考点05 一元二次方程、不等式4类常见考点全归纳-备战2026年《考点通关》高考数学一轮考点归纳与解题策略(新高考地区专用)（解析版）

考点05 一元二次方程、不等式4类常见考点全归纳 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求解不等式 考向1 不含参的不等式 考向2 含参的不等式 （1）对两根大小的讨论 （2）对判别式的讨论 （3）对二项式系数的讨论 考点二 三个二次之间的关系 考向1 根据一元二次不等式的解集求参数 考向2 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点三 一元二次不等式的恒成立与有解问题 考向1 一元二次不等式的恒成立问题 考向2 一元二次不等式的有解问题 考点四 一元二次方程根的分布问题 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 考点一 求解不等式 考向1 不含参的不等式 【典例】　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 答案　BD 解析　由题知方程－x2－x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝－2，所以不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|－2<x<1}，故A错误； 因为 －1≤0，即≤0，即(x＋3)(x－2)≤0(x－2≠0)，解得－3≤x<2，所以不等式的解集为{x|－3≤x<2}，故B正确； 由|x－2|≥1，可得x－2≤－1或x－2≥1， 解得x≤1或x≥3，所以不等式的解集为{x|x≤1或x≥3}，故C错误； 由|x－1|<1，可得－1<x－1<1，解得0<x<2，由<0，可得－4<x<5，因此，“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件，故D正确. 解题策略： 1.解一元二次不等式的方法和步骤 2.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正． 如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿． 3.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 4.绝对值不等式： |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 5.简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； 若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (2)若a>1，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0； 若0<a<1，logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解分式不等式、一元二次不等式求集合，再由集合的交补运算求解. 【详解】因为，， 所以或，所以． 故选：B 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过解不等式化简集合，再求 【详解】由得，即，∴， 由，得，∴． 所以． 故选：B． 3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集： (1) (2) (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分式不等式转化为整式不等式求解. （2）利用“穿根法”解高次不等式. （3）分情况讨论，去掉绝对值符号，解不等式. 【详解】（1）. 所以不等式的解集为：. （2）由 所以， 由穿根法： 原不等式的解集为：. （3） 当时，原不等式可化为：； 当时，原不等式可化为：，无解. 综上可知：原不等式的解集为：. 考向2 含参的不等式 （1）对两根大小的讨论 【典例】已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>－ax－1. 【解析】不等式f(x)>－ax－1可化为ax2＋(a＋3)x＋3>0，即(ax＋3)(x＋1)>0. 因为a>0， 所以当－<－1，即0<a<3时，原不等式的解集为； 当－＝－1，即a＝3时，原不等式的解集为{x|x≠－1}； 当－>－1，即a>3时，原不等式的解集为. （2） 对判别式的讨论 【典例】已知函数．解关于x的不等式． 令， ①当，即时， 函数图像与轴至多只有1个交点，且开口向上． 因此，不等式的解集为． ②当，即或时， 函数图像与轴有两个交点，且开口向上． 令，则方程有两个不等实根， 为：，. 可知，不等式的解集为： 或. 综上所述，①当时，不等式的解集为； ②当或时，不等式的解集为 或. （3） 对二项式系数的讨论 【典例】（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 解题策略： 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 【答案】答案见解析 【分析】先因式分解，再分，，，四种情况讨论，分别求出不同情况下的不等式的解集即可. 【详解】. 当时，此时，，则不等式的解为； 当0时，此时，，不等式的解为或； 当时，此时，，不等式的解为； 当时，此时，，不等式的解为或. 综上，当时，不等式的解集为； 当0时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 2．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 【答案】答案见解析 【分析】分，，三种情况求解即可. 【详解】当时，不等式为，解得， 当时，由不等式，可得， 所以， 若，则，解不等式得或， 若，则，不等式的解集为若， 若，解得时，解不等式得或， 当时，由不等式，可得， 所以， 解得， 综上所述：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】先讨论时不等式的解，在时，求得相应方程的两根，通过比较两根的大小可得不等式的解. 【详解】原不等式可化为，即， ①当时，原不等式化为，解得 ②当时，原不等式化为， 原不等式解集， 原不等式解集为， 原不等式解集为， ③当时，原不等式化为． 原不等式解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集； 当时，不等式解集为. 考点二 三个二次之间的关系 考向1 根据一元二次不等式的解集求参数 【典例1】(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a＋b＋c>0 C.bx＋c>0的解集是 D.cx2－bx＋a<0的解集是 答案　CD 解析　由题意可得1和5是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，且a<0， 由根与系数的关系可得1＋5＝－，1×5＝，得b＝－6a，c＝5a， 对于A，因为a<0，故A错误； 对于B，a＋b＋c＝a－6a＋5a＝0，故B错误； 对于C，不等式bx＋c>0，即－6ax＋5a>0，即6x－5>0，得x>， 所以不等式bx＋c>0的解集是，故C正确； 对于D，由不等式cx2－bx＋a<0，得a(5x2＋6x＋1)<0，即5x2＋6x＋1>0， 则(5x＋1)(x＋1)>0，得x>－或x<－1， 即解集为，故D正确. 【典例2】(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3 C.－1<x1<x2<3 D.x2－x1>4 答案　ABD 解析　由题意得，a<0，且x1，x2是一元二次方程a(x＋1)(x－3)＋1＝0，即ax2－2ax＋1－3a＝0的两根， 所以x1＋x2＝－＝2，故A正确； x1x2＝－3<－3，故B正确； x2－x1＝＝2>4，故D正确； 由x2－x1>4，可得－1<x1<x2<3是错误的，故C错误. 解题策略： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系求解即可. 【详解】因为的解集为， 所以且，故. 故选：D. 2．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 【答案】A 【分析】由题意得，是方程的两个根，代入求解即可. 【详解】因为，是方程的两个根，所以，解得，所以. 故选：A. 3．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【分析】根据一元二次不等式的解集求参数，再依次判断各项的正误. 【详解】A：因为关于的不等式的解集为或， 所以和3是方程的两个实根，且对应的二次函数图象开口向下，则，错； B：由A得，，所以，， 因为，，所以，对； C：不等式可化为，因为，所以，对； D：不等式可化为，又， 所以，即，解得，对. 故选：BCD 考向2 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 【典例】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】由含参一元二次不等式的求解方法，对参数分类讨论得到结果. 【详解】， ①当时，明显不符合题意； ②当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为2，3，4，故； ③当时，不等式的解集为， 由于不等式的解集中恰有三个整数，则整数为0，，，故. 所以实数的取值范围为或. 故选：D. 【巩固训练】 1．（19-20高一下·江苏南通·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分类求出不等式的解集，再结合已知列出不等式求解得答案. 【详解】不等式， 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得； 当时，原不等式的解集为， 由解集中恰有4个整数，得，解得， 所以实数m的取值范围是或. 故选：D 2．（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】先依题意求出，接着求不等式的解集，根据解集特征求出解集中的整数是，从而得，再结合即可求解. 【详解】当时，不等式化为， 因为，所以该不等式解集为，不满足解集中的整数恰有4个； 当时，，显然不满足解集中的整数恰有4个； 所以，，不等式化为， 解方程， 所以不等式的解集为，又， 所以不等式解集中的整数是， 所以，所以， 又因为，所以，即，所以， 综上，满足题意的实数的取值范围为. 故答案为：. 考点三 一元二次不等式的恒成立与有解问题 考向1 一元二次不等式的恒成立问题 【典例1】已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. 解　(1)不等式f(x)<1， 即mx2－(m－1)x＋m－2<0， 当m＝0时，x－2<0，解得x<2，不符合题意； 当m≠0时，有 解得m<， 综上所述，m的取值范围为. (2)不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立， 即m(x2－x＋1)≥1－x对一切x∈恒成立， 因为x2－x＋1＝>0， 则不等式等价于m≥对一切x∈恒成立， 由x∈， 得≤＝1， 当且仅当1－x＝，即x＝0时等号成立， 所以＝1， 所以m≥1，即m的取值范围是[1，＋∞). (3)不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立， 即(x2－x＋1)m＋x－3>0对一切m∈(0，2)恒成立， 令h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3， 因为x2－x＋1＝>0， 所以函数h(m)＝(x2－x＋1)m＋x－3在(0，2)上单调递增， 则h(0)＝x－3≥0，解得x≥3， 所以x的取值范围为[3，＋∞). 【典例2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ； 【答案】 【分析】令可得，解得，进而分析可知原不等式等价于在上恒成立，结合二次函数分析求解即可. 【详解】因为不等式在上恒成立， 令可得，解得， 若，则在上恒成立， 原不等式等价于在上恒成立， 因为二次函数的图像开口向上，对称性， 当，即时， 则在上恒成立，符合题意； 当，即时，则， 可知，符合题意； 综上所述：的取值集合为. 故答案为：. 解题策略： 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 【巩固训练】 1．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 【答案】 【分析】两项乘积大于等于零恒成立，则两项有相同交点且在同一区间同时取相同的正负值，求出其中一项的零点，代入另一个方程，解得值. 【详解】当时，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， 当时，由可解得， 而方程有两个不相等的实数根且异号， 所以，必定是方程的一个正根， 则，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由参变量分离法可得出，令，可得出，利用基本不等式求出的最大值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得， 令，则， 因为， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以，，解得， 所以，实数的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据主元法得对恒成立，再利用一次函数性质即可得到答案. 【详解】由不等式对恒成立， 得对恒成立， 令，得， 解得， ∴实数x的取值范围是. 故答案为：. 4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 考向2 一元二次不等式的有解问题 【典例1】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【答案】B 【分析】应用一元二次不等式有解求出参数范围结合必要不充分条件定义判断即可. 【详解】若关于的不等式有解， 则，得 由“”可以推出“”， 由“”不能推出“”， 所以“关于的不等式有解”是“”的必要不充分条件 故选：B． 【典例2】若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________ 【答案】 【详解】因为， 所以，由得， 因为关于的不等式在区间(0，2]上有解， 所以只需小于等于的最大值， 又，当且仅当时，等号成立， 所以，则， 即实数的取值范围是. 故答案为：. 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】解法一、令，转化为，再分，，讨论即可；解法二、根据题意，参变分离得，再分，求函数最值即可. 【详解】解法一 、令， ①当时，在上单调递减，所以，此时满足条件． ②当时，的图象的对称轴方程为， 若，则在上单调递减，则只需满足，得； 若，则，且时已满足条件． 综上，实数的取值范围为． 解法二、时，，由得， 则在上有解． 令，则当时，； 当时，， 又在单调递增，所以，即， 故实数的取值范围为． 故答案为：. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】分离参数后转化为求函数的最小值. 【详解】在时有解，分离参数得在区间上有解， 只需要不小于函数在区间上的最小值即可， 因为，函数图像对称轴，且， 所以当时，在区间上取最小值，， 所以若命题“”为真命题，则， 实数的取值范围是． 故答案为： 3.（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对分类讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】当时，此时当时，即满足，故符合题意， 当时，此时为开口向下的二次函数，一定存在实数使得成立，故符合题意， 当时，此时为开口向上的二次函数，要使存在实数使得成立，则，解得， 综上可得， 故选：A 考点四 一元二次方程根的分布问题 【典例1】若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是(　　) A.－<a< B.a> C.a<－ D.－<a<0 答案　D 解析　方法一　显然a≠0； 令f(x)＝ax2＋(a＋2)x＋9a， 当a>0时，f(1)<0，当a<0时，f(1)>0， 故af(1)<0，即a(11a＋2)<0， 解得－<a<0. 方法二　因为方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2， 所以 因为x1<1<x2， 所以(x1－1)(x2－1)<0， 即x1x2－(x1＋x2)＋1<0， 则9＋＋1<0，解得－<a<0. 【典例2】已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】利用二次函数根的分布情况逐项分析求解. 【详解】（1）对于方程， 两个不同的正根，且设两根分别为,，则， 即，解得. 故有两个不同的正根的范围为. （2）两个不同的负根，且设两根分别为，，则， 即，解得. 故有两个不同的负根的范围为. （3）令，一个根在内，另一个根在内， 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内的范围为. （4）两个不同的根都大于，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都大于则的范围为. （5）两个不同的根都小于1，则两根为，， 即，即，解得. 故两个不同的根都小于1，则的范围为. （6）一个根大于1，一个根小于1，则得，解得； 故一个根大于1，一个根小于1，则的范围为. （7）两个不同的根都在内， 即，即，解得， 故两个不同的根都在内，则的范围为. （8）有两个不同的根，有且仅有一个根在内， 则，即，解得. 当时，方程两根为，符合， 故有两个不同的根，有且仅有一个根在内，则的范围为. （9）一个根小于2，一个根大于4； 则，即，解得. 故一个根小于2，一个根大于4，则的范围为. （10）一个根在内，另一个根在内； 则，即，解得. 故一个根在内，另一个根在内，则的范围为. （11）一个正根，一个负根，且正根绝对值较大， ，即，解得. 故一个正根，一个负根，且正根绝对值较大，则的范围为. （12）在内无实根： 即或或或， 即或或或， 解得或， 故在内无实根时，则的范围为. 解题策略： 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 【答案】 【分析】结合二次函数根的区间分布，列出不等式组，解出即可. 【详解】设，由题可知，若都在区间内， 则需满足，所以解得． 故答案为：. 2．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】利用二次函数的性质建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】令， 因为方程的两根都大于， 所以由题意可得，解得． 故选：C． 3．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】结合图象与轴交点的位置讨论方程根的情况． 【详解】（1）二次函数的图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为． 两根都大于0，如图1所示，则，解得． （2）一个根大于1，另一个根小于1，如图2所示，则，解得． （3）一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3，如图3所示，则，解得． 一、单选题 1．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由题意可得，解不等式即可求出结果. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 所以，解得， 故选：B. 2．若不等式 的解集为，则的值为（    ） A．5 B．-5 C．-25 D．10 【答案】B 【分析】根据题意可知和3是方程 的两个根，由此利用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：由题意可得：和3是方程 的两个根， ， 解得，， 所以． 故选B． 【点睛】本题考查一元二次不等式与二次方程的关系，属于基础题． 3．若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】D 【分析】由，得出，然后解一元二次不等式即可得出结果. 【详解】解：∵，∴， 故原不等式的解集为， 故选：D． 4．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（    ） A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 【答案】C 【分析】本题先根据一元二次方程的两根因式分解，再根据a<0求一元二次不等式的解集即可. 【详解】解析：由二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2，3，且a<0，知不等式ax2＋bx＋c>0可化为a(x＋2)(x－3)>0，即(x＋2)(x－3)<0，方程(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3，则不等式(x＋2)(x－3)<0的解集是{x|－2<x<3}， 故选：C. 【点睛】本题考查根据一元二次方程的根求对应一元二次不等式的解集，是基础题. 5．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】等价于，故推不出； 由能推出． 故“”是“”的必要不充分条件． 故选B． 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断； (2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题． 二、解答题 6．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 【答案】 【分析】利用一元二次方程在上有两个不相等的实数根可得判别式大于零,再解一元二次不等式可得. 【详解】由已知得， 整理得， 解得或， 所以实数的取值范围为. 【点睛】本题考查了一元二次方程有解问题,一元二次不等式的解法,属于基础题. 7．已知二次函数的图象与x轴交于，两点，求关于x的不等式的解集. 【答案】 【分析】根据图象与x轴交于，，得到和是方程的两个实数根，把不等式转化为，即可求解. 【详解】因为二次函数的图象与x轴交于，两点 所以和是方程的两个实数根， 所以不等式，可化为，解得或， 即不等式的解集为. 8．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）． 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）根据绝对值的几何意义解答； （2）根据绝对值的几何意义解答； 【详解】解：（1） 又根据绝对值的几何意义知 故原不等式无解，解集为 （2） 又根据绝对值的几何意义知 故原不等式的解集为： 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，属于基础题. 9．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 【答案】 【解析】对k分k＜0和k＞0两种情况讨论，即得解. 【详解】解：当时，要使一元二次不等式对一切实数x都成立， 则二次函数的图象在x轴下方， 即，得. 当时，二次函数的图象开口向上，一元二次不等式不可能对一切实数x都成立. 综上可知，. 【点睛】本题主要考查一元二次不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 10．已知，，求，. 【答案】或，或. 【解析】求出集合、，然后利用交集和并集的定义可求出集合，. 【详解】或， 或. 因此，或，或. 【点睛】本题考查交集与并集的计算，同时也涉及了一元二次不等式的求解，在求解无限数集之间的运算时，可充分利用数轴来理解，考查计算能力，属于基础题. 11．若不等式的解集是． (1)解不等式； (2)b为何值时，的解集为R． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）由题意可得和1是方程的两个根，则有，求出的值，然后解不等式即可， （2）由（1）可知的解集为R，从而可得，进而可求出的取值范围 【详解】（1）由题意得和1是方程的两个根，则有，解得， 所以不等式化为，， 解得或， 所以不等式的解集为或 （2）由（1）可知的解集为R， 所以，解得， 所以的取值范围为 12．若不等式的解集是，求不等式的解集． 【答案】. 【分析】根据不等式的解集求得的值，把不等式化为，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】由题意，不等式的解集是， 可得和是一元二次方程的两个实数根， 所以，解得，， 所以不等式化为，即， 解得， ∴不等式的解集为． 13．当为何值时，关于的方程分别满足： (1)无实数根？ (2)有两正实根？ 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题可得，即求； （2）由题得，即得. 【详解】（1）∵关于的方程无实数根， ∴， ∴， 解得，即. （2）∵关于的方程有两正实根， ∴， 解得，即. 14．某出版社以每本25元的价格发行一种图书，可发行8000本．经市场调研，一本书的定价每提高1元，发行量就减少200本．要使发行总收入不低于200000元，这种图书的最高定价是多少？ 【答案】最高定价为40元. 【分析】列出一元二次不等式解出即可. 【详解】设图书的定价为元，根据题意可得：， 即， ，， 故如果使收入不低于200000元，这种图书的最高定价为40元. 15．已知不等式的解集是，求实数a，b的值. 【答案】． 【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系求解． 【详解】不等式的解集是，则的两根是3和4，且， 所以且，解得． 16．设，解不等式. 【答案】. 【分析】由题意结合不等式的性质零点分段即可求得不等式的解集. 【详解】当x<0时，原不等式可化为，解得x<–： 当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解； 当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1. 综上，原不等式的解集为. 【点睛】本题主要考查解不等式等基础知识，考查运算求解和推理论证能力． 17．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 【答案】(1)或； (2) (3) (4)无解 (5)或； (6)R 【分析】利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）解：， 解得或， 所以不等式的解集是或； （2）由，得， 即，解得， 所以原不等式的解集为：； （3）不等式的相应方程的两个根为，， 则不等式的解集为； （4）不等式，即为， 所以原不等式无解； （5）不等式即为， 则，解得或， 所以原不等式的解集为或； （6）其相应方程的判别式为， 所以不等式的解集为R； 18．关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 【答案】 【分析】当时，代入可知不等式恒成立，满足题意；当时，由一元二次不等式和二次函数关系，结合二次函数的图象与性质可确定二次函数开口方向向下且，由此得到不等式组，解不等式组求得结果. 【详解】①当，即时，不等式为，恒成立，满足题意； ②当，即时，由不等式解集为可得： 解得： 综上所述：的取值范围为 【点睛】本题考查根据一元二次不等式在实数集上恒成立求解参数范围的问题，关键是明确一元二次不等式与二次函数的关系，结合二次函数的图象与性质得到不等式组；易错点是忽略对于二次项系数等于零的讨论. 19．求关于x的不等式的解集，其中a是常数． 【答案】答案见解析 【分析】化标准形式，再由方程根的大小分类讨论解不等式. 【详解】原不等式可化为， 方程的根为，或. 当时，解得； 当时，无解； 当时，解得 综上所述，当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是； 当时，不等式的解集是. 20．求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)答案详见解析 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求得正确答案. （2）整理不等式后，对进行分类讨论，从而求得不等式的解集. 【详解】（1）， 解得， 所以不等式的解集为. （2）由得， 即， 当时，即恒成立， 不等式的解集为. 当时，，所以不等式的解集为或. 当时，，所以不等式的解集为或. 21．求关于x的不等式的解集，其中m是常数． 【答案】答案见详解 【分析】由题意可得，分类讨论最高项系数和两根大小，结合一元二次不等式运算求解. 【详解】因为， 1.当时，则，所以不等式的解集为； 2.当时，令，解得或， （1）当时，可知，所以不等式的解集为； （2）当时，可知，则有： ①当，即时，所以不等式的解集为； ②当，即时，所以不等式的解集为； ③当，即时，所以不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 22．解关于的不等式． 【答案】答案见解析 【分析】对参数分类讨论，结合二次函数的性质，分别求出不等式的解集． 【详解】由题意，分以下三种情形来解不等式： 情形一：当时，不等式变为，解得； 情形二：当时，，不等式的解为或； 情形三：当时，，不等式的解为或； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 23．（1）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，求实数m的取值范围； （2）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，求实数m的取值范围． 【答案】（1）{m|m＜－1}；（2）{m|m＜5}． 【分析】先参变分离，转化为m＜x2－3x＋1，（1）恒成立问题，只需m小于函数y＝x2－3x＋1的最小值；（2）有解问题，只需m小于函数y＝ x2－3x＋1的最大值. 【详解】解　（1） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立， 即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上恒成立． 令y＝x2－3x＋1＝， 则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小， 所以ymin＝12－3×1＋1＝－1， 所以实数m的取值范围是{m|m＜－1}． （2） x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解， 即m＜x2－3x＋1在[－1, 1]上有解． 令y＝x2－3x＋1＝， 则当－1≤x≤1时，y随x的增大而减小， 所以ymax＝(－1)2－3×(－1)＋1＝5， 所以实数m的取值范围是{m|m＜5}． 24．已知关于x的不等式. （1）若此不等式的解集为或，求实数m的值； （2）若此不等式的解集为，求实数m的值； （3）若此不等式的解集为，求实数m的取值范围； （4）若此不等式的解集为，求实数m的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）. 【分析】（1）由题意知是方程的两根，且，由根与系数的关系求解即可； （2）由题意知且，求解即可； （3）由题意知且，求解即可； （4）由题意知且，求解即可 【详解】（1）由题意知是方程的两根，且， 所以，解得，所以实数m的值为； （2）由题意知且， 解得，所以实数m的值为；　 （3）由题意知且，解得， 所以实数m的取值范围是； （4）由题意知且，解得， 所以实数m的取值范围是. $$考点05 一元二次方程、不等式4类常见考点全归纳 1.会从实际情景中抽象出一元二次不等式. 2.结合二次函数图象，会判断一元二次方程的根的个数，以及解一元二次不等式. 3.了解简单的分式、绝对值不等式的解法. 备战2026年《考点通关》高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用) 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 求解不等式 考向1 不含参的不等式 考向2 含参的不等式 （1）对两根大小的讨论 （2）对判别式的讨论 （3）对二项式系数的讨论 考点二 三个二次之间的关系 考向1 根据一元二次不等式的解集求参数 考向2 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 考点三 一元二次不等式的恒成立与有解问题 考向1 一元二次不等式的恒成立问题 考向2 一元二次不等式的有解问题 考点四 一元二次方程根的分布问题 1.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 方程的判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1或x>x2} R 2.分式不等式与整式不等式 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0. 3.简单的绝对值不等式 |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|<a(a>0)的解集为(－a，a). 考点一 求解不等式 考向1 不含参的不等式 【典例】　(多选)下列选项中，正确的是(　　) A.不等式－x2－x＋2>0的解集为{x|x<－2或x>1} B.不等式≤1的解集为{x|－3≤x<2} C.不等式|x－2|≥1的解集为{x|1≤x≤3} D.设x∈R，则“|x－1|<1”是“<0”的充分不必要条件 解题策略： 1.解一元二次不等式的方法和步骤 2.一元高次不等式的解法，数轴穿根法：先因式分解再用穿根法，依据：从左至右，从上至下，依次穿根，奇过偶不过，注意x系数为正． 如(x－1)2(x－2)(x－3)>0在数轴上标根穿线，点1处的线过而不穿． 3.简单分式不等式的解法 (1)>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； (2)≥0(≤0)⇔ 4.绝对值不等式： |x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)；|x|<a(a>0)的解集为(－a，a)． 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间． 5.简单的指数与对数不等式的解法 (1)若a>1，af(x)>ag(x)⇔f(x)>g(x)； 若0<a<1，af(x)>ag(x)⇔f(x)<g(x)． (2)若a>1，logaf(x)>logag(x)⇔f(x)>g(x)>0； 若0<a<1，logaf(x)>logag(x)⇔0<f(x)<g(x)． 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·单元测试）设集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）求下列不等式的解集： (1) (2) (3)． 考向2 含参的不等式 （1）对两根大小的讨论 【典例】已知函数f(x)＝ax2＋3x＋2.若a>0，解关于x的不等式f(x)>－ax－1. （2） 对判别式的讨论 【典例】已知函数．解关于x的不等式． （3） 对二项式系数的讨论 【典例】（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 解题策略： 对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有 (1)根据二次项系数为正、负及零进行分类. (2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数. (3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论. 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）解关于的不等式（为常数且）. 2．（24-25高一上·江西·开学考试）解关于x的不等式： 3．（24-25高一下·湖北黄石·阶段练习）解关于x的不等式． 考点二 三个二次之间的关系 考向1 根据一元二次不等式的解集求参数 【典例1】(多选)(2025·蚌埠模拟)已知关于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集为(－∞，1)∪(5，＋∞)，则下列结论正确的是(　　) A.a>0 B.a＋b＋c>0 C.bx＋c>0的解集是 D.cx2－bx＋a<0的解集是 【典例2】(多选)已知关于x的不等式a(x＋1)(x－3)＋1>0(a≠0)的解集是(x1，x2)，则下列结论正确的是(　　) A.x1＋x2＝2 B.x1x2<－3 C.－1<x1<x2<3 D.x2－x1>4 解题策略： 已知一元二次不等式的解集，就能够得到相应的一元二次方程的两根，由根与系数的关系，可以求出相应的系数.注意结合不等式解集的形式判断二次项系数的正负. 【巩固训练】 1．（2025高一·全国·专题练习）若关于的不等式的解集为非空集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）若不等式的解集为，则的值是（   ） A． B． C．10 D．14 3．【多选】（25-26高一上·全国·单元测试）已知关于的不等式的解集为或，则（    ） A． B． C．不等式的解集为 D．不等式的解集为 考向2 根据一元二次不等式解集中整数的个数求参数 【典例】（24-25高一上·四川成都·阶段练习）不等式的解集中恰有三个整数，则实数的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D．或 【巩固训练】 1．（19-20高一下·江苏南通·期末）关于x的不等式的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·湖北·期中）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是 ． 3．（24-25高一上·安徽·期中）已知，的解集中的整数恰有4个，则实数的取值范围为 . 考点三 一元二次不等式的恒成立与有解问题 考向1 一元二次不等式的恒成立问题 【典例1】已知函数f(x)＝mx2－(m－1)x＋m－1. (1)若不等式f(x)<1的解集为R，求m的取值范围； (2)若不等式f(x)≥0对一切x∈恒成立，求m的取值范围； (3)若不等式f(x)>2对一切m∈(0，2)恒成立，求x的取值范围. 【典例2】（24-25高三上·辽宁·期中）已知关于的不等式在上恒成立，则实数的取值集合为 ； 解题策略： 恒成立问题求参数的范围的解题策略 (1)弄清楚自变量、参数.一般情况下，求谁的范围，谁就是参数. (2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ；一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论. 【巩固训练】 1．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）设，若时，均有成立，则实数的取值集合为 . 2．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）对任意的，关于的不等式恒成立，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·吉林长春·阶段练习）若不等式对恒成立，则实数的取值范围是 ． 4．（24-25高一上·山东淄博·阶段练习）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 考向2 一元二次不等式的有解问题 【典例1】（24-25高一下·湖北黄冈·阶段练习）关于的不等式有解是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充分不必要条件 【典例2】若关于的不等式在区间(0，2]上有解，则实数的取值范围是____________ 【巩固训练】 1．（2025高三·全国·专题练习）若关于的不等式在上有解，则实数的取值范围是 ． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若命题“”为真命题，则实数的取值范围是 ． 3.（24-25高二下·北京朝阳·期末）若存在实数使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点四 一元二次方程根的分布问题 【典例1】若关于x的方程ax2＋(a＋2)x＋9a＝0有两个不相等的实数根x1，x2，且x1<1<x2，则a的取值范围是(　　) A.－<a< B.a> C.a<－ D.－<a<0 【典例2】已知方程，在下列条件下，分别求的范围． (1)有两个不同的正根； (2)有两个不同的负根； (3)一个根在内，另一个根在内； (4)两个不同的根都大于； (5)两个不同的根都小于1； (6)一个根大于1，一个根小于1； (7)两个不同的根都在内； (8)有两个不同的根，有且仅有一个根在内； (9)一个根小于2，一个根大于4； (10)一个根在内，另一个根在内； (11)一个正根，一个负根，且正根绝对值较大； (12)在内无实根． 解题策略： 解决—元二次方程实根分布问题,需结合二次函数图像与性质分析。核心步骤： （1）明确根的范围：用具体取值条件描述根的分布(如 "两根都大于 2"，"一根小于 1,一根大于 3"等)。 （2）转化为函数条件：设二次函数 ,根据根的范围列不等式组： ①开口方向( 的符号)； ②判别式 ,保证有实根) ; ③ 端点函数值符号(如根大于 时, 的符号结合开口方向判断)； ④ 对称轴位置 （3）联立求解：解不等式组得参数范围,验证边界情况。 通过图像直观分析,将根的分布转化为函数在特定取值下的符号及对称轴条件,可高效求解。 【巩固训练】 1．（25-26高一上·全国·开学考试）若关于的方程的两个根都在区间上，则a的值范围为 ． 2．（2025高一·全国·专题练习）已知方程的两根都大于，则实数的取值范围是（    ）． A． B． C． D．或 3．（2025高一·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当为何值时，方程的两根都大于0？ (2)当为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？ (3)当为何值时，方程的一个根大于且小于1，另一个根大于2且小于3？ 一、单选题 1．若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D． 2．若不等式 的解集为，则的值为（    ） A．5 B．-5 C．-25 D．10 3．若，则不等式的解集为（    ） A． B．或 C．或 D． 4．如果二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为，3，且a<0，那么不等式ax2＋bx＋c>0的解集为（    ） A．{x|x>3或x<－2} B．{x|x>2或x<－3} C．{x|－2<x<3} D．{x|－3<x<2} 5．设，则“”是“”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、解答题 6．已知关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围. 7．已知二次函数的图象与x轴交于，两点，求关于x的不等式的解集. 8．求下列绝对值不等式的解集： （1） （2）． 9．当k取什么值时，一元二次不等式对一切实数x都成立. 10．已知，，求，. 11．若不等式的解集是． (1)解不等式； (2)b为何值时，的解集为R． 12．若不等式的解集是，求不等式的解集． 13．当为何值时，关于的方程分别满足： (1)无实数根？ (2)有两正实根？ 14．某出版社以每本25元的价格发行一种图书，可发行8000本．经市场调研，一本书的定价每提高1元，发行量就减少200本．要使发行总收入不低于200000元，这种图书的最高定价是多少？ 15．已知不等式的解集是，求实数a，b的值. 16．设，解不等式. 17．求下列不等式的解集： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6). 18．关于的不等式的解集为，求实数的取值范围 19．求关于x的不等式的解集，其中a是常数． 20．求下列关于x的不等式的解集，其中a，m是常数： (1)； (2)． 21．求关于x的不等式的解集，其中m是常数． 22．解关于的不等式． 23．（1）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上恒成立，求实数m的取值范围； （2）若关于x的不等式x2－x＋1＞2x＋m在[－1, 1]上有解，求实数m的取值范围． 24．已知关于x的不等式. （1）若此不等式的解集为或，求实数m的值； （2）若此不等式的解集为，求实数m的值； （3）若此不等式的解集为，求实数m的取值范围； （4）若此不等式的解集为，求实数m的取值范围． $$