第一章 勾股定理 单元测试题 2025-2026学年北师大版（2024 ）八年级数学上册

第一章 勾股定理 单元测试题 2025-2026学年北师大版八年级数学上册 满分：150分 时间：120分钟 A卷（共100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.下列各组数中，是勾股数的是（ ） A.1,2,3 B.7,24,25 C.4,5,6 D.0.3,0.4,0.5 2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（  ） A．10 B．13 C．7 D．14 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（  ） A． B． C． D． 4.学习了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2=c2一定成立； 乙：在△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形. 对于两人的观点，下列说法正确的是（ ） A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都错 D.两人都对 5．图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（    ）      A．10 B．17 C．14 D．13 6．如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（ ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是(　　) A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 米． 10．如图，垂直和．如果，那么的长为 ． 10．已知直角三角形的三边分别为，，（是斜边），则该三角形的面积为 ． 12．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则BF＝　 　． 13．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14．(本题8分)在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝15，AC＝20，AD＝12．求证：AB⊥AC． 15．(本题8分)如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB＝10，AD＝8，BD＝6，AC＝17． （1）求∠ADB的度数； （2）求△ABC的面积． 16．(本题10分)如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 17．（本题10分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 18.(本题12分)如图,在 中， 动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为 ts. (1)求BC边的长; (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)当 为等腰三角形时，请直接写出t的值. 备用图 备用图 B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 ． 20．如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 21．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 ． 22．如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 　 　________cm． 23．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 　cm． 二、解答题（共3小题，共30分） 22.(本题8分)如图,在 中， CD平分. ,交AB于点D,延长BC至点E,使连接AE. (1)试说明 (2)连接DE,若 求 的面积. 25．（本题10分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 26．（本题12分）如图，在等腰与等腰中，，连接，相交于点，连接，，．   （1）探究线段，有何关系？写出结论并说明理由． （2）若，，求的值． （3）直接写出的值． 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1.下列各组数中，是勾股数的是（ B ） A.1,2,3 B.7,24,25 C.4,5,6 D.0.3,0.4,0.5 2．一直角三角形的两直角边长为6和8，则斜边长为（ A ） A．10 B．13 C．7 D．14 3．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点均在正方形格点上，则的大小是（ D ） A． B． C． D． 4.学习了“勾股定理”后，甲、乙两位同学的观点如下： 甲：如果△ABC是直角三角形，那么a2+b2=c2一定成立； 乙：在△ABC中，如果a2+b2≠c2，那么△ABC不是直角三角形. 对于两人的观点，下列说法正确的是（ B ） A.甲对，乙错 B.甲错，乙对 C.两人都错 D.两人都对 5．图，已知A村庄与B村庄相距，A村庄的土地灌溉点在C点处，B村庄的土地灌溉点在D处．已知，现要在线段之间选一点建一水站E，使得水站E分别到灌溉点C与灌溉点D的距离之和最短，最短距离是（ D ）      A．10 B．17 C．14 D．13 6． 如图，一根长的儿童牙刷置于底面直径为、高为的圆柱形水杯中，儿童牙刷露在杯子外面的长度为，则的取值范围是（  C  ） A． B． C． D． 7．（数学文化）我国古代著作《九章算术》中有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．”其大意为：有一水池一丈见方，池中间生有一颗类似芦苇的植物，露出水面一尺，若把它引向岸边，正好与岸边平齐（如图），问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺，设水深为尺，则可列方程为（D ） A． B． C． D． 8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于点E，交CB于点F，则CF的长是(　A　) A．1.5 B．1.8 C．2 D．2.5 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为保护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从，这样多走了 4 米． 10．如图，垂直和．如果，那么的长为 29 ． 10．已知直角三角形的三边分别为，，（是斜边），则该三角形的面积为 84 ． 12．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，则BF＝　 2 　． 13．如图，在笔直的公路旁有一个城市书房C，C到公路的距离为80米，为100米，为300米．一辆公交车以3米/秒的速度从A处向B处缓慢行驶，若公交车鸣笛声会使以公交车为中心170米范围内受到噪音影响，那么公交车至少 70 秒不鸣笛才能使在城市书房C看书的读者不受鸣笛声影响． 三、解答题（本大题共5小题，共48分） 14．(本题8分)在△ABC中，AD⊥BC于D，AB＝15，AC＝20，AD＝12．求证：AB⊥AC． 15．(本题8分)如图，在△ABC中，D是BC上一点，且AB＝10，AD＝8，BD＝6，AC＝17． （1）求∠ADB的度数； （2）求△ABC的面积． 16．(本题10分)如图，A，B，C，D分别是某公园四个景点，B在A的正东方向，D在A的正北方向，且在C的北偏西方向，C在A的北偏东方向，且在B的北偏西方向，千米．求的长度． 17．（本题10分）定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点． （1）已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM＝1.5，MN＝2.5，BN＝2，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由． （2）已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB＝24，AM＝6，求BN的长． 18.(本题12分)如图,在 中， 动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度运动，设运动的时间为 ts. (1)求BC边的长; (2)当 为直角三角形时，求t的值； (3)当 为等腰三角形时，请直接写出t的值. 备用图 备用图 B卷（共50分） 一、填空题（每小题4分，共20分） 19．如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形．已知正方形的面积分别为，则正方形G的面积为 625 ． 20．如图，中，，．以点为圆心，长为半径作弧，交于点，以点为圆心，长为半径作弧，交于点．若，则 ． 21．如图所示，已知中，，，于，为上任一点，则等于 45 ． 22．如图，在一个边长为6cm的正方形纸片ABCD上，放着一根长方体木块，已知该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1cm的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达蜂蜜C处需爬行的最短路程是 　 10 　cm． 23．如图是一种笔记本电脑支架，它有A～F共6个档位调节角度，相邻两个档位距离为2cm，已知托架OK的长度为24cm，M点是支点且OM＝2MK．当支架调至A点时，AM⊥OK，当支架调至E档时，托架OK绕着点O旋转到OK′，此时M′E＝OE，则支点M′到OA的距离为 　cm． 二、解答题（共3小题，共30分） 22.(本题8分)如图,在 中， CD平分. ,交AB于点D,延长BC至点E,使连接AE. (1)试说明 (2)连接DE,若 求 的面积. 25．（本题10分）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形． （1）弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a．较短的直角边为b，斜边长为c，结合图①，试验证勾股定理； （2）如图②，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； （3）如图③，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，求． 26．（本题12分）如图，在等腰与等腰中，，连接，相交于点，连接，，．   （1）探究线段，有何关系？写出结论并说明理由． （2）若，，求的值． （3）直接写出的值． 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$