5.2 勾股定理及其逆定理—第3课时 勾股定理的逆定理 课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第3课时 勾股定理的逆定理 知识回顾 B C A 问题1 勾股定理的内容是什么? 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边为 c，那么 a2 + b2 = c2. b c a 问题2 求以线段 a，b 为直角边的直角三角形的斜边 c 的长： ① a＝3，b＝4； ② a＝2.5，b＝6； ③ a＝4，b＝7.5. c＝5 c＝6.5 c＝8.5 思考 以前我们已经学过了通过角的关系来判定直角三角形，可不可以通过边的关系来判定直角三角形呢？ 我们已经知道勾股定理：“如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 + b2 = c2.”它的逆命题是怎样的? 说一说 课时导入 逆命题为：如果三角形的三条边a，b，c满足a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。 A　 B　 C　 a b c 如图5.2-10，在△ABC中， 已知AB=c，BC=a，AC=b，且 a2+b2 = c2 . 那么△ABC 是直角三角形吗？ 探究 图5.2-10 到目前为止，我们只知道可以利用一个角是直角或两个角互余来判断一个三角形是直角三角形，于是，要证明一个三角形为直角三角形，只需证明其有一个角为直角，联想到证明角相等的方法，如果能构造一个直角三角形，然后证明△ABC与所构造的直角三角形全等，即可得△ABC中有一个角为直角，则可判断△ABC是直角三角形，下面我们按此思路来探索. 如图5.2-11，作 Rt△A′B′C′，使∠C′=90°，B′C′ =a ，A′C′ =b . 所以△ABC≌△A′B′C′(边边边). 因此∠C =∠C′ = 90°， 所以 △ABC 是直角三角形. 在Rt△A′B′C′中 ，根据勾股定理得，A′B′ 2 = a2 + b2. 图5.2-11 A′　 B′　 C′　 a b c 因为 a2 + b2= c2，所以A'B'²=c²，即A'B'=c. 在△ABC和△A'B'C'中， 先构造满足某些条件的图形，然后根据需求证的图形与所构造的图形之间的关系完成证明，这也是解决问题的常用策略之一。 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三边长，且满足两条较小边的平方和等于最长边的平方，即可判断此三角形为直角三角形 ，最长边所对应的角为直角. 特别说明： 于是，我们可以发现，勾股定理的逆命题是真命题. 由此得到勾股定理的逆定理： 例4 （2）因为122 + 152 =369，202 =400，所以122 + 152 ≠ 202. 因此，这个三角形不是直角三角形. 判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形. （1）a=6， b=8，c=10； （2）a=12，b=15，c=20. 解：（1）因为62 + 82 =100，102 =100，所以62 + 82 =102. 因此，这个三角形是直角三角形. 分析 根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边的平方和是否等于最长边的平方， 满足a²+b²=c²的三个正整数称为勾股数. 例5 如图5.2-12，在△ABC中，已知AB=16，BD=6，AD=8， AC=17，求DC的长. C A D B 图5.2-12 解：在△ABD中，AB=10，BD=6，AD=8， 因为6²+8²=10²，即BD²+AD²=AB²， 所以△ADB为直角三角形，且∠ADB=90°. 所以∠ADC=180°-∠ADB=90°. 在Rt△ADC中，DC²=AC²-AD²， 所以DC==15. 随 堂 小 测 1.下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．4，6，7 C 2. 一个三角形的三边的长分别是 3，4，5，则这个三角形最长边上的高是 （　　） A．4 B．3 C．2.5 D．2.4 D 3. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 6，8，10 B. 7，8，9 C. 0.3，0.4，0.5 D. 52，122，132 A 方法点拨：根据勾股数的定义，勾股数必须为正整数，先排除小数，再计算最大数的平方是否等于其他两数的平方和即可. 4. 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则 得到的三角形 ( ) A.是直角三角形 B.可能是锐角三角形 C.可能是钝角三角形 D.不可能是直角三角形 A 5. 若△ABC 的三边 a，b，c 满足 (a - b)(a2 + b2 - c2) = 0，则△ABC 是________________________. 等腰三角形或直角三角形 6. 一个三角形的三边长分别为 15 cm，20 cm，25 cm，则这个三角形最长边上的高是_______cm. 12 7. 若 △ABC 的三边 a，b，c 满足 a∶b∶ c = 3∶4∶5，试判断 △ABC 的形状. 解：设 a = 3k，b = 4k，c = 5k (k＞0)， 因为 (3k)2 + (4k)2 = 25k2，(5k)2 = 25k2， 所以 (3k)2 + (4k)2 = (5k)2. 所以 △ABC 是直角三角形，且∠C 是直角. 归纳：已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形. 如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰直角三角形. 8. 如图，四边形 ABCD 中，∠B ＝ 90°，AB ＝ 3，BC ＝ 4，CD ＝ 12，AD ＝ 13，求四边形 ABCD 的面积. 解析：连接 AC，把四边形分成两个三角形. 先用勾股定理求出 AC 的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 △ACD 是直角三角形. A D B C 3 4 13 12 解：连接 AC. A D B C 3 4 13 12 在 Rt△ABC 中， 在 △ACD 中， AC2 + CD2 = 52 + 122 = 169 = AD2， 所以△ACD 是直角三角形，且∠ACD = 90°. 所以S四边形ABCD = SRt△ABC + SRt△ACD = 6 + 30 = 36. 归纳：四边形问题中，对角线是常作的辅助线，它可以把四边形问题转化成两个三角形的问题. 在使用勾股定理的逆定理解决问题时，它与勾股定理是“黄金搭档”，经常一起使用. 小结 勾股定理 的逆定理 内容 如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2+b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形 注意 最长边不一定是 c， ∠C 也不一定是直角 勾股数一定是正整数 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 谢谢 $$