18.1 平行四边形的性质 暑假巩固练习2024-2025学年华东师大版八年级数学下册

华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固 一、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 2.已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　) A. 4 B. 12 C. 24 D. 28 3.平行四边形周长是40，两邻边之比为4：1，那么这个四边形较长的边为（　　） A.12 B.14 C.16 D.20 4.如图，在中，，，平分交于点，点是的中点，连接交的延长线于点，则         . 5. 如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________． 6.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 7.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 二、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（    ） A. B. C. D. 2.如图，在中，对角线与相交于点，如果，那么的长是（    ） A.4 B.5 C.6 D.无法确定 3.如图，的对角线相交于点O，，．则的周长为（　　） A.12 B.17 C.28 D.16 4.如图，在平行四边形中，对角线相交于点，已知与的周长之差为，平行四边形的周长为，则的长度为      ． 5.如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是          ． 6.如图，的对角线与交于点O，若． (1)求的度数； (2)求的周长． 7.如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 三、求平行线间的距离 1.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5 cm，BC=3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　） A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定 2.如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，，那么平行线a、b之间的距离为（    ） A. B. C. D.不能确定 3.如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（    ） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 4.如图，，，若，，求中边上的高等于      ． 5.如图，已知直线，，，则的边上的高是      ． 6.如图，在中，于点，于点，若的周长为，，． (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 7.如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 四、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（   ） A.2对 B.3对 C.5对 D.6对 2.如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，添加一个条件使，这个条件不可以是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 4.如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ① CF=AE；②OE=OF；③ 图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是                     ． 5.如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：① ；②平分；③ ；④，其中正确的有      （写序号即可）． 6.如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：与互相平分； (2)，，，求的面积． 7.如图，的对角线相交于点分别是的中点，求证：． 五、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加下列选项中的（    ） A. B. C. D. 2.如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 3.如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　) A. AG平分∠DAB B. AD＝DH C. DH＝BC D. CH＝DH 4.如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是     ．（填序号） 5.如图，，四边形是平行四边形，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“      ”（答案不唯一）． 6.如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E． (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 7.如图，在中，点E是的中点，连结并延长，交的延长线于点F．求证：． 六、利用平行四边形的对角相等求解 1. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A. 105° B. 15° C. 30° D. 25° 2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　） A.36° B.108° C.72° D.60° 3.如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　） A.112° B.118° C.119° D.120° 4.在平行四边形ABCD中，AE⊥CB，AF⊥DC且∠DAF+∠BAE＝50°，则∠FAE的度数是　     　． 5.在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，则∠B＝　    　，∠C＝　     　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 7. 如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 七、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（  ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为        ． 5.如图，已知四边形中，，对角线与交于点O，则图中面积相等的三角形有      对． 6.[理解概念] （1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”． （2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等． [新知探究] （1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法； （2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）． [拓展提高] （1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作： ①连接，过点C画，交的延长线于点D： ②找出线段的中点E，画直线ME． 小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由． （2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积． 过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理． 7.[教材呈现]如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． [方法探究]如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．    [方法应用]如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 八、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中： ①； ②； ②； ④． 正确的有（ ） A. B. C. D. 2.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（　　） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角 3.如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 6.如图，是的对角线，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求证：． 7.如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1. 如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠C的平分线交AD于E，交BA的延长线于F，则AE＋AF的值等于(　　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AD＝BC＝8，CD＝AB＝6， ∴∠F＝∠DCF， ∵CF平分∠BCD，∴∠FCB＝∠DCF， ∴∠F＝∠FCB， ∴BF＝BC＝8， 同理：DE＝CD＝6， ∴AF＝BF－AB＝2，AE＝AD－DE＝2， ∴AE＋AF＝4， 故选C. 2.已知平行四边形ABCD的周长为32，AB＝4，则BC的长为(　　) A. 4 B. 12 C. 24 D. 28 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∵平行四边形ABCD的周长是32， ∴2(AB＋BC)＝32， ∴BC＝12. 故选B. 3.平行四边形周长是40，两邻边之比为4：1，那么这个四边形较长的边为（　　） A.12 B.14 C.16 D.20 【答案】C 【解析】根据平行四边形的性质，已知平行四边形周长是40，两邻边之比为4：1， 设这个四边形较长的边为x，则较短的边是x， 根据题意列出方程2x+2x＝40，解得x＝16． ∴这个四边形较长的边为16． 故选：C． 4.如图，在中，，，平分交于点，点是的中点，连接交的延长线于点，则         . 【答案】11 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ， 平分， ， ， ， ， ∵， ，， 点是的中点， ， ， ， ， 故答案为：11． 5. 如图，在▱ABCD中，P是CD边上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD＝5，AP＝8，则△APB的周长是__________． 【答案】24 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CB，AB∥CD， ∴∠DAB＋∠CBA＝180°， 又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA， ∴∠PAB＋∠PBA＝(∠DAB＋∠CBA)＝90°， 在△APB中，∠APB＝180°－(∠PAB＋∠PBA)＝90°； ∵AP平分∠DAB， ∴∠DAP＝∠PAB， ∵AB∥CD， ∴∠PAB＝∠DPA， ∴∠DAP＝∠DPA， ∴△ADP是等腰三角形， ∴AD＝DP＝5， 同理：PC＝CB＝5， 即AB＝DC＝DP＋PC＝10， 在Rt△APB中，AB＝10，AP＝8， ∴BP＝＝6， ∴△APB的周长＝6＋8＋10＝24. 6.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 【答案】解：如图，过点C作交的延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 7.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 【答案】解：平分， ， 四边形是平行四边形，且，， ，， ， ， ， ， 的长是． 二、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴A不符合题意， 故选：A． 2.如图，在中，对角线与相交于点，如果，那么的长是（    ） A.4 B.5 C.6 D.无法确定 【答案】C 【解析】∵在中，对角线与相交于点， ， ∴， 故选：C． 3.如图，的对角线相交于点O，，．则的周长为（　　） A.12 B.17 C.28 D.16 【答案】D 【解析】∵四边形是平行四边形，对角线与交于点O，， ，，， ， ， ， 的周长为16， 故选D． 4.如图，在平行四边形中，对角线相交于点，已知与的周长之差为，平行四边形的周长为，则的长度为      ． 【答案】 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵与的周长之差为， ∴， ∵平行四边形的周长为， ∴， 得，， ∴， 故答案为：． 5.如图，在中，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交于点E、F，则四边形周长的最小值是          ． 【答案】12 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴, ∴， ∵, ∴, ∴, ∴四边形周长为， ∴当取最小值时，四边形周长的最小，即, 如图：过A点作,即的长为的最小值， ∵， ∴，即的最小值为2， ∴四边形周长的最小值为． 故答案为12． 6.如图，的对角线与交于点O，若． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （2）∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 7.如图，在平行四边形中，对角线和交于O点，点E，F在对角线上，，平分． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】解：（1）∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、求平行线间的距离 1.如图，a∥b，点A在直线a上，点B，C在直线b上，AC⊥b，如果AB=5 cm，BC=3 cm，那么平行线a，b之间的距离为（　　） A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.不能确定 【答案】B 【解析】∵AC⊥b， ∴△ABC是直角三角形， ∵AB=5 cm，BC=3 cm， ∴AC===4（ cm）， ∴平行线a、b之间的距离是：AC=4 cm． 故选：B． 2.如图，，点A在直线a上，点B、C在直线b上，，如果，，，那么平行线a、b之间的距离为（    ） A. B. C. D.不能确定 【答案】C 【解析】∵，， ∴， ∵ ∴平行线a、b之间的距离为， 故选：C． 3.如图是两条平行线，则表示这两条平行线间距离的线段有（    ） A.0条 B.1条 C.2条 D.无数条 【答案】D 【解析】∵平行线是向两边无限延伸的直线， ∵两条平行线中,一条直线上的点到另一条直线的垂线段的长度叫两条平行线间的距离， ∴表示这两条平行线间距离的线段有无数条． 故选：D． 4.如图，，，若，，求中边上的高等于      ． 【答案】 【解析】∵， ，， ∴S△ABC= =， 解得BC= 6， ∵ABCD， ∴点D到AB边的距离等于BC的长度， ∴△ABD中AB边上的高等于6 cm， 故答案为：6 cm． 5.如图，已知直线，，，则的边上的高是      ． 【答案】3 【解析】如图1，过A作AM⊥BC于M，过A1N⊥BC于N， ∵BC＝4 cm，S△ABC＝6 cm2， ∴AM＝6， 解得：AM＝3， ∵直线l1直线l2，AM⊥BC，A1N⊥BC， ∴A1N＝AM， ∴A1N＝3 cm， 即的边BC上的高是3 cm． 故答案为：3． 6.如图，在中，于点，于点，若的周长为，，． (1)求和之间的距离及和之间的距离． (2)求平行四边形的面积． 【答案】解：（1）∵四边形为平行四边形， ∴，． ∴和之间的距离，和之间的距离． （2）∵的周长为， ∴， 又，即． ∴， ∴， ∴， ∴． 7.如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 【答案】解：（1）∵， ∴∠BAC=90°， ∵∠1=58°， ∴∠ABC=90°-58°=32°, ∵, ∴∠2=∠ABC=32°． （2）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 所以线段AD的长度等于a与b之间的距离， 因为AB⊥AC， 所以AB·AC=BC·AD， 所以AD= ， 所以a与b的距离为． 四、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（   ） A.2对 B.3对 C.5对 D.6对 【答案】D 【解析】共6对，有，，，，，， 理由是：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 而，， ∴， 同理，， 故选：D． 2.如图，在中，对角线与相交于点，点，在上，添加一个条件使，这个条件不可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】在中，，，，，则， A.∵，则， ∴， 又∵，， ∴，故A选项不符合题意； B.∵，，， ∴，故B选项不符合题意； C.而，，，不能证明三角形全等，故C选项符合题意； D.∵， ∴，则， 又∵，， ∴，故D选项不符合题意； 故选：C． 3.如图，在中，对角线，交于点O，过点O作交，于点E，F，下列结论一定正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：A． 4.如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ① CF=AE；②OE=OF；③ 图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是                     ． 【答案】①②④ 【解析】∵DE=BF，∴DF=BE． 在Rt△DCF和Rt△BAE中，∵CD=AB，DF=BE， ∴Rt△DCF≌ Rt△BAE（HL），∴FC=EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC． ∵FC=EA，∴四边形CFAE是平行四边形，∴EO=FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB． ∵CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．故③错误． 故答案为①②④． 5.如图，平行四边形的对角线，交于点，平分交于点，，，连接．下列结论：① ；②平分；③ ；④，其中正确的有      （写序号即可）． 【答案】①②④ 【解析】①：根据已知条件易得△ODC为等边三角形，然后求得∠ABD=90°，即AB⊥BD，即可得到S▱ABCD=AB•BD； ②：根据∠ADE=60°，∠BDE=30°，可得∠ADB=30°=∠BDE，即可得出DB平分∠CDE； ③：依据①②容易得到OE=CD，而CD=AB，AD=2AB，即可得到OE=BC； ④：由BE=EC可得S△CDE=S△CDB，由BO=OD可得S△BOC=S△CDB，即可得出S△CDE=S△BOC． ∵四边形ABCD为平行四边形，∠BCD=60°， ∴∠ADC=120°， ∵DE平分∠ADC， ∴∠ADE=∠CDE=60°=∠BCD， ∴△CDE是等边三角形， ∴CD=CE=DE， ∵AD=2AB，BC=AD，CD=AB， ∴BC=2CD=2CE=2DE， ∴DE=CE=BE， ∴∠BDE=∠DBE=∠CED=30°， ∴∠CDB=90°， ∴∠ABD=90°，即AB⊥BD， ∴S▱ABCD=AB•BD，故①正确； 由①知，∠ADE=60°，∠BDE=30°， ∴∠ADB=30°=∠BDE， ∴DB平分∠ADE，故②正确； ∵BC=2CD=2CE， ∴OE=CD， ∵AD=2AB， ∴BC=2CD， ∴OE=BC，故③不正确； ∵BE=EC， ∴S△CDE=S△CDB， ∵BO=OD， ∴S△BOC=S△CDB， ∴S△CDE=S△BOC，故④正确； 故答案为：①②④． 6.如图，在中，对角线，交于点，分别过点，作，，垂足分别为，，连接，． (1)求证：与互相平分； (2)，，，求的面积． 【答案】（1）证明：∵在中，点是对角线，的交点， ， ，， ， 在和中， ， （）， ． ，， 与互相平分． （2）解：在中，， ， ． 由勾股定理得 ， ， ． ，， ，即， ， ∴． 7.如图，的对角线相交于点分别是的中点，求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ， ． 分别是的中点， ， ． 在和中，， ． 五、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，点，点在对角线上．要使，可添加下列选项中的（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， A.添加条件，不能根据证明，故该选项不正确，不符合题意； B.已知，不能证明，故该选项不正确，不符合题意；     C.添加条件，则，即，根据证明，故该选项正确，符合题意； D.添加条件，不能证明，故该选项不正确，不符合题意；     故选：C． 2.如图，在中，由尺规作图的痕迹，判断下列结论中不一定成立的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由作图的痕迹得AE平分∠BAD， ∴∠DAE=∠BAE，所以A选项不符合题意； ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，CD∥AB， ∴∠BAE=∠DEA， ∴∠DEA=∠DAE， ∴DA=DE，所以B选项不符合题意， ∴CD=DE，所以D选项不符合题意， 不能确定DE=BE，所以C选项符合题意． 故选：C． 3.如图，在▱ABCD中，AB＞AD，按以下步骤作图：以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AB、AD于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交CD于点H，则下列结论中不能由条件推理得出的是(　　) A. AG平分∠DAB B. AD＝DH C. DH＝BC D. CH＝DH 【答案】D 【解析】根据作图的方法可得AG平分∠DAB， ∵AG平分∠DAB， ∴∠DAH＝∠BAH， ∵CD∥AB， ∴∠DHA＝∠BAH， ∴∠DAH＝∠DHA， ∴AD＝DH， ∴BC＝DH， 故选D. 4.如图，在▱ABCD中，∠DAB的平分线交CD于点E，交BC的延长线于点G，∠ABC的平分线交CD于点F，交AD的延长线于点H，AG与BH交于点O，连接BE，下列结论：①BO＝OH；②DF＝CE；③DH＝CG；④AB＝AE；正确的是     ．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠H＝∠HBG， ∴BH是∠ABC的角平分线 ∵∠HBG＝∠HBA， ∴∠H＝∠HBA， ∴AH＝AB， 同理可证BG＝AB， ∴AH＝BG， ∵AD＝BC， ∴DH＝CG，故③正确， ∵AH＝AB，∠OAH＝∠OAB， ∴BO＝OH，故①正确， ∵DF∥AB， ∴∠DFH＝∠ABH， ∵∠H＝∠ABH， ∴∠H＝∠DFH， ∴DF＝DH， 同理可证EC＝CG， ∵DH＝CG， ∴DF＝CE，故②正确， 无法证明AB＝AE， 故答案为：①②③． 5.如图，，四边形是平行四边形，依据以上条件可以判定，这种判定三角形全等的方法，可以简写为“      ”（答案不唯一）． 【答案】（答案不唯一，，，，） 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴，则， 在中，， ∴ , ∵， ∴， 在与中，， ∴ , 在与中，， ∴ , 在与中，， ∴ , 在与中，， ∴ , 故答案为：（答案不唯一，，，，）． 6.如图，在平行四边形中，平分，交于点F，平分，交于点E． (1)求证：； (2)若，平行四边形的周长为44，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵的周长为44，   ∴，   ∵， ∴，   ∴   ， ∴． 7.如图，在中，点E是的中点，连结并延长，交的延长线于点F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 六、利用平行四边形的对角相等求解 1. 如图，在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，且E为垂足．如果∠D＝75°，则∠BCE等于(　　) A. 105° B. 15° C. 30° D. 25° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B＝∠D＝75°， ∵CE⊥AB， ∴∠BCE＝90°－∠B＝15°. 故选B. 2.在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C＝2：3：2，则∠D＝（　　） A.36° B.108° C.72° D.60° 【答案】B 【解析】在平行四边形ABCD中，∠A：∠B：∠C：∠D＝2：3：2：3， 设每份比为x，则得到2x+3x+2x+3x＝360°， 解得x＝36° 则∠D＝108°． 故选：B． 3.如图，平行四边形ABCD中，BE平分∠ABC交AD于E，若∠C＝56°，则∠BED度数为（　　） A.112° B.118° C.119° D.120° 【答案】B 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形． ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC+∠C＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣∠C＝180°﹣56°＝124°， ∵BE平分∠ABC， ∴∠EBC＝124°÷2＝62°， ∵AD∥BC， ∴∠EBC+∠BED＝180°， ∴∠BED＝180°﹣∠EBC＝180°﹣62°＝118°， 故选：B． 4.在平行四边形ABCD中，AE⊥CB，AF⊥DC且∠DAF+∠BAE＝50°，则∠FAE的度数是　     　． 【答案】65° 【解析】∵AE⊥CB，AF⊥DC， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， 在四边形AFCE中，∠FAE+∠ECF＝360°﹣（∠AEC+∠AFC）＝180°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠BAD＝∠ECF（平行四边形的对角相等）， ∴∠FAE+∠BAD＝180°， 即∠FAE+（∠DAF+∠BAE+∠FAE）＝180°， ∵∠DAF+∠BAE＝50°， ∴2∠FAE+50°＝180°， ∴∠FAE＝65°． 故答案为：65°． 5.在平行四边形ABCD中，∠A＝70°，则∠B＝　    　，∠C＝　     　． 【答案】110；70 【解析】∵在平行四边形ABCD中，∠A＝70°， ∴∠B＝180°﹣70°＝110°，∠A＝∠C＝70°． 故答案为：110，70． 6.如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝46°， ∴∠ADC＝∠ABC＝134°， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDFADC＝67°， ∴∠AFD＝∠CDF＝67°， ∵DF∥BE， ∴∠ABE＝∠AFD＝67°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝134°﹣67°＝67°． 7. 如图，点E是平行四边形ABCD的边AD上一点，连接CE并延长交BA的延长线于点F，若BG＝DE，并且∠AEF＝70°.求∠AGB的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D， 又∵BG＝DE， 在△ABG和△CDE中，AB＝CD，∠B＝∠D，BG＝DE， ∴△ABG≌△CDE， ∴∠AGB＝∠CED， ∵∠CED＝∠AEF＝70°， ∴∠AGB＝70°. 七、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，，，，垂足为 A，，垂足为D．下面四个结论：①；②；③；④．其中正确的有（　　） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】A 【解析】∵，，，， ∴四边形和四边形均为平行四边形， ∴，，，， ∴向右平移即可得到， ∴， ∵平行四边形和平行四边形有公共边和公共的高， ∴， ∴① ② ③ ④都正确， 故选：A． 2.如图，是的角平分线，，是的角平分线，有下列四个结论：①；②；③；④．其中，正确的个数为（    ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】D 【解析】∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，故①②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴， 故③正确； ∵， ∴与是等底等高的三角形， ∴， ∴，故④正确， ∴① ② ③ ④正确． 故选：D． 3.如图，，，，那么图中和面积相等的三角形（不包括）有（  ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】B 【解析】∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∵，平行线之间距离相等， ∴与同底等高， ∴与面积相等， ∴与面积相等的三角形为：、， 故选：B． 4.如图，平面内直线，且相邻两条平行线间隔距离均为a，正方形四个顶点分别在四条平行线上，则正方形的面积为        ． 【答案】 【解析】过点C作，交于点E，交于点F，如图， ∵直线，， ∴，， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为． 故答案为：． 5.如图，已知四边形中，，对角线与交于点O，则图中面积相等的三角形有      对． 【答案】3 【解析】∵， ∴， ∴， ∴图中面积相等的三角形有3对， 故答案为：3． 6.[理解概念] （1）如果一条直线将一个图形分割成面积相等的两个部分，则称这条直线叫做该图形的“等积线”． （2）如图①，直线，点A是直线上的一点，，垂足为B，则线段的长度是与之间的距离．我们知道，两条平行线之间的距离处处相等． [新知探究] （1）如图②，过点A画出的等积线，并简要说明画法； （2）如图③，直线，A、B是上的两点，P、Q是上的两点，分别连接与交于点O．设的而积为，的面积为，则______（填“”“”或“”）． [拓展提高] （1）如图④，点M是中边上的一点，．小峰同学做了如下的操作： ①连接，过点C画，交的延长线于点D： ②找出线段的中点E，画直线ME． 小峰认为直线就是的等积线，你同意吗？说明理由． （2）如图⑤，在四边形中，连接的面积小于的面积． 过点A画四边形的等积线，并简要说明画法，不需说理． 【答案】解：[新知探究]（1）取中点，连接，是的等积线． （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：； [拓展提高]（1）连接， ∵， ∴， ∴， ∵的中点是E， ∴， ∴ ∴就是的等积线． （2）过作交延长线于，连接， 取中点，连接， 与（1）同理可得，即为四边形的等积线． 7.[教材呈现]如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． [方法探究]如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．    [方法应用]如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 【答案】解：[教材呈现] 过点作于点，过点作于点，如图所示， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ； [方法探究] 由教材呈现可知： ， 与两底，上的高相等， ， ； [方法应用] 过点作于点， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，． 综上所述，的长为5或． 八、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中： ①； ②； ②； ④． 正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形， ，，，， 故正确，正确，正确， ，但不一定等于， 故②错误， 故选：B． 2.平行四边形两邻角的角平分线相交所成的角是（　　） A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角或钝角 【答案】B 【解析】如图，∵平行四边形的对边平行， ∴平行四边形的两邻角的角互补， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2+∠4＝90°， ∴两邻角的角平分线相交所成的角是直角． 故选：B． 3.如图，平行四边形中，、是对角线上的两点，若添加①；②；③；④平分，平分中任意一个条件能够使，则共有几种添法（    ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵当时，（两直线平行，内错角相等）， ∴（等角的补角相等）， 在和中， ， ∴， ∴条件①能够使； ∵当时， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴条件②能够使； ∵当时，无法根据全等三角形的判定定理证明， ∴条件③不能够使； ∵当平分，平分时， ∴ 在和中， ， ∴， ∴条件④能够使． ∴有①②④，3种添法． 故选：C． 4.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一）. 5.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 【答案】②③ 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故②正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故答案为：． 6.如图，是的对角线，的平分线交于点E，的平分线交于点F．求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵的平分线交于点E，的平分线交于点F． ∴， ∴， ∵， 即， ∴． 7.如图，在中，E，G，H，F分别是，，，上的点，且，．求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$