1.1.1菱形的性质与判定（一） 学习任务单 2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026年北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形 1.1.1菱形的性质与判定（一） 一、学习任务 用菱形性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积； 二、课前导学 我们观察平行四边形的一组邻边，如图，当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的定义：有 的平行四边形叫做菱形. 三、学习探究 活动一：学前图形感知 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗? (2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流. (3)菱形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?是中心对称图形吗?如果是，对称中心是什么? (4)菱形中有哪些相等的线段? 活动二：菱形的性质推导及应用 （1）如图，已知在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O.求证:AC⊥ BD, AC 平 分∠BAD 和∠BCD, BD平分∠ABC ,∠ADC. 菱形性质1证明： 菱形性质2证明： (6)如图，在菱形ABCD 中,对角线 AC与BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形和直角三角形? 归纳：性质1：菱形的 条边都相等. 性质2：菱形的 ，并且每条对角线 一组对角 . 三、例题讲解 例1：如图,在菱形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB 和对角线AC的长. 巩固练习：如图，在菱形 ABCD 中，若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则 （1）.另一条对角线长为 ，菱形边长为 ，若高为 . （2）.∠BAO= 50°, 则∠BAD= ,∠ABC= . 例2 ：如图,在菱形ABCD 中,对角线AC与BD相交于点 O,AB=13,AC=10,过点 D作DE∥AC交BC 的延长线于点 E,求△BDE的周长. 例3:已知菱形ABCD 的周长为20cm,且相邻两内角之比是1：2，求菱形的对角线的长和面积以及菱形的高. 例4：如图，P是边长为1 的菱形ABCD 的对角线AC 上的动点,M,N分别是AB,BC 的中点,则 MP+NP 的最小值是 . 三、小测 1.下列性质中，菱形不一定具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 2.一个菱形的两条对角线的长分别是 12 和16，则此菱形的边长是 ( ) A.10 B.8 C.6 D.5 3.菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是(6，0)，点A 的纵坐标是1，则点 B的坐标是 ( ) A.(3,1) B.(3,-1) C.(1,-3) D.(1,3) 4.如图,若菱形 ABCD 周长为12,∠A =60°,则BD长为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 5.在菱形 ABCD 中,∠A =60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm². 6.如图,已知四边形ABCD 是菱形,点A(3,0),B(0,4),则点C的坐标是 . 7.如图,AC,BD 是菱形ABCD 的对角线,若∠BAC=55°,则∠ADB 的度数为 . 8.如图,O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证:OE=AB. 9.如图,在菱形 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点 O,AC =24,BD =10,DE⊥AB于点 E. (1)求菱形ABCD 的周长; (2)求菱形ABCD 的面积; (3)求 DE的长. 10.如图,已知四边形 ABCD 是菱形,CE⊥AB,交AB 的延长线于点 E;CF⊥AD,交AD 的延长线于点 F.求证:DF=BE. 11.如图，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O,A为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且∠AOC=60°,点 P 的坐标为(0,3).设点A运动了t秒,求: (1)点C 的坐标(用含 t的代数式表示)； (2)点A 在运动过程中，当t为何值时，使得△OCP 为等腰三角形? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026年北师大版九年级上册第一章特殊的平行四边形 1.1.1菱形的性质与判定（一）解析 一、学习任务 用菱形性质进行有关的论证和计算，会计算菱形的面积； 二、课前导学 我们观察平行四边形的一组邻边，如图，当这组邻边相等时，这时的平行四边形也是一个特殊的平行四边形，有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 菱形的定义：有 一组邻边相等 的平行四边形叫做菱形. 三、学习探究 活动一：学前图形感知 (1)菱形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质，你能列举一些这样的性质吗? 答：①对边相等且平行 对角线互相平分 ②对角相等，邻角互补 (2)你认为菱形还具有哪些特殊的性质?与同伴交流. 答：①四边相等 对角线互相垂直 ②每条对角线平分一组对角 (3)菱形是轴对称图形吗?如果是，它有几条对称轴?对称轴之间有什么位置关系?是中心对称图形吗?如果是，对称中心是什么? 答：①是轴对称图形，有2条对称轴 ②对称轴互相垂直，是中心对称图形，对称中心是对角线的交点 (4)菱形中有哪些相等的线段? 答：四边相等，对角线互相平分。 活动二：菱形的性质推导及应用 （1）如图，已知在菱形ABCD 中,对角线 AC,BD 相交于点 O.求证:AC⊥ BD, AC 平 分∠BAD 和∠BCD, BD平分∠ABC ,∠ADC. 菱形性质1证明： ∵四边形ABCD 是菱形 ∴ AB=BC=CD=AD 菱形性质2证明： 证明：∵四边形ABCD 是菱形 ∴ AB=AD,OB=OD ∴AO 平分∠BAD,AO⊥BD(三线合一) 即AC⊥BD,AC 平分∠BAD 同 理 可 证: AC 平 分 ∠BCD, BD 平 分∠ABC、∠ADC (6)如图，在菱形ABCD 中,对角线 AC与BD 相交于点 O，图中有多少个等腰三角形和直角三角形? 答：4 个等腰△;4 个直角△ 归纳：性质1：菱形的 四 条边都相等. 性质2：菱形的对角线 互相垂直 ，并且每条对角线 平分一组对角 . 三、例题讲解 例1：如图,在菱形ABCD 中,对角线AC与BD 相交于点O,∠BAD=60°,BD=6,求菱形的边长AB 和对角线AC的长. 解:∵ 四边形ABCD 是菱形, ∴AB =AD(菱形的四条边相等)， AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直） ×6=3(菱形的对角线互相平分). 在等腰三角形 ABD中, ∵ ∠BAD = 60°, ∴△ABD 是等边三角形. ∴ AB=BD =6. 在 Rt△AOB中， 由勾股定理，得 (菱形的对角线互相平分) 巩固练习：如图，在菱形 ABCD 中，若菱形的面积为120，一条对角线长为10，则 （1）.另一条对角线长为 24 ，菱形边长为 13 ，若高为 . （2）.∠BAO= 50°, 则∠BAD= 100° ,∠ABC= 80° . 例2 ：如图,在菱形ABCD 中,对角线AC与BD相交于点 O,AB=13,AC=10,过点 D作DE∥AC交BC 的延长线于点 E,求△BDE的周长. 解：∵四边形ABCD 是菱形, ∴AB =BC= CD = DA = 13, AD∥BC, AC ⊥ BD, OB=OD·OA =OC, ∵AO=10, ∴ OA =5, ∴ BO = ²-5²=12, ∴BD=2BO=24. ∵DE∥AC, ∴四边形ACED 是平行四边形, ∴AD=CE=13,AC=DE=10, ∴C△BDE =BD+DE+BE=24+10+26=60 例3:已知菱形ABCD 的周长为20cm,且相邻两内角之比是1：2，求菱形的对角线的长和面积以及菱形的高. 解:∵ 菱形ABCD ∠ABC:∠BAD=1:2 ∴∠ABC=60°,∠BAD=120° △ABC是等边三角形,∴AC=AB=5cm ∴AC⊥BD ∴BD=2BO=5 高 例4：如图，P是边长为1 的菱形ABCD 的对角线AC 上的动点,M,N分别是AB,BC 的中点,则 MP+NP 的最小值是 1 . 三、小测 1.下列性质中，菱形不一定具有的是( ) A.对角线互相平分 B.对角线互相垂直 C.对角线相等 D.既是轴对称图形又是中心对称图形 2.一个菱形的两条对角线的长分别是 12 和16，则此菱形的边长是 ( ) A.10 B.8 C.6 D.5 3.菱形OACB 在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C 的坐标是(6，0)，点A 的纵坐标是1，则点 B的坐标是 ( ) A.(3,1) B.(3,-1) C.(1,-3) D.(1,3) 4.如图,若菱形 ABCD 周长为12,∠A =60°,则BD长为 ( ) A.3 B.4 C.6 D.8 5.在菱形 ABCD 中,∠A =60°,其周长为24 cm,则菱形的面积为 cm². 6.如图,已知四边形ABCD 是菱形,点A(3,0),B(0,4),则点C的坐标是 . 7.如图,AC,BD 是菱形ABCD 的对角线,若∠BAC=55°,则∠ADB 的度数为 . 8.如图,O 是菱形ABCD 对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.求证:OE=AB. 9.如图,在菱形 ABCD 中,对角线AC,BD 相交于点 O,AC =24,BD =10,DE⊥AB于点 E. (1)求菱形ABCD 的周长; (2)求菱形ABCD 的面积; (3)求 DE的长. 10.如图,已知四边形 ABCD 是菱形,CE⊥AB,交AB 的延长线于点 E;CF⊥AD,交AD 的延长线于点 F.求证:DF=BE. 11.如图，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O,A为顶点作菱形OABC,使点B,C在第一象限内,且∠AOC=60°,点 P 的坐标为(0,3).设点A运动了t秒,求: (1)点C 的坐标(用含 t的代数式表示)； (2)点A 在运动过程中，当t为何值时，使得△OCP 为等腰三角形? 1 学科网（北京）股份有限公司 $$