第三章 概率的进一步认识 单元练习2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第三章 概率的进一步认识 一、单选题 1．一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有9个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在，估计盒子中小球的个数n是（   ） A． B． C． D． 2．一个不透明的袋子里装有4个白球和若干个黑球，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并将摸出白球的频率绘制了如图所示的统计图．则从袋子中随机摸出一个球，估计摸到白球的概率为（   ） A． B． C． D． 3．下列说法正确的是（   ） A．某彩票的中奖概率是，那么买100张彩票一定有6张中奖 B．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近 C．某次试验投掷次数是500，计算机记录“钉尖向上”的次数是310，则该次试验“钉尖向上”的频率是 D．试验得到的频率与概率不可能相等 4．为了看图钉落地后钉尖着地的频率有多大，小明做了大量重复试验，发现钉尖着地的次数是试验总次数的，下列说法错误的是（　　） A．钉尖着地的频率是0.4 B．随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近 C．前10次试验结束后，钉尖着地的次数一定是4 D．前20次试验结束后，钉尖着地的次数不一定是8 5．某区为了解初中生体质健康水平，在全区进行初中生体质健康的随机抽测，结果如表，根据抽测结果，估计该区初中生体质健康合格的概率最可能是（   ） 累计抽测的学生数n 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 体质健康合格的学生数与n的比值 A． B． C． D． 6．有20张背面完全相同，正面涂有红色或绿色的卡片，将这20张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，记录颜色后放回，经过大量重复试验后发现，抽到红色卡片的频率稳定在．则红色卡片的数量约为（   ） A．8张 B．4张 C．10张 D．12张 7．如图，一个正六边形转盘被分成6个全等的正三角形．任意旋转这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针指向阴影区域的概率是（　　） A． B． C． D． 8．为发展学生的阅读素养，某校开设了《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目，甲、乙两名同学都通过抽签的方式从这四个阅读项目中随机抽取一个，则他们恰好抽到不同阅读项目的概率是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．《论语》、《孟子》、《大学》、《中庸》是中国古代的“四书”，是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．现有“四书”各一本，若从中随机抽取两本，则抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是 ． 10．如图，体育课上，甲、乙、丙三人相互做传球训练，每次传球时，传球人都可以将球传给另外两个人中的任何一人．若第一次由甲将球传出，则第二次传球结束后，球回到甲手中的概率为 ． 11．如图，在的正方形网格中，已将部分小正方形涂上阴影，有一只小虫自由地落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是 ． 12．一个不透明的袋子中装有四个小球，它们除了分别标有的数字1，2，3，4不同之外，其它完全相同，任意从袋子中摸出一球后不放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 ． 13．布袋中装有3个红球，5个白球，它们除了颜色外其它都相同．如果从袋中同时摸出两个球，那么所摸出的两球恰好都是白球的概率是 ． 三、解答题 14．现有4张形状大小质地均相同的卡片，正面分别印有短道速滑、花样滑冰、冰球、冰壶四种不同的卡通图案，背面完全相同，现将这4张卡片洗匀后正面向下放在桌子上．一次抽取一张卡片（不放回）． (1)若从中抽取一张卡片，则这张卡片正面图案是花样滑冰的概率是______． (2)用列表法或画树状图法，求从中随机抽取的两张卡片正面图案恰好是冰球图案和冰壶图案的概率． 15．如图，一个可以自由转动的转盘被等分成6个扇形，分别标有数字1，2，3，4，5，6，其中标有数字1的扇形的圆心角度数为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角度数均为；标有数字3，5的扇形的圆心角度数均为．甲乙两人利用这个转盘做游戏：转动转盘一次，转盘停止后，若指针指向奇数，则甲获胜；若指针指向偶数，则乙获胜．你认为这个游戏对甲乙双方公平吗？为什么？ 16．为了庆祝中华人民共和国成立75周年，某学校计划举办一系列丰富多彩的活动，旨在回顾历史，弘扬爱国主义精神，增强学生的国家认同感和社会责任感，李老师准备从9（2）班的A，B，C，3名学生中随机选取2名去参加演讲比赛． (1)“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是 （填“必然”或“不可能”或“随机”）事件； (2)请用列表法或画树状图法，求学生A，B都被选去参加演讲比赛的概率． 17．某校阅读社团将《西游记》中的四位人物的肖像制成编号为A、B、C、D的四张（除编号和人物肖像外其余完全相同）卡片，活动时学生根据所抽取的卡片来讲述他们在书中的故事． 游戏规则如下：先将四张卡片背面朝上，洗匀放好．小林先从中随机抽取一张，把剩下的3张卡片洗匀后，背面向上放好，小梅再从3张卡片中随机抽取一张． (1)小林抽到孙悟空的概率为 _________ ； (2)若他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系，则由小林讲述，否则由小梅讲，用列表法或画树状图法说明这个游戏规则对双方是否公平？ 18．为了让初中生更多地了解祖国的传统文化，培养他们的爱国主义情怀，弘扬中国传统文化，贵阳市某初中学校在端午节期间开展了“弘扬传统文化，传承中华美德”为主题的知识竞赛．全校有名学生参与了此次活动，活动结束后，小敏根据收集的数据，绘制出如图所示的统计图． (1)本次调查获取的样本数据的众数是________分； (2)请求出扇形统计图中“分”对应的圆心角的度数； (3)若在这次测试中，九年级有3名同学获得满分，3人中有两名男同学，一名女同学，学校决定从这3人中随机选出2人在升旗仪式时作为学生代表发言，请用列表法（或画树状图）求所选2人恰好是一男一女的概率． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．C 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是掌握利用频率估计概率． 根据利用频率估计概率得到摸到黄球的概率为，再根据概率公式计算n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 所以这个不透明的盒子里大约有个除颜色外其他完全相同的小球． 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了频率估计概率，根据将摸出白球的频率绘制成的统计图．得出摸到白球的频率在附近波动，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，将摸出白球的频率绘制成的统计图．得出摸到白球的频率在附近波动， ∴估计摸到白球的概率为， 故选：C 3．C 【分析】本题主要考查了概率与频率的定义及关系．根据概率与频率的定义及关系，逐一分析选项．概率是理论值，频率是试验结果，当试验次数足够多时，频率会接近概率，即可解答． 【详解】解：A选项：中奖概率并不意味着买100张必中6张，概率仅表示可能性，实际结果可能波动，故本选项错误，不符合题意； B选项：当试验次数大时，频率会稳定在概率附近，而非概率稳定在频率附近，故本选项错误，不符合题意； C选项：频率，故本选项正确，符合题意；． D选项：试验频率与概率可能相等，例如多次试验后频率可能恰好等于理论概率，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 4．C 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．频率所求情况数与总情况数之比．利用已知数据先求出频率，再估算概率分别判断即可． 【详解】解：A、钉尖着地的频率是：，故此选项正确，不符合题意； B、随着试验次数的增加，钉尖着地的频率逐渐稳定在某一个常数附近，故此选项正确，不符合题意； C、前10次试验结束后，钉尖着地的次数是4次左右，并不一定是4次，故此选项错误，符合题意； D、前20次试验结束后，钉尖着地的次数是8次左右，不一定是8次，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 5．A 【分析】本题考查利用频率估算概率，解题的关键是掌握利用频数估算概率的意义． 根据表格中的数据，结合概率是频率的稳定值，且试验次数越多，越趋近稳定值，进行判断即可． 【详解】解：由图表可知， 该区初中生体质健康合格的概率最可能是， 故选：A． 6．A 【分析】本题考查频率估计概率，根据概率公式求数量，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意可得抽到红色卡片的概率为，进而根据卡片的总数为20张，即可求解． 【详解】解：由题意可得，抽到红色卡片的概率为， 故红色卡片的数量为：（张）， 故选：A． 7．D 【分析】本题考查了几何概率．用到的知识点为：概率相应的面积与总面积之比．确定阴影部分的面积在整个转盘中占的比例，根据这个比例即可求出转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率． 【详解】解：如图：转动转盘被均匀分成6部分，阴影部分占1份，转盘停止转动时指针指向阴影部分的概率是． 故选：D． 8．A 【分析】本题考查概率的计算，掌握画树状图法或列表法是关键，事件发生的概率事件发生的次数所有可能出现的次数，解题的易错点是分清题目中抽签是否放回．先画树状图求出两位同学恰好都抽到不同阅读项目的情况，再根据概率公式求解即可． 【详解】解：设《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》四个整本书阅读项目分别为，画树状图如下： 一共有种等可能的结果，其中恰好抽到不同阅读项目的结果有种可能， ∴他们恰好抽到不同阅读项目的概率是， 故选：A． 9． 【分析】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．画树状图，共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：把《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为A、B、C、D， 画树状图如下： 共有12种等可能的情况，其中抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的结果有2种， ∴抽取的两本恰好是《大学》和《孟子》的概率是． 故答案为：． 10． 【分析】本题考查了画树状图法求概率，画出树状图，由图可知，共有种等可能的结果，其中第二次传球结束后，球回到甲手中的结果有种，然后利用概率公式求解即可，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：画出树状图如图所示， 由图可知，共有种等可能的结果，其中第二次传球结束后，球回到甲手中的结果有种， ∴第二次传球结束后，球回到甲手中的概率为． 11． 【分析】本题考查的是几何概率，用到的知识点是概率公式．求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值即可求解． 【详解】解：小虫落到阴影部分的概率， 故答案为： 12． 【分析】本题考查树状图法求概率．根据题意，画出树状图，得到所有等可能结果及满足题意的结果数，由简单概率公式代值求解即可得到答案． 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有12种等可能性，其中两次摸出的球所标数字之和为6的可能性有2种， ∴两次摸出的球所标数字之和为6的概率为， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：设红球为A，白球为B， 列表如下： A A A B B B B B A A A B B B B B ∴共有56种可能结果，其中所摸出的两球恰好都是白球的结果有20种， ∴所摸出的两球恰好都是白球的概率为． 故答案为：． 14．(1) (2) 【分析】本题考查列表法求概率，熟练掌握列表法和概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）用表示短道速滑、花样滑冰、冰球、冰壶四张卡片，列出表格进行求解即可． 【详解】（1）解：从中抽取一张卡片，则这张卡片正面图案是花样滑冰的概率是； （2）解：用表示短道速滑、花样滑冰、冰球、冰壶四张卡片，列表如下： / (,) (,) (,) (,) / (,) (,) (,) (,) / (,) (,) (,) (,) / 共12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片正面图案恰好是冰球图案和冰壶图案的情况有2种， ∴． 15．这个游戏对甲乙双方公平，理由见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断，分别求出甲获胜与乙获胜的概率，比较大小即可．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 【详解】解：这个游戏对甲乙双方公平，理由如下： 标有数字1的扇形的圆心角为；标有数字2，4及6的扇形的圆心角均为；标有数字3，5的扇形的圆心角均为， 指针指向奇数的有：，指针指向偶数的有：， 甲获胜乙获胜， 这个游戏对甲、乙双方公平． 16．(1)随机 (2) 【分析】本题主要考查了事件的分类，画树状图或列表法求概率，解题的关键是根据题意画出树状图或列出表格． （1）根据事件的分类方法进行解答即可； （2）根据题意画出表格，然后根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：“学生A，C都被选去参加演讲比赛”是随机事件． 故答案为：随机． （2）列表如下： A B C A B C 由表格可知，共有6种等可能的结果，其中学生A，B都被选去参加演讲比赛的结果有2种， ∴P（学生A，B都被选去参加演讲比赛）． 17．(1) (2)此游戏规则公平，理由见解析 【分析】本题考查的是概率公式的应用，利用列表或画树状图求解随机事件的概率； （1）直接根据概率公式求解即可； （2）列表可得所有等可能结果，从表格中得出取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果数，继而求出小林、小梅讲的概率，从而得出答案． 【详解】（1）解：小林抽到孙悟空的概率为， 故答案为：； （2）解：游戏规则公平，理由如下： 列表如下 A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，由表知，他们取出的两张卡片上对应的人物为师徒关系的结果有6种， ∴由小林讲的概率为， 则由小梅讲的概率为1， ∴此游戏规则公平． 18．(1) (2) (3) 【分析】本题考查了扇形统计图，求众数和列表法或画树状图求概率的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先计算分人数所占的百分比，则可判断分的人数最多，然后即可求解； （2）用乘以分人数所占的百分比，然后即可求解； （3）画树状图展示6种等可能的结果，再找出所选2人恰好是一男一女的结果数，然后即可求解； 【详解】（1）解：∵， 即， ∴分的人数最多； 即本次调查获取的样本数据的众数是分， 故答案为：90； （2）解：扇形统计图中“分”对应的圆心角的度数为：； （3）解：画树状图： 共有6种等可能的结果，其中所选2人恰好是一男一女的结果数为4， ∴所选2人恰好是一男一女的概率为：； 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$