所以平面CBD．因为，且，， 所以，且，所以四边形EFGO为平行四边形，所以， 所以平面CBD． （2）如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图． 设，则，，，， 设平面ACD的一个法向量为，由得，取， 因为，记直线FG与平面ACD所成角为，则， 所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是． 【变式练习】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点. (1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值； (2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)存在，(2) 【分析】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、，证明出平面平面，利用面面平行的性质可得出平面，由此可得出结论； （2）过点在平面内作，垂足为点，连接，过点在平面内作，垂足为点，证明出平面，求出的值，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）取的靠近点的三等分点，连接、、， 则，又因为，所以，四边形为平行四边形，则，因为平面，平面，所以，平面， 因为，所以，，因为平面，平面，所以，平面， 因为，、平面，所以，平面平面，因为平面，故平面，因此，线段上是否存在点，且当时，平面. （2）过点在平面内作，垂足为点，连接， 由，，，所以，， 所以，，所以，，过点在平面内作，垂足为点， 因为，，，、平面， 所以，平面，因为平面，则， 又因为，，、平面，所以，平面， 因为点到平面的距离为，即， 且，所以， 由图可知，为锐角，所以，， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、、， ，，设平面的法向量，则， 取，则，， 所以，， 因为，因此，与平面所成角的正弦值为. 题型08：不规则几何体型建系 1、 多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”。 2、 如有垂线，则可以垂线型建系。 3.无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点。 【典型例题1】如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点． (1)若点N为的中点，求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）连接，，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面． （2）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，，因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且， 所以在中，，解得，所以'，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，过O作的垂线，交于H并延长， 分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则，故，，，，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则 ，即， 取，可得， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，所以， 则，故平面与平面夹角的余弦值为． 【变式练习】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接，由三角形中位线和边长关系可知四边形是平行四边形，即可证明平面； （2）根据题意可知，以为原点建立空间直角坐标系，可设利用空间向量即可表示出，进而确定点位置，再分别求得两平面的法向量即可得出二面角的正弦值为. 【详解】（1）证明：连接，如下图（1）中所示：因为四边形为平行四边形，所以是中点， 又点为线段的中点，则，且,又且，所以， 所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；    （2）以为原点，为轴，过且在平面内与垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图（2）所示：由平面⊥平面，，可知， 均为边长为2的正三角形，则有， 设，则， 为平面的法向量，所以， 解得（其中舍去）,所以， 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取． 设平面的法向量为，则有， 令，则，故可取所以． 所以二面角的正弦值为．即二面角的正弦值为. 题型09：翻折型建系 翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系。 1. 翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变。 2. 翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算 3. 翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算 【典型例题】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.     (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）确定为正三角形，，证明，得到证明. （2）确定平面，，建立空间直角坐标系，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1），，为正三角形，，则为中点， 设，，，故，故为的三等分点，   ，为的三等分点，即F为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）由题设易得，，， 故，即，，故， ，，PH、HF在面PHF内，故平面. PF在面PHF内，故，又，，AC、AD在面ABCD内，故平面. 在中，， 由题意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，则∠ACB=90°，故， 过点作平面的垂线为z轴，以分别为轴、轴正方向，建立如图所示坐标系.   则，，，，， ，，，设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以，设平面和平面的夹角为，, 则，，所以平面和平面的夹角为. 【变式练习】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）先证明，根据线线平行判定定理平面，再由线面平行性质定理证明线线平行； （2）建立空间直角坐标系，设点的坐标，求出平面的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可求解. 【详解】（1）在图1中，因为，，， 所以，，又，所以，因为，， 所以，故，  在图2中，因为，平面，平面， 所以平面，因为平面，平面平面，所以； （2）由（1）知，，，，平面，平面, 所以平面，又平面，所以平面平面， 故以为坐标原点，分别为轴， 在平面内过点作的垂线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，   则，，因为，平面AEB平面BCE，且，所以点在平面的射影为中点，故，，设，则，，， 设平面的法向量为，则，即，不妨令，则，， 所以为平面的一个法向量．因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以，整理得，解得或（舍）， 所以为中点，所以. 题型10：无垂面垂线型 【典型例题1】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．    (1)证明：平面． (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线的方向向量与平面的法向量，即可得线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，．    因为，分别是棱，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，分别是棱，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，垂直平面向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    设，则，． 由余弦定理可得，则， 从而，，，，， 故，，．设平面的法向量为， 则,令，得．设直线与平面所成的角为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为． 【变式练习1】如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）连接，利用平行线分线段成比例定理，及线面平行的判断定理推理作答. （2）由已知证明平面，再建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）在三棱柱中，连接，交于点，连接，如图， 四边形为平行四边形，有，而为的中点，则， 由，得，又分别为的中点，即有， 因此，则，而平面平面， 所以平面． （2）因为，则是菱形，又，即，是正三角形， 则，矩形中，，而， 平面，于是平面，令， 过作，则平面，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，   则， ，设平面和平面的法向量分别为，，则，令，得， ，令，得，，令二面角的大小为， 则，于是，所以二面角的正弦值为． 巩固提升 1.如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）    (1)求点到面的距离； (2)求四棱锥外接球的体积； (3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由已知可证得平面平面，取中点 ，连接 ，则有两两垂直，所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，然后利用空间向量求解， （2）连接，则四边形的外接圆圆心在的中点，外接圆的圆心为的三等分点，过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心，连接，求出其长度可得外接球的半径，从而可求出外接球的体积， （3）由，表示出点的坐标，然后利用空间向量表示出直线与平面所成角的正弦值，求出其最大值可得答案. 【详解】（1）由，，，得 ，， 因为垂直平分， 所以， 所以为平面与平面的二面角的平面角， 所以 ，，所以为等边三角形， 取中点 ，连接 ，所以， 因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面， 因为 所以为二面角的平面角， 所以， 以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设的一个法向量为 ，则 ，令，则 又， 所以点到面的距离； （2）连接，由，则四边形的外接圆圆心在的中点， 为正三角形，则外接圆的圆心为的三等分点， 过点圆心分别作两面垂线，则垂线交点即为球心， 如图所示，连接，则即球的半径. 在中，， 则， 在中，， 所以由勾股定理得， 则球的体积 ；    （3）设，由得， 所以，得， ， 所以， 设直线与平面所成角为（）， 则 所以当时，取得最大值， 此时直线与平面所成角最大， 即当时，直线与平面所成角最大.    2.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    3.如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.    (1)当平面时，求的值； (2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)(2)是， 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的夹角即可求解， （2）由法向量的夹角即可求解二面角. 【详解】（1）取的中点，连接并延长与相交，因为，，所以，即， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，建立如图空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，， 所以，，. 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以即是平面的一个法向量， 因为平面，所以，，解得； （2）   由（1）知，是平面的一个法向量， 同理可求平面的一个法向量为， ，即随着值的变化，二面角的大小为定值. 且，所以二面角的正弦值为. 4.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先利用线线平行证明线面平行，再证面面平行，最后由面面平行证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值. 【详解】（1）取中点，连接，因为直角梯形中， ，且，所以四边形是平行四边形， 平面平面， 平面. 又是中点平面平面， 平面， 又平面，平面平面， 平面平面. （2）连接，由知：， 由（1）知：且， ，在平面内过点作交于点， 则两两互相垂直， 以为坐标原点，以方向分别为轴正方向，建立空间直角坐标系，    则， 从而， 设平面的法向量为， 即，令，得， 易知平面的一个法向量为， ， 由题意知，二面角为锐二面角， 所以二面角的余弦值为. 5.如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 【答案】(1)，，，四点共面，理由见解析 (2)为中点 【分析】（1）取的中点，取的中点，连接，以为坐标原点，建立的空间直角坐标系，设，由，求得，得到向量，得出，即可得到，，，四点共面； （2）设，得到，根据平面，列出方程，求得，即可求解. 【详解】（1）答案：四点共面. 证明：取的中点，连接，，取的中点，连接， 则在等边三角形中，， 又因为平面平面，所以平面， 同理，得平面，平面， 所以，，两两垂直，且， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示， 则，，，，， 设，由，即， 解得，，，所以，所以， 又由，，所以， 所以，，共面， 因为为公共点，所以，，，四点共面. （2）解：设，故， 若平面，则，即，解得， 所以为中点时，平面．    6.在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处，证明见解析 【分析】（1）根据已知条件及勾股定理和逆定理，利用矩形的性质及线面垂直的的判定定理，结合线面垂直的性质定理即可求解； （2）根据已知条件建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用向量的共线定理，求出点的坐标，分别求出直线BE的方向向量和平面QAD的法向量，再利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解. 【详解】（1）由题意知，，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE， 故有，易得，BD＝2，， 在△ABD中，∵，∴BD⊥AD． 因为四边形BDEN为矩形，则BD⊥DE， 又，平面ADE，平面ADE， 故BD⊥平面ADE． 因为平面ADE， 所以BD⊥AE． （2）存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处． 证明如下：以点D为坐标原点，建立的空间直角坐标系，如图所示，    则，，，， 所以，， 设，其中，解得， 故， 设平面QAD的法向量为， 则 即令y＝1，则，z＝－2λ， 故， 因为直线BE与平面QAD所成的角为60°， 所以，解得或， 故存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°，此时点Q为线段EN的中点或在线段EN上距离点E的处． 7.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）法一：利用线面垂直、面面垂直的性质定理与判定定理可证； 法二：建立空间直角坐标系，利用数量积为0，可证，从而得证； 法三：如法二建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，证明其与平行，从而得证； （2）利用空间向量法求点到面的距离； （3）利用空间向量求出二面角的余弦值，再借助函数性质求值域. 【详解】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，， 又平面，平面， 平面 平面，又平面， 由题设知四边形为菱形，， 分别为中点，， 又平面平面. 法二：由平面，平面， 又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 又平面平面. 法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为    ，即 不妨取，则，则 所以平面的一个法向量为 ，，，平面 （2）由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或） 点到F到平面的距离= （3） 设，则， ； 由（1）知：平面平面的一个法向量 （或者由（1）中待定系数法求出法向量）； 设平面的法向量， 则，令，则； ， 令，则； ， 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 8.如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，.    (1)证明：； (2)点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，结合菱形对角线互相垂直，得到线面垂直，证明出结论； （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解二面角的大小. 【详解】（1）四棱台中，延长后交于一点，故共面， 因为平面平面，故， 连接，因为底面四边形为菱形，故，    因为平面， 故平面， 因为平面， 所以； （2）过点作的垂线交与点，以作为轴，以分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，    不妨设，则， 由于，故， 由于点是棱上靠近点的三等分点，故， 则， 则， 记平面的法向量为，则， 令，则，即.. 平面的法向量可取为， 则 由图知二面角为锐二面角，故二面角的余弦值为. 9.如图，三棱柱中，，侧面为矩形，，二面角的正切值为.    (1)求侧棱的长； (2)侧棱上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由. 【答案】(1)2 (2)存在在的三等分点靠近的分点处，证明见解析 【分析】（1）根据题意三垂线法可得二面角的平面角为，进而可得结果； （2）法一：建系，利用空间空间向量处理二面角问题；法二：根据题意三垂线法可得二面角的平面角为，进而可得结果. 【详解】（1）取的中点，连接， 因为，则， 又因为侧面为矩形，则，//， 且//，则//，即四点共面， 平面平面， 所以平面，则， 则是二面角的平面角， 则，所以， 设， 因为，则， 又因为，则， 可得， 在中，由余弦定理 得：，即， 平方整理得，得或（舍去）， 即为2.    （2）解法一：如图，建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，    过作底面， 因为，可得， 则，， 可得， 所以， 则，， 设平面的法向量为，则， 则，令，则，即， 设， 设，则， 设平面的法向量为， 因为， 则， 令，则，即， 平面与平面所锐二面角为， 可得，解得， 所以存在，在的三等分点靠近的分点处. 解法二：把三棱柱补为四棱柱，如图，为中点，过作，    由（1）知：，则， 由棱柱的性质易得：且，即为平行四边形， 所以，故，又， ，面，则面，在面内， 所以，而，面， 则平面，且平面，则， 过作，连，，面， 则平面，且平面，可得， 则为二面角的平面角， 设，则， 可得， 由点到的距离为， 则，解得， 所以存在，在的三等分点靠近的分点处. 核心突破 1.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【小问1详解】连接，因为底面是边长为2的正方形，所以，又因为，，所以，所以，点为线段中点，所以，在中，，，所以，则， 又，平面，平面，所以平面. 【小问2详解】由题知正方形中，平面，所以建系如图所示，则， 则，， 设面的法向量为，面的法向量为，则，取，则 取，则.设二面角大小为， 则，所以二面角的正弦值为. 2.已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接. (1)当平面时，求的长； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1）平面平面，平面平面，则有，得，又，则. （2）方法一：如图，取中点，连接.平面平面，平面平面，平面，，所以平面，平面，则，，由，可得，，即是二面角的平面角，又，在中，，则，，即二面角的余弦值是. 方法二：.如图，过点作平面的垂线，以为坐标原点，所在的直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则， .易知是平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，则，即，令，得，则，.即二面角的余弦值是. 3.如图，在三棱柱中，平面平面. (1)若分别为的中点，证明：平面； (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）如图，取的中点，连接交于点，连接，因为是的中点，是的中点，所以，所以四边形是平行四边形，所以，又平面平面，所以平面. （2）因为，平面平面，平面平面平面，所以平面，所以直线与平面所成的角为，则，在中，不妨设，则，连接，因为，所以.又平面平面，所以平面平面，且平面平面平面，故平面.设的中点为，连接，以为坐标原点，所在直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，如图，则， 则，，设平面的法向量为，则，即， 不妨取，则有，易知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为. 4.如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）证明：取中点，连结，因为，所以；因为，所以； 因为平面，所以平面；因为平面，所以．                       （2）由（Ⅰ）知，平面，因为平面平面，平面平面，所以平面，因为平面，所以，，，如图建立空间直角坐标系．由已知，易得，，在中，，所以得，，，所以设平面的法向量为，则 　即令，则，，于是．又因为平面的法向量为，所以．由题知二面角为锐角，所以其余弦值为 ． 5.如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析；；(2)存在，． 【详解】（1）因为，是的中点，所以，在直角中，，，所以， 在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得， 又，所以平面，由平面得，平面平面． （2）存在点满足条件，以为原点，建立空间直角坐标系如图所示，设，则，，，，，设平面的法向量为， 则，令得，所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，由已知得，解得，即，所以存在点使平面与平面的夹角为，此时． 6如图，四棱锥P-ABCD中，，，，平面平面PAC． (1)证明：； (2)若，是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）取中点，连接，则，又，，所以四边形为正方形，则，，又在中，，则，所以，，即．又平面平面PAC，平面平面，平面ABCD，所以平面，又面，所以． （2）连接，交于，连，由于，所以四边形是平行四边形，所以．因为平面，所以平面， 平面，所以，因为，所以， 所以两两垂直，以为原点，，，所在的直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图空间直角坐标系，则平面PAC的一个法向量是，又，，，所以，，，设是平面的法向量，则，令，可得，所以，所以，平面与平面夹角的余弦值为. 7..如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在矩形中，，，所以，同理，故，①连结、，在中，由余弦定理知：， 所以，，又因为，，所以，所以，即，②，由①，②及，平面，可得平面. （2）以为坐标原点，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，，，设平面的法向量，则，令，则，，所以.因为，所以，所以与平面所成角的正弦值为. 8.如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．    (1)求证：； (2)若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）取的中点，连接，由题知为正三角形，而也是正三角形， ，又面，且，面，又面， ； （2），，，又，，即，又面，且，， 面，两两垂直，如图建立空间直角坐标系，三棱柱的体积为，，， ，设平面的法向量为，则，取得，设直线与平面所成角为，则.    9.在直角梯形中，，，，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)证明见解析；(2)存在，． 【详解】（1）证明：因为，且，可得，，又因为，可得， 所以，则，因为平面平面，平面平面，且平面， 所以平面，又因为平面，所以. （2）解：因为平面，且平面，所以，以点为原点，所在的直线分别为轴，过点作垂直平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，所以，．设平面的法向量为，则，令，可得，所以．假设存在点，使得与平面所成角为，设，（其中），则，，所以，整理得，解得或（舍去）， 综上所述，在线段上存在点，使得与平面所成角为，此时． 10.如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）不妨设，则，在平行四边形中，，，，连接，由余弦定理得，即，，. 又，，，平面，又平面.平面平面. （2）取中点，连接，，，由（1）易知平面，且.如图，以为原点，分别以射线所在直线为轴，竖直向上为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，得，令，得，设平面的法向量为，则，得，令，得，，所以平面与平面夹角的余弦值. 11.如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 条件①：； 条件②：直线与平面所成角为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）选择条件①.取的中点，连接.由于是等边三角形，故， 又平面平面，平面，平面平面，故平面， 而平面，故，即，所以， 又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以. 选择条件②.取的中点，连接.由于是等边三角形，故，又平面平面，平面，平面平面，故平面，所以在平面内的射影是， 所以是直线与平面所成角.所以.由平面，而平面，故，即，所以，又，故，则，即.因为，平面，所以平面，平面，所以. （2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，于是，由点是棱的中点，所以，于是，又，设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以，又是平面的一个法向量，设二面角的大小为，由题可知为锐角，所以. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 空间直角坐标系的建系方法 目 录 思 维 导 图 2 学 习 目 标 2 知识点回顾 2 题 型 分 类 3 空间建系常用方法 4 题型01：利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 4 题型02：利用线面垂直建立空间直角坐标系 8 题型03：利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 11 题型04：利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 15 题型05：利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系 17 题型06：做线面垂直辅助线建系 21 不规则几何体建系 25 题型01：斜棱柱垂面型建系 25 题型02：斜棱柱垂线法建系 27 题型03： 棱锥垂面型建系 29 题型04：斜面棱锥型建系 31 题型05： 平行六面体型建系 33 题型06：等角射影角平分线型建系 35 题型07：台体建系 37 题型08：不规则几何体型建系 39 题型09：翻折型建系 40 题型10：无垂面垂线型 42 巩 固 提 升 44 核 心 突 破 47 思 维 导 图 学 习 目 标 1.理解空间直角坐标系的构成（三条两两垂直且交于原点的数轴，即x轴、y轴、z轴）及相关概念（坐标原点、坐标轴、坐标平面、点的坐标表示）。明确建立空间直角坐标系的基本原则：使尽可能多的点落在坐标轴或坐标平面上，以简化点的坐标表示和后续向量运算。 2.掌握常见几何体（如正方体、长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥等）的空间直角坐标系建立方法：对于正方体、长方体，通常以一个顶点为原点，从该顶点出发的三条棱所在直线为坐标轴。对于直棱柱，常以底面的一个顶点（或中心）为原点，底面内两条垂直的直线为x、y轴，侧棱所在直线为z轴。 对于正棱锥，可将顶点在底面的投影作为原点，底面内两条垂直的直线为x、y轴，高所在直线为z轴。 能根据几何体的几何特征（如对称性、垂直关系等），灵活选择原点和坐标轴，确保建系合理、坐标计算简便。在建系后，能准确写出几何体各顶点的坐标，为后续用空间向量解决问题奠定基础。 3.培养空间想象能力，能在脑海中构建几何体与空间直角坐标系的对应关系，理解坐标与几何位置的联系。提升观察与分析能力，通过观察几何体的结构特点（如垂直棱、对称面等），快速确定合适的建系方案，体会“数形结合”思想在空间几何中的应用。 4.能运用合适的建系方法解决具体立体几何问题，通过建立坐标系将几何问题转化为代数运算，感受建系在简化问题中的作用。在复杂几何体（如组合体）中，能分解结构、找到关键垂直关系，成功建立空间直角坐标系，体现知识的综合运用能力。 知 识 点 回 顾 常用方法： 方法一.建立空间直角坐标系时，可以按照以下步骤进行： 1.确定空间直角坐标系的三个坐标轴方向，一般选择为某轴、y轴和z轴。 2.确定空间直角坐标系的原点，一般选择为三个轴的交点。 3.确定坐标轴的正方向，一般按照右手定则确定，即当右手的大拇指指向某轴正方向，食指指向X轴正方向时，中指所指的方向即为z轴正方向。 4.确定坐标轴的长度和间距，一般选择适当的数值，方便计算。 5.根据需要，可以在空间直角坐标系中建立坐标系网格和标注坐标轴上的刻度值，方便进行坐标计算和表示几何体。 方法二.利用共顶点且相互垂直的三条棱建系 方法三.利用线面垂直建系 方法四.利用面面垂直建系 方法五.利用正棱锥的中心与高所在直线建系 方法六.利用图形中的对称关系建系 图形中虽没有明显交于一点的三条直线，但有一定对称关系（如正三棱柱、正四棱柱等），利用自身对称性可建立空间直角坐标系. 题 型 归 纳 空间建系常用方法 题型01：利用共顶点的互相垂直的三条棱建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图，在正方体中，是的中点，是的中点．    (1)证明：平面． (2)求平面和平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用三角形中位线性质可证得，由线面平行的判定可证得结论； （2）设正方体棱长为，以为坐标原点可建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）连接，交于，连接， 分别为的中点，， 平面，平面，平面. （2）设该正方体的棱长为，以为坐标原点，为轴正方向可建立如图所示空间直角坐标系，    则，，，，， ，，，， 设平面的法向量为， 则，令，解得：，，； 设平面的法向量， 则，令，解得：，，； ， 平面和平面所成锐二面角的余弦值为. 【典型例题2】如图，在四棱锥中，平面，底面是矩形，是上一点， 平面.    (1)求证：平面； (2)从下面三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并作答：①异面直线与所成角的正切值为；②直线与平面所成角的正弦值为；③点到平面的距离为； 若___________，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理进行证明； （2）选①：根据异面直线所成角的定义计算得到；选②：根据直线与平面所成角的的定义计算得到；选③：利用等体积转换计算得到；然后再利用空间向量法求两个平面夹角的余弦值. 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，连接，    平面平面， 平面平面， ， 是的中点，是的中点， 又， 平面，平面， ，又，，平面， 平面平面， 又，平面. 平面. （2）如图， 选①：异面直线与所成角为或其补角， 由（1）， ； 选②：平面直线与平面所成角为，，， ； 选③：设，由是的中点，得， ， 所以，解得，所以； 以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的一个法向量为，则所以 令，则， 设平面的一个法向量为，则 所以令，则， 记平面与平面的夹角为， 则.    【变式练习1】如图，在直三棱柱中，，E为的中点，平面平面．    (1)求证：； (2)若的面积为，试判断在线段上是否存在点D，使得二面角的大小为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【变式练习2】如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面，，,是的中点.    (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离. 【变式练习3】如图，平面，.    (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面夹角的余弦值. 【变式练习4】如图，边长为2的正方形中，点E是的中点，点F是的中点，将分别沿折起，使A､C两点重合于点A′，连接.    (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 题型02：利用线面垂直建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图，直四棱柱的底面为菱形，且，，E，F分别为BC，的中点．    (1)证明：平面平面． (2)求平面和平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）连接，根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定，面面垂直的判定推理作答. （2）连接，以A为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解面面夹角余弦作答. 【详解】（1）在直四棱柱中，底面为菱形，，连接，如图，    显然为正三角形，由为的中点，得，而平面， 平面，则，又，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． （2）连接，由（1）知是正三角形，为的中点，则，而，即有， 又平面，于是两两垂直， 以A为原点，分别以所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，    由，得， ，，，， 设平面的法向量为，则，令，得， 设平面的法向量为，则，令，得， 因此， 所以平面和平面的夹角的余弦值为． 【典型例题2】如图，在三棱柱中，平面 . (1)求证:; (2)若，直线与平面所成的角为 ，求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由平面 ，得到，再由，证得，进而证得平面，即可证得. （2）以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明: 因为平面 ，平面，所以， 因为， 四边形是平行四边形， 所以四边形是菱形， 所以， 又因为，平面，平面，所以平面， 因为平面， 所以. （2）解： 因为与平面所成角为平面，所以， 因为， 所以是正三角形， 设， 则， 以为原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以 ， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设平面的一个法向量为，则， 取，可得，所以， 设二面角的大小为， 因为， 所以， 所以二面角的正弦值为. 【变式练习1】已知三棱柱，，，，在平面ABC上的射影为B，二面角的大小为， (1)求与BC所成角的余弦值； (2)在棱上是否存在一点E，使得二面角为，若存在，求出的值，若不存在，说明理由. 【变式练习2】如图，在四棱锥中，平面是等边三角形，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值.    【变式练习3】如图，在四棱锥中，平面，，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值； (3)点在线段上，直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离. 【变式练习4】如图，在四棱锥中，，，，E为棱的中点，异面直线与所成的角为 .    (1)在平面内是否存在一点M，使得直线平面，如果存在，请确定点M的位置，如果不存在，请说明理由； (2)若二面角的大小为 ，求P到直线的距离. 【变式练习5】如图，在三棱锥P－ABC中，底面是边长为4的正三角形，PA＝2，底面ABC，点E，F分别为AC，PC的中点． (1)求证：平面平面PAC； (2)在线段PB上是否存在点G，使得直线AG与平面PBC所成角的余弦值为？若存在，确定点G的位置；若不存在，请说明理由． 题型03：利用面面垂直关系建立空间直角坐标系 【典型例题1】三棱柱中，平面平面，是等边三角形，，，.    (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，，，得到，再利用面面垂直的性质定理和判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，分别求得平面的一个法向量为和平面的一个法向量，由求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 则，即， 所以， 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）建立如图所示空间直角坐标系：    则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得到，则， 设平面的一个法向量为， 则，即， 令，得到，则， 所以， 又二面角为钝二面角， 所以二面角的余弦值为. 【典型例题2】图1是由矩形、和菱形组成的一个平面图形，其中，，.将其沿，折起使得与重合，连接，如图2.    (1)证明：图2中的，，，四点共面，且平面平面； (2)求图2中与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据给定条件，证明即可得四点共面；再利用线面垂直、面面垂直的判定推理作答. （2）在平面内作，垂足为，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求出线面角的正弦作答. 【详解】（1）依题意，，则，即确定一个平面， 所以四点共面； 显然，平面， 因此平面，又平面 所以平面平面. （2）在平面内作，垂足为，而平面平面， 于是平面，由荾形的边长为，得， 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，      则，, 设平面的法向量，则，取，得， 又，设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值. 【变式练习1】如图，三棱锥，平面平面，点为线段上的动点．      (1)若点为的中点时，求的长； (2)当时，是否存在点使得直线与平面所成角的正弦值为 【变式练习2】在三棱锥中，平面，平面平面．    (1)证明：平面； (2)若为的中点，且，，求二面角的余弦值． 【变式练习3】如图，在四棱锥中，底面是一个边长为的菱形，且，侧面是正三角形.    (1)求证：； (2)若平面平面，求平面与平面所成角的正弦值. 【变式练习4】如图，在三棱锥中，平面平面    ，，点在棱上，且. (1)证明：平面； (2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的余弦值. 【变式练习5】如图，四边形ABCD和三角形ADE所在平面互相垂直，，，，，，，平面与平面交于.    (1)求证：； (2)若，求二面角的余弦值； (3)在线段上是否存在点使得？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 【变式练习6】如图，已知四棱台的底面是菱形，且，侧面是等腰梯形， ，为棱上一点，且.    (1)求证：平面平面； (2)若过点的平面与平行，且交直线于点，求二面角的余弦值. 题型04：利用正棱锥的中心与高所在直线建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图所示，四棱锥的底面为正方形，顶点P在底面上的射影为正方形的中心为侧棱的中点．    (1)求证：平面； (2)若，四棱锥的体积为，求与平面所成角． 【答案】(1)证明见解析； (2)； 【分析】（1）利用三角形中位线结合线面平行的判定定理进行证明； （2）构建空间直角坐标系，然后利用法向量求解与平面所成角． 【详解】（1）   连接，因为底面是正方形，且顶点P在底面上的射影为正方形的中心， 所以， 又因为点是中点， 所以由三角形中位线定理可得； 因为平面，平面， 所以平面； （2）， 解得： 以故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.    由已知可得 ， 设平面的一个法向量是. 由，得， 令，则， 又因为与平面所成角与互余， 所以与平面所成角为. 【变式练习1】如图，在三棱锥中，，D是AC的中点，E是AB上一点，平面PDE. (1)证明：平面PBC； (2)若，，求二面角的正弦值． 【变式练习2】如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，已知，，，.      (1)求异面直线，所成角的大小； (2)在线段上存在点且，探究二面角的大小并说明理由. 【变式练习3】如图，三棱锥和均为棱长为2的正四面体，且A，B，C，D四点共面，记直线AE与CF的交点为Q. (1)求三棱锥的体积； (2)求二面角的正弦值. 题型05：利用图形中的对称关系建立空间直角坐标系 【典型例题1】如图，已知正三棱柱中，点分别为棱的中点.      (1)若过三点的平面，交棱于点，求的值； (2)若三棱柱所有棱长均为2，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）延长交延长线于点，连接交于点，然后结合三角形的中位线定理可求得结果； （2）解法一：取中点连接，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，解法二：设点到平面的距离为，连接，易证平面，然后利用等体积法求出，设与平面所成角为，则可得答案. 【详解】（1）延长交延长线于点，连接交于点，连接，则过三点的截面就是平面四边形， 因为是中点，∥且， 所以是的一条中位线， 所以∥且， 所以；    （2）解法一：取中点连接，因为正三棱柱为的中点，与三棱柱的侧棱平行，所以两两垂直，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，    所以， 所以， ， 设平面的法向量，则， 即， 令，则，所以， 设与平面所成角为，则 ， 与平面所成角的正弦值为； 解法二：设点到平面的距离为，连接， 因为，是中点，所以， 因为平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为等边三角形的边长为2，所以， 所以， 所以等腰三角形的底边上的高为， 所以的面积为，又的面积为， 因为，所以，得，又， 设与平面所成角为， 则， 故平面所成角的正弦值为. 【典型例题2】如图，圆柱的轴截面是边长为4的正方形，为圆的直径，．    (1)求点到面的距离； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由，结合等积法，即可求解； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为圆柱的轴截面是边长为4的正方形，可得， 因为，可得，且到的距离为， 又因为面面，所以到面的距离为， 由， 又由，可得，解得， 即点到平面的距离为 （2）解：以为坐标原点，垂直的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立坐标系，如图所示 可得，，，， 则，，，， 设为平面法向量，则， 取，可得，所以 设为平面法向量，则， 取，可得，所以， 设面与面夹角为，可得．   【变式练习1】如图，已知圆柱的上、下底面圆心分别为P，Q，是圆柱的轴截面，正方形ABCD内接于下底面圆Q，AB＝a，．    (1)当a为何值时，点Q在平面PBC内的射影恰好是的重心； (2)在（1）条件下，求平面与平面所成二面角的余弦值． 【变式练习2】已知圆台的轴截面为，圆台的上底面圆半径与高都等于1，下底面圆半径等于2，点为下底圆弧的中点，点为上底圆周上靠近点的弧的四等分点，经过三点的平面与弧交于点，且三点在平面的同侧．    (1)判断平面与直线的位置关系，并证明你的结论； (2)为下底圆周上左半部分(靠近点)的一个动点，且与点在的不同侧，当四棱锥的体积等于时，求二面角的余弦值． 【变式练习3】如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，为底面圆的内接正三角形，且的边长为，点在母线上，且，．    (1)求证：直线平面，并求三棱锥的体积： (2)若点为线段上的动点，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时点到平面的距离． 题型06：做线面垂直辅助线建系 【典型例题1】如图，在三棱柱中，，顶点在底面上的射影恰为点，且.    (1)求证：平面 (2)求棱与BC所成的角的大小； (3)在线段上确定一点P，使，并求出二面角的平面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)P为棱的中点， 【分析】（1）由线面垂直得线线垂直，再由线面垂直的判断定理得到证明. （2）建立空间直角坐标系，利用异面直线夹角的向量公式求解即可； （3）利用已知条件求出点P的坐标，利用向量法求解平面角的余弦值. 【详解】（1）因为三棱柱中，，所以， 因为顶点在底面上的射影恰为点，平面，所以，所以， 又，平面，平面，所以平面. （2）以A为原点，射线，，分别为x，y，z轴正半轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，所以，， 设棱与BC所成的角为， 所以，又，所以， 故棱与BC所成的角为. （3）设，则. 于是，解得， 则P为棱的中点，其坐标为. 设平面的一个法向量，则， 令，得， 而平面的一个法向量， 则， 故二面角的平面角的余弦值是. 【典型例题2】如图，在三棱锥中，平面平面，． (1)求的长度； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，写出A，D两点的坐标，即可得线段AD的长； （2）分别求得平面ACD与平面ABC的法向量，再由空间向量的夹角公式计算即可得解． 【详解】（1）以B为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 平面平面，平面平面，轴平面，轴 ，可知轴平面， ， 又，则，， 则， 所以， 所以． （2）设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以， 易知平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则 ， 故平面与平面夹角的余弦值为． 【变式练习1】如图，在三棱锥中，，平面平面，，，． (1)证明：平面； (2)若点D在线段AC上，直线PD与直线BC所成的角为，求平面DBP与平面CBP夹角的余弦值． 【变式练习2】在三棱锥中，底面是边长为2的等边三角形，且直线与平面所成角为为中点.    (1)求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值. 【变式练习3】四棱锥中，平面，，，，．    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【变式练习4】如图1，已知正三棱锥分别为的中点，将其展开得到如图2的平面展开图（点的展开点分别为，点的展开点分别为），其中的面积为．在三棱锥中，      (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【变式练习5】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 不规则几何体建系 题型01：斜棱柱垂面型建系 斜棱柱垂面型，从以下几方面思考： 1. 垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的Z轴 2. 垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系。 【典型例题1】如图，在三棱柱中，平面平面，是的中点，且.      (1)证明：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见详解(2)(3) 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理结合面面垂直的性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求线面夹角； （3）建系，利用空间向量求面面夹角 【详解】（1）连接，由题意可知：为等边三角形，且是的中点，所以， 因为平面平面，平面平面，，所以平面， 且平面，可得，，平面，所以平面. （2）取的中点，连接，由题意可知：为等边三角形，则， 因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，如图，以为坐标原点原点建立空间直角坐标系， 则，可得，设平面的法向量，则， 令，则，即，可得， 所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）由（1）可知：平面，则为平面的法向量，由（2）可得：， 所以平面与平面所成角的余弦值.    【变式练习1】如图，在斜三棱柱中，，，的中点为，的中点为.    (1)证明：OD∥平面； (2)若，，，求平面与平面所成角的大小. 【变式练习2】如图，三棱柱中，，D是AC的中点，. (1)证明：⊥平面； (2)若点到平面的距离是棱长AB的，求二面角的余弦值. 【变式练习3】如图，在四棱锥中，底面是边长为4的菱形，，，点在线段上，，平面平面．    (1)求四面体的体积； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 题型02：斜棱柱垂线法建系 斜棱柱垂线型建系 如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴。这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标。空中点坐标可以有以下思维： 1. 让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度 2. 借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标 【典型例题1】如图，在三棱柱中，为的中点，，，，点在底面上的射影为点.    (1)求证：平面； (2)若，求平面与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接交于点，连接，可得，进而可证平面； （2）如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面所成角的余弦值，即可得解． 【详解】（1）连接交于点，连接，则是的中点， 由于、分别是，的中点， 所以，由于平面，平面，所以平面；       （2）由点在底面上的射影为点，所以平面． 在中，，，，，过作的平行线为，易知，，两两垂直，如图以为原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系， ，，，，，，得，，，，，设平面的法向量， ，令，则，， ，设平面的法向量为， ，令，则，， 平面的法向量为， 设平面与平面所成角为，所以，则，所以平面与平面所成角的正弦值为． 【变式练习1】斜三棱柱的各棱长都为，点在下底面的投影为的中点.    (1)在棱（含端点）上是否存在一点使？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由； (2)求点到平面的距离. 【变式练习2】如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.    (1)求证：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 【变式练习3】如图，在三棱柱中，，侧面为菱形，为等边三角形． (1)求证：； (2)若，点E是侧棱上的动点，且平面与平面的夹角的余弦值为，求点B到平面的距离． 题型03： 棱锥垂面型建系 棱锥垂面型建系 棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴。 如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度。z轴可以选择合适的底面垂线组处 【典型例题1】如图，在三棱锥中，平面平面，点在棱上，且．    (1)证明：平面平面． (2)设是的中点，点在棱上，且平面，求二面角的正弦值． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）利用余弦定理求出，利用勾股定理可证得，再利用面面垂直的性质的定理可证得结论成立； （2）推导出点为的中点，然后以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线作轴建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用空间向量法可求得二面角的余弦值，即可求得二面角的正弦值. 【详解】（1）证明：由， 得，，，， 由余弦定理可得， ，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面， 平面平面； （2）因为平面，平面，平面平面，故， 而是的中点，故为中位线，得， 又，故为中点， 由（1）可知平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为、轴， 过点且垂直于平面的直线作轴建立如下图所示的空间直角坐标系，   则、、、， 设点，其中，，，，所以，，解得，则，解得，故点， 设平面的法向量为，，，则，取，可得，设平面的法向量为，，则，取，可得，所以，. 由图可知，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 那么二面角的正弦值为. 【变式练习1】如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面所成二面角的余弦值. 题型04：斜面棱锥型建系 斜面型棱锥建系 斜面型棱锥， 不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高。再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系。 【典型例题1】如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）根据题意结合线面垂直的判定定理和性质定理分析证明； （2）建系，利用空间向量求面面夹角. 【详解】（1）取中点，连接，， 在和中，，，， 可得，则，所以， 因为，且，平面， 所以平面， 且平面，所以. （2）在平面中，过点作，交延长线于点，连接，，， 由（1）得平面，且平面，所以， 且，平面，所以平面， 在中，，， 由余弦定理可得，即， 在中，， 在中，， 在中，，可得，， 则以A为原点，为轴，为轴，如图建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，，，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面的法向量为，则， 令，则，，即， 设平面与平面的夹角， 可得， 所以平面与平面的夹角的余弦值.    【变式练习1】四棱锥中，面，，底面ABCD中，，，. (1)若点在线段BC上，试确定的位置，使面面ABCD，并给出证明； (2)求二面角A-EB-C的余弦值. 题型05： 平行六面体型建系 平行六面体型建系 平行六面体建型，一般情况下，平行六面体具有特殊性：平行六面体的测棱和底面两边所成的角度相等，此时，侧棱在底面射影是底面相邻边所成角度的角平分线（可证明），可以选侧棱上合适的点做底面投影以作为z轴建系。 【典型例题1】）如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知底面ABCD是菱形，AC=2BD=2AA1=4，AC1⊥CC1，AA1⊥BD，E是侧棱BB1上一点.    (1)若BE＝B1E，证明：CC1⊥平面AC1E； (2)若，求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）设，交于点，连接，，可证，，进而可证平面，进而，，可证结论； （2）过作，垂足为，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法求二面角的余弦值． 【详解】（1）证明：如图，设，交于点，连接，，   因为四边形是菱形，，，所以，. 因为，，平面，，所以平面， 因为平面，所以，连接，，所以， 因为，所以，所以. 因为，所以，所以.因为，平面，， 所以平面. （2）过作，垂足为，因为平面，平面，所以， 又，，平面，，所以平面. 如图，以为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，因为，所以，    则，所以.易知平面的一个法向量为，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以. 设二面角的大小为， 所以，由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为. 【变式练习1】如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．    (1)求点到平面的距离； (2)若，，求直线与平面所成角的正弦值． 题型06：等角射影角平分线型建系 等角射影平分线型建系 如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线。此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”： 大题解答时，需要简单的证明才能使用 【典型例题1】如图，在四棱柱中， (1)求证：平面平面； (2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2). 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的判定、面面垂直的判定推理作答. （2）由（1）的信息，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求解作答. 【详解】（1）设交于点，连接，如图， 因为，则点在线段的垂直平分线上，即有为的中点， 又因为，则，又平面，因此平面，而平面， 所以平面平面. （2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面， 在平面内过作，又平面平面，因此平面， 射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为为棱的中点，则点是正的重心，又，平面，且，则，所以，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面的法向量为， 则，令，得，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面的夹角的余弦值为. 【变式练习】如图，在三棱柱中，，，． (1)求证：； (2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值． 题型07：台体建系 台体建系型 正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴。 非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维 【典型例题1】如图，在多面体ABCFDE中，四边形ABED是菱形，，，平面ABED，点G是线段CD的中点． (1)证明：平面BCD； (2)若，求直线FG与平面ACD所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO.根据题意得到和，利用线面垂直的判定得到平面CBD，然后利用中位线定理得到四边形EFGO为平行四边形，进而得到，从而得证； （2）建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，分别求出平面的法向量和直线的方向向量，利用空间向量的夹角公式进而求解. 【详解】（1）连接AE，交BD于点O，连接GO．在菱形ABED中，． 因为平面ABED，平面ABED，所以．又因为，平面CBD，所以平面CBD．因为，且，， 所以，且，所以四边形EFGO为平行四边形，所以， 所以平面CBD． （2）如图，以B为坐标原点，分别以BC，BA所在直线为x，y轴建立空间直角坐标系，如图． 设，则，，，， 设平面ACD的一个法向量为，由得，取， 因为，记直线FG与平面ACD所成角为，则， 所以，直线FG与平面ACD所成角的正弦值是． 【变式练习】如图，三棱台中，，，为线段上靠近的三等分点. (1)线段上是否存在点，使得平面，若不存在，请说明理由；若存在，请求出的值； (2)若，，点到平面的距离为，且点在底面的射影落在内部，求直线与平面所成角的正弦值. 题型08：不规则几何体型建系 1、 多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”。 2、 如有垂线，则可以垂线型建系。 3.无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点。 【典型例题1】如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点． (1)若点N为的中点，求证：平面； (2)若，，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析(2)． 【分析】（1）连接，，证得，利用线面平行的判定定理，即可证得平面． （2）根据题意，证得平面，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的一个法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】（1）证明：连接，，因为M，N分别为，的中点，所以为的中位线，所以， 又平面，平面，所以平面． （2）解：取的中点O，连接，因为侧面为菱形，且， 所以在中，，解得，所以'，即， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，过O作的垂线，交于H并延长， 分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，设，则，故，，，，， 则，，，，， 设平面的法向量为，则 ，即， 取，可得， 设平面的法向量为， ，即， 令，则，所以， 则，故平面与平面夹角的余弦值为． 【变式练习】如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．      (1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面； (2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值． 题型09：翻折型建系 翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系。 1. 翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变。 2. 翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算 3. 翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算 【典型例题】如图1，在平行四边形中，，，为的中点，，，沿将翻折到的位置，如图2，.     (1)证明：平面； (2)求平面和平面的夹角. 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）确定为正三角形，，证明，得到证明. （2）确定平面，，建立空间直角坐标系，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案. 【详解】（1），，为正三角形，，则为中点， 设，，，故，故为的三等分点，   ，为的三等分点，即F为的中点，故， 平面，平面，故平面. （2）由题设易得，，， 故，即，，故， ，，PH、HF在面PHF内，故平面. PF在面PHF内，故，又，，AC、AD在面ABCD内，故平面. 在中，， 由题意易得∠ABC=60°，∠BAC=30°，则∠ACB=90°，故， 过点作平面的垂线为z轴，以分别为轴、轴正方向，建立如图所示坐标系.   则，，，，， ，，，设平面的一个法向量为，则， 令，则，所以设平面的一个法向量为，则， 令，则，，所以，设平面和平面的夹角为，, 则，，所以平面和平面的夹角为. 【变式练习】如图1所示，在四边形中，，为上一点，，，将四边形沿折起，使得，得到如图2所示的四棱锥．      (1)若平面平面，证明：； (2)点是棱上一动点，且直线与平面所成角的正弦值为，求． 题型10：无垂面垂线型 【典型例题1】如图，在四棱锥中，平面平面，四边形是梯形，，，，分别是棱，的中点．    (1)证明：平面． (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析(2) 【分析】（1）构造面面平行，利用面面平行的性质定理证明线面平行即可； （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线的方向向量与平面的法向量，即可得线面夹角的正弦值. 【详解】（1）证明：取的中点，连接，．    因为，分别是棱，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，分别是棱，的中点，所以． 因为平面，平面，所以平面． 因为，平面，且，所以平面平面． 因为平面，所以平面． （2）以为坐标原点，分别以，的方向为，轴的正方向，垂直平面向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．    设，则，． 由余弦定理可得，则， 从而，，，，， 故，，．设平面的法向量为， 则,令，得．设直线与平面所成的角为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为． 【变式练习1】如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点． (1)证明：平面． (2)求二面角的正弦值． 巩固提升 1.如图（1）所示，在中，，，，垂直平分．现将沿折起，使得二面角大小为，得到如图（2）所示的空间几何体（折叠后点记作点）    (1)求点到面的距离； (2)求四棱锥外接球的体积； (3)点为一动点，满足，当直线与平面所成角最大时，试确定点的位置． 2.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．    (1)求证：； (2)若，求平面与平面的夹角的余弦值． 3.如图1，在等边中，点，分别为边，上的动点，且满足，记.将沿翻折到位置，使得平面平面，连接，得到图2，点为的中点.    (1)当平面时，求的值； (2)试探究：随着值的变化，二面角的大小是否为定值？如果是，请求出二面角的正弦值；如果不是，请求出二面角的余弦值的取值范围. 4.如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，，二面角的大小为，是中点.    (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 5.如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．    (1)判断，，，四点是否共面，并说明理由； (2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面． 6.在底面ABCD为梯形的多面体中.，BC⊥CD，，∠CBD＝45°，BC＝AE＝DE，且四边形BDEN为矩形．    (1)求证：BD⊥AE； (2)线段EN上是否存在点Q，使得直线BE与平面QAD所成的角为60°？若不存在，请说明理由．若存在，确定点Q的位置并加以证明． 7.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.    (1)求证：平面； (2)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (3)若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围. 8.如图，在四棱台中，平面，四边形为菱形，.    (1)证明：； (2)点是棱上靠近点的三等分点，求二面角的余弦值. 9.如图，三棱柱中，，侧面为矩形，，二面角的正切值为.    (1)求侧棱的长； (2)侧棱上是否存在点，使得平面与平面所成的锐二面角的余弦值为？若存在，判断点的位置并证明；若不存在，说明理由. 核心突破 1.如图，平行六面体中，底面是边长为2的正方形，为与的交点，． （1）证明：平面； （2）求二面角的正弦值． 2.已知一圆形纸片的圆心为，直径，圆周上有两点.如图，，点是上的动点.沿将纸片折为直二面角，并连接. (1)当平面时，求的长； (2)若，求二面角的余弦值. 3.如图，在三棱柱中，平面平面. (1)若分别为的中点，证明：平面； (2)当直线与平面所成角的正弦值为时，求平面与平面夹角的余弦值. 4.如图，在三棱锥中，平面平面，，，． (1)求证：； (2)求二面角的余弦值． 5.如图，在三棱锥中，平面，是线段的中点，是线段上一点，，. (1)证明：平面平面； (2)是否存在点，使平面与平面的夹角为？若存在，求；若不存在，说明理由. 6如图，四棱锥P-ABCD中，，，，平面平面PAC． (1)证明：； (2)若，是的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 7..如图，矩形中，，，点，在边，上，且.将矩形沿折起至，使得，，分别为，的中点. (1)证明：平面； (2)求与平面所成角的正弦值. 8.如图，斜三棱柱中，底面是边长为a的正三角形，侧面为菱形，且．    (1)求证：； (2)若，三棱柱的体积为24，求直线与平面所成角的大小． 9.在直角梯形中，，，，如图（1）．把△ABD沿BD翻折，使得平面ABD⊥平面BCD． (1)求证：； (2)在线段BC上是否存在点N，使得AN与平面ACD所成角为60°？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 10.如图，在五面体中，底面为平行四边形，平面，为等边三角形，． (1)求证：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 11.如图，三棱锥中，，平面平面，点是棱的中点，再从条件①､条件②这两个条件中选择一个作为已知. (1)求证：； (2)求二面角的余弦值. 条件①：； 条件②：直线与平面所成角为. 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 2 学科网（北京）股份有限公司 $