13.3三角形的内角与外角 课时训练-2025-2026学年人教版（2024）数学八年级上册

13.3三角形的内角与外角课时训练-2025-2026学年数学八年级上册人教版（2024） 一、单选题 1．下列命题为真命题的是（   ） A．相等的角是对顶角 B．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C．三角形内角和等于 D．三角形的一个外角等于它两个内角的和 2．在中，，，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 3．一副三角板，按如图所示叠放在一起，则图中的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，中，是的平分线，是边上的高线，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．将一副直角三角尺如图放置，则的大小为（ ） A． B． C． D． 6．将一副三角板按照如图方式摆放，点B，C，D共线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，与相交于O，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线于点，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 10．已知：如图，点，分别在和上，，是上一点，的延长线交的延长线于点．求证：． 老师在黑板上写下了以下证明过程： 证明：（已知） （两直线平行，○相等） （    &   ） 下列判断正确的是（   ） A．*和△代表的内容不同 B．△代表 C．○代表内错角 D．&代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 二、填空题 11．一个直角三角形的两个锐角的度数比为，则这个直角三角形的最小锐角度数是 ． 12．如图，在中，点，分别在边和上，已知， ，，则的度数是 ．    13．一副直角三角板，按如图方式叠放在一起，其中，．若，则等于 ． 14．一副三角板如图1摆放，把三角板绕公共顶点顺时针旋转至图2，即时，的大小为 ． 15．如图，是的外角，平分．若，，则 ． 16．当三角形中一个内角是另一个内角的时，我们称此三角形为“希望三角形”，其中角称为“希望角”．如果一个“希望三角形”中有一个内角为，那么这个“希望三角形”的“希望角”度数为 ． 三、解答题 17．如图，在中，，求的度数． 18．如图，已知，，，求的度数． 19．如图，在中，．求x的值． 20．如图，把按如图的方式进行折叠使点A落到上，． (1)连接，与的位置关系是___________； (2)___________°； (3)计算的度数． 21．直线，与 的平分线交于点，的延长线交于点，过点作 ，交的延长线于点 ． (1)如图1，与平行吗？ 为什么？ (2)如图2，点 在线段 上，点在线段 上，连接、， 平分 若 求 的度数； (3)在（2）的条件下，以点为顶点，为边，在 下方作 ，交 的延长线于点 ，求 与 之间的数量关系． 22．【问题背景】研究了三角形内角和定理及其推论后，观察飞镖可以抽象成图①，我们把这个图形形象地称为“飞镖模型”，飞镖模型中蕴含着角的数量关系． （1）如图1，探究、、、之间的数量关系，并证明： （2）请利用上述结论或解题方法，完成下面的问题： 【类比探究】 ①如图2，已知，求的度数； 【拓展延伸】 ②如图3，已知，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A C C C B A C D 1．C 【分析】此题主要考查了命题的判断，正确掌握相关性质与判定是解题关键． 利用对顶角的性质、三角形的内角和定理、平行线的性质及三角形的外角的性质分别判断即可． 【详解】解：、对顶角是相等的，但相等的角不一定是对顶角；故原命题是假命题，此选项不合题意； 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，如果两条直线不平行，内错角不相等，故原命题是假命题，此选项不合题意； 、根据三角形内角和定理，三角形的内角和一定是，原命题是真命题，故此选项符合题意； 、三角形的一个外角等于等于与之不相邻的两个内角的和，故原命题是假命题，此选项不合题意； 故选：． 2．B 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，先根据三角形内角和定理求出的度数，进而可得出结论． 【详解】解：∵中，，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：B． 3．A 【分析】本题考查的知识点是三角板中角度计算问题、对顶角相等、三角形外角的性质，解题关键是熟练掌握三角形外角等于与其不相邻的两内角和． 结合三角板的特征得到，，，再由是的外角、是的外角即可得解． 【详解】解：如下图： 三角板是等腰直角三角形，三角板是含角的直角三角形， ，，， 是的外角，与是对顶角， ， 是的外角， ． 故选：． 4．C 【分析】本题主要考查三角形内角和、三角形的角平分线等知识点，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形的内角和是可得的度数；是的角平分线，可得的度数；利用是高可得，可求得度数，然后由即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴ ， ∵是边上的高线， ∴， ∴， ∴． 故选： C． 5．C 【分析】本题考查三角形外角的性质，先根据直角三角板的性质得出各角的度数，再由三角形外角的性质即可得出结论．解题的关键是掌握：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 【详解】解：∵图中是一副直角三角板， ∴，， ∴， 即的大小为． 故选：C． 6．C 【分析】本题考查三角板中角度的计算，三角形的外角，利用三角形的外角求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 7．B 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，先根据三角形的外角性质求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 8．A 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 9．C 【分析】本题考查平行线的性质，垂直的定义，三角形内角和定理，由得，由垂直的定义得，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故选：C． 10．D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据平行线的性质和三角形外角的性质逐项判断即可． 【详解】解：由证明过程可知 ：代表， 代表， ○代表同位角， &代表三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角， 故A，B，C选项错误； D选项正确； 故选：D ． 11．/36度 【分析】本题考查了直角三角形的性质及一元一次方程的应用，解题时注意：在直角三角形中，两个锐角互余．根据比例设两锐角分别为，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可． 【详解】解：设两锐角分别为，由题意得 解得， 所以这个直角三角形的最小锐角度数为． 故答案为：． 12．/125度 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，熟记相应的知识点并灵活运用是解答本题的关键． 由平行线的性质可求得，再利用三角形的内角和定理即可求得的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】此题考查了平行线的性质，根据平行线的性质得到，再根据三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：根据题意可得，， ，， ， ， 故答案为：． 14．/75度 【分析】本题考查了三角形的外角性质，平行线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据，可得，再根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．50 【分析】本题考查了三角形的外角的性质、角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．由，以及三角形外角的性质，可得，再利用角平分线的定义即可解答． 【详解】解：∵，， ， ∵平分， ， 故答案为：50． 16．或或 【分析】分角是α或是β或既不是α也不是β三种情况，根据希望角的定义以及三角形的内角和定理列式计算即可得解．本题考查了三角形的内角和定理，读懂题目信息，理解希望角的定义是解题的关键，难点在于分情况讨论． 【详解】解：依题意，①角是α，则“希望角”度数为； ②角是β，则， ∴ ∴“希望角”度数为； ③角既不是α也不是β， 则， ∴ 解得， ∴“希望角”度数为； 综上所述，“希望角”度数为或或 故答案为：或或 17． 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据三角形内角和为180度，计算出，，即可求解． 【详解】解：，，， ，， ． 18．． 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据三角形的外角性质即可求解，掌握三角形的外角性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 19． 【分析】本题考查三角形内角和定理，由题意利用三角形内角和定理求出，由，求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， ∵， ∴， ∴，即． 20．(1) (2)50 (3) 【分析】本题考查了折叠，三角形外角的性质，解题的关键是： （1）根据轴对称的性质求解即可； （2）根据轴对称的性质求解即可； （3）根据三角形外角的性质求解即可． 【详解】（1）解：如图， 由题意知：A、D关于对称， ∴， 故答案为：； （2）解：由题意知：A、D关于对称，， ∴， 故答案为：50； （3）解：∵，， ∴ ， 又，， ∴． 21．(1)，理由见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质的应用，角平分线的性质的应用，垂直的定义等知识点，三角形外角性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． （1）如图，过点E作，利用平行线的性质得出，再由角平分线的性质得出，然后可得，进而即可得证； （2）设，用含的代数式表示出，再由平行线得出，进而即可得证； （3）根据题意，作出图形，利用，得到，得到结果. 【详解】（1）解：，理由如下， 如图，过点E作， ． ∵， ∴，， ， 平分平分， ， ， ，即， ， ， ， ∴； （2）解：，理由如下：     设，如图， ∵平分，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， ∴． （3）解：，理由如下： 以点G为顶点，为边，在下方作，交的延长线于点P，画图如下： 是的外角， ， ， 在中，， ， ， ， ， 22．（1），证明见解析；（2）①；②． 【分析】本题考查三角形的外角性质及其应用、平行线的性质，解答的关键是利用转化的思想方法解决问题． （1）连接，并延长至点，利用三角形的外角求解即可； （2）连接，利用（1）中结论可得，，结合已知可求解； （3）在直线上取一点，连接，利用（2）中结论可得，再利用平行线的性质可得，进而得到即可求解． 【详解】解：（1）． 证明：如图，连接，并延长至点， ∵，， ∵ ∴ ∴； （2）①如图，连接， 由（1）可知，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，在直线上取一点，连接， 由①可知， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$