22.2二次函数与一元二次方程 课时训练-2025-2026学年人教版数学九年级上册

22.2二次函数与一元二次方程课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版 一、单选题 1．若抛物线与x轴有两个交点，则k的取值范围为（   ） A． B． C．且 D．且 2．如表是二次函数中与的部分对应值，则方程的一个根的取值范围是（    ） … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 … … 0.165 0.51 … A． B． C． D． 3．二次函数的函数值是8，那么对应的x的值是（    ） A．3 B．5 C．和5 D．3和 4．二次函数的图象与轴有两个不同交点，则可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，连接，将向右上方平移，得到，且点，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上，则直线的表达式为（  ） A． B． C． D． 6．如图，抛物线与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作，将向右平移得，与x轴交于点B，D．若直线与、共有3个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．二次函数 的图像如图所示，则关于的一元二次方程的根的情况是（    ）      A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 8．在同一平面直角坐标系中，直线和抛物线，如图所示，，是方程的两个根，且，则函数的坐标系中的图象大致为（    ） A． B． C． D． 9．二次函数的图象经过两点，若时，总有，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．抛物线的对称轴为直线，部分图像如图所示，下列判断中：①；②方程的两个根是，；③当时，y的值随x增大而增大；其中正确的判断是（    ） A．①②③ B．①③ C．②③ D．①② 二、填空题 11．抛物线与轴有两个交点．则的取值范围是 ． 12．若一次函数的图象经过第一、三、 四象限，则二次函数 与 x 轴的交点个数为 个． 13．已知二次函数 (t为常数)，点、是其图象上两点，若，则的取值范围为 ． 14．已知抛物线与轴的两个交点为，则 ． 15．如图，将抛物线在轴下方部分沿轴翻折，其余部分保持不变，得到图像当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是 ． 16．如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点，已知点关于抛物线对称轴的对称点为，连接，．若点在的垂直平分线上，且在第一象限内，当是等腰三角形时，点的坐标为 ．    三、解答题 17．已知函数的图象与x轴交于，点M是直线上的动点． (1)若，求的面积； (2)求的取值范围． 18．如图，抛物线经过坐标原点O和点A，点A在x轴上． (1)求出顶点B的坐标； (2)若点C在抛物线上，且，求点C的坐标． 19．已知抛物线经过点，设是抛物线与轴交点的横坐标，记． (1)求的值； (2)求代数式的值． 20．如图、抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧）、与y轴交于点C、点D是抛物线上一个动点、过点D作x轴的垂线、与直线交于点E． (1)求A、B、C三点的坐标、并直接写出直线的函数表达式． (2)当点D在直线下方的抛物线上运动时，求线段长的最大值及此时点D的坐标． 21．抛物线与x轴交于点A，C（点A在点C的右侧），与y轴交于点B．一次函数经过点A，B． (1)求k，b的值； (2)如图1，过点C的直线交线段于点M，若，直接写出点M的坐标； (3)如图2，点D是第一象限内抛物线上的一个动点，过点D作轴交于点E，，垂足为F．当时，求点F的坐标． 22．如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点，（点在点的左侧），不经过点的直线交抛物线于，两点． (1)求点，的坐标； (2)若，求的值； (3)若直线记为，直线记为，求与满足的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《22.2二次函数与一元二次方程课时训练-2025-2026学年数学九年级上册人教版》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B C D A B C A 1．C 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数的定义，二次函数与x轴有两个交点，则与之对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，据此利用判别式求出k的取值范围，再结合二次项系数不为0即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， ∴且， 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了用图象法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，自变量的取值即可．观察表中数据得到抛物线与轴的一个交点在和点之间，根据抛物线与轴的交点问题可得到方程一个根的取值范围． 【详解】解：时，；时，； 抛物线与轴的一个交点在和点之间， 方程有一个根在之间． 故选：C 3．D 【分析】本题考查了求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握求二次函数的自变量，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． 由题意得，然后利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 解得，或， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了二次函数与轴的交点，根据，二次函数与轴有两个不同的交点即可求解． 【详解】解：根据题意，，且， 解得，且， 故选：B ． 5．C 【分析】先求出A、B两点的坐标和对称轴，先确定三角形向右平移了1个单位长度，求得的坐标，再确定三角形向上平移5个单位，求得点的坐标，用待定系数法即可求解． 【详解】解：当时，，解得， 当时，， ∴， 对称轴为直线， 经过平移，落在抛物线的对称轴上，点落在抛物线上， ∴向右平移1个单位，即的横坐标为， 当时，， ∴，向上平移5个单位， 此时， ∴， 设直线的表达式为， 代入，， 可得 解得：， 故直线的表达式为， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象和与坐标轴的交点坐标、图形的平移和待定系数法求一次函数表达式等知识点，解题的关键是熟练掌握二次函数的图形和性质． 6．D 【分析】首先求出点A和点B的坐标，然后求出解析式，分别求出直线与抛物线相切时m的值以及直线过点B时m的值，结合图形即可得到答案． 【详解】解：如图， 令，即，解得或，则点，， ∴， ∴向右平移两个长度单位得， ∵， ∴解析式为， 当与相切时，令，即， ∵， ∴； 当过点B时，即， ∴， ∴当时直线与、共有3个不同交点． 故选：D． 【点睛】本题主要考查抛物线与x轴交点以及二次函数图象与几何交换的知识，解答本题的关键是正确画出图形，利用数形结合进行解题，此题有一定的难度． 7．A 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是掌握二次函数的性质； 一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线的交点的横坐标，结合图像即可得到答案． 【详解】解方程可化为， 一元二次方程的根即为二次函数的图像与直线的交点的横坐标， 结合图像，可知二次函数的图像与直线有两个不同的交点，即方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 8．B 【分析】本题考查了一次函数、二次函数图象与系数的关系，一次函数、二次函数图象交点与一元二次方程根的关系等知识点，通过图象交点的横坐标确定，的正负是解题的关键． 根据方程的两个根和，即转化为与函数图象交点问题，通过图象交点可得，即可确定函数在坐标系中的大致图象． 【详解】解：，是方程的两个根， 与函数图象两交点横坐标为，， 由图象可得：， ，， 故函数在坐标系中的图象经过第二、三、四象限， 故选：B． 9．C 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握二次函数图象的性质，一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 根据二次函数图象的开口，对称轴可得，求出二次函数解析式为，令可得一元二次方程中两根的关系，可得两根之间的最大距离，根据，可得当或时，有最小值，由此即可求解． 【详解】解：根据题意可得，二次函数的对称轴为， ∴，且二次函数图象的开口向下， 把代入二次函数得， ， 解得，， ∴二次函数的解析式为：， ∴，即二次函数顶点坐标为， ∵， ∴当时，，即， ∴方程的两根的关系为：， ∴， ∴二次函数图象与直线的两个交点之间的距离为4，即的最大值为； 当时，是二次函数图象的顶点，即; ∵当时，总有， ∴或时，的最小值为； ∴的取值范围为：， 故选：C ． 10．A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数图象上的点的特征，解题的关键是灵活运用数形结合思想．根据抛物线的开口方向，对称轴，抛物线与x轴的交点情况，二次函数图象上点的坐标特征逐项判断即可． 【详解】解：图象开口向上， ， 对称轴为直线， ， ， ，①正确； 由图象可知，抛物线与x轴的一个交点为，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点为， ∴方程的两个根是，；故②正确； ∵抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴当时，y的值随x增大而增大； ∴当时，y的值随x增大而增大； 故③正确， 综上可知，正确的有①②③． 故选:A． 11． 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的关系，根的判别式，根据抛物线与轴有两个交点，得到对应的一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式列出不等式进行求解即可． 【详解】抛物线与轴有两个交点， ， ； 故答案为：． 12．2 【分析】本题考查一次函数的性质，二次函数图象与轴的交点问题；根据一次函数所在象限，判断出b的符号，从而判断出的大小，进而判断出二次函数图象与x轴交点的个数，即可求解． 【详解】解：一次函数的图象经过第一、三、 四象限， ∴ ∵ 当时， ∴ ∴二次函数 与 x 轴的交点个数为个 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了二次函数值的大小比较，将点的坐标代入解析式求差是最直接有效的一种方法．将点坐标代入解析式后求差，然后分解因式，由积判断每一个因式的正负性即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴ 故答案为：． 14．29 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点．熟练掌握函数与方程的关系，一元二次方程根与系数和关系，根的概念，是解决问题的关键． 根据抛物线与轴的两个交点为，，得到方程的二根为，，根据根与系数的关系和根适合方程得到，， 分别代入化简即得． 【详解】∵抛物线与轴的两个交点为，， ∴方程的二根为，， ∴，， ∴ ， ∴． 故答案为：29． 15．或 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数 (a,b,c是常数，)与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程，也考查了抛物线与直线的交点问题．解决本题的关键是利用数形结合的思想的运用．通过解方程得到A、B的坐标，利用二次函数的性质得到顶点的坐标，可写出图象沿x轴翻折所得图象的解析式为，然后求出直线与相切b的值，直线过A和过B点所对应的b的值，再利用图象可判断直线与此图象有且只有两个公共点时b的取值范围． 【详解】解：当时，，解得，则， ， 则顶点坐标为， 把图象沿x轴翻折所得图象的解析式为， 如图， 当直线与相切时，直线与新函数图象有三个交点，此时有两个相等的实数解， 方程整理得，， 解得， ∴当时，直线与图像恰有两个公共点， 当直线过时，，解得， 当直线过时，，解得， 所以，当时，直线与此图象有且只有两个公共点． 综上可知，当直线与图像恰有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 16．或或 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点问题，等腰三角形的定义，两点间距离公式，勾股定理，依据题意，分别令，，可求出抛物线与坐标轴的交点坐标，再由点关于抛物线对称轴的对称点为，可得，又由点在的垂直平分线上，在第一象限，进而可设()，然后根据是等腰三角形，进行分类讨论解答即可，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：由题意令， ∴， ∴或， ∴，， 又令， ∴， ∴， 又∵抛物线为， ∴对称轴为直线， ∵点关于抛物线对称轴的对称点为， ∴， ∴， 又点在的垂直平分线上，在第一象限， ∴可设（）， ∵是等腰三角形， ∴分以下三种情形， 在的垂直平分线上， ∴， 由两点间距离公式可得，， 整理得，， ∴， ∴； 当时， ∵到对称轴的距离为， ∴， ∴或， ∵，在第一象限， ∴，不合题意， ∴， ∴； 当时， ∵点到对称轴的距离为， ∴， ∴或， ∵在第一象限， ∴不合，舍去， ∴， ∴； 综上，或或， 故答案为：或或． 17．(1) (2) 【分析】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，一元二次方程根与系数的关系； （1）先确定的高，再求解时，，再利用三角形的面积公式计算即可； （2）由的两个不等根分别为，，可得，结合，结合，再求解范围即可． 【详解】（1）解：∵点M为直线上一动点， ∴的高为定值2， ， ， 当时，， 解得：，， ， ， ． （2）解：， ∵的两个不等根分别为，， ∴， ， ， ， 令， 抛物线的对称轴为， ， ∴当时，有最小值， ∴的最小值为， ∴． 18．(1) (2)点坐标为或 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． （1）把原点坐标代入中求出的值，从而得到抛物线解析式，然后得出顶点式得到点坐标即可； （2）先解方程得到，然后根据三角形面积公式求出，设点坐标为，利用三角形面积公式得到，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【详解】（1）解：把代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴顶点的坐标为； （2）解：， 当时，， 解得：， ， ， 设点坐标为， ， ， 即或， 解方程得：， ∴点坐标为或， 方程无实数解， 综上所述，点坐标为或． 19．(1) (2) 【分析】此题考查了待定系数法、二次函数的图象和性质、代数式的求值等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质和整体思想是解题的关键． （1）将点代入中求解b即可； （2）是抛物线与轴交点的横坐标，得到，变形后，利用整体代入求出答案即可． 【详解】（1）解：将点代入中，得， 解得； （2）解：∵是抛物线与轴交点的横坐标， ∴， ∴，，则， ∴，即， ∴， ∴ ． 20．(1)，，，直线的解析式为：； (2)线段长的最大值为，； 【分析】本题考查的是二次函数图像的性质和其与坐标轴的交点，二次函数的性质． （1）利用坐标轴上点的特点求出A、B、C点的坐标，再用待定系数法求得直线BC的解析式； （2）设点D的横坐标为m，则坐标为，则E点的坐标为，设的长度为d，构建二次函数即可解决问题． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点， ∴令，则， 解得：，， ∴，； 令，则， ∴点坐标为， 设直线的解析式为：，则有， ，  解得：， ∴直线的解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则坐标为， ∴点的坐标为， 设的长度为， ∵点是直线下方抛物线上一点， 则， 整理得，， ∵， ∴当时， ∴点的坐标为． 21．(1)， (2) (3)F点坐标或 F点坐标为 【分析】（1）先求出，，将代入解方程组即可； （2）设，其中，求解，结合，再建立方程求解即可； （3）过点作轴于点G，过点E作于点H，由（1）得一次函数解析式为：，设，则，则，得到，可得或，得到为等腰直角三角形，在中，由勾股定理得，而，则在中，由勾股定理得，故当时，此时，；当 时，此时，； 【详解】（1）解：当，， 解得：或， ∴， 当， ∴， 将代入 得：， 解得：； （2）解：由（1）得直线为， ∵过点C的直线交线段于点M， ∴设，其中， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）解：过点作轴于点G，过点E作于点H， 由（1）得一次函数解析式为：， ∵点在直线上， ∴设， 则， ∴， ∴， 解得：或， ∴或， ∵， ∴，而， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴在中，由勾股定理得， 又轴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴当时，此时， ∴； 当 时，此时 ∴， 综上所述：或； 【点睛】本题考查了二次函数与面积的综合题，涉及待定系数法求一次函数解析式，抛物线与坐标轴的交点问题，勾股定理等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键． 22．(1)， (2)b的值为 (3)与满足的数量关系为： 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象与一次函数图象的交点问题，勾股定理等知识点， （1）令得：，解方程即可得解； （2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E，先求出，，再由勾股定理得方程，解方程即可得解； （3）先用含b的代数式表示出与，然后相加即可得解； 熟练掌握其性质，求出交点坐标是解决此题的关键． 【详解】（1）令得：， 解方程得：，， ∵抛物线交轴于点，（点A在点的左侧）， ∴，； （2）过点C作轴，过点D作轴，两线交于点E， ∵方程组的解为或， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴b的值为； （3）由（1）得， 由（2）得，，， ∵直线记为，直线记为， ∴，， ∴，， ∴， ∴与满足的数量关系为：． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$