“综合与实践”压轴题专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册

答案与解析 1.【答案】数学思考解：在和中， ， ≌， 深入探究解：是等腰三角形，证明如下： ≌， ，， ， ， ， ， 是等腰三角形； 解：线段和的数量关系是：，证明如下： ，， ， ， ， 在和中， ， ≌， ， ≌， ， ； 独立思考解：如图所示：将两个三角形的点和点重合在一起，将绕点进行旋转，使点落在外部，当时，是等腰直角三角形， 证明如下： ， ， ， ， ≌， ，， ， 即， 是等腰直角三角形．  2.【答案】（1） （2） 不会随着的变化而变化，值为， 设，则 ， 代数式的值不会随着的变化而变化，值为； （3）   【解析】  本题考查了多项式乘法的规律探究； 根据规律即可求解； 观察图中的规律可知，图中“”表示的数是， 的展开式为 ； 故答案为：；；   设，则，根据规律即可求解；   根据中的规律，画出图形，进而即可求解． 如图，每个方格中的数字表示到达该位置的走法数， 若要求棋子从方块出发步走到方块，则共有种不同的走法． 故答案为：． 3.【答案】证明：，， 又，即， ， ，即， 在与中， ， ≌， ； 解：；理由如下： 连接，如图， ，，点为的中点， ，，，， ，， ， ， ， 在与中， ， ≌， ； 解：过点作于，过点作交延长线于，过点作于，过点作于，如图， ，， ， 点是的中点， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ≌， ，， ，， ， 点、与点重合， ， 设，则， ．  4.【答案】；   见解析，；   ．  【解析】解：根据用不同的方法对图的面积进行计算，发现的等式是， 故答案为：； 如图， ． 由得． 又，， ， ， ． 5.【答案】；；   或．  【解析】解：，平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； ，平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； 如图， ，平分， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 6.【答案】；   ；   边长的最小值为．  【解析】解： ； 故答案为：； ， ， ， 的最小值为， 多项式有最小值为， ， ； ， ， ， ，， ，， 由条件可知， ， ， 是正整数， 边长的最小值为． 7.【答案】(1) 证明：如图，等边中，点是的中点， ，． 等边， ． ． ． ． ． (2) 证明：如图，连接． 和是等边三角形， ，，． ． ． ，． ， ， ． 点是的中点， ． 又， ． ． ． (3)   分三种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，当点在线段的延长线上，根据线段的和与差可解答． 解：当点在线段上时，如图，连接， 是等边三角形， ， 是的中点， ， ， 由同理知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图， 由知：， 由知：， ， ； 当点在线段的延长线上时，如图，连接， 由知：， 由知：， ， ． 8.【答案】任务一：等式的性质，等式的性质，分式的基本性质； 任务二：，，，；答案不唯一．  ，；答案不唯一； 猜想若，则； 证明：， ， ， ．  【解析】解：任务一：依据：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为的数，结果仍相等．或等式的性质 依据：等式两边加或减同一个数或式子，结果仍相等或等式的性质 依据：分式的分子与分母乘或除以同一个不为的整式，分式的值不变．或分式的基本性质． 故答案为：等式的性质，等式的性质，分式的基本性质； 任务二：，，，；答案不唯一． 计算：，；答案不唯一． 故答案为：，；答案不唯一； 猜想：若，则． 故答案为：若，则； 证明：， ， ， ． 9.【答案】解：；  ； ． 证明：如图，过点作于点， 则， 是等腰直角三角形且， ， 是等腰直角三角形，， ，， ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ．  【解析】根据等腰直角三角形的性质可得：，，，推出，证得≌，可得； 如图，和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ≌， ， 故答案为：； 连接、交于点，设与交于点，由“”可证≌，可得，，由余角的性质可证，由面积关系可得，则当最大时，四边形面积最大，即当点，点，点三点共线时，有最大值为，即可求解； 如图，连接、交于点，设与交于点， 和都是等腰直角三角形，， ，， ， 即， 在和中， ， ≌， ，， ，， ， ， ， ， 当最大时，四边形面积最大，由三边关系可知，， 即当时，四边形面积最大， 四边形面积最大值， 故答案为：； 过点作于点，结合等腰三角形性质可得，，可证得≌，得出，，推出，再证得四边形是矩形，可得，利用线段的关系，即可证得结论． 10.【答案】  【解析】解：依题意，由， 解得：， 故答案为：； 由题意，设为整式， 令，即，代入式子， 得，解得； 依题意，设， 由于上式是恒等式，为方便计算， 取，得， 即， 取，得， 即， 解方程组， 解得， ，． 11.【答案】解：理由：，，， ． 设，， 根据和的角平分线相交于点可知： ，， 三角形的内角和等于，，， ，即． 是与的外角， ，即． 同理，是与的外角， ，即， 得，， 得，， 代入得，， ， 解得； 结论：． 理由：设，，则，， ， 由可得， 由可得， ， ，  12.【答案】解：，理由如下： 和是等边三角形， ，， ， 又， ≌， ； 是等边三角形，理由如下： ≌， ，， ， 是等边三角形； 判断正确，理由如下： 是等边三角形， ，， ， ， ， ≌， ， ， ．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ “综合与实践”压轴题专项训练 2025-2026学年人教版八年级数学上册 1.综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图，用纸片制作了和，其中，，，请证明≌． 数学思考：请你解答老师提出的问题． 深入探究：老师将两个三角形的点和点重合在一起，将绕点进行旋转，使点落在内部，并让同学们提出新的问题． “智慧小组”提出问题：如图，当时，与相交于点，试猜想的形状，并加以证明； “奇想小组”提出问题：如图，当时，过点作交的延长线于点，与交于点试猜想线段和的数量关系，并加以证明． 独立思考：请你参照以上操作，利用图中的两个三角形纸片，拼出新的图形，在图中画出这个图形，标明字母，说明构图方法，写出你发现的结论，不必证明． 2.综合实践：某数学学习小组认真研读教材，围绕“的展开式”开展主题学习． 【阅读发现】 我国南宋数学家杨辉在其所著的详解九章算术一书中，给出了的展开式按的次数由大到小的顺序的系数规律，具体如图所示 观察图中的规律可知，图中“”表示的数是          ，的展开式为          ； 【运用规律】判断代数式的值是否会随着的变化而变化，若不变，求这个值；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 如图是一个棋盘，由个黑白交替的正方形方块组成，分别表示起点和终点，有一颗棋子在方块处，棋子走一步是指将棋子从所在方块移至下一行与之相接的同色方块中，若要求棋子从方块出发步走到方块，则共有          种不同的走法．图中表示的是其中的一种走法 3.综合与实践 问题情境： 在数学课上，老师让同学们利用两个等腰直角三角形与研究数学问题老师首先给出如下问题：等腰直角三角形与如图所示放置，点与点重合，，，，连接，求证． 初步探究： 请你解答老师给出的问题； 深入探究： 深思小组的同学把等腰直角三角形与按图所示放置，点在边上，与交于点，与交于点当点为的中点时，请你判断与有怎样的数量关系，并说明理由； 拓展延伸： 勤思小组的同学按照图的方式放置两个等腰直角三角形与，在小组讨论后提出如下问题：点是的中点，过点，的直线交于点若，，求的面积直接写出问题的答案． 4.综合与实践： 数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系”这就是“算两次”原理，也称为富比尼原理例如：对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式计算图的面积，把图看作一个大正方形，它的面积是；如果把图看作是由个长方形和个小正方形组成的，它的面积为由此得到． 如图，正方形是由四个边长为，的全等的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图的面积进行计算，你发现的等式是______；用，表示 请你用若干块如图所示的长方形和正方形硬纸片图形，用拼长方形的方法，把下列二次三项式进行因式分解；要求：在图的框中画出图形，写出分解的因式． 请你用发现的等式解决问题：已知两数，满足，，求的值． 5.综合与实践 问题情境：数学课上，同学们在三角形中增加一些几何元素，探索角之间的数量关系已知在中，，的平分线交于点，点是边上的一个动点，过点作交边于点设的度数为． 初步探究：如图，当点在线段上运动时不与，重合，善思小组的同学作的外角的平分线，交的延长线于点他们提出如下问题． 请你解答： 当时，求的度数； 用含的代数式表示的度数为______． 深入探究：类比的思路，普思小组进一步探究点在线段上运动时的情形不与，重合，他们作的外角的平分线，交直线于点点不与点重合，发现与之间存在一定的数量关系请直接写出相应的的度数用含的代数式表示 6.综合与实践： 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例分解因式： ； 又例如：求代数式的最小值 ， 又， 当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： 分解因式： ______； 多项式有最小值为，求出值； 已知的三边长、、都是正整数，且满足，求出边长的最小值． 7. 综合与实践： 八年级某学习小组围绕“等边三角形”开展主题学习活动． 问题情境：等边中，是的中点，是射线上一点不与点、重合，连接，作等边点和点在边的同侧，连接并延长交直线于点． 【特例分析】如图，当点与点重合时，发现“”，请证明； 【拓展探究】当点在线段上不与端点重合，在图中补全图形，并证明； 【推广应用】当点在射线上运动时，请直接写出线段，，之间的数量关系． 8.综合与实践： 探究比例的性质 数学活动课上，老师出示了如下问题：找一组都不为的数，，，，使得分式成立即，，，成比例由这组数值计算下面各组中的两个分式的值，看看它们之间有什么关系试猜想各组中的两分式之间的关系，并证明． 和；和；和 “兴趣小组”找了一组能使分式成立的数：，，，并对进行了探究． 计算：当，，，时，，． 猜想：若，则． 证明：，依据， 计算：当，，，时，， 猜想：若，则； 证明：方法一：，依据， 方法二作差法：，， 依据 任务一：上述材料中，“依据”“依据”“依据”分别指的是： 依据：______；依据：______；依据：______； 任务二：请你对材料中的和进行探究． 请你再写出一组能使分式成立的数： ______， ______， ______， ______， 计算： ______， ______； 猜想：______； 证明： 9.综合与实践： 【问题情境】 八上课本中有这样一道习题： 如图，和都是等边三角形，连接，同学们发现以下结论：与的数量关系是______； 【变式思考】 如图，和都是等腰直角三角形，，若，，则四边形面积的最大值是______； 【拓展运用】 如图，在等腰直角三角形中，，是边上一点，连接，以为边向上作等腰直角三角形且，连接，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 10.综合与实践： 特值法是解决数学问题的一种常用方法，即通过取题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法综合实践课上田老师展示了如下例题： 例：已知多项式有一个因式是，求的值． 解：由题意，设为整式， 由于上式为恒等式，为了方便计算，取， 则，解得． 数学思考：“”处的值为______； 方法应用：已知多项式有一个因式是，求的值； 深入探究：若多项式有因式和，求，的值． 11.综合与实践： 如图，线段与相交于点，连接，，我们把这样的图形称为“字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“字形”中相关角度的数量关系． 请通过观察、测量，猜想图中与之间的数量关系，并说明理由； 如图，奋斗小组在图的基础上，分别作与的平分线交于点，若，，求的度数； 智慧小组在图的基础上，分别作射线，，使得，，两条射线交于点，请直接写出，，之间的数量关系． 12.综合与实践： 问题情境： 综合实践课上，老师出示如下题目：如图，和是等边三角形，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，交于点，试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考： 请你解决老师提出的问题． 拓展探究： 在图的基础上，“睿智小组”提出了新的问题：如图，连接，试判断的形状，并说明理由；请你解决此问题． 在图的基础上，“奋进小组”提出了新的问题：延长，交于点，得到图，他们认为：请你利用图判断他们的说法是否正确，并说明理由． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$