精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高一上学期9月半检测数学试卷

江苏省海门中学高一数学 姓名_______ 学号_______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. 或 D. 5. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 6. 已知为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 8. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（ ） A. B. C. D. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，，则实数的取值集合为_____. 13. 由命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是______. 14. 已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，非空集合． （1）若，求的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 16. 已知全集，集合，. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 17. 已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. （1）若命题为真，求实数的取值范围： （2）若命题为真，求实数的取值范围： （3）若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 18. （1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省海门中学高一数学 姓名_______ 学号_______ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据交集的定义求解即可. 【详解】由，解得，所以， 又， 则. 故选：C. 2. 已知或，且p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，，根据p是q的充分不必要条件得到，求出a的取值范围. 【详解】令，， 因为p是q的充分不必要条件， 所以，所以. 故选：D. 3. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】先解不等式，然后根据充分、必要条件的知识求得正确答案. 【详解】因为，所以或，所以或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用必要条件和充分条件的定义判断. 【详解】解不等式，即，解得或， 则不等式的解集为或， 对于A，显然，即是不等式成立的一个充分不必要条件，A是； 对于B，D，集合，都不是集合的子集，BD不是； 对于C，或，或是不等式成立的充要条件，C不是. 故选：A 5. 已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题命题“，”为真命题，进而分和两种情况讨论求解即可. 【详解】因为命题“，”为假命题， 所以，命题“，”为真命题， 因为集合，集合， 所以，当时，即时，成立， 当时， 由“，”得，解得， 综上，实数的取值范围为. 故选：A. 6. 已知为正实数且，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件对变形，利用均值不等式求解即得. 【详解】因为为正实数且， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 故选：D. 7. 若，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举出反例可得A、B、D错误；借助作差法计算可得C. 【详解】对A：若，，则有，，此时，错误. 对B：若，，则有，， 此时，错误. 对C：， 由，故，，，故， 即，正确. 对D：若，，则，， 此时，错误. 8. 设正实数满足，则当取得最大值时，的最大值为（ ） A. 9 B. 1 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】将代入后剩下关于的二元不等式，经齐次化处理后使用基本不等式.在时最大值时，将代入所求关系式，得到二次函数利用配方法即可求得其最大值. 【详解】， ，又均为正实数， （当且仅当时取“）， ，此时. ， ，当且仅当时取得，满足题意. 的最大值为1. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求、全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 9. 关于的方程有两个实数解的一个充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】利用二次方程的性质，结合充分条件的性质即可得解. 【详解】因为有两个实数解， 当时，，显然不满足题意； 当时，，得； 综上，且， 即有两个实数解等价于且，即或， 要使得选项中的范围是题设条件的充分条件， 则选项中的范围对应的集合是或的子集， 经检验，AB满足要求，CD不满足要求. 故选：AB. 10. 已知集合，非空集合，下列条件能够使得的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用因式分解求三次方程的根化简集合，再利用集合关系即可判断. 【详解】对于A，方程，因式分解得， 解得或，所以，满足，故A正确； 对于B，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故B正确； 对于C，方程，因式分解得， 解得或，所以，不满足，故C错误； 对于D，方程，因式分解得， 解得，所以，满足，故D正确； 故选：ABD. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（　　） A. 有最小值为 B. 有最小值为 C. 有最小值为 D. 有最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】A、C、D选项直接用基本不等式得出结论，B选项需用巧用“1”技巧进行化简即可使用基本不等式. 【详解】对于A：因为，则，当且仅当，即时取等号，故A错误， 对于B，，当且仅当，即时取等号，故B正确， 对于C：因为，则，当且仅当，即时取等号，故C正确， 对于D：因为， 当且仅当，即，时取等号，这与均为正实数矛盾，故D错误， 故选：BC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设集合，，，则实数的取值集合为_____. 【答案】 【解析】 【分析】解方程求集合，再由并集结果，讨论、分别求出对应参数值，即可得. 【详解】由题设，又，则. 所以，显然不可能有， 当时，若，此时， 若，此时， 当时，有， 综上，. 故答案为： 13. 由命题“存在，使”是假命题，求得m的取值范围是，则实数a的值是______. 【答案】1 【解析】 【分析】根据命题的否定为真，转化为二次不等式恒成立 ，利用判别式求解. 【详解】因为命题“存在，使”是假命题， 所以命题“，”是真命题， 故，即，故. 故答案为：1 14. 已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意，根据一次函数与二次函数的性质，整理关于的等式，利用基本不等式求最值即可. 【详解】由，则函数单调递增， 且当时，；当时，. 由在时恒成立， 则当时，恒成立； 当时，恒成立. 故有时，，则有， 则有，当且仅当等号成立. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，非空集合． （1）若，求的取值范围； （2）设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据交集结果且，列不等式求参数范围； （2）由题设集合是集合的真子集，结合，求参数范围. 【小问1详解】 由题意，知， 又，且， 所以或，解得， 故的取值范围为． 【小问2详解】 命题是命题的必要不充分条件， 集合是集合的真子集，且， ∴（等号不能同时成立），解得， 综上，的取值范围为． 16. 已知全集，集合，. （1）求集合； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据补集的运算法则即可求解； （2）根据集合的包含关系，解不等式组即可求解； （3）由可得，分和两种情况讨论实数的取值范围，最后综合讨论结果即可求解. 【小问1详解】 ∵全集，集合， ∴或. 【小问2详解】 ∵，，， ∴，解得，即实数的取值范围为. 【小问3详解】 ∵，∴. 当，即时，，符合题意； 当时，，解得. 综上，，即实数的取值范围为. 17. 已知，命题：关于的方程在有两个不相等的实数根：命题对任意的恒成立. （1）若命题为真，求实数的取值范围： （2）若命题为真，求实数的取值范围： （3）若命题与命题恰有一个为真，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由题设两根为，则，据此结合韦达定理可得答案； （2）即方程无解，分两种情况结合题意可得答案； （3）由（1）（2）答案结合题意可得真假或假真，据此可得答案. 【小问1详解】 由题设两根为，则判别式或. 关于的方程在有两个不相等的实数根， 则，由韦达定理：. 则，结合或，可得实数的取值范围为：； 【小问2详解】 即方程无解. 当时，方程显然无解，满足题意； 当时，判别式. 综上可得，实数的取值范围为； 【小问3详解】 由（1）（2）分析，若命题为假，实数的取值范围为； 若命题q假，实数的取值范围为或. 命题与命题恰有一个为真，则真假或假真. 若真假，则； 若假真，则. 综上，实数的取值范围为：或. 18. （1）求函数的最大值； （2）求函数的最小值； （3）若，且，求的最小值. 【答案】（1）；（2）9；（3）9 【解析】 【分析】（1）（2）对函数解析式变形，利用基本不等式求解最值； （3）先常数代换变形，再利用基本不等式求解最值； 【详解】（1）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最大值为. （2）由，得， 因此， 当且仅当，即时取等号，所以原函数的最小值为9. （3）因为，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，此时，，所以的最小值为. 19. 定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； （1）求集合的生成集B； （2）若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； （3）若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】（1） （2）或 （3）证明：， ， ，  ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 【解析】 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【小问1详解】 由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 【小问2详解】 （1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $