8.4 因式分解--提取公因式法 教学设计 2024--2025学年沪科版七年级数学下册

8.4因式分解--提取公因式法 教学目标 （1）理解因式分解的概念和意义 （2）认识因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形，并会运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法 （3）理解公因式的概念，会找出多项式的公因式，并能用提取公因式法因式分解 教学重点：掌握公因式的概念，会使用提取公因式法进行因式分解 教学难点：例2中涉及的添括号法则 【教学准备】 实物投影仪、多媒体辅助教学 教学过程 一、创设情景，利用旧知，引出问题 1、观察：a2-b2=(a+b)(a-b) ，  a2-2ab+b2 = (a-b)2 ，  20x2+60x=20x(x+3)，找出它们的特点。(等式的左边是一个什么式子，右边又是什么形式？) 【利用教师的主导作用，把学生的无意识的观察转变为有意识的观察，同时教师应鼓励学生大胆描述自己的观察结果，并及时予以肯定。】 2、类比小学学过的因数分解概念，得出因式分解概念。（学生概括，老师补充。） 【让学生自己概括出所感知的知识内容，有利于学生在实践中感悟知识的生成过程，培养学生的语言表达能力。】 板书课题：§8.4 因式分解 因式分解概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解，也 叫分解因式。 ㈢、前进一步 1、让学生继续观察：(a+b)(a-b)= a2-b2 , (a-b)2= a2-2ab+b2，   20x(x+3)= 20x2+60x,它们是什么运算？与因式分解有何关系？它们有何联系与区别？ （要注意让学生区分因式分解与整式乘法的区别，防止学生出现在进行因式分解当中，半路又做乘法的错误。） 2、因式分解与整式乘法的关系：               因式分解    结合：x2-y2=========（x+y）（x-y）               整式乘法 说明：从左到右是因式分解其特点是：由和差形式（多项式）转化成整式的积的形式；从右到左是整式乘法其特点是：由整式积的形式转化成和差形式（多项式）。 结判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； (5) (a－3)(a+3)=a2－9 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r 因式分解与整式乘法的相互关系——相反变形。（多媒体展示学生得出的成果） 二、探求新知，建构方法 1、让学生观察多项式：ma+mb （让学生说出其特点：都有m，含有两种运算等，然后教师规范其特点，从而引出新知。） 教师规范说出概念：各项都含有一个公共的因式m，则m叫做这个多项式各项的公因式。 注意：公因式是一个多项式中每一项都含有的相同的因式。 2、简单体验： 多项式ab-b2各项的公因式是b 多项式4x2y-6xy2z各项的公因式是2xy 让学生说出公因式，学生可能会说是2或者是 x 、 y、2x、2y、2xy等，最后一起确定公因式2xy，让学生初步体会到确定公因式的方法。 3、独立练习，巩固新知 指出下列各多项式中各项的公因式（以抢答的形式） ⑴ax+ay-a （a） ⑵5x2y3-10x2y （5x2y） ⑶24abc-9a2b2 （3ab） ⑷m2n+mn2 （mn） ⑸x(x-y)2-y(x-y) (x-y) 显然由定义可知，提取公因式法的关键是如何正确地寻找确定公因式的方法：（可以由学生讨论总结，然后教师进行归纳板书） ⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数（当系数是整数时） ⑵字母取各项的相同字母， （3）其中相同字母的指数取最低次幂 （4）公因式也可以是多项式 4、说出下列多项式各项的公因式（检测性练习） （1）2ax+4ay (2) 9x+6x +3x (3) 4a-6a (4) 4xy-12xy (5) -5ax+15ax (6) –x+2x-3x 5、根据分配律，可得m（a+b）=ma+mb逆变形，使得到ma+mb的因式分解形式：ma+mb=m（a+b）这说明多项式ma+mb各项都含有的公因式可提到括号外面，将多项式ma+mb写成m（a+b）的形式，这种分解因式的方法叫做提取公因式法。 （板书）定义：一般地，如果一个多项式的各项含有公因式，那么可把该公因式提取出来进行分解的方法叫做提取公因式法。 三、例题教学，运用新知 1、例1、把多项式8a3b2 -12ab3c分解因式 通过上面的练习，学生会比较容易地找出公因式，所以这一步还是让学生来操作。然后在黑板上正确规范地书写提取公因式法的步骤。事后总结出提取公因式的一般步骤分两步：第一步：找出公因式；第二步：提取公因式 让学生口答：把2x3+6x2分解因式 说明：⑴应特别强调确定公因式的两个条件，以免漏取。（系数与字母及指数） ⑵刚开始讲，最好把公因式单独写出。①以显提醒②强调提公因式③强调因式分解 2、例题2把下列两个式子因式分解 （1）4x+8ax+2x （2）－3ab+6abx－9aby （板书）提取公因式的一般步骤： ①确定应提取的公因式:②用公因式去除这个多项式,把所得的商作为另一个因式:③把多项式写成这两个因式的积的形式。 注意：提取公因式后，使多项式余下的各项不再含有公因式。 3、巩固练习1、把下列各式分解因式 (1) 2ax2+ay (2) 4a2b+10ab-2ab2 (3) -3x2y+12xy2-27xy 2、下列的分解因式对吗？如不对，请指出出原因。 （1）2x2 + 3x3 + x = x(2x +3x2) （2）a2c - 6a3c = 3a2(c - 2ac) （3）-2s3 + 4s2 - 6s = - s(2s2 + 4s-6) （4）a2b + 6ab2 - 8a = -2ab(2a-3b) - 8a 4、拓展提高： ①多项式2（a-b）2-（a-b），此题公因式是什么?怎样解？ 【解】（教师板书解题过程，突出对留下的多项式中的处理步骤应引起学生注意） ②如何把2(a-b)2 – a + b 分解因式 提问:①此题有没有公因式?②通过怎样变形会有公因式?③怎样分解因式? 【解】2(a-b)2 – a + b = 2(a-b)2 –( a – b) = (a-b)[ 2(a-b) –1] = (a-b)( 2a-2b –1) ③然后可追加一问：2（a-b）2-（b-a）3呢？ 四、小结： （1）公因式的确定 （2）提公因式法分解因式的步骤和分解要求 （3）添括号法则 五、当堂练习： 基础题： 1．多项式8x3y2-12xy3z的公因式是_________． 2．多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是（ ） A．-6ab2c B．-ab2 C．-6ab2 D．-6a3b2c 3．下列用提公因式法因式分解正确的是（ ） A．12abc-9a2b2=3abc（4-3ab） B．3x2y-3xy+6y=3y（x2-x+2y） C．-a2+ab-ac=-a（a-b+c） D．x2y+5xy-y=y（x2+5x） 4．下列多项式应提取公因式5a2b的是（ ） A．15a2b-20a2b2 B．30a2b3-15ab4-10a3b2 C．10a2b-20a2b3+50a4b D．5a2b4-10a3b3+15a4b2 5．填空题： （1）ma+mb+mc=m（________）； （2）– 9a2+16b2 = - ( )； （3）3a2-6ab+a= （3a-6b+1）；（4）–x – y = (x+y) （5）-15a2+5a=-5a( )； （6）计算：21×3.14-3.1×31.4=_________． 6．用提取公因式法分解因式： （1）8ab2-16a3b3； （2）-15xy-5x2； （3）a3b3+a2b2-ab； （4）-3a3m-6a2m+12am． 六、板书 课题：8.4因式分解--提取公因式 把下列各式因式分解 1、公因式:每一项都含有的相同的因式 例1、8a3b2 +12ab3c 2、提取公因式法: 例2、（1）4x+8ax+2x （1）概念 （2）－3ab+6abx－9aby （2）一般步骤： ①确定应提取的公因式 例3、2(a-b)2 – a + b ②公因式去除原多项式，所得的商作另一个因式 ③把多项式写成这两个因式的积的形式 （3）应避免出错的地方： 1 提取不尽②漏项 ③疏忽变号④整个式子未成乘积形式。 3、添括号法则： 1 括号前面是“+”号，括号里的各项都不变号； 2 号前面是“-”号，括号里的各项都变号 【教学反思】 因式分解是代数式中的重要内容，它与前一章整式和后一章分式联系极为密切。因式分解的教学是在整式四则运算的基础上进行的，因式分解方法的理论依据就是多项式乘法的逆变形。它不仅在多项式的除法、简便运算中有直接的应用，也为以后学习分式的约分与通分、解方程（组）及三角函数式的恒等变形提供了必要的基础。因此，学好因式分解对于代数知识的后续学习，具有相当重要的意义。 因式分解的概念是把一个多项式化成几个整式的积的形式，它是因式分解方法的理论基础，也是本章中一个重要概念。教材在引入中是结合剪纸拼图来阐述这一概念的，也可以与小学数学里因数分解的概念类比予以说明。在教学时对因式分解这一概念不宜要求学生一次彻底了解，应该在讲授因式分解的三种基本方法时，结合具体例题的分解过程和分解结果，说明这一概念的意义，以达到逐步了解这一概念的教学目的。 学科网（北京）股份有限公司 $$