19.1 矩形 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假巩固 一、用定义判定矩形 1.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 2.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 3.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形． 5.已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为           . 6.如图，在中，E，F为边上的两点，，．求证： (1)． (2)平行四边形是矩形． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 二、用角判定矩形 1.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 2.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 3.图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，）. 对于两人的作业，下列说法正确的是(　　) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 4.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面          （填“合格”或“不合格”）． 5.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 6.如图所示，点是线段上的一点，，平分交于点，平分，于点，求证：四边形是矩形． 7.如图，已知在中，，，，P为边上一动点，于点M，于点N． 求证：四边形是矩形． 三、用对角线判定矩形 1.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 2.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 3.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 4.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 5.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 6.如图，在中，，，D是的中点，E是线段延长线上一点，过点A作，与线段的延长线交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； 7.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 四、矩形中的折叠问题 1.将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点的对应点为，与交于点，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，，，将沿折叠使点恰好落在对角线上处，则的长是(　　) A.3 B. C.5 D. 3.如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形．若，，则的长为（　　）    A. B. C. D. 4.矩形中，，，点在射线上运动，将 沿折叠， 的对应点 恰好落在直线上，则的长为      . 5.如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为      ． 6.如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处，若，，求的长． 7.如图，矩形中， E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F， 若，，求的长.    五、利用矩形的性质求线段的长度 1.如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（    ）． A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，，过对角线的交点O作，交于点E，交于点F，则的长是(　　) A.3 B. C. D. 3.如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　) A.3 B.4 C. D.5 4.已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则      ． 5.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是          ． 6.如图，矩形ABCD的边AB在直角三角形EFG的斜边EG上滑动，已知△EFG中，；，，矩形ABCD的边，若． (1)________； (2)求线段AE的长． 7.如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 六、利用矩形的性质求面积 1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 2.如图，矩形的长为6，宽为3，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为(　　) A.9 B.18 C.12 D.15 3.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为        ． 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是CD中点，且∠COD=60°．如果AB=2，那么矩形ABCD的面积是    ． 6.如图，在矩形中，平分交于点E，点F为上一点，连接，，满足，，延长交于点G，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求矩形的面积． 7.已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积． 七、利用矩形的性质证明 1.证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．    证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是(　　) A. B. C. D. 2.如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 3.如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 4.小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，，  ① °． ， ， ，  ② ． 又， ③ ，  ④  ．  ⑤ ． 又， ． 5.如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是      ．（填序号） 6.已知：如图，四边形是矩形，，求证：． 7.如图，已知四边形是矩形．延长至E使．连接分别交，于点G，F，且． (1)过点C作，交的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形； (2)连结，求证：． 八、利用矩形的性质求角度 1.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 2.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 3.如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 4.矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为           ． 5.如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则    度．    6.如图，在矩形中，对角线和相交于O点，平分交于点E，且．      (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 7.如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． 九、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 2.如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 3.如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是          .（填一个即可） 5.如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是      （填一个即可）． 6.如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 7.如图，四边形是平行四边形，过中点O且交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 十、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 2.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 3.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 4.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 5.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 6.如图1，在中，，点在边上，过点作交于点，作交于点． （1）求证：． （2）如图2，，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 7.如图，平行四边形的对角线相交于点，延长至点，连接．现有以下信息：①；②；③． 从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由． 你选择的条件是______，结论是______（填写序号）．并说明理由. 十一、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　) A.23 B.16 C.22 D.15 2.如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 3.如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 4.如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，且，点在边上，连接，，若，则的最小值是          ． 5.如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是    ．      6.如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若，求的度数． 7.如图，在中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 华东师大版八年级下册 19.1 矩形 暑假巩固（参考答案） 一、用定义判定矩形 1.在▱ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，连接AF、CE．连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是(　　) A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】连接AC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴AE=CF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴AE∥CF， ∵AE=CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC=BC，E是AB的中点， ∴CE⊥AB， ∴∠AEC=90°， ∴四边形AECF是矩形, 故选：B. 2.如图，关于四边形的4个结论中，推导顺序正确的是(　　)    ①它两组对边分别相等；②它是矩形；③它是平行四边形；④它有一个角是直角． A.④②①③ B.①③④② C.②④①③ D.③①④② 【答案】B 【解析】两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形． A：有一个角是直角的四边形不一定是矩形，故④不能推导出②，故A错误； B：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．故B正确； C：矩形本身就是平行四边形，不需要由矩形去证明它本身平行四边形，故C错误； D：应先确定该四边形是平行四边形，故D错误． 故选：B． 3.下列图形一定为矩形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； B.只有两个角是直角，进而证明有一组对边平行，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； C.有两个角是直角，可以证明边长为3的两边平行，则该四边形是平行四边形，再由有两个角是直角，可证明该四边形是矩形，符合题意； D.只有两个角是直角，无法证明该四边形是矩形，不符合题意； 故选C． 4.如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，DF∥AB，DE∥AC，则当∠B＝　　°时，四边形AEDF是矩形． 【答案】45 【解析】当∠B＝45°时，四边形AEDF是矩形． ∵DF∥AB，DE∥AC， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝45°， ∴∠A＝90°， ∴四边形AEDF是矩形． 故答案为45． 5.已知Rt△ABC，∠ABC=90°，小明按如下步骤作图，①以A为圆心，BC长为半径作弧，以C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点D；②连接DA，DC，则四边形ABCD为           . 【答案】矩形 【解析】根据小明的作图方法可知：AD＝BC，AB＝DC，∠B＝90°， ∵AD＝BC，AB＝DC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵∠B＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 故答案为：矩形． 6.如图，在中，E，F为边上的两点，，．求证： (1)． (2)平行四边形是矩形． 【答案】证明：（1）四边形是平行四边形， ， ∵，， ∴； （2）∵， ， 四边形是平行四边形， ∴， ， ， 平行四边形是矩形． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、DC上的点，且AE＝CF，∠DEB＝90°． 求证：（1）∠ADE＝∠CBF； （2）四边形DEBF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，∠A＝∠C， 在△ADE和△CBF中， ， ∴△ADE≌△CBF（SAS）； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∵AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF， 即BE＝DF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∠DEB＝90°， ∴四边形DEBF是矩形． 二、用角判定矩形 1.求证：有三个角是直角的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形中，． 求证：四边形是矩形． 证明：∵， … ∵， ∴四边形是矩形．    下面是“…”部分被打乱顺序的证明过程：①∴四边形是平行四边形；②∴，；③∴，，则正确的顺序是(　　) A.③②① B.③①② C.②③① D.①②③ 【答案】A 【解析】∵， ③∴，． ②∴，． ①∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是矩形． 所以，顺序为③②①． 故选：A． 2.如图，已知的四个内角的平分线分别交于点、、、，则四边形的形状是(　　)    A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 【答案】B 【解析】因为四边形是平行四边形， 所以，, 则，，, 因为、、、分别是、、、的角平分线， 所以，， 所以，, 在中，， 即； 在中，， 即； 在中，， 即； 所以四边形是矩形, 故选：B. 3.图是甲、乙两名同学的作业（题中为等腰三角形，）. 对于两人的作业，下列说法正确的是(　　) A.两人都对 B.两人都不对 C.甲对，乙不对 D.甲不对，乙对 【答案】A 【解析】由甲同学的作业可知，，， ∴平分， 又∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， 由乙同学的作业可知，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， 综上，甲、乙两位同学的作业都符合题意， 故选：A． 4.木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为，宽为，对角线为，这个桌面          （填“合格”或“不合格”）． 【答案】合格 【解析】∵， 即：， ∴， 同理：， ∴四边形是矩形， ∴这个桌面合格． 故答案为：合格． 5.工人师傅在测量一个门框是否是矩形时，只需要用到一个直角尺，则他用到的判定方法是　　　　　　　　． 【答案】三个角是直角的四边形为矩形 【解析】用直角尺测量门框的三个角是否都是直角，如果都是直角，则四边形是矩形． 故答案为：三个角是直角的四边形为矩形. 6.如图所示，点是线段上的一点，，平分交于点，平分，于点，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：平分，平分已知， ，， ， ， ， ， ，平分已知， ，等腰三角形的“三合一”的性质， ， ， ， 四边形是矩形． 7.如图，已知在中，，，，P为边上一动点，于点M，于点N． 求证：四边形是矩形． 【答案】证明：在中，，，， 又 ，即， 为直角三角形，且， 于点M，于点N， ， 四边形是矩形． 三、用对角线判定矩形 1.如图，有甲、乙两个四边形，分别标出了部分数据，则下列判断正确的是(　　) A.甲是矩形 B.乙是矩形 C.甲、乙均是矩形 D.甲、乙都不是矩形 【答案】A 【解析】由题意知，甲中对角线相等且互相平分， ∴甲中四边形是矩形， 如图乙，记的交点为， 由图可知，，的数量关系未知， ∴乙中四边形不一定是矩形， 故选：A． 2.下列能够判断四边形是矩形的是(　　) A.两组对角相等 B.对角线互相垂直 C.对角线互相垂直且相等 D.对角线互相平分且相等 【答案】D 【解析】.两组对角相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相垂直且相等的四边形不一定是矩形，故此选项不能判定四边形是矩形，不符合题意，排除； .对角线互相平分且相等四边形是矩形，故此选项能判定四边形是矩形，符合题意； 故选：． 3.如图，平行四边形中，对角线，相交于点O，，若要使平行四边形为矩形，则的长应该为(　　)    A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形，， ∴， 当时， ∴， ∴平行四边形是矩形， 故选：A． 4.在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是        形． 【答案】矩 【解析】四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 5.如图，四边形的对角线相交于点，且，则它是        形． 【答案】矩 【解析】∵， ∴四边形为平行四边形，， ∴四边形为矩形． 故答案为：矩． 6.如图，在中，，，D是的中点，E是线段延长线上一点，过点A作，与线段的延长线交于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，试判断四边形是什么特殊四边形，并证明你的结论； 【答案】（1）证明：， ，， 是的中点， ， 在和中， ， ， ； （2）解：四边形是矩形．证明如下： ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， 四边形是矩形． 7.如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，点E，F在上，，连接． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求证：四边形是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴四边形为平行四边形． （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 四、矩形中的折叠问题 1.将矩形按如图方式放置在平面直角坐标系中，，，若将其沿着对角线对折后，点的对应点为，与交于点，则点的坐标为(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】矩形中，， ，，， 由折叠的性质得，， ， ， 设，而，则， ， ， ， ， ， 故选C． 2.如图，在矩形中，，，将沿折叠使点恰好落在对角线上处，则的长是(　　) A.3 B. C.5 D. 【答案】C 【解析】矩形， ， 由折叠可得，，，， 在中，，， 根据勾股定理得：，即， 设，则有， 根据勾股定理得：， 解得：， 则， 故选：C． 3.如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形．若，，则的长为（　　）    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】如图，    由折叠过程可知：，，，，，，，， ∴， 同理， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理知， ∴， 故选：B． 4.矩形中，，，点在射线上运动，将 沿折叠， 的对应点 恰好落在直线上，则的长为      . 【答案】 或 【解析】如图，当点在线段上时，    ∵矩形， ∴，，， 由折叠知，，， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， 即； 如图，当点在线段的延长线时，    此时，， ∴， 解得， 即， ∴ 的长为或， 故答案为： 或 ． 5.如图，将矩形沿对角线所在直线折叠，点落在同一平面内，落点记为，与交于点，若，，则的长为      ． 【答案】5 【解析】四边形为矩形， ，，， , 由题意得：， ， 设，则, , 由勾股定理得： ， 即， 解得：， ． 故答案为：5． 6.如图，将矩形纸片折叠，使边落在对角线上，折痕为，且D落在F处，若，，求的长． 【答案】解：在矩形中，，， ∴，， ∴， 根据折叠可得：， ∴，， 设，则，，， 在中，， 即， 解得：， ∴． 7.如图，矩形中， E是的中点，将沿折叠后得到，延长交于点F， 若，，求的长.    【答案】解：连接，如图所示：   四边形是矩形， ，， 由折叠的性质可知：，， 是的中点， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴， 由折叠的性质得：， ， ． 五、利用矩形的性质求线段的长度 1.如图1是办公桌摆件，在图2中，四边形是矩形，若对角线，垂足是，，，，则（    ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是矩形，则，又，， ∴， ∵，对角线， ∴， 故选：C． 2.如图，在矩形中，，过对角线的交点O作，交于点E，交于点F，则的长是(　　) A.3 B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴，，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 故选：B． 3.如图，矩形中，对角线、交于点O．若，，则的长为(　　) A.3 B.4 C. D.5 【答案】B 【解析】四边形是矩形，且， ， ， 是等边三角形，， 故选：B． 4.已知，矩形，点在边上，点在边上，连接、交于点．若，，，．则      ． 【答案】6 【解析】如图所示，过点作，垂足为，交于点H， ∵四边形是矩形， ∴，, ∴， ∵，，， ∴, ∴, ∴,， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：6． 5.如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长是          ． 【答案】4 【解析】∵∠BOC＝120°， ∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD， ∴OA＝OB， ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∵AB＝2， ∴OA＝OB＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4, 故答案为：4． 6.如图，矩形ABCD的边AB在直角三角形EFG的斜边EG上滑动，已知△EFG中，；，，矩形ABCD的边，若． (1)________； (2)求线段AE的长． 【答案】解：（1）∵，，， ∴由勾股定理可得： ； 故答案为：10； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠DAG = 90°， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴线段AE的长为：． 7.如图，将矩形绕点顺时针旋转，使点恰好落在上的点处，得到矩形，连交于，连接．    (1)求证：． (2)若，求长． 【答案】解：（1）四边形是矩形， ， ， 将矩形绕点顺时针旋转至矩形点正好落在上的点处， ， ， ， ， ， ， ； （2）如图，过点作于，过点作于，    四边形是矩形， ， 将矩形绕点顺时针旋转， ，，， ， ， ， 在和中， ， （）， ，， ， ． 六、利用矩形的性质求面积 1.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，．若，则矩形ABCD的面积是(　　) A.16 B. C.32 D. 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=2AO，BD=2BO，AC=BD，∠ABC=90°， ∴AO=OB， ∵∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO=AB， ∴AC=2AO=8， ∴， ∴矩形ABCD的面积=AB•BC=． 故选：B． 2.如图，矩形的长为6，宽为3，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成两部分，则图中阴影部分的面积为(　　) A.9 B.18 C.12 D.15 【答案】A 【解析】因为矩形的面积为18，O为对角线交点，过点O任画一条直线，将矩形分成面积相等的两部分，所以阴影部分的面积为9． 故选A． 3.数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图所示）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．那么对于这个图中各部分的面积关系，说法不一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据题意可知，故A正确； 根据矩形的性质得，，故B，D正确， 而与不一定相等， 故选：C． 4.如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为        ． 【答案】24 【解析】由题意，空白部分是矩形，长为6﹣2＝4（cm），宽为4﹣1＝3（cm）， ∴阴影部分的面积＝6×4×2﹣2×4×3＝24（cm2）， 故答案为：24． 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是CD中点，且∠COD=60°．如果AB=2，那么矩形ABCD的面积是    ． 【答案】4 【解析】∵四边形ABCD是矩形, ∴OA＝BO，∠COD=∠AOB＝60°, ∵∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝OB＝2， ∴∠BAD＝90°，AO＝COAC，BO＝DOBD，AC＝BD＝2OB＝4， ∴AD2， ∴矩形ABCD的面积＝AB×AD＝2×24； 故答案：4． 6.如图，在矩形中，平分交于点E，点F为上一点，连接，，满足，，延长交于点G，连接． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，求矩形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形为矩形， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∴． （3）解：∵， ∴，设，则，， ∴， ∴， 解得， ∴． 7.已知，如图，四边形ABCD是矩形，AD＞AB． （1）请用无刻度的直尺和圆规在AD上找一点E，使得EC平分∠BED；（不要求写作法，但要保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，若AB＝3，DE＝1，求△BEC的面积． 【答案】解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E； （2）由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=x-1， 在△ABE中，∠A=90°， ∴AB2+AE2=BE2， 故32+（x-1）2=x2， 解得x=5， ∴△BEC的面积为×5×3=7.5． 七、利用矩形的性质证明 1.证明：矩形的对角线相等． 已知：如图，在矩形中，连接，．求证：．    证明：四边形是矩形，，______． 又，，． 则“______”在处应该补充的证明过程是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴． 则在“______”处应该补充的证明过程是， 故选：C． 2.如图，点P是矩形的对角线上一动点，过点P作的垂线，分别交边于点E，F，连接．则下列结论不成立的是（　　） A.四边形的面积是定值 B.的值不变 C.的值不变 D. 【答案】C 【解析】过点C作，交的延长线于点G， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，即， ∴四边形的面积是定值，故A正确； ∵， ∴的值不变，故B正确； ∵， ∴，故D正确； ∴的值不变不成立， 故选：C． 3.如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，在下列结论中，不一定正确的是（　　）    A. B. C. D. 【答案】D 【解析】A.由矩形，可得，， ． 又， ，故A正确； B.由，可得， 由矩形，可得， 又， ，故B正确； C.由，可得， 由矩形，可得， ，故C正确； D.不一定等于， 直角三角形中，不一定等于的一半，故D错误； 故选：D． 4.小明在学习矩形时发现：在矩形中，点E是边上一点，过点E作交边CD于点F，若，则．他的证明思路是：利用矩形的性质得三角形全等，从而使问题得以解决．请根据小明的思路将下面证明过程补充完整．    证明：四边形是矩形， ，，  ① °． ， ， ，  ② ． 又， ③ ，  ④  ．  ⑤ ． 又， ． 【答案】①90； ②；③；④；⑤ 【解析】四边形是矩形， ，，    °（直角三角形两锐角互余）． ， ， ，    （同角的余角相等）． 又，  （已知），    ．   （全等三角形的对应边相等）． 又， ． 5.如图，在矩形中，平分交于点，点是边上一点（不与点重合）．点为上一动点，，将绕点逆时针旋转后，角的两边交射线于，两点，有下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是      ．（填序号） 【答案】③④ 【解析】，， ， 平分， ， 为等腰直角三角形， ， 在和中， ， ， ； 为等腰直角三角形， ，， ， ；故③正确， ，， ，故④正确， 无法证明①；②； 故答案为：③④． 6.已知：如图，四边形是矩形，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是矩形， ∴，，           ∵， ∴，           ∴，           ∴，           ∴， ∴． 7.如图，已知四边形是矩形．延长至E使．连接分别交，于点G，F，且． (1)过点C作，交的延长线于点M．求证：四边形是平行四边形； (2)连结，求证：． 【答案】证明：（1）如图， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）过点A作交于点N， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 八、利用矩形的性质求角度 1.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故选：D． 2.如图，在矩形中，对角线与相交于点，过点作的垂线，垂足为，已知，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的度数为， 故选：D． 3.如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数为(　　)    A. B. C. D. 【答案】B 【解析】连接，    四边形是矩形， ，，，， ， ∵，，， ∴， ∴, ， ， ， , ， ， ． 故选：B． 4.矩形中，对角线交于点O，于E，且，则的度数为           ． 【答案】或 【解析】分两种情况： （1）如图，当为锐角时，    矩形中，， ， 设，则， ， ， ，即， ， ，即； （2）如图，当为钝角时，    ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 又矩形中，， ， 是等边三角形， ， ， 综上可知，的度数为或． 故答案为：或． 5.如图，矩形的对角线与相交于点，过点作，交于点，连接．若，则    度．    【答案】 【解析】∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6.如图，在矩形中，对角线和相交于O点，平分交于点E，且．      (1)求证：为等边三角形； (2)求的度数． 【答案】解：（1）∵矩形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7.如图，在矩形中，对角线，相交于点，于点，于点． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴，AC=BD, ∴OA=OD, ∵AE⊥BD于点E，DF⊥AC于点F， ∴∠AEO=∠DFO=90°， 在△AEO和△DFO中， , ∴△AEO≌△DFO（AAS）， ∴AE=DF， （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD=90°，OA=OB， ∴∠OAB=∠OBA， ∵∠BAE：∠EAD=2：3， ∴∠BAE=36°， ∵∠AEB=90°, ∴∠OBA=∠OAB=90°-36°=54°， ∴∠EAO=∠OAB-∠BAE=54°-36°=18°． 九、添一条件使四边形是矩形 1.如图，在中，于点E，点在边的延长线上，则添加下列条件不能证明四边形是矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ，， 四边形是矩形，故A不符合题意； ， ， ∵，， 四边形是矩形，故B不符合题意； ， ， 即， ， 四边形是平行四边形， 又， ， 平行四边形是矩形，故C不符合题意； ， ，故四边形不能判定是矩形，故D符合题意； 故选：D． 2.如图，在中，对角线与交于点，添加下列条件不能判定为矩形的只有(　　) A. B.，， C. D. 【答案】D 【解析】A.正确．对角线相等的平行四边形是矩形． B.正确．，，， ， ， 平行四边形为矩形． C.正确，， ， ， 平行四边形是矩形， D.错误．对角线垂直的平行四边形是菱形． 故选：D 3.如图，四边形是平行四边形，添加下列一个条件不能判定四边形为矩形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵四边形是平行四边形，补充， ∴四边形是矩形，故A不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，补充， ∴， ∴四边形是矩形，故B不符合题意； ∵四边形是平行四边形，补充， ∴四边形是矩形，故C不符合题意； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴不能判定四边形是矩形，故D符合题意； 故选：D． 4.如图，在中，相交于点O，点E、F在上，，顺次连接A、F、C、E，添加一个条件使得四边形是矩形，则该条件可以是          .（填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 故答案为：． 5.如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是      （填一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【解析】添加的条件是（答案不唯一）， 理由是：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 6.如图，在中，D是边上一点，E是的中点，过C作，交的延长线于点F． (1)求证：； (2)连接．若D是的中点，在中添加什么条件时，四边形是矩形？请证明你的结论． 【答案】解：（1）∵E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）当时，是矩形． 连接，   ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴是等腰三角形， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 7.如图，四边形是平行四边形，过中点O且交的延长线于点E． (1)求证：； (2)连接，，请添加一个条件，使四边形为矩形．（不需要说明理由） 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是中点， ， ，，， ∴； （2）解：添加条件是，四边形是矩形． 理由如下： ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，且四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 十、综合利用矩形的判定与性质进行证明 1.已知：如图，在平行四边形中，、分别为边、的中点，是对角线，且，交的延长线于，连接，若．下列结论中：①；②四边形是矩形；③；④．其中正确的是(　　) A.①②③④ B.①② C.①③ D.①②④ 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴． ∵、分别为边、的中点， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； ②∵且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形，故②正确； ③连接， ∵四边形是矩形， ∴过点E，． 若，则，显然与不一定相等，故③不正确； ④∵四边形是矩形， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． ∵为边的中点， ∴， ∴， ∴，故④正确． 故选D． 2.平行四边形中，，则下列结论不一定正确的是(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵平行四边形中，， ∴四边形是矩形， ∴，，但对角线不一定垂直， 故选项C不一定正确； 故选：C． 3.已知四边形中，，对角线相交于点O．下列结论一定成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵， ∴四边形是矩形， ∴，一定成立，故B符合要求； ，不成立，故D不符合要求； ，，不一定成立，故A、C不符合要求； 故选：B． 4.如图，直线，平分，，且平移恰好到，则下列结论正确的有_______.      ①；②平分；③；④. 【答案】①②④ 【解析】平移恰好到， 四边形为平行四边形， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， 平分，故正确； 平分，平分， ，， 但， ，故错误； 四边形为平行四边形， 又， 四边形为矩形， ， 在中，，故正确． 故选①②④． 5.如图，中，，，将绕点逆时针旋转，得到，过点作交的延长线于点，连接并延长交于点，连接交于点下列结论： 平分；；是的中点；，其中正确的序号有      ． 【答案】 【解析】①，， ，， 将绕点逆时针旋转， ，，，，， ，， 又， 四边形是矩形， ，，， ，， ∴Rt△DEC≌Rt△DEH(HL)， ，，， 平分，故①正确； ②，， ， ， ，， ， ，故②正确； ③如图，连接， ， ， ， ，， ， ，， ，， ， ， 点是的中点，故③正确， ④，， ， ， ，故④不合题意， 故答案为：①②③． 6.如图1，在中，，点在边上，过点作交于点，作交于点． （1）求证：． （2）如图2，，试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】解：（1）∵，， ∴四边形是平行四边形，， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． （2），理由如下： ∵四边形是平行四边形，且， ∴是矩形， ∴， ∴， ∴和是等腰直角三角形， ∴BF=DF，DE=EC， ∴，， ∴， ∴． 7.如图，平行四边形的对角线相交于点，延长至点，连接．现有以下信息：①；②；③． 从三条信息中选择两条作为条件，另一条作为结论，组成一个真命题并说明理由． 你选择的条件是______，结论是______（填写序号）．并说明理由. 【答案】解：①②；③（或①③；②或②③；①）. 若选条件：①②，结论③， ， 四边形为矩形， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ； 若选条件：①③，结论②， ， ． ， ， ， 四边形BDCE是平行四边形， ； 若选条件：②③，结论①， ， ， ∵， 四边形BDCE是平行四边形， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 故答案为：①②，③（或①③，②或②③，①）． 十一、综合利用矩形的判定与性质进行求解 1.如图，在矩形中，边上分别有两个动点，连接，若，，则四边形的周长的最小值是(　　) A.23 B.16 C.22 D.15 【答案】B 【解析】如图，延长到点，使得，连接． ，四边形是矩形， ∴， 四边形和四边形是矩形． ∴，， ， ， ， ． 分别是上的动点，故当三点共线时，的值最小， 且的值等于的值． 在中，， 四边形的周长的最小值是 ． 2.如图，在中，，，，点在上，以为对角线的所有平行四边形中，的最小值是(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】B 【解析】平行四边形的对角线的交点是的中点O，当时，最小，即最小． ∵，， ∴， 又∵四边形的平行四边形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． 故选：B． 3.如图，在中，对角线、相交于点O，且，则的度数为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4.如图，在矩形中，，，点、分别在边，上，且，点在边上，连接，，若，则的最小值是          ． 【答案】 【解析】如图，连接，作关于的对称点，连接交于，连接， 由轴对称的性质可得：，，， ∵矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时， ，此时最小， 过作于，则四边形为矩形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：. 5.如图所示，在平行四边形纸片中，与相交于点，将沿对角线翻折得到，若四边形的面积为，则翻折后纸片重叠部分的面积是    ．      【答案】 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵是由翻折得到的，， ∴，点、、在同一条直线上， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 6.如图，在中，对角线AC，BD相交于点O，于点E，于点F，且． (1)求证：四边形ABCD是矩形． (2)若，求的度数． 【答案】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵于点E，于点F， ∴， 又∵  ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形ABCD是矩形； （2）由（1）得：四边形ABCD是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7.如图，在中，为线段的中点，连接，，延长，交于点，连接，．    (1)求证：四边形为矩形； (2)若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形为矩形； （2）解：∵四边形是矩形，，， ∴，，， ∴，为线段的中点， ∵是的中线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$