5.2 勾股定理及其逆定理—第2课时 勾股定理的应用课件2025-2026学年湘教版数学八年级上册

第5章 直角三角形 5.2 勾股定理及其逆定理 第2课时 勾股定理的应用 课时导入 我们已经知道，实数与数轴上的点一一对应，如何在数轴上作出表示实数和的点? 议一议 如图5.2-6，由勾股定理可知，当两条直角边都为1时，该直角三角形的斜边OA1长为，以原点O为圆心，OA1为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点；当两条直角边分别为，1时，该直角三角形的斜边OA2长为，以原点O为圆心，OA2为半径画圆弧，与数轴的交点就是表示的点. 图5.2-6 利用勾股定理，还可以帮助我们解决一些实际问题. 知识讲解 图5.2-7是一位电工师傅准备利用梯子在墙上安装电灯的示意图.假设梯子长4 m，他将梯靠在墙上，此时梯脚离墙脚的距离为1.5 m.他爬上梯子后，发现高度不够，于是将梯脚往墙脚移近了0.5 m，那么，梯子顶端是否也上移0.5 m?（已知 ≈3.71≈3.87） 思考 图5.2-7 根据已知条件可抽象出示意图5.2-8，分别在Rt△ABC和Rt△A'BC'中，运用勾股定理计算出AB，A'B，则可得出梯子顶端往上移动的距离. 在Rt△ABC中，AC=4 m，BC=1.5 m， 于是，AB=≈3.71（m）. 在Rt△A'BC'中，A'C'=4 m，BC'=1 m, 由勾股定理得，A'B==≈3.87（m）， 因此A'A=A'B-AB≈3.87-3.71=0.16（m）. 即梯子顶端A点大约向上移动了16 m，而不是向上移动0.5 m. 图5.2-8 （古代数学问题）“今有池方一丈，葭（jia)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”意思是：有一个池塘，其水面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺，如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面，问水深与芦苇长各为多少? 例3 解：如图5.2-9，设水深x尺，则AC=x尺，AB=AB'=(x+1)尺. 因为池塘的水面是边长为10尺的正方形，所以B'C=5尺. 在Rt△ACB'中，根据勾股定理得， x2+52 = （x+1）2， 解得 x = 12. 故芦苇长为13尺. 答：水深为12尺，芦苇长为13尺. 分析 根据题意，先画出水池截面示意图，如图5.2-9所示.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，长1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B'. 图5.2-9 （1）读懂题意，分析已知、未知间的关系； （2）构造直角三角形； （3）利用勾股定理等列方程； （4）解决实际问题. 数学问题 直角三角形 勾股定理 实际问题 转化 构建 利用 决解 利用勾股定理解决实际问题的一般步骤： 随 堂 小 测 1. 从电线杆上离地面 5 m 的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是(　　) A. 24 m B. 12 m C. m D. m D 2. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是(　　) A.9 cm B.12 cm C.15 cm D.18 cm D A B C A.50 m B.120 m C.100 m D.130 m 130 m 120 m ? A 3. 湖的两端有 A，B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA =130 m，CB =120 m，则 AB 为（ ） 4. 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 m处断裂，树的顶部落在离树根底部 8 m处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？ 8 m 6m A C B 解：根据题意构建直角三角形，如图. 在 Rt△ABC 中，AC = 6 m，BC = 8 m， 由勾股定理得 所以这棵树在折断之前的高度是10+6 = 16（m）. AC = =10（m）. 解：（1）在 Rt△ ABC 中，根据勾股定理得 AB ==5（m） 所以这条“近路”的长为 5 m. C A B 5. 如图，学校教学楼前有一块长为 4 m，宽为 3 m的长方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条“近路”，却踩伤了花草. （1）求这条“近路”的长； （2）他们仅仅少走了几步（假设 2 步为 1 m）？ （2）他们仅仅少走了（3 + 4 - 5）×2 = 4 （步）. 小结 勾股定理 的应用 用勾股定理解决实际问题 用勾股定理解决点的距离及路径最短问题 课后作业 1.从课后习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题. 谢谢 $$