精品解析：山东省枣庄市第二实验学校2024—2025学年下学期第二次月考八年级数学试卷

2024－2025学年度第二学期核心素养评价 八年级数学 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 4. 为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 8. 已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 4 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：m2-n2-2m+1=___ ． 12. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 13. 编队飞行（即平行飞行）的两架飞机在坐标系中的坐标分别为，当飞机飞到指定位置的坐标是时，飞机的坐标是___________． 14. 如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为_______． 15. 若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有且仅有5个整数解，则符合条件的所有整数的和是__________． 16. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 三．解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）因式分解： （2）解方程：； 18. 先化简，再从中取一个数代入求值． 19. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 20. 规定，例如，． （1）__________； （2）解不等式组； （3）若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为__________． 21. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 22. 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由． 23. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 24. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期核心素养评价 八年级数学 一．选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解的概念可进行排除选项． 【详解】解：A、，属于整式的乘法，故不符合题意； B、，不符合几个整式乘积的形式，不是因式分解；故不符合题意； C、，属于因式分解，故符合题意； D、因为，所以因式分解错误，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 3. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转得到，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图：连接，分别作，的垂直平分线交点为点，即点是旋转中心， 故选：C． 4. 为落实劳动素质教育，推动学生劳动实践的有效进行，某学校在校园开辟了劳动教育基地，图是从实践基地抽象出来的几何模型：两块边长分别为，的正方形，其中重叠部分为池塘，阴影部分，分别表示七年级和八年级的实践活动基地面积．若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形面积，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．根据，求出的值，再根据进行计算即可． 【详解】解∶，， ． ， ． 由题意得：，， 故选∶C 5. 掀起了“人工智能＋”的热测，某单位利用公司研发的两个模型和共同处理一批数据．已知单独处理数据的时间比少小时，若两模型合作处理，仅需小时即可完成．设单独处理需要小时，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是列出方程．设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据两模型合作小时完成，可得出方程． 【详解】解：设单独处理需要小时，则单独处理数据的时间小时，根据题意得 故选：B． 6. 如图，，平分，于点，点是射线上的一个动点，若，则线段长的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂线段最短，角平分线性质，含度的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据垂线段最短得出当时，的值最小，求出，再求出的值即可． 【详解】解：当时，的值最小， ，平分，， ，， ， ， 的最小值是，即， 故选：C． 7. 若关于的方程无解，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考据分式方程无解的问题，熟练掌握分式方程无解的问题是解题的关键． 根据分式方程无解的问题可进行求解． 【详解】解：由方程可得：，整理得：， ∵该方程无解， ∴当时，则有，即； 当时，则； 故选：B． 8. 已知一次函数与（为常数，）的图象如图所示，则关于的不等式的解集在数轴上表示正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式；观察函数图象得到当时，函数的图象都在的图象下方，所以不等式的解集为，然后根据用数轴表示不等式解集的方法对各选项进行判断． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，， 即不等式的解集为， 故选：C． 9. 已知，则代数式的值是（ ） A. 6 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值，因式分解．利用平方差公式变形进行求解即可． 【详解】解：当时， ， 故选：D． 10. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点A在第一象限内，，将绕点O逆时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束时，点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含30°的直角三角形的性质，确定旋转后的位置是解此题的关键． 【详解】解：由题可知，将绕点O逆时针旋转，每次旋转， ∴每旋转4次则回到原位置， ∴第2025次旋转结束后，图形旋转了， 如图所示，旋转后的图形为作轴于H， ∵，， 设则 在中 （负值舍去） ∵点在第二象限， 故选：A． 二．填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：m2-n2-2m+1=___ ． 【答案】（m-1+n）（m-1-n） 【解析】 【分析】先分组，得到m2-2m+1-n2，后进行完全平方公式分解与平方差公式分解即可． 【详解】原式=m2-2m+1-n2 =（m-1）2-n2 =（m-1+n）（m-1-n）． 故答案为（m-1+n）（m-1-n）． 【点睛】本题考查了分组分解法、完全平方公式、平方差公式，将原式分组得到可以运用公式解决是关键． 12. 若代数式的值为零，则x的值为_______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，需分子为零且分母不为零，由此计算即可得出结果，熟练掌握分式的值为零的条件是解此题的关键． 【详解】解：∵代数式的值为零， ∴且， 解可得或， 当时，，故舍去， ∴， 故答案为：． 13. 编队飞行（即平行飞行）的两架飞机在坐标系中的坐标分别为，当飞机飞到指定位置的坐标是时，飞机的坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形的变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键．先根据飞机A确定出平移规律，再求出飞机B的横坐标与纵坐标即可得解． 【详解】解：∵飞机到达时，横坐标加4，纵坐标减3， ∴飞机的横坐标为，纵坐标为， ∴飞机B的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，在中，的面积是的垂直平分线分别交边于两点，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小作为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质是解题的关键．由垂直平分线的性质可得A与B关于对称，连接，交于点P，则当三点共线时，周长最小为的长． 【详解】∵是线段的垂直平分线， ∴A与B关于对称，连接，交于点P， ∵， ∴周长， 当三点共线时，周长最小， ∵为边的中点，， ∴， 的面积为， ， ， ， 的周长的最小值， 故答案为：． 15. 若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有且仅有5个整数解，则符合条件的所有整数的和是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】解方程得x=，即a≠3，可得a≤5，a≠3；解不等式组得0<a≤3，综合可得0<a<3，故满足条件的整数a的值为1，2. 【详解】解不等式组，可得， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ∴， ∴0<a≤3， 解分式方程， 可得x=，即a≠3 又∵分式方程有非负数解， ∴x≥0，即≥0， 解得a≤5，a≠3 ∴0<a<3， ∴满足条件的整数a的值为1，2， ∴满足条件的整数a的值之和是1+2=3， 故答案为：3． 【点睛】考点：分式方程的解；一元一次不等式组的整数解；含待定字母的不等式（组）；综合题，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 16. 如图，在直角坐标系中，等边三角形ABC的顶点的坐标为，点均在轴上．将绕顶点逆时针旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角函数的计算，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．作，求出，的值即可得到答案． 【详解】解：作，交y轴于点F， 由题可得：， 是等边三角形，， ∴是的角平分线， ， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ， 故答案为：． 三．解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）因式分解： （2）解方程：； 【答案】（1）；（2）无解 【解析】 【分析】本题考查因式分解，解分式方程． （1）运用平方差公式，完全平方公式进行因式分解即可； （2）根据解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解：（1） ； （2） 方程两边同乘，得， 整理，得， 解得：， 检验：时，， ∴不是原分式方程的解，原分式方程无解． 18. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 19. 在中，，将绕点C顺时针旋转，得，D，E分别是点B，A的对应点．记旋转角为． （1）如图①，连接AD，若，，，求AD的长； （2）如图②，连接BD，若，求证：． 【答案】（1）10； （2）由（1）知，，由旋转的性质得， ∴是等边三角形． ∴． 又， ∴． ∴． 【解析】 【分析】（1）根据，，则，由旋转的性质得，然后在中利用勾股定理求解即可； （2）由（1）知，，由旋转的性质得，则是等边三角形，得到，则，． 【详解】解：（1）由旋转的性质可得，， ∵， ∴． ∵是旋转得到的， ∴在中，根据勾股定理得． （2） 略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质与判定，平行线的判定，解题的关键在于能够熟练掌握旋转的性质． 20. 规定，例如，． （1）__________； （2）解不等式组； （3）若关于x的不等式组恰好有三个整数解，则a的取值范围为__________． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解的定义，正确得出不等式组是解题关键． （1）根据、以及的定义即可得； （2）根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可得； （3）先根据的定义可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组可得，再根据不等式组恰好有三个整数解可得，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为． 【小问3详解】 解：， ， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵这个不等式组有解， 这个不等式组的解集为， 又∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ， 解得：， ∴的取值范围为． 故答案为：． 21. 阅读材料：若，求、的值． 解：， ， ， ，， ，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了因式分解方法的应用，解答此题的关键是要明确：用因式分解的方法将式子变形时，根据已知条件，变形的可以是整个代数式，也可以是其中的一部分． （1）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后求的值； （2）先将方程进行变形，通过完全平方公式化简为两个平方和的形式，即，再利用非负数的性质，两个平方和等于零，说明每一个平方项都等于零，即，，进而求出、的值，最后根据三角形三边关系即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出边长的最大值，进而求出的周长的最大值． 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ，， ，， ； 【小问2详解】 ， ， ， ，， ，， 的边长的范围为：， 即， 、、都是正整数， 的最大值为， 的周长的最大值为． 22. 如图，已知△ABC是边长为6 cm的等边三角形，动点P，Q同时从A，B两点出发，分别沿AB，BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1 cm/s，点Q运动的速度是2 cm/s，当点Q到达点C时，P，Q两点都停止运动，设运动时间为t s，解答下列问题： （1）当点Q到达点C时，PQ与AB的位置关系如何？请说明理由． （2）在点P与点Q的运动过程中，△BPQ是否能成为等边三角形？若能，请求出t；若不能，请说明理由． 【答案】（1）点Q到达点C时，PQ与AB垂直， （2）能，当时，△BPQ是等边三角形 【解析】 【分析】（1）先求出AP的长，可得点P是AB的中点，由等边三角形的性质可求解； （2）由等边三角形的性质可得方程，即可求解． 【小问1详解】 点Q到达点C时，PQ与AB垂直，理由如下： ∵， ∴当点Q到达点C时，s， ∴， ∴点P为AB的中点， ∴； 【小问2详解】 假设点P与点Q的运动过程中，△BPQ是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴，解得， ∴当时，△BPQ是等边三角形． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了直角三角形的判定，等边三角形的性质和判定，几何动点问题，熟练掌握直角三角形含30度角的性质是关键． 23. 2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划购买两种机器人进行销售．已知每个种机器人比种机器人贵5万元，用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍． （1）求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ （2）一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再购进第二批、两种机器人共100个，且种机器人数量不超过种机器人数量的3倍．据市场销售分析，当种机器人提价种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】（1）种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． （2）购进了种机器人个，种机器人个；最大利润万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数最值问题等知识点，理解题意合理列出方程是解题的关键． （1）设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，利用1200万元购进种机器人的数量是用650万元购进种机器人数量的2倍的关系列出分式方程求解即可； （2）先运算出和的售价，设购买的数量为个，则的数量为个，列出不等式方程组求出的取值范围，再通过利润的表达式分析出方案即可． 【小问1详解】 解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 由题意可得： 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴种机器人的价格为（万）， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元． 【小问2详解】 解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， ∴由题意可得：， 解得：， ∴， ∵利润， ∵ ∴当越小时，利润最大， 把代入可得：， ∴最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 24. （阅读理解） 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．其依据是不等式（或等式）的性质：若，则；若，则；若，则． 例：已知，其中，求证：． 证明：， 因为，所以，故． 【新知理解】 （1）比较大小：______．（填“>”，“=”，“<”） 【问题解决】 （2）甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示，其面积分别为，请比较的大小关系． 【拓展应用】 （3）小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方式也不同．小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买．设两人第一次购买苹果的单价均为m元/千克，第二次购买苹果的单价均为n元/千克（m，n是正数，且），试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？ 【答案】（1）（2） （3）小亮两次购买苹果共花费元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； 小莹两次购买苹果共花费20元，两次购买苹果的平均单价为元/千克； ， m，n是正数，且， ， ， 小莹的购货方式更合算． 【解析】 【分析】此题考查了作差法比较两个数的大小，多项式乘以多项式，整式加减运算、分式加减法的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题中的方法作差解答； （2）先分别表示出两个平行四边形的面积，再利用作差法计算判断； （3）先分别表示两人两次购买苹果的平均单价，再用作差法计算比较大小即可判断． 【详解】（1）∵， ∴，即 故答案为：； （2）， ， ． ， ， ，即． （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $