2026届河北省河北昌黎第一中学高三数学暑假作业5

河北昌黎第一中学 朴 诚 勤 敏 河北昌黎第一中学2026届高三年级数学暑假作业5 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则 A. B. C. D. 2.已知向量，满足，，且，则 A. B. C. D. 3.已知复平面内坐标原点为，复数对应点，满足，则 A. B. C. D. 4.半径为的球内有一个高为的正四棱锥，则该球与该内接正四棱锥体积之比为 A. B. C. D. 5.已知抛物线的焦点为，准线为，是抛物线上位于第一象限内的一点，过点作的垂线，垂足为，若直线的倾斜角为，则 A. B. C. D. 6.若，，，则 A. B. C. D. 7.将按照某种顺序排成一列得到数列，对任意，如果，那么称数对构成数列的一个逆序对.若，则恰有个逆序对的数列的个数为 A. B. C. D. 8.若不等式组（）对任意的恒成立，则的最小值为 A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知椭圆的两个焦点分别为，，是上任意一点，则 A.的离心率为 B.的周长为 C.的最大值为 D.的最大值为 10.已知函数，则下列说法正确的有 A.函数的最小正周期为 B.函数在区间上单调递减 C.将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象 D.若，则 11.已知函数，则下列结论正确的有 A.函数的值域为 B.函数的图象关于点成中心对称 C.函数的导函数的图象关于直线对称 D.若函数满足为奇函数，且其图象与函数的图象有个交点，记为（），则 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量，则的值为______. 13.已知角满足，，则______. 14.定义在上的奇函数，当时，则函数的所有零点之和为______. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 在中，内角的对边分别为，已知，，点在边上，且. （1）求的长； （2）若，求的值. 16.（15分） 无人驾驶被视为推动社会进步和改善生活质量的重要工具，但其安全性和对劳动就业的影响也受到人们的质疑.为了解某大学的学生对无人驾驶的态度，随机调查了该校96名大学生，调查结果如下表所示： 对无人驾驶的态度 支持 中立 反对 频数 48 32 16 用样本的频率分布估计该校每名学生对无人驾驶态度的概率分布，且学生的态度相互独立.为衡量学生对无人驾驶的支持程度，每名支持者得5分，每名中立者得3分，每名反对者得1分. （1）从该校任选2名学生，求他们的得分不相同的概率. （2）从该校任选3名学生，求他们的得分之和为7的概率. （3）从该校任选名学生，其中得分为5的学生人数为，若，利用下面所给的两个结论，求正整数的最小值. 结论一：若随机变量，则随机变量近似服从正态分布； 结论二：若随机变量，则，. 17.（15分） 已知函数，。 （1）当时，判断的单调性； （2）当时，记的零点为，的极小值点为，判断与的大小关系，并说明理由。 18.（17分） 已知双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线与双曲线的右支交于，两点。 （1）若直线的斜率存在，求的取值范围； （2）记直线，的斜率分别为，，求的值； （3）设为直线与直线的交点，，的面积分别为，，求的最小值。 19.（17分） 在空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成，其中，，且为该平面的法向量。已知集合，，。 （1）设集合，记中所有点构成的图形的面积为，中所有点构成的图形的面积为，求和的值。 （2）记集合中所有点构成的几何体的体积为，中所有点构成的几何体的体积为，求和的值。 （3）记集合中所有点构成的几何体为。 ①求的体积的值； ②求的相邻（有公共棱）两个面所成二面角的大小，并指出的面数和棱数。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北昌黎第一中学 朴 诚 勤 敏 河北昌黎第一中学2026届高三年级数学暑假作业5 答案解析 1.A 2.C 3.C 4.B 5.B 6.B 7.B 8.A 9.BD 10.ACD 11.BCD 12.16 13. 14. 15. (1) 如图所示，记 的长为 ，由 可知， 在 中，，在 中，， （3分） 又 ，得 ，则 ，即 ，解得 ，即 （5分） (2) 由(1)可得 ，，又 ， 由余弦定理 ，即 ， 可得 ，即 （7分） 由 ，有 或 （9分） 则 或 （13分） 16.(1) 由题可知该校每名学生得1分的概率为，得3分的概率为，得5分的概率为，故从该校任选2名学生得分不相同的概率为 （3分） (2) 因为 ，所以从该校任选3名学生，他们的得分之和为7的概率为 （6分） (3) 易知 ，设 （8分） 根据结论一，知 （9分） 再根据结论二，知 （11分） 由条件知，所以，解得 ，所以正整数 的最小值为11 （15分） 17. (1) 当 时，， 的定义域为 ， 所以。 令，解得，令，解得，所以在上单调递增，在上单调递减。（4分） (2)因为，则，当时，有，故在上单调递增。（5分） 又，，所以存在唯一的，使。（7分） 因为，则，令，则， 所以在上单调递增，即在上单调递增，（9分） 又，，所以存在，使，则当时，； 当时，。（11分） 所以在上单调递减，在上单调递增，所以为的极小值点， 故，由可得，故，（12分） 所以。 又，所以。 又因为，，且在上单调递增，所以。（15分） 18. (1) 设，，直线的方程为，联立，得，整理得。（2分） 因为， 直线与双曲线的右支交于两点，可得，解得。（5分） 又由直线的斜率，可得的取值范围是。（6分） (2) 由双曲线，可得，。 由(1)可得，，则。（7分） 所以。（11分） (3) 由(2)可知，所以直线与直线的方程分别为和。 联立两直线方程可得交点的横坐标为。（13分） 于是 ， 故的最小值为，当且仅当时等号成立。（17分） 19.卡版答案 (1) 集合表示平面上所有的点， 表示以这八个点为顶点形成的正方体内所有的点，而可看成正方体在平面上的截面内所有的点。 发现它是边长为的正方形，因此。（1分） 对于，当时，表示经过的平面在第Ⅰ卦限的部分。 由对称性可知表示以这六个点为顶点的正八面体内所有的点。（3分） 而可以看成正八面体在平面上的截面内所有的点。 它是边长为的正方形，因此。（4分） (2) 集合的子集中所有的点构成的几何体为三个坐标平面与围成的四面体。 四面体四个顶点分别为，此四面体的体积。 由对称性知，。（6分） 集合的子集中所有的点构成的几何体为棱长为的正方体， 显然中所有的点构成的几何体为两个几何体的公共部分，记。 容易验证在平面上，同时也在的面上。 则中所有的点构成的几何体为中所有的点的正方体截去三棱锥所剩下的部分。 中所有的点构成的几何体的体积，三棱锥的体积。 故中所有的点构成的几何体的体积。（8分） 由对称性知，。（9分） (3) 如图所示为中所有的点构成的几何体。 其中正方体即集合中所有的点构成的几何体，是一个正四棱锥，其中到面的距离为。 ①，。（11分） ②由题意得平面的方程为，由题干定义知其法向量；（13分） 平面的方程为，由题干定义知其法向量。（14分） 故。（15分） 由图知两个相邻的面所成的二面角为钝角，故的相邻两个面所成角为。（16分） 由图可知共有个面，条棱。（17分） 2 学科网（北京）股份有限公司 $$