“综合与实践”压轴题专项训练 2025-2026学年人教版九年级数学

答案与解析 1.【答案】；   见解析；   作图见解析，周长为．  【解析】解：菱形纸片，其中，，点是对角线上的一点，且，剪去阴影部分得到如图所示的不规则多边形纸片如图，作于点， ， ， ， ， ． 故答案为：； 如图，为裁剪线， 如图或，或为拼接线， 如图， 如图，作于点， 菱形纸片，， ， ， ， ， ． 由作图可知，，，， 所拼得的矩形的周长． 2.【答案】，；；   ，，，见解析；  ．  【解析】解：当时，，， 由条件可知，， ， ， ， ∽， ， ， ，则， 的面积； 故答案为：，； 当点由点运动到点时，，， ∽， ，即， ， ， 的面积． 故答案为：； 完成列表中的填空如下， 在坐标系中绘制出函数的图象如下； 当点由点运动到点时，， 由条件可得， 解得， ， ． 当时，的面积为的一半． 3.【答案】，理由见解答过程；   菱形，理由见解答过程；  的值为或理由见解答过程．  【解析】解：；理由如下： 过点作于点，如图， ， 则四边形是矩形， ， 将其矩形旋转至点落在边上， ，， ，， ，， ， 在和中， ， ≌， ； 四边形的形状为菱形；理由如下： ，， 四边形是平行四边形， 由旋转得：，≌， ， 在矩形中，， 又矩形的对角线交点刚好与点重合， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 平行四边形是菱形； 的值为或理由如下： 当点转到直线的上方时，如图， 过点作于点， ，，，， ∽， ， 即， 即， ， ， ， ， ， 即， ， ， 即； 当点转到直线的下方时，如图， ，，，， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ， ∽， ， 即， 综上所述，的值为或． 4.【答案】，；  起跳点与落地点的水平距离的长为；  ．  【解析】由题意得，抛物线的对称轴为直线，顶点纵坐标为， 顶点坐标为， 设抛物线的函数解析式为：， 图象过原点， ， 解得， ； 抛物线的形状不变，点， 故第二次的函数图象可以看作由的抛物线向上平移个单位长度得到的， 新的抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：，舍去， 故起跳点与落地点的水平距离的长为； 设该平台的高度为，由题意，设新的函数解析式为：， ，，，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳， 由题意，仿青蛙机器人经过正上方处，即抛物线经过点，即：， 把代入， 得， 解得：， 故该平台的高度为． 5.【答案】，；  ；   当矩形的面积取最大值时，长．  【解析】由题意得：是的二次函数，二次函数的开口向下， 二次函数过，， 当时，最大， 当时，能够使剪出的矩形的面积最大， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：，； ，，， ， 设，则，， ， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，的面积最大， ， 故答案为：； 四边形是矩形， ，， ，∽， ， ，，，，， ， ， ， 抛物线的开口向下，对称轴为直线， 当时，矩形的面积取最大值， ， 答：当矩形的面积取最大值时，长． 6.【答案】见解析；  ；   见解析，或．  【解析】证明：将绕点旋转一定角度得到， ，． ， ， ， 四边形是矩形． 又， 矩形是正方形； 解：已知在中，，，， 由勾股定理得：， ， 将绕点旋转一定角度得到， ，， ， 在 中，， ， ， ， ； 解：或理由如下： 情况一：如图，点在中间时， 过点作， ， ， ， ， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：； 情况二：如图，点在中间时， 同理， 直角三角形中，由勾股定理得：， 综上所述，或． 7.【答案】点，的坐标分别为，；  米；   点的坐标为，点的坐标为．  【解析】令，解得：， 点，的坐标分别为，； 当水压最大时，设抛物线的函数表达式为， 把点代入，得． 解得． 当水压最大时抛物线的函数表达式为； 当时，； 需在保温墙上做防水处理区域的高度为米． 设直线的函数表达式为． 把点，代入，得 解得． 直线的函数表达式为． 设喷头所在点的坐标为． 当水压最小时，设水流所在抛物线的函数表达式为； 把点代入，得． 解得或不合题意，舍去 把代入，得，得． 点的坐标为； 把点代入，得． 解得不合题意，舍去或． 把代入，得． 点的坐标为． 8.【答案】【小题】 ，，， ， 故答案为：； 解：小强的说法正确，理由为： 连接， 是的中点，， ， ，， ， 又是矩形， ， 又，， ； 【小题】 如图，，， ，， ， 设，则， 在中，，即， 解得，即； 【小题】 如图，过点作于点， ，， ， ， 又， ， ，即，即， 解得， ； 如图，过点作于点， 同上可得， ； 综上所述，的面积为或．   9.【答案】解：在三角形中，大角对大边，且， ． 故答案为：． 证明：延长至，使得，连接，如图所示， ，、分别为、的角平分线， ，， ． 在和中， ， ≌， ， ， 故， ． ， 即． 证明：，理由如下： ，， ∽， ， 设， 则，，， ． ，， ． ， ，，， ， ， 即， 故CD．  10.【答案】；   证明过程见解答；   等腰三角形的腰长是或或．  【解析】解：如图：沿对角线所在的直线裁剪，得到， 面积等于矩形面积的一半； 如图：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到， 面积等于矩形面积的一半； 如图：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到， 面积等于矩形面积的一半； 故答案为：； 证明：如图，过点作，垂足为点，交于点，连接，， 则四边形，均为矩形， ，， ， ， ； 解：能用矩形纸片裁剪出等腰三角形，理由如下： 由，可知：当面积等于矩形面积的一半时，三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，当三个顶点与矩形顶点重合时，三角形不是等腰三角形，不符合题意； 当两个顶点与矩形顶点重合时，分两种情况： 矩形的一边为等腰三角形的底边， Ⅰ当为底边时，如图，作边的垂直平分线交于，交于， 四边形为矩形， ，， ， 在中，由勾股定理得：， Ⅱ当为底边时，如图，作边的垂直平分线交于，交于， ， 在中，由勾股定理得： ， 矩形的一边为等腰三角形的腰，如图，以为圆心、为半径作圆弧交于点， 则， 综上所述，等腰三角形的腰长是或或． 11.【答案】 （1）设． ，矩形矩形， ，，， 即， ， ， ， ． （2） 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点为边的中点． （3） 连接交于点，如下图： 由翻折变换的性质可知， 设， 在中，， 即 解得：， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ．   12.【答案】解：如图， ，平分， ， 在中，， ， 两腰之和为，两腰之积为， 猜想：， 证明：如图， ，平分， ， 在中，， ，， ； 故答案为：，，，； ． 证明：如图，过点作于，于，过点作于， 则， 平分，，， ， 在中，， ， ， ； 补全图形如图所示： 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 如图，过点作于，于，过点作于， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， 为定长，和为定值， 为定值， 即为定值．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “综合与实践”压轴题专项训练 2025-2026学年人教版九年级数学 1.综合与数学拼图活动 问题情境：如图是一张菱形纸片，其中，，点是对角线上的一点，且，剪去阴影部分得到如图所示的不规则多边形纸片． 数学思考：图中线段的长为______； 实践操作：在图中，以连接某两个顶点的线段为裁剪线，使经过裁剪后的两部分纸片可拼接为图所示的五边形在图画出裁剪线，在图中画出拼接线． 要求：拼接时，两部分纸片无缝隙、不重叠且没有剩余； 图是一个与图全等的五边形，请你在图中画一条裁剪线，使该五边形沿你所画的裁剪线剪开后，可以拼得一个矩形要求：只能用无刻度的直尺作图，保留作图痕迹，标明裁剪线，并直接写出所拼得的矩形的周长． 2.综合与实践 【问题提出】，某兴趣小组开规综合实放活动：在正方形中，，动点以每秒个单位的速度从点出发匀速运动，到达点时停止，作的垂线交于，连接，设点的运动时间为，的面积为，探究与的关系． 【初步感知】如图，当点由点向点运动时， 当时， ______， ______； 经探究发现是关于的二次函数，请写出关于的函数解析式为______自变量取值范围为______． 根据所给的已知，完成列表中的填空，并在图的坐标系中绘制出函数的图象； ______ ______ ______ 【延伸探究】 当的面积为的一半时，求的值． 3.综合与实践 问题情境： 数学活动课上，李老师让各小组制作矩形，并将其绕点顺时针旋转得到矩形，以此为基础展开探究． 猜想证明： 如图，“实践小组”将其矩形旋转至点落在边上，并延长交于点试猜想线段与的数量关系，并说明理由； 实践探究： 如图，“腾飞小组”发现将其矩形旋转至点落在边的延长线上时，矩形的对角线交点刚好与点重合，此时，交于点过点作的平行线交于点请判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究： “创新小组“提出问题：在旋转过程中，当点，，三点共线时，直线交直线，分别于点，，若，，求的值请你思考此问题，直接写出结果． 4.综合与实践 问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合． 实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面，起跳点与落地点的距离为． 数学建模：如图，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为，对称轴为直线，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为，落地点为以为原点，所在直线为轴，过点与所在水平地面垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系． 请直接写出顶点的坐标，并求该抛物线的函数表达式； 问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变． 如图，若仿青蛙机器人从点正上方的点处起跳，落地点为，点的坐标为，点在轴的正半轴上求起跳点与落地点的水平距离的长； 实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过如图，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形，其中，，，仿青蛙机器人从距离左侧处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物请直接写出该平台的高度平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内． 5.综合与实践 问题情境： 某布艺玩具厂生产一批玩具时，剩下一批直角三角形废料，为了废料再利用，需将这些废料剪成矩形布料，综合实践活动小组的同学对布料的一种剪法进行了探究． 剪法：三角形废料如图所示，，用这块废料剪出一个矩形，其中点，，分别在，，上，使能够剪出的矩形的面积最大． 特例探究： 博学小组：如图所示，设，矩形的面积为单位：剪切并得出以下数据： 数据分析： 小组同学根据表中数据，建立平面直角坐标系，画图分析如图，得出了一些结论 问题解决： 博学小组剪布料问题中，当______时，能够使剪出的矩形的面积最大，关于的函数表达式为______不要求写的取值范围； 选择一块特殊废料如图所示，，，，当______时，能够使剪出的矩形的面积最大； 建模分析： 如图所示，若，，其中，，为常数，设，当矩形的面积取最大值时，求的长用含常数的代数式表示． 6.综合与实践 问题情境：数学课上，老师让同学们以“直角三角形的旋转”为主题展开探究活动，已知在中，，，，将绕点旋转一定角度得到，延长交于点． 初步探究：如图，勤思小组发现，当时，四边形是正方形，请你证明这一结论． 深入思考：如图，笃学小组发现，当点正好落在斜边上时，可以求出四边形的面积，你能解决这一问题吗？ 拓展延伸：善思小组继续探究，当和在同一条直线上时，连接请你在图中画出图形，并直接写出的长． 7.综合与实践 项目主题：对某智能蔬菜大棚浇灌方式的改进研究 调查信息：图所示是某智能蔬菜大棚在竖直方向上的截面示意图，保温墙的高度为米，蔬菜种植区米，人行道米当水压一定时，大棚顶部喷灌的喷头喷出的水流呈形状相同的抛物线分别以，所在直线为轴，轴建立平面直角坐标系所有点均在同一竖直平面内当水压最大时，抛物线恰好经过点，且与轴交于点当水压最小时，抛物线与轴交于点，点在点左侧，且水流到地面的高度米与距保温墙的水平距离米之间的函数表达式为． 解决问题： 请直接写出点，的坐标； 当水压最大时，需要在保温墙上做防水处理，求处理区域的高度即线段的长； 为发挥水压最小时蔬菜更容易吸收水分且节水的特点，对喷水设施作如下改造：如图，经过点，安装直线形支架，在上安装轨道，喷头可以在上自由滑动，在保证水压最小时，当喷头滑到点时，喷出的水流左端恰好经过点，当喷头滑到点时，喷出水流的右端恰好经过点，求轨道两端点，的坐标． 8.综合与实践：某数学兴趣组开展“旋转与作图”探究活动． 【探究情境】 有一张矩形纸片，，如图，沿直线将矩形纸片裁剪为和，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点为点． 【补图推证】 当的边经过点时，小组探究“如何在仅有的图中补画”在完成了第一步“在射线上截取”后，同学们就“如何确定点的位置”先后发言． 小丽：如图，分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧相交于点连接，，可以依据“________”证得小强：还可以这样画，如图，作的垂直平分线，交于点分别以点，为圆心，线段，长为半径画弧，两弧交于点连接，，也可以证得小红：是的．点始终在以为圆心，长为半径的圆上，且就是该圆的切线． 小丽证得的依据是________； 判断小强的说法是否正确，并说明理由； 【画图再探】记直线与的边的交点为，小明提问：当直线经过点时，能求出的长吗？请在图中画出图形，并解决小明提出的问题； 【拓广延伸】 请解决小强提出的问题：当，，三点共线时，连接，求的面积． 9.综合与实践： 【回归教材】 八年级上册教材中探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分内容如下： 如图，在中，如果，那么我们可以将折叠，折边落在上，点落在上的为点，折线交于点，则，，． 这说明在一个三角形中，如果两条边不等，那么它们所对的角也不等． 大边所对的角越大． 从上面的过程可以看出，通过轴对称的性质或“截长补短”构建全等三角形的方法将陌生问题转化为已学习的问题，这是研究几何问题时常用的方法． 类比探究“在三角形中，大角对大边”． 如图，在中，，判断： ______填“”、“”或“”． 【进阶思考】 如图，在中，，、分别为、的角平分线，求证：． 【拓展运用】 如图，在中，为上一点，且，比较和的大小关系，并说明理由． 10.综合与实践：某数学兴趣组开展“矩形纸片的裁剪”专题探究活动，他们计划利用矩形纸片裁剪出一个三角形，使其面积等于矩形面积的一半． 【思路分享】 兴趣组的三位同学分别给出了裁剪思路： 小明：沿对角线所在的直线裁剪，得到； 小华：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到； 小红：在上取一点，分别沿，所在的直线裁剪，得到． 上述裁剪思路中，能得到符合要求的三角形的是______只要填序号； 【深度探究】 小强发现三位同学给出的思路中，所得三角形至少有两个顶点与矩形顶点重合，他给出“所得三角形只有一个顶点与矩形顶点重合时”的思路：如图，在，上分别取一点，，分别沿，，所在的直线裁剪，得到通过推证，小强发现． 小强的证明过程 如图，过点作，垂足为点，交于点，连接，则四边形，均为矩形，，． 所以，． 即． 所以，． 请进一步探究：如图，在矩形的三边上分别取不与矩形的顶点重合的点，，，连接，，求证：； 【拓展运用】 请解决该兴趣组提出的新问题：若，，能否用矩形纸片裁剪出等腰三角形，使其面积等于矩形面积的一半？若能，请求出等腰三角形的腰长；若不能，请说明理由． 11.综合与实践：纸张中藏着丰富的数学奥秘，某数学学习小组围绕“神奇的纸”开展主题学习． 【阅读资料】 纸张大小的设计不仅要有美感，还应具有实用性．纸是我们常见的矩形打印纸，将纸沿它的一条对称轴折叠如图，展开后，折痕两侧的两个小矩形称为纸，它们与原来的矩形相似，以其中一个为例，可记为矩形矩形；将纸类似的对折，得到与之相似的纸，纸的大小设计能在纸张的剪裁中避免浪费，且方便缩放打印，可谓兼具强大的功能性与视觉美感．            【初探结论】如图，设，求纸的长与宽的比值； 【作图再探】如图，在的条件下，连接，过点作交于点试说明点为边的中点； 【拓展应用】如图，在的条件下，再次折叠纸片，使点落在上的点处，折痕为，连接试探究线段与的数量关系与位置关系． 12.综合与实践：九年级某学习小组围绕“三角形的角平分线”开展主题学习活动． 【特例探究】 如图，，是三个等腰三角形相关条件见图中标注，列表分析两腰之和与两腰之积． 等腰三角形两腰之和与两腰之积分析表 图序 角平分线的长 的度数 腰长 两腰之和 两腰之积 图 图 图 ______ ______ ______ 请补全表格中数据，并完成以下猜想． 已知的角平分线，，，用含的等式写出两腰之和与两腰之积之间的数量关系：______． 【变式思考】 已知的角平分线，，用等式写出两边之和与两边之积之间的数量关系，并证明． 【拓展运用】 如图，中，，点在边上，以点为圆心，长为半径作弧与线段相交于点，过点作任意直线与边，分别交于，两点请补全图形，并分析的值是否变化？ 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$