21.2.2公式法 导学案2025-2026学年人教版（2012）数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的公式法，核心知识点为根的判别式及公式法解一元二次方程。通过知识预习引导学生用配方法推导求根公式，衔接之前配方法知识，搭建学习支架帮助学生构建知识脉络。 资料特色在于知识预习环节培养学生抽象能力与推理意识，引导自主推导公式理解数学原理。试题练习分题型设计，覆盖根的判别应用、参数求解等，提升运算能力与应用意识，助力学生用数学语言表达和解决问题。

第二十一章·一元二次方程 21.2.2公式法（精品导学案） 课标要求：明确教学方向标准 学习目标：规定学生达成结果 重难分析：剖析知识关键壁垒 知识预习：引导课前内容初探 试题练习：检验应用掌握程度 【课标要求】 · 掌握一元二次方程根的判别式. · 能用公式法解一元二次方程 【学习目标】 · 掌握一元二次方程根的判别式，能够判断一元二次方程根的情况以及根据根的情况求值. · 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤，能够熟练运用公式法解一元二次方程. 【重难分析】 重点： · 掌握一元二次方程根的判别式. · 掌握公式法解一元二次方程的基本步骤. 难点： · 能够判断一元二次方程根的情况以及根据根的情况求值. · 熟练运用公式法解一元二次方程. 【知识预习】 1.用配方法解一般形式的一元二次方程， 移项，得：， 二次项系数化为1，得：， 配方，得：，即， 因为，所以，式子的值有以下三种情况： （1）当，方程有两个不等的实数根 ； （2）当，方程有两个相等的实数根 ； （3）当，方程有无实数根； 2.一般地，式子叫做一元二次方程的根的 ，通常用希腊字母“ ”表示，即． 3.当时，方程的实数根可写为：的形式，这个式子叫做一元二次方程的 ．求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程的结果．解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做 ． 答案： 1. ， 2. 判别式 3. 求根公式 公式法 【试题练习】 题型1． 利用根的判别式判断根的情况 1.关于x的一元二次方程的根的情况是( ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.关于x的一元二次方程的根的情况( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 3.已知关于x的一元二次方程，其中m，n满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是( ) A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 4.关于x的方程根的情况为( ) A.有两个相等的实数根 B.有两个不相等的实数根 C.无实数根 D.只有一个实数根 5.下列方程有两个不相等实数根的是( ) A. B. C. D. 题型2． 根据根的情况求未知字母的值或范围 6.关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是( ) A. B. C. D. 7.关于x的方程有两个不相等的实数根，m的值可以是( ) A. B.1 C. D.2 8.若关于x的方程有实数根，则k的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 9.关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是( ) A. B. C.且 D.且 10.若一元二次方程有两个相等的实数根，则它的根是________. 11.如果关于x的方程有实数根，那么m的取值范围是_______. 题型3． 根据求根公式确定方程 12.若一元二次方程的根为,则该一元二次方程可以为( ) A. B. C. D. 13.在用求根公式求一元二次方程的根时,小慧同学正确地代入了a、b、c,得到,则她求解的一元二次方程是( ) A. B. C. D. 14.用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是__________. 题型4． 利用公式法解一元二次方程 15.如果关于x的一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是( ) A. B. C. D. 16.关于x的一元二次方程（，）的根是( ) A. B. C. D. 17.利用公式法解一元二次方程，可得两根为a，b，若，则a的值为( ) A. B. C. D. 18.用指定的方法解方程 (1)(用配方法). (2)(公式法). 19.用公式法解一元二次方程： （1）； （2）. 答案以及解析 【试题练习】 1.答案：A 解析：对于一元二次方程，其根的判别式， 在方程中，，，， 将a，b，c的值代入判别式中，可得： 因为任何数的平方都大于等于0，即，所以，也就是. 当时，一元二次方程有两个不相等的实数根. 所以方程有两个不相等的实数根， 故答案选：A. 2.答案：B 解析：一元二次方程中，， 一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B. 3.答案：C 解析：， ， 原方程有两个不相等的实数根，故选C. 4.答案：C 解析：对于方程,其判别式为： 由于,则,因此. 故判别式恒为负数,方程无实数根, 故选：C. 5.答案：A 解析：A选项，即，此时，该方程有两个不相等实数根，符合题意，A选项正确； B选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，B选项错误； C选项，即，此时，该方程有两个相等实数根，不符合题意，C选项错误； D选项，，此时，该方程无实数根，不符合题意，D选项错误. 故选：A. 6.答案：B 解析：关于x的一元二次方程有实数根， ， 解得. 故选：B. 7.答案：A 解析：关于x的方程有两个不相等的实数根， ，解得：. 故m的值可以为， 故选：A. 8.答案：B 解析： 9.答案：D 解析：根据题意得解得且.故选D. 10.答案：或 解析：一元二次方程有两个相等的实数根， ， ， 或， 当时， 原方程为：， ， 解得：， 当时， 原方程为：， ， 解得：， 故答案为：或 11.答案： 解析：当方程是一元一次方程时， 根据题意得，， ∴； 当方程是一元二次方程时， ∵关于x的方程有实数根 ∴ 解得. 综上所述，m的取值范围是. 故答案为：. 12.答案：A 解析：∵, ∴,,, ∴该一元二次方程可以为, 故选：A. 13.答案：B 解析：∵小慧利用求根公式求出方程的解为, ∴,,, ∴该一元二次方程为, 故选：B. 14.答案： 解析：设一元二次方程为，则，与对比， ，，，该一元二次方程为.故答案为. 15.答案：A 解析：，，， 时，关于x的一元二次方程能用公式法求解. 16.答案：A 解析：，方程的根是，故选A. 17.答案：A 解析：，，，， ，. 一元二次方程的两根为a，b，，的值为.故选A. 18.答案：(1), (2), 解析：(1), , , ∴,； (2) ∵,,, , ∴, ∴, 19.答案：（1）， （2）， 解析：（1），，，， ， 该方程有两个不相等的实数根， ， ，. （2），化成一般形式为， ，，， ，该方程有两个不相等的实数根， ， ，. 学科网（北京）股份有限公司 $$