第一章 一元二次方程单元练习 2025-2026学年苏科版九年级数学上册

第一章 一元二次方程 单元练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则下列符合条件的整数是(    ) A. B. C. D. 2.若，是方程的两个根，则(    ) A. B. C. D. 3.若关于的方程有实根，则的最大整数值是(    ) A. B. C. D. 4.已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.某学校组织一次足球赛，采取单循环的比赛形式，即每两个球队之间都要比赛一场，计划组织支球队参加，安排场比赛，则为(    ) A. B. C. D. 6.已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰的底边长和腰长，则周长为(    ) A. B. 或 C. D. 7.已知关于的一元二次方程，则该方程根的情况是(    ) A. 没有实数根 B. 有一个实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 有两个不相等的实数根 8.某钢铁厂一月份生产钢铁吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁吨，若设月平均增长率为，那么可列出的方程是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.二项方程的实数根是          ． 10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个符合条件的的值          ． 11.设是一元二次方程的两个实数根，           ． 12.若关于的方程有两个不相等的实数根，请你写出一个符合条件的整数的值为           ． 13.某品牌新能源汽车月份销售万辆，随着“以旧换新”政策的推出，预计该品牌新能源汽车到月份销售量为万辆，则从月份到月份销售量的平均月增长率为______． 14.一高尔夫球手某次击出一个高尔夫球的高度米和经过的水平距离米可用公式来估计．当球的高度第二次达到米时，球的水平距离是          米． 15.近年来，我国大力推行药品集中带量采购制度，很多常用药的价格显著下降．某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的元降至元，设该药品平均每次降价的百分率为，则根据题意可列出方程          ． 16.如图，三个全等的小矩形沿“横竖横”排列在一个边长分别为，的大矩形中，图中一个小矩形的周长等于          ． 三、计算题：本大题共2小题，共12分。 17.用适当的方法解下面的方程：                ． 18.用适当的方法解下列方程： ； ； ． 四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题分 某商场将进货价为每只元的台灯以每只元售出，平均每月能售出只．调查表明，这种台灯的售价每上涨元，其销售量将减少只．当这种台灯的售价定为多少元时，每个月的利润恰为元？ 20.本小题分 已知关于的一元二次方程的常数项为． 求的值； 求此时一元二次方程的根． 21.本小题分 阅读下列材料，解答问题： ． 解：设，， 则， 则原方程可化为， 所以，即， 解得，． 请利用上述方法解方程：． 22.本小题分 某旅行社推出嘉兴南湖红色旅游的收费标准如下：如果组团人数不超过人，人均收费元；如果人数超过人，那么每增加人，人均收费降低元，但人均收费不得低于元．某公司想分批组织员工到嘉兴南湖红色旅游学习． 如果第一批组织人去学习，那么该公司应向旅行社交费          元； 如果该公司计划用元组织第一批员工去学习，问这次旅游学习应安排多少人参加？ 23.本小题分 根据以下素材，探索完成任务： 任务背景 年春节档，哪吒之魔童闹海燃爆银幕，一句“我命由我不由天”的热血宣言，不知唤醒了多少人心底的不屈与斗志在此期间，某文创公司抓住市场机遇，抢先推出“魔童觉醒”系列手办，将影片中高燃角色与场景凝练为收藏级艺术品，开售即掀起抢购狂潮． 数据信息 素材 经公司销售部统计，该系列手办在月份销售件，月份销售件，且从月份到月份销售量的月增长量相同． 素材 根据市场部反馈，当每个手办售价为元时，月销售量为件，在此基础上售价每涨元，则月销售量将减少件． 问题解决 任务 分析数量关系 根据素材中的信息，请确定“魔童觉醒”系列手办在月份到月份销售量的月增长率． 任务 分析变量关系 根据素材中的信息，若设该系列手办的售价为元件，月销售量为件，请确定件关于元件的函数关系式． 任务 探索销售方案解决问题 从生产部得知，该系列手办的生产成本为每件元，在考虑到与其他文创公司之间的竞争的前提下，为使月销售利润达到元，则该文创公司应将手办的实际售价定为多少元件？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得：， 的值可以为． 故选：． 根据方程的系数，结合根的判别式，可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再对照四个选项，即可得出结论． 本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此求解即可． 【详解】解：，是方程的两个根， ，， 故选：． 3.【答案】  【解析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式组，能得出关于的不等式组是解此题的关键．当方程为一元二次方程时，根据方程有实数根得出且，求出不等式组的解集即可．当方程为一元一次方程时，可求，则问题可解． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， 且， 解得：且， 当方程为一元一次方程时，则，方程一定有实根， 综上， 的最大整数解为， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：把代入关于的一元二次方程中，得， 解得， 故选：． 根据一元二次方程的解的定义把代入关于的一元二次方程中即可求出的值． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 5.【答案】  【解析】设计划组织支球队参加，根据计划安排场比赛列方程，解方程即可得到答案此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，准确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设计划组织支球队参加， 则， 解得不合题意，舍去， 参赛队数为个 故选： 6.【答案】  【解析】解：解方程可得或， 当的底为时，则三角形的三边长为、、，满足三角形三边关系，其周长为， 当的底为时，则三角形的三边长为、、，不满足三角形三边关系，舍去， 的周长为． 故答案选：． 先求得方程的两根，再把方程两根分别为底可求得三角形的三边长，即可求得答案． 本题考查了三角形的三边关系、等腰三角形的性质、解一元二次方程，解题的关键是熟练的掌握以上知识． 7.【答案】  【解析】解：， 这里，，． ． ， ，即． 方程有两个不相等的实数根． 故选：． 先计算根的判别式，利用完全平方式的非负性和根的判别式与方程解的关系得结论． 本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握“及、、方程解的情况”和“”是解决本题的关键． 8.【答案】  【解析】解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁吨，三月份生产钢铁吨， 又该钢铁厂第一季度共生产钢铁吨， 列方程为． 故选：． 由题意得出该钢铁厂二月份生产钢铁吨，三月份生产钢铁吨，再结合该钢铁厂第一季度共生产钢铁吨，列出一元二次方程即可． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9.【答案】  【解析】先移项得到，推出，根据即可求出答案． 【详解】， ， ， ， ， 故答案为：． 10.【答案】  【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握该知识点是关键． 先根据判别式的意义得到，解不等式得到的范围，然后在此范围内取一个值即可． 【详解】解：一元二次方程可化为： 由条件可知， ， 当取时，方程有两个不相等的实数根． 故答案为：答案不唯一． 11.【答案】  【解析】本题考查一元二次方程的解，根与系数的关系，一元二次方程的解，得到，，整体代入法计算求值即可． 【详解】解：由题意，得：，， ， ； 故答案为：． 12.【答案】答案不唯一  【解析】解：由题意得，， ， 的值可以为． 故答案为：答案不唯一． 先求出的取值范围，再写出一个符合条件的的值即可． 本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键． 13.【答案】  【解析】解：设从月份到月份销售量的平均月增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 从月份到月份销售量的平均月增长率为． 故答案为：． 设从月份到月份销售量的平均月增长率为，利用该品牌新能源汽车月份的销售量该品牌新能源汽车月份的销售量从月份到月份销售量的平均月增长率，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14.【答案】  【解析】把代入求解即可． 【详解】解：令， 则， 解得舍去，， 即当球的高度第二次达到米时，球的水平距离是米， 故答案为：． 15.【答案】  【解析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握题目中的等量关系，是解题的关键．根据某种药品经过两次降价，每盒的价格由原来的元降至元，列出方程即可． 【详解】解：设该药品平均每次降价的百分率为，根据题意可列出方程为： ． 故答案为：． 16.【答案】略  【解析】略 17.【答案】解：原方程化为 即 解得，        原方程化为， ，， ，  【解析】本题考查了解一元二次方程的方法，因式分解法和公式法，熟练掌握一元二次方程的解法是解本题的关键． 先把方程移项，然后利用因式分解法解方程． 先整理成一般形式，然后利用公式法解方程即可． 18.【答案】【小题】 解：原方程可变形为，  即，，． 【小题】 原方程可变形为，． 【小题】 原方程可变形为，  即，或，，．   【解析】 略  略  略 19.【答案】解：设这种台灯的售价为元，根据题意得： ， 解得，， 答：当这种台灯的售价定为或元时，每个月的利润恰为元．  【解析】设这种台灯的售价为元，根据一台的利润总的台数总的利润和这种台灯的售价每上涨元，其销售量将减少只，列出方程，再求解即可． 此题考查了一元二次方程的应用，解题关键是根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程；难度一般，是常考题． 20.【答案】【小题】 解：由题意，得，解得，由，得，． 【小题】 当时，代入，得，即，  解得，．   【解析】 略  略 21.【答案】解：， 设，，则， 原方程化为：， 整理得：， 即， ，， ，．  【解析】设，，则，代入后求出，即可得出，求出即可． 本题考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成是解此题的关键． 22.【答案】【小题】 【小题】 解：，设这次旅游学习应安排人参加．根据题意，  得，整理得，  解得，不合题意，舍去答：这次旅游学习应安排人参加．   【解析】 略  略 23.【答案】任务； 任务； 任务元件或元件．  【解析】解：任务设“魔童觉醒”系列手办在月份到月份销售量的月增长率为， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：“魔童觉醒”系列手办在月份到月份销售量的月增长率为； 任务根据题意得：， 件关于元件的函数关系式为； 任务根据题意得：， 整理得：， 解得：，． 答：该文创公司应将手办的实际售价定为元件或元件． 任务设“魔童觉醒”系列手办在月份到月份销售量的月增长率为，利用月份的销售量月份的销售量“魔童觉醒”系列手办在月份到月份销售量的月增长率，解之取其符合题意的值，即可得出结论； 任务利用月销售量该系列手办的售价，可找出件关于元件的函数关系式； 任务利用月销售利润每件的销售利润月销售量，可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：任务找准等量关系，正确列出一元二次方程；任务根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式；任务找准等量关系，正确列出一元二次方程． 第12页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $$