18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 2024--2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 2.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 3.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　  　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 5.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　    　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 6.如图，四边形中，，交于点，交于点，交的延长线于点，．求证：四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 2.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 3.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 4.如图所示，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个适当的条件　                            　，使四边形BEDF是平行四边形． 5.若四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足        ，从对角线的关系看应满足        ． 6.如图，在四边形中，，点E为边上的中点连接并延长，与的延长线交于点F，连接、，求证：四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形中，，，，．求证：四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.下列说法正确的是（   ） A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D.一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形 2.如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D.， 3.如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （    ） A.过点D作与交于点C B.在下方作与交于点C， 使 C.在上截取， 使， 连接 D.以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 4.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 5.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是         （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 6.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 7.已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 2.如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（    ） A. B. C. D. 3.如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 4.在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为            ． 5.如图，木棒平行于木棒，当木棒      木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形． 6.在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 7.我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． [知识回顾] 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： 我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） [数学思考] 若将① ②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形中，、相交于点，___________________，． 求证：四边形是平行四边形． 五、平行四边形的个数问题 1.如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A.3 B.4 C.5 D.6 2.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（  ）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 3.数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 4.把边长分别为，，的两个全等的三角形拼成四边形，一共可拼成    种不同的四边形，其中平行四边形有    个． 5.已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出        个平行四边形. 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 2.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 4.在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　     　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝　   　时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝10 cm，AB＝6 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿CB方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动．若设运动时间为t s． （1）直接写出：AQ＝　   　cm，DQ＝　    　cm；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？ 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（    ） A.5 B.10 C.15 D.20 2.如图，在平行四边形中，，，四个角的角平分线分别相交于点，，，，则四边形对角线的长为（    ） A. B. C. D. 3.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 4.如图，已知，，E，F是上两点，且，若，，则      ． 5.如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为           ． 6.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 7.如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求平行四边形的面积． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，在▱中，，下列两种方案中所得四边形为平行四边形的是（ ） 方案Ⅰ：在和上分别截取和，使，连接和，得到四边形． 方案Ⅱ：作的平分线交于点，的平分线交于点，得到四边形． A.方案Ⅰ B.方案Ⅱ C.两种方案都行 D.两种方案都不行 2.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 3.如图，四边形是平行四边形，连接，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④．正确的结论个数为（   ） A.4 B.3 C.2 D.1 4.如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是      ． 5.如图，在四边形中，直线经过四边形的对角线和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④；⑤图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是        .（填序号） 6.如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，，证明：四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形中，，，对角线与相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 华东师大版八年级下册 18.2 平行四边形的判定 暑假巩固（参考答案） 一、根据定义判定平行四边形 1.如图，已知，添加下列条件，不能判定四边形是平行四边形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项A不符合题意； B.， ， ， ， ， 四边形是平行四边形，故选项B不符合题意； C.， ，不能判定四边形是平行四边形，故选项C符合题意； D.， ， 又∵， 四边形是平行四边形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2.如图，点E是四边形的边延长线上的一点，且，则添加下列选项中的条件，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】A中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； B中由可得，，不能判定四边形是平行四边形，故符合要求； C中由可得，，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； ∵， ∴， D中由可得，，即，能判定四边形是平行四边形，故不符合要求； 故选：B． 3.如图，平移到的位置，则下列说法：①；②；③平移的方向是点C到点E的方向；④四边形为平行四边形．其中说法正确的有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】由平移的性质可知，，故①正确； 由平移的性质可知，，因此，故②正确； 平移的方向是点C到点F的方向，故③错误； 由平移的性质可知，，，， 因此四边形为平行四边形，故④正确； 综上可知，正确的有①②④，共3个． 故选C． 4.如图，在四边形ABCD中，AC是对角线，∠DAC＝∠BCA，当AB 　  　CD时，四边形ABCD是平行四边形． 【答案】∥ 【解析】当AB∥CD时，四边形ABCD是平行四边形，理由如下： ∵∠DAC＝∠BCA， ∴AD∥BC， ∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：∥． 5.在四边形ABCD中，若AB∥CD，BC 　    　AD，则四边形ABCD为平行四边形． 【答案】∥ 【解析】根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知： ∵AB∥CD，BC∥AD， ∴四边形ABCD为平行四边形． 故答案为：∥． 6.如图，四边形中，，交于点，交于点，交的延长线于点，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 【答案】证明：∵∠1＝∠2， ∴AB∥CD． ∵∠3＝∠4， ∴AD∥BC． ∴四边形ABCD是平行四边形． 二、对角线互相平分的四边形是平行四边形 1.嘉嘉和琪琪都在结合下面的图形证明四边形是平行四边形， 嘉嘉给出的条件是：，； 琪琪给出的条件是：； 则（     ） A.嘉嘉可以，琪琪不可以 B.嘉嘉不可以，琪琪可以 C.两人都可以 D.两人都不可以 【答案】C 【解析】嘉嘉给出的条件是：，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，嘉嘉可以； 琪琪给出的条件是：， ∴，， ∴四边形是平行四边形，琪琪也可以； 故选：C． 2.如图，在△ABC中，点D为BC的中点，连接AD，过点C作CE∥AB交AD的延长线于点E，下列说法错误的是（　　） A.△ABD≌△ECD B.连接BE，四边形ABEC为平行四边形 C.DA＝DE D.CE＝CD 【答案】D 【解析】∵CE∥AB， ∴∠B=∠DCE，∠BAD=∠E， 在△ABD和△ECD中， , ∴△ABD≌△ECD（AAS）， ∴DA=DE，AB=CE， ∵AD=DE，BD=CD， ∴四边形ABEC为平行四边形， 故选：D． 3.对角线（    ）的四边形是平行四边形. A.相等 B.互相平分 C.垂直 D.垂直且相等 【答案】B 【解析】对角线互相平分的四边形是平行四边形， 故选：B． 4.如图所示，E，F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点，添加一个适当的条件　                            　，使四边形BEDF是平行四边形． 【答案】AE＝CF或AF＝CE（答案不唯一） 【解析】添加：AE＝CF． 理由：连接BD，DE，BF， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵AE＝CF， ∴OE＝OF， ∴四边形BEDF是平行四边形． 故答案为：AE＝CF或AF＝CE（答案不唯一）． 5.若四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足        ，从对角线的关系看应满足        ． 【答案】； 【解析】四边形中，，相交于点，要判定它为平行四边形，从角的关系看应满足，从对角线的关系看应满足， 故答案为：；． 6.如图，在四边形中，，点E为边上的中点连接并延长，与的延长线交于点F，连接、，求证：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵， ∴， ∵E是边的中点， ∴， 在与，， ∴， ∴， ∴四边形的对角线与互相平分， ∴四边形为平行四边形． 7.如图，在四边形中，，，，．求证：四边形为平行四边形． 【答案】证明：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 三、判定能否构成平行四边形 1.下列说法正确的是（   ） A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B.一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形 C.一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形 D.一组对边平行，一组邻边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】A.组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，也有可能是等腰梯形，故该选项是错误的； B.组对边平行，一组对角相等的四边形，可证出另一组对边也平行，该选项能证明是平行四边形，故该选项是正确的； C.组对边相等，一组对角相等的四边形不能证明另一组对边也相等或平行，所以该四边形不一定是平行四边形，故本选项错误； D.组对边平行，一组邻角互补的四边形有可能是梯形或平行四边形，故本选项错误； 故选：B． 2.如图，，，、是线段上的两点，则以下条件不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A. B. C. D.， 【答案】C 【解析】连接，， ，， 四边形是平行四边形， 连接交于， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故A不符合题意； ， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形，故B不符合题意； ，故无法判定四边形是平行四边形，故C符合题意； ，， ， 以下的证明与B相同，故D选项不符合题意； 故答案为：C． 3.如图， 已知线段和射线， 且， 在射线上找一点C， 使得四边形是平行四边形，下列作法不一定可行的是 （    ） A.过点D作与交于点C B.在下方作与交于点C， 使 C.在上截取， 使， 连接 D.以点D为圆心，长为半径画弧，与交于点C，连接 【答案】D 【解析】A．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以A选项不符合题意； B．由作法得，由得，则，所以，则四边形是平行四边形，所以B选项不符合题意； C．由作法得，而，则四边形是平行四边形，所以C选项不符合题意； D．由作法得，而，则四边形不一定是平行四边形，所以D选项符合题意． 故选：D． 4.如图，在四边形中，对角线，相交于点O，有以下条件：①，；②，；③，；④，．其中能判定四边形是平行四边形的是        ．（填序号） 【答案】①④ 【解析】∵，， ∴根据两组对角分别相等的四边形是平行四边形可得：四边形是平行四边形，故①符合题意； ∵，， ∴根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不能判定四边形是平行四边形；故②不符合题意； ∵，， ∴不能判定四边形是平行四边形，此时四边形可以是等腰梯形；故③不符合题意； ∵，， ∴则根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可判定四边形是平行四边形；故④符合题意； 故答案为：①④. 5.下列条件能判断一个四边形是平行四边形的是         （填上正确答案的序号） ①一组对边平行，一组对边相等；②一组对边平行且相等；③两组对边分别相等；④两组对边分别平行；⑤两条对角线相等． 【答案】②③④ 【解析】一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故①错误，②正确； ③两组对边分别相等，符合平行四边形的判定条件，故③正确； ④两组对边分别平行，符合平行四边形的判定条件，故④正确； 对角线互相平分的四边形是平行四边形，故⑤错误； 故答案为：②③④． 6.图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上，请在给定的网格中按要求画四边形： (1)在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形． (2)在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】解：（1）如图①，四边形是轴对称图形． （2）先将点向左平移2格，再向上平移1个可得到点， 则将点按照同样的平移方式可得到点， 如图②，四边形平行四边形． 7.已知，在平面直角坐标系中，O为坐标原点． (1)请在平面直角坐标系中描出点和； (2)若C为坐标系内一点，且以O，A，C，B为顶点的四边形为平行四边形，请在给出的坐标系中画出所有满足条件的平行四边形，并直接写出C点的坐标． 【答案】解：（1）如图，点A、点B即为所求； （2）如图，平行四边形OABC1，平行四边形OAC2B，平行四边形OC3AB即为所求作； C点的坐标为或或． 四、添加一个条件成为平行四边形 1.如图，若要使四边形为平行四边形，则需要添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由图可得， ， A.添加，可得，四边形中仅一组对边平行，不能判定四边形为平行四边形； B.添加，四边形中一组对边平行且相等，能判定四边形为平行四边形； C.添加，可得，推出与不平行，四边形不是平行四边形； D.添加，四边形中一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形为平行四边形； 故选B． 2.如图，四边形的对角线相交于点O，且，若要证明四边形为平行四边形，不能添加的条件是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A.∵，， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； B.∵， ∴四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），故不符合题意； C.，，无法判断四边形是平行四边形，故符合题意； D.∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），故不符合题意； 故选：C． 3.如图，已知，添加下列条件可以使四边形成为平行四边形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】A．由可得，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； B．由，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意； C．，结合题意，可由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形证明四边形为平行四边形，符合题意； D．，结合题意，不能证明四边形成为平行四边形，不符合题意． 故选C． 4.在四边形中，．要使四边形是平行四边形，则的长为            ． 【答案】8 【解析】∵， ∴当时，四边形是平行四边形， 故答案为：8． 5.如图，木棒平行于木棒，当木棒      木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形． 【答案】平行 【解析】∵两组对边分别平行的四边形是平行四边形， ∴当木棒平行木棒时，木棒围城的四边形是平行四边形， 故答案为：平行． 6.在①，②，③这三个条件选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答．如图，在四边形中，对角线AC与BD相交于点O，，若______．（选择①，②，③中的一项） 求证：四边形是平行四边形．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答给分） 【答案】解：若，四边形是平行四边形； ， ，， 又， ， ， 且， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①. 7.我们曾借助学习“图形的判定”获得的经验与方法对“平行四边形的判定”进行过探究． [知识回顾] 如图，四边形中，我们用符号语言表示出所有的个边、角、对角线的数量关系： 我们曾任意选择个作为条件来探索四边形是否为平行四边形． (1)请选择上面个条件中的个，写出一个除了课本上平行四边形的定义及条判定定理外可以判定四边形为平行四边形的方法：___________．（请用文字语言表述） [数学思考] 若将① ②组合可以得到新的数量关系⑨：；⑦⑧组合可以得到新的数量关系⑩：．那么它们是否可以再加一个条件来判定平行四边形呢？ (2)若选择④和⑨则可判定四边形是平行四边形． 如图，在四边形中，，． 求证：四边形是平行四边形． (3)请在①~⑥中选择一个条件和⑩也可判定四边形是平行四边形，并证明． 如图，在四边形中，、相交于点，___________________，． 求证：四边形是平行四边形． 【答案】解：（1）一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形中，，， 求证：四边形是平行四边形， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：一组对角相等，且一组对边平行的四边形是平行四边形．（答案不唯一） （2）延长、并截取，． ， ，即． 四边形是平行四边形． ，． ，， ，． ． ． ． ， ． 四边形是平行四边形． （3）选择①或③或④之一， 法：①， 分别在、上截取、．延长、，过点、作、，垂足为点、． ，． ，． ， ． ． ， ，即． 即． ． ． 又， ． ． 又， ．即． ， 又， 四边形是平行四边形， 法：③， 分别在、上截取、． ，． ，． ， ． ． ， ． ， ，即． 即． ． ． 又， 四边形是平行四边形． 法：④，方法同③. 五、平行四边形的个数问题 1.如图，是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，线段的两个端点都是格点，以为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以作（    ）个． A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】如图所示， 根据网格的特点可得， 四边形，，，，，为平行四边形， 所以这样的平行四边形最多可以画5个， 故选C． 2.由两个全等三角形用各种不同的方法拼成四边形，在这些拼成的四边形中是平行四边形的个数是（  ）． A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】B 【解析】把三角形相等的一边重合，得到平行四边形，有3种情况． 如图所示： 则有平行四边形有四边形ABCD、四边形BDCF、四边形BDEC共计3个． 故选：B. 3.数如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，图中平行四边形的个数有（ ） A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 【答案】C 【解析】如图，AD，BE，CF是正六边形ABCDEF的对角线，可得OA=OE=AF=EF，所以四边形AOEF是平行四边形，同理：四边形DEFO，四边形ABCO，四边形BCDO，四边形CDEO，四边形FABOD都是平行四边形，共6个， 故答案选C. 4.把边长分别为，，的两个全等的三角形拼成四边形，一共可拼成    种不同的四边形，其中平行四边形有    个． 【答案】4；3 【解析】∵， ∴边长为，，的三角形是直角三角形， 分别将两个全等三角形中边长相等的边拼在一起，如下图所示， ∴共可拼成4种不同的四边形，其中平行四边形有3个， 故答案是4，3． 5.已知三条线段长分别为7，15，20，以其中一条为对角线，另两条为邻边，可以画出        个平行四边形. 【答案】3 【解析】如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ①AC=7，AD=15，AB=20时， 则15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； ②AC=15，AD=20，AB=7时， 15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； ③AC=20，AB=15，AD=7时， 则15+7＞20，符合三角形三边关系定理；能组成平行四边形； 可以画出不同形状的平行四边形的个数是3， 故答案为3． 6.已知（如图），将它沿方向平移，平移的距离为． (1)作出经平移后所得的图形． (2)写出与构成的图形中所有的平行四边形（不必证明）． 【答案】解：（1）如图所示； （2）由图可知，与构成的图形中所有的平行四边形有：，，，，，． 7.如图所示，在中，两条对角线相交于点，点、、、分别是、、、的中点，以图中的任意四点(即点、、、、、、、、中的任意四点)为顶点画两种不同的平行四边形． 【答案】解：如图所示： 六、动点中的平行四边形判定问题 1.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝6，BC＝16，E是BC的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿AD向点D运动；点Q同时以每秒3个单位长度的速度从点C出发，沿CB向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．当运动时间t为（　　）秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形. A.1 B.1.5 C.1或3.5 D.1.5或2 【答案】C 【解析】∵E是BC的中点， ∴BE＝CEBC＝8， 由题意可知：AP＝t，则DP＝6﹣t，CQ＝3t， ①当Q运动到E和B之间，设运动时间为t， ∴3t﹣8＝6﹣t， 解得：t＝3.5； ②当Q运动到E和C之间，设运动时间为t， ∴8﹣3t＝6﹣t， 解得：t＝1， ∴当运动时间t为1秒或3.5秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形， 故选：C． 2.如图，等边△ABC的边长为6 cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以1 cm/s的速度运动，点F从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动．设运动时间为t（s），当以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，运动时间t为（　　） A.1 s或2 s B.2 s或3 s C.2 s或4 s D.2 s或6 s 【答案】D 【解析】①当点F在C的左侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BC﹣BF＝6﹣2t（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AECF是平行四边形， 即t＝6﹣2t， 解得：t＝2； ②当点F在C的右侧时，根据题意得：AE＝t cm，BF＝2t cm， 则CF＝BF﹣BC＝2t﹣6（cm）， ∵AG∥BC， ∴当AE＝CF时，四边形AEFC是平行四边形， 即t＝2t﹣6， 解得：t＝6； 综上可得：当t＝2 s或6 s时，以A、C、E、F为顶点四边形是平行四边形． 故选：D． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝10 cm，点P在AD边上以每秒1 cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上以每秒2.5 cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动，同时点Q也停止运动．设运动时间为t s，开始运动以后，当t为何值时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形？（　　） A. B. C.或 D.或 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD为平行四边形， ∴PD∥BQ． 若要以P、D、Q、B四点组成的四边形为平行四边形，则PD＝BQ． 设运动时间为t． 当0＜t≤4时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t，BQ＝10﹣2.5t， ∴10﹣t＝10﹣2.5t， 1.5t＝0， ∴t＝0（舍去）； 当4＜t≤8时，AP＝t，PD＝10﹣t，BQ＝2.5t﹣10， ∴10﹣t＝2.5t﹣10， 解得：t； 当8＜t≤10时，AP＝t，PD＝10﹣t，CQ＝2.5t﹣20，BQ＝30﹣2.5t， ∴10﹣t＝30﹣2.5t， 解得：t（舍去）； 综上所述，t的值为时，以P，D，Q，B为顶点的四边形是平行四边形． 故选：B． 4.在四边形ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，AD＝6 cm，BC＝10 cm，M是BC上一点，且BM＝4 cm，点E从A出发以1 cm/s的速度向D运动，点F从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，当其中一点到达终点，而另一点也随之停止，设运动时间为t，当t的值为 　     　时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】4 s或 s 【解析】①当点F在线段BM上，即0≤t＜2，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝4﹣2t，解得t， ②当F在线段CM上，即2≤t≤5，AE＝FM时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 则有t＝2t﹣4，解得t＝4， 综上所述，t＝4 s或s时，以A、M、E、F为顶点的四边形是平行四边形， 故答案为：4 s或s． 5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AD＝6，BC＝9，点P从点A出发，沿射线AD以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位长度的速度向点B运动．当点Q到达点B时，点P，Q停止运动，设点Q运动时间为t秒．在运动的过程中，当t＝　   　时，使以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形？ 【答案】2或6 【解析】由题意知，可分两种情况： ①当CD为平行四边形的边，则P在D点左侧，PD＝6﹣2t，CQ＝t， ∵PD＝CQ， ∴6﹣2t＝t， 解得t＝2； ②当CD为平行四边形的对角线，P在D点右侧，PD＝2t﹣6，CQ＝t， ∵PD＝CQ， ∴2t﹣6＝t， 解得t＝6， 综上所述，当t＝2或6时，以P，D，C，Q为顶点的四边形为平行四边形． 故答案为：2或6． 6.如图所示，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝27 cm，BC＝36 cm，点P从A向点D以1 cm/s的速度运动，到点D即停止．点Q从点C向点B以2 cm/s的速度运动，到点B即停止．直线PQ将四边形ABCD截成两个四边形，分别为四边形ABQP和四边形PQCD，则当P，Q两点同时出发，几秒后所截得两个四边形中，其中一个四边形为平行四边形？ 【答案】解：设当P，Q两点同时出发，t秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形， 根据题意可得：AP＝t cm，PD＝（27﹣t）cm，CQ＝2t cm，BQ＝（36﹣2t）cm， ①若四边形ABQP是平行四边形， 则AP＝BQ， ∴t＝36﹣2t， 解得：t＝12， ∴12s后四边形ABQP是平行四边形； ②若四边形PQCD是平行四边形， 则PD＝CQ， ∴27﹣t＝2t， 解得：t＝9， ∴9s后四边形PQCD是平行四边形； 综上所述：当P，Q两点同时出发，12秒或9秒后，四边形ABQP或四边形PQCD是平行四边形． 7.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝8 cm，BC＝10 cm，AB＝6 cm，点Q从点A出发以1 cm/s的速度向点D运动，点P从点B出发以2 cm/s的速度向点C运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点C时，掉头沿CB方向继续运动，直至点Q到达点D，两点同时停止运动．若设运动时间为t s． （1）直接写出：AQ＝　   　cm，DQ＝　    　cm；（用含t的式子表示） （2）当t为何值时，四边形PQDC为平行四边形？ 【答案】解：（1）∵AD＝8 cm，AQ＝t cm， ∴DQ＝AD﹣AQ＝（8﹣t）cm， 故答案为：t，（8﹣t）． （2）∵AD∥BC，点Q、点P分别在AD、BC上， ∴DQ∥PC， 当DQ＝PC时，四边形PQDC是平行四边形， 当点Q与点D重合时，则t＝8； 当点P与点C重合时，则2t＝10， 解得t＝5， 当0＜t＜5时，由DQ＝PC得8﹣t＝10﹣2t， 解得t＝2； 当5＜t＜8时，由DQ＝PC得8﹣t＝2t﹣10， 解得t＝6， 综上所述，当t＝2或t＝6时，四边形PQDC为平行四边形． 七、综合运用平行线的性质与判定进行求解 1.如图，将面积为5的三角形沿方向平移至三角形的位置，平移的距离是边长的两倍，则图中的四边形的面积为（    ） A.5 B.10 C.15 D.20 【答案】D 【解析】设点A到的距离为h， 则， ∴， ∵沿方向平移的距离是边长的两倍， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴四边形的面积． 故选：D． 2.如图，在平行四边形中，，，四个角的角平分线分别相交于点，，，，则四边形对角线的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图，延长，交于点， ，平分， ， ， 又， ， 平分，平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 又平分，平分， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， ， 故选：． 3.如图，在中，，点E、F、G分别在边上，，则四边形的周长是（    ） A.20 B.24 C.30 D.10 【答案】A 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形的周长为， 故选：A． 4.如图，已知，，E，F是上两点，且，若，，则      ． 【答案】 【解析】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：. 5.如图，在平行四边形中，，，以为底边向右作腰长为的等腰，为边上一点，，连接，则的最小值为           ． 【答案】 【解析】过点作交于点，在上取一点，使得，连接，． 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， 8， ﹣， ∴， ﹣ ， 的最小值为 ． 故答案为： ． 6.如图，在平行四边形中，E、F分别是边上的中点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若平分，求的长． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∵E、F分别是边上的中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 7.如图，在平行四边形中，点F是的中点，连接并延长，交的延长线于点E，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求平行四边形的面积． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点F是的中点， ∴． 在和中， , ∴≌， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． （2）如图，过点D作于点G，过点B作于点H， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵， ∴， ∴平行四边形的面积为． 八、综合运用平行线的性质与判定进行证明 1.如图，在▱中，，下列两种方案中所得四边形为平行四边形的是（ ） 方案Ⅰ：在和上分别截取和，使，连接和，得到四边形． 方案Ⅱ：作的平分线交于点，的平分线交于点，得到四边形． A.方案Ⅰ B.方案Ⅱ C.两种方案都行 D.两种方案都不行 【答案】C 【解析】方案Ⅰ：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 方案Ⅱ：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 综上两种方案都行， 故选：． 2.如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，于点E，于点F，连接，，有下列结论：①；②；③；④图中共有10对全等三角形．其中正确的是（    ） A.③④ B.①②③ C.①②④ D.①②③④ 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得，，； ∴①②③正确，④错误． 故选：B． 3.如图，四边形是平行四边形，连接，，与的延长线交于点E，连接交于F，连接，下列结论中：①四边形是平行四边形；②；③若，则；④．正确的结论个数为（   ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形，故①正确； ∴，， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 若， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故③正确； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：A． 4.如图，在中，对角线相交于点于点于点连接，给出下列结论：；；图中共有八对全等三角形．其中正确结论的序号是      ． 【答案】①②③ 【解析】在中， ， ， ， 于点，于点， ， ， 四边形是平行四边形， ，故①②正确， ， ，即，故③正确， ∵， 和是中心对称图形，点是对称中心， 易证， ， ， ∴共10对全等三角形，故④错误； 故答案为：①②③. 5.如图，在四边形中，直线经过四边形的对角线和的交点，且分别交于点，交、的延长线于点，下列结论：①；②的周长的周长；③；④；⑤图中全等的三角形的对数是9对；其中正确结论的是        .（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】∵， ∴四边形是平行四边形， ∴①正确；， ②的周长的周长，正确； ③正确； ④∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，正确； ⑤同④证明方法一致，图中全等的三角形有：，， 共计10对全等的三角形，⑤错误． 综上所述，正确的结论是：①②③④． 故答案为①②③④． 6.如图，的对角线交于点O，过点O交于点E，交于点F，，证明：四边形是平行四边形． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形． 7.如图，在四边形中，，，对角线与相交于点O，E，F分别为，的中点，连接，．求证：． 【答案】解：∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴，． ∵E，F分别为，的中点， ∴，． ∴． 又∵， ∴≌ ． ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$