18.1 平行四边形的性质 暑假巩固 2024—2025学年华东师大版数学八年级下册

华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固 一、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，在中，对角线与相交于点，如果，那么的长是（    ） A.4 B.5 C.6 D.无法确定 2.如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（    ） A. B. C. D. 3.如图，在中，对角线相交于点O，，则的长为（    ） A. B.6 C.5 D. 4.如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为        ． 5.如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是      ． 6.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 7.如图，的对角线交于点O，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 二、利用平行四边形的对角相等求解 1.如图，在▱ABCD中，∠A＝3∠B，则∠C的大小是（　　） A.100° B.120° C.135° D.150° 2.已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 3.在平行四边形ABCD中，∠ACB＝25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A. 135° B. 120° C. 115° D. 100° 4.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠BAD＝130°，则∠EAF＝　     　． 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝140°，则∠BAE＝　    　． 6.如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 三、求平行线间的距离 1.如图，已知，分别平分和，于点M，且，则之间的距离为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 2.已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3 cm，则与之间的距离是（    ） A.2 cm B.8 cm C.2 cm或9 cm D.以上都不对 3.如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3 cm，则BD等于 (        ) cm． A. B. C. D. 4.如图，，，于点E，于点G，，，则     ，     ． 5.如图，，已知直角三角形中，B，C在直线a上，A在直线b上，，，，则点A到直线a的距离为        ． 6.如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 四、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论： ①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴……， 在和中， ∴．省略号表示的是（    ） A.， B.， C.， D.， 3.如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中： ①； ②； ②； ④． 正确的有（ ） A. B. C. D. 4.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 5.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 6. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF. 7.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，． 求证：． 五、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.平行四边形ABCD的周长为36 cm，AB﹣BC＝2 cm，则AD、CD的长度分别是（　　） A.12 cm，6 cm B.8 cm，10 cm C.6 cm，12 cm D.10 cm，8 cm 2.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝5 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 3.如图，在▱中，，，平分交边于点，则（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 4.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米． 5.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________． 6.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 7.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 六、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，E，F是对角线上的两点，则添加①；②；③；④中任意一个条件，能够使的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（    ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 4.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 5.如图，在中，，是的中点，是上一点，连接，，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为      ．（填序号）． 6.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE. 求证：AF∥CE. 7.如图，在中，的平分线交于点，过点作，垂足为点，若， (1)求证：是等腰三角形． (2)如果点是的中点，求面积？ 七、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（   ） A.2对 B.3对 C.5对 D.6对 2.在中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（　　） ① ② ③ ④ A. ①④ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 3.证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A. B. C. D. 4.如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是      （填序号）． 5.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 6.在① ；② ，这两个条件中任选一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点在上．___________； 求证：． 7.平行四边形中，对角线相交于点O，E、F分别为线段的两点，，求证：． 八、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（    ） A.6 B.12 C.16 D.20 2.如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 3.如图，在中，点分别在、、上，连接、，且，，．若四边形的面积为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 4.如图，已知四边形中，，对角线与交于点O，则图中面积相等的三角形有      对． 5.如图，已知直线，点是线段的中点，若，则      ． 6.[教材呈现]如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． [方法探究]如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．    [方法应用]如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 7.画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线，高线； (3)在平移过程中线段所扫过的面积为_______． (4)在右图中能使的格点P的个数有______个（点P异于A）． 华东师大版八年级下册 18.1 平行四边形的性质 暑假巩固（参考答案） 一、利用平行四边形的对角线互相平分求解 1.如图，在中，对角线与相交于点，如果，那么的长是（    ） A.4 B.5 C.6 D.无法确定 【答案】C 【解析】∵在中，对角线与相交于点， ， ∴， 故选：C． 2.如图，在中，，对角线，相交于点O，则的长不可以是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵． ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴， ∴A不符合题意， 故选：A． 3.如图，在中，对角线相交于点O，，则的长为（    ） A. B.6 C.5 D. 【答案】A 【解析】 ，，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 故选A． 4.如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点，若平行四边形的周长是36，，则四边形的周长为        ． 【答案】24 【解析】四边形为平行四边形，对角线的交点为， ，，，， ， 在和中，， ， ，， 平行四边形的周长为36， ， 四边形的周长， 故答案为：24． 5.如图，在中，，，，对角线与交于点O，将直线l绕点O按顺时针方向旋转，分别交、于点E、F，则四边形周长的最小值是      ． 【答案】 【解析】如图所示，过点作，垂足为， ，，， ∴， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ， ，， 四边形周长， 当的值最小时，四边形的周长最小，此时，即为最小值， 四边形的周长最小值为， 故答案为：． 6.如图，在中，对角线，交于点，，，垂足分别为，． (1)求证：； (2)若，求的长； (3)若，，当时，求的面积． 【答案】解：（1）四边形是平行四边形， ， ，， ， 在和中，， ， ； （2） ， ， 在中，， 四边形是平行四边形， ； （3） ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ． 7.如图，的对角线交于点O，，，且． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴设． ∵四边形是平行四边形， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ∴. （2）∵四边形是平行四边形， ∴. 二、利用平行四边形的对角相等求解 1.如图，在▱ABCD中，∠A＝3∠B，则∠C的大小是（　　） A.100° B.120° C.135° D.150° 【答案】C 【解析】如图所示， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A+∠B＝180°， ∵∠A＝3∠B， ∴∠A＝∠C＝135°． 故选：C． 2.已知平行四边形ABCD中，∠A+∠C＝130°，则∠D的度数是（　　） A.50° B.65° C.115° D.130° 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AD∥BC， ∴∠A+∠D＝180°， ∵∠A+∠C＝130°， ∴∠A＝∠C＝65°， ∴∠D＝180°﹣∠A＝115°， 故选：C． 3.在平行四边形ABCD中，∠ACB＝25°，现将平行四边形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数(　　) A. 135° B. 120° C. 115° D. 100° 【答案】C 【解析】由折叠可得：∠EAC＝∠ECA＝25°，∠FEC＝∠AEF，∠DFE＝∠GFE， ∵∠EAC＋∠ECA＋∠AEC＝180°， ∴∠AEC＝130°， ∴∠FEC＝65°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DFE＋∠FEC＝180°， ∴∠DFE＝115°， ∴∠GFE＝115°， 故选C. 4.如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F．若∠BAD＝130°，则∠EAF＝　     　． 【答案】50° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠C＝∠BAD＝130°， ∵AE⊥BC于E，AF⊥CD于F， ∴∠AEC＝∠AFC＝90°， ∴∠EAF＝360°﹣90°﹣90°﹣130°＝50°， 故答案为：50°． 5.如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，若∠C＝140°，则∠BAE＝　    　． 【答案】50° 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∵∠C＝140°， ∴∠B＝40°， ∵AE⊥BC， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°． 故答案为：50°． 6.如图，在平行四边形ABCD中，DF平分∠ADC，交AB于点F，BE∥DF，交AD的延长线于点E．若∠A＝46°，求∠CBE的度数． 【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A+∠ADC＝180°， ∵∠A＝46°， ∴∠ADC＝∠ABC＝134°， ∵DF平分∠ADC， ∴∠CDFADC＝67°， ∴∠AFD＝∠CDF＝67°， ∵DF∥BE， ∴∠ABE＝∠AFD＝67°， ∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝134°﹣67°＝67°． 7.如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上的一点，且AB＝BE，AE、DC的延长线相交于点F，∠F＝62°，求∠D的度数． 【答案】解　∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠F＝62°， ∵AB＝BE， ∴∠AEB＝∠BAE＝62°， ∴∠B＝180°－2×62°＝56°， ∴∠D＝56°. 三、求平行线间的距离 1.如图，已知，分别平分和，于点M，且，则之间的距离为（　　） A.2 B.4 C.6 D.8 【答案】C 【解析】过点作交于，延长交于，如图： ，， ， 分别平分和，，， ， ， 之间的距离为6， 故选C． 2.已知直线a，b，c在同一平面内，且，与之间的距离为，与之间的距离为3 cm，则与之间的距离是（    ） A.2 cm B.8 cm C.2 cm或9 cm D.以上都不对 【答案】D 【解析】如图1，直线c在a、b外时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 如图2，直线c在直线a、b之间时， ∵a与b的距离为，b与c的距离为， ∴a与c的距离为， 综上所述，a与c的距离为或， 故选：D． 3.如图，点A、B在直线l1上，点C、D在直线l2上，l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2，AC＝3 cm，则BD等于 (        ) cm． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵l1∥l2，CA⊥l1，BD⊥l2， ∴BD=AC=3 cm， 故选C. 4.如图，，，于点E，于点G，，，则     ，     ． 【答案】 5；10 【解析】，，， 根据两条平行线之间的距离处处相等，可知FG=CE， ； ，， 四边形ABCD是平行四边形， ， 故答案为：5；10． 5.如图，，已知直角三角形中，B，C在直线a上，A在直线b上，，，，则点A到直线a的距离为        ． 【答案】 【解析】∵直角三角形中，，，， ∴， 即， 解得：． 故答案为： 6.如图，直线，与，分别相交于点A，，且，交直线于点． (1)若∠1=58°，求的度数； (2)若，，，求直线与的距离． 【答案】解：（1）∵， ∴∠BAC=90°， ∵∠1=58°， ∴∠ABC=90°-58°=32°, ∵, ∴∠2=∠ABC=32°． （2）如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 所以线段AD的长度等于a与b之间的距离， 因为AB⊥AC， 所以AB·AC=BC·AD， 所以AD= ， 所以a与b的距离为． 7.如图，已知，请完成下列问题： (1)请用直尺和圆规作出的平分线，交于点P； (2)过点C作直线AB的垂线，交直线AB于点D；过点C作直线AB的平行线EF； (3)那么直线AB与直线EF之间的距离是线段________的长度． 【答案】解：（1）如图所示，为的平分线； （2）如图所示，，； （3）直线与直线之间的距离是线段的长度． 四、利用平行四边形的对角相等证明 1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，小明给出如下结论： ①AB=CD，②AB=BC，③∠A=∠C，④ ∠ABC=60°，⑤∠A+∠B=180°，其中正确的个数有（   ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】根据平行四边形的边的性质，可以得出“对边平行且相等”，得不出邻边相等，故①正确，②错误；由“对边平行”，可得AD∥BC，由“两直线平行，同旁内角互补”，可得A+∠B=180°，故⑤正确； 根据平行四边形的角的性质，可以得出“对角相等”，得不出角的具体度数，故③正确，④错误； 综上，正确的有①③⑤，3个正确的结论． 故选C． 2.如图，四边形是平行四边形，E、F分别是边、上的点，且． 求证：． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴……， 在和中， ∴．省略号表示的是（    ） A.， B.， C.， D.， 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， 在和中，…， ∴． 故选：B． 3.如图，四边形是平行四边形，以下四个结论中： ①； ②； ②； ④． 正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】四边形是平行四边形， ，，，， 故正确，正确，正确， ，但不一定等于， 故②错误， 故选：B． 4.为平行四边形的对角线，，于点，于点，、相交于点，直线交线段的延长线于点，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是      ． 【答案】②③ 【解析】四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， ， ， ，故②正确； 又， ， ，， ，故正确； 点不一定是的中点， 不一定等于， 不一定等于，故错误， ， ， ， ， ，故错误， 故答案为：． 5.如图，点E，F分别在□ABCD的边AB，CD的延长线上，连接EF，分别交AD，BC于G，H．添加一个条件使△AEG≌△CFH，这个条件可以是      ．（只需写一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 ， 所以补充： △AEG≌△CFH， 故答案为：（答案不唯一）. 6. 如图，在▱ABCD中，点E，F分别为边BC，AD的中点．求证：△ABE≌△CDF. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠B＝∠D，AD＝BC， ∵点E，F分别为边BC，AD的中点， ∴BE＝DF， 在△ABE和△CDF中，AB＝CD，∠B＝∠D，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． 7.如图，在中，点在的延长线上，点在的延长线上，满足．连接，分别与，交于点，． 求证：． 【答案】证明：四边形是平行四边形， ，， ，， 在与中，， ， ． 五、利用平行四边形的对边平行且相等求解 1.平行四边形ABCD的周长为36 cm，AB﹣BC＝2 cm，则AD、CD的长度分别是（　　） A.12 cm，6 cm B.8 cm，10 cm C.6 cm，12 cm D.10 cm，8 cm 【答案】B 【解析】∵ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，BC＝AD． ∵ABCD的周长为36 cm，∴AB+BC＝18 cm． 又AB﹣BC＝2 cm， ∴AB＝10 cm，BC＝8 cm． ∴AD＝8 cm，CD＝10 cm． 故选：B． 2.如图，在▱ABCD中，已知AD＝8 cm，AB＝5 cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于（　　） A.1 cm B.2 cm C.3 cm D.4 cm 【答案】C 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，AD＝8 cm，AB＝5 cm， ∴AD＝BC＝8 cm，AB＝CD＝5 cm，AD∥BC， ∴∠ADE＝∠DEC， ∵E平分∠ADC， ∴∠ADE＝∠EDC， ∴∠EDC＝∠DEC， ∴CE＝DC＝5 cm， ∴BE＝BC﹣CE＝3 cm， 故选：C． 3.如图，在▱中，，，平分交边于点，则（    ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【解析】∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 4.一根8米长的铜丝围成一个平行四边形，使长边和短边的比是5∶3，则长边的长是____________米． 【答案】2.5 【解析】设长边和短边长分别为5x m,3x m， ∴2(5x＋3x)＝8，解得x＝0.5， ∴长边的长是2.5米． 5.如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1∶2的两部分，那么称这样的平行四边形为“协调平行四边形”，称该边为“协调边”．当“协调边”为3时，它的周长为________． 【答案】8或10 【解析】如图所示： ①当AE＝1，DE＝2时， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BC＝AD＝3，AB＝CD，AD∥BC， ∴∠AEB＝∠CBE， ∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AB＝AE＝1， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝8， ②当AE＝2，DE＝1时，同理得：AB＝AE＝2， ∴平行四边形ABCD的周长＝2(AB＋AD)＝10. 6.如图，在中，已知，，平分交边于点E，求的长． 【答案】解：平分， ， 四边形是平行四边形，且，， ，， ， ， ， ， 的长是． 7.如图，在中，垂直平分于点E，，．求的长． 【答案】解：如图，过点C作交的延长线于点F，连接， ∵四边形是平行四边形，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴． 六、利用平行四边形的对边平行且相等证明 1.如图，在中，E，F是对角线上的两点，则添加①；②；③；④中任意一个条件，能够使的有（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，由可证，所以① 符合题意； 当时，可得，即，由可证，所以②符合题意； 当时，不能判定，所以③不符合题意； 当时，由可证，所以④符合题意． ∴满足题意的有3个． 故选：C． 2.如图，在平行四边形中，E为上一点，且，，，，则下列结论：①；②平行四边形周长是24；③；④；⑤E为中点．正确的结论有（    ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】D 【解析】①∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∴平行四边形的周长，故②正确； ③∵，， ∴， ∴，故③正确； ④在中， ∵，， ∴，故④正确； ⑤∵， ∴E为中点，故⑤正确； 综上所述：正确的结论有①②③④⑤，共5个，故D正确． 故选：D． 3.如图，在中，为对角线，下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， 即． 故选：B． 4.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 5.如图，在中，，是的中点，是上一点，连接，，，且．给出下列结论：①平分；②；③为等边三角形；④．其中正确的结论为      ．（填序号）． 【答案】①②④ 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴平分，故①正确， 延长和交于M， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知：， ∴， ∵；故②正确， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确， ∵， ∴不是等边三角形，故③错误， ∴正确的结论为① ② ④， 故答案为：①②④． 6.如图，在▱ABCD中，连接BD，在BD的延长线上取一点E，在DB的延长线上取一点F，使BF＝DE，连接AF、CE. 求证：AF∥CE. 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∴∠1＝∠2， ∵BF＝DE， ∴BF＋BD＝DE＋BD， 即DF＝BE， 在△ADF和△CBE中，AD＝BC，∠1＝∠2，DF＝BE， ∴△ADF≌△CBE(SAS)， ∴∠AFD＝∠CEB， ∴AF∥CE. 7.如图，在中，的平分线交于点，过点作，垂足为点，若， (1)求证：是等腰三角形． (2)如果点是的中点，求面积？ 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 的平分线交于点E， ， ， ， ∴为等腰三角形； （2）解：，， ， ，而， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 七、利用平行四边形的对角线互相平分证明 1.如图O为对角线、的交点，经过点O且与边、分别交于点E、F，则图中的全等三角形最多有（   ） A.2对 B.3对 C.5对 D.6对 【答案】D 【解析】共6对，有，，，，，， 理由是：∵四边形是平行四边形， ∴，， ，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 而，， ∴， 同理，， 故选：D． 2.在中，与相交于点，则下列结论不一定成立的是（　　） ① ② ③ ④ A. ①④ B. ①②④ C. ③④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】四边形是平行四边形， ，，，，，， ①∵， ∴根据等底同高可得，正确； ②∵，，， ∴根据可得正确； ③∵平行四边形的对角线不一定平分对角， ∴无法得到，错误； ④∵平行四边形的对角线不一定相等， ∴无法得到，错误． 故选：C． 3.证明：平行四边形对角线互相平分， 已知：四边形是平行四边形，如图所示． 求证：，． 以下是排乱的证明过程，正确的顺序应是（　　） ∴，． ∵四边形是平行四边形． ∴，． ∴． ∴，． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， 故答案为：． 4.如图，在平行四边形中（），直线经过其对角线的交点，且分别交，于点，，交，的延长线于点，．下列结论：①；②；③．其中一定正确的是      （填序号）． 【答案】② 【解析】∵四边形是平行四边形， ∴， ∵不一定等于， 故①不一定正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； 根据题意得：和不全等， ∴与不全等，故③不正确， ∴ 综上所述，②正确． 故答案为：②. 5.如图，在中，E点是BD的中点，MN经过E点分别与AD、BC相交于点M、N．下列四个结论： ①；②；③A、C、E三点共线；④若，则．其中正确的结论有    ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④ 【解析】∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE，AD∥BC，AD=BC， ∴∠MDE=∠NBE，∠DME=∠BNE， ∴∆DME≅∆BNE， ∴DM=BN， ∴AM=CN，故①正确； 由图可得：BM>AB≠AD=BC， 故②错误； 连接AE、CE， 四边形ABCD为平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∵平行四边形ABCD中，E是BD的中点， ∴BE=DE， ∴∆ADE≅∆CBE， ∴AE=CE，∠AED=∠CEB， 点A、E、C三点共线，故③正确； 如图所示：过点D、E两点向BC作垂线分别为Q和P点， ∵E是BD的中点，且点E为平行四边形对角线的交点， ∴DQ=2EP， ， ， ∴，故④正确； 故答案为：①③④． 6.在① ；② ，这两个条件中任选一个合适的条件补充在下面横线上，并完成证明过程． 已知，如图，四边形是平行四边形，对角线交于点，点在上．___________； 求证：． 【答案】解：选择① ，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 选择② ，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 7.平行四边形中，对角线相交于点O，E、F分别为线段的两点，，求证：． 【答案】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ． 八、利用平行线间的距离解决问题 1.如图，，，点在上，，的面积为6，则的面积为（    ） A.6 B.12 C.16 D.20 【答案】C 【解析】∵，， ∴． ∵， ∴的边上的高和的边上的高长度相同． 设的边上的高和的边上的高为． 根据题意，得，． ∴． 故选：C． 2.如图，，AC与BD相交于点O．若三角形AOB的面积为4，则三角形COD的面积为（    ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】过点A作于D点E，如图所示． 因为， 所以， ， 所以， 所以， 所以， 即． 3.如图，在中，点分别在、、上，连接、，且，，．若四边形的面积为，则的面积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】过点作于点， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∵四边形的面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4.如图，已知四边形中，，对角线与交于点O，则图中面积相等的三角形有      对． 【答案】3 【解析】∵， ∴， ∴， ∴图中面积相等的三角形有3对， 故答案为：3． 5.如图，已知直线，点是线段的中点，若，则      ． 【答案】 【解析】， 、之间的距离相等， 即和的高相等， 点是线段的中点， ， ， ， 故答案为：． 6.[教材呈现]如下是华师版八年级下册数学教材第75页练习的部分内容．证明结论的正确性． 如图①，如果直线，那么的面积和的面积是相等的． [方法探究]如图②，在中，点在边上．若，求与数量关系．    [方法应用]如图③，正方形的边长为5，点是正方形内部一点，连结、．当是以为腰的等腰三角形，且时，直接写出的长． 【答案】解：[教材呈现] 过点作于点，过点作于点，如图所示， ， ， 四边形为平行四边形， ， ，， ； [方法探究] 由教材呈现可知： ， 与两底，上的高相等， ， ； [方法应用] 过点作于点， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，． 综上所述，的长为5或． 7.画图并填空：如图，每个小正方形的边长为1个单位，每个小正方形的顶点叫格点． (1)将向左平移8格，再向下平移1格．请在图中画出平移后的； (2)利用网格在图中画出的中线，高线； (3)在平移过程中线段所扫过的面积为_______． (4)在右图中能使的格点P的个数有______个（点P异于A）． 【答案】解：（1）如图，即为所求； ； （2）如图，中线，高线即为所求； （3）线段所扫过的面积； 故答案为：32； （4）如图，过点A作直线BC的平行线，此直线与格点的交点即为P点． ∴共有9个点． 故答案为：9． 学科网（北京）股份有限公司 $$