精品解析：浙江省杭州市临平区树兰中学2024-2025学年下学期八年级第二次月考数学试题

树兰中学2025年春季八年级第二次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（学数有邻共10小题，每题3分，共30分） 1. 下面的标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，如果一个图形绕着某一点旋转能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形．根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：观察图形，选项A、B、C的图形，绕一点旋转后，不能与自身完全重合，不是中心对称图形， 选项D的图形，绕一点旋转后，能与自身完全重合，是中心对称图形； 故选：D． 2. 下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式．熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如的式子是二次根式．根据二次根式的定义判断作答即可． 【详解】解:A、中，根指数为3，故不是二次根式，本选项不符合题意； B、当时，才是二次根式，本选项不符合题意； C、是二次根式，本选项符合题意； D、是分数，故不是二次根式，本选项不符合题意； 故选：C． 3. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要是是考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2，是整式方程．利用一元二次方程定义进行解答即可． 【详解】解：A、，是一元二次方程，符合题意； B、，方程有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C、，方程有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、，未知数次数为1，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：A． 4. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式被开方数为非负数得出，然后解不等式即可． 【详解】解：式子有意义， ∴， 解得：． 故选：D． 5. 近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 由题意根据某市2021年及2023年的数字阅读市场规模，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设该市年平均增长率为x， 依题意，得：． 故选：C． 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意．   故选：C ． 7. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从实际问题中抽象一元二次方程，解题的关键是如果设每个支干分出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支”可知：支干的数量为个，小分支的数量为个，然后根据主干、支干和小分支的总数是133就可以列出方程． 【详解】解：依题意得支干的数量为个， 小分支的数量为个， 那么根据题意可列出方程为：． 故选：C． 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 13 D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，线段的垂直平分线的性质，先证明，，，再进一步求解即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴，， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴的周长是14， 故选：D． 9. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质．根据平行四边形的性质可得，再由平行四边形的面积公式可得，可求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵的周长为40， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴的面积为． 故选：A 10. 如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】在上取一点，使得，连接、，证明，得出，，从而推出，证明，得出四边形是平行四边形，由平行四边形的性质可得，即可判断①；连接，证明四边形是平行四边形，得出，，求出，结合等腰直角三角形的性质即可判断③；连接交于，证明，得出，即可判断②；设，，则，表示出，，由等腰直角三角形的性质可得，结合得出，求解即可判断④，从而即可得解． 【详解】解：如图，在上取一点，使得，连接、， ， ∵， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故①正确； 连接， ， ∵，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，即， ∵， ∴，故③错误； 连接交于， ， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，故②错误； 设，，则， ∴，， ∵，， ∴， 若，则， ∴， 即，故④正确； 综上所述，正确的有①④，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 二．填空题（学数有邻共6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 12. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引条对角线，则它是______边形． 【答案】七 【解析】 【分析】本题考查了多边形边数与对角线的关系，设多边形有条边，根据边形从一个顶点最多可以引条对角线，然后列方程求解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：设多边形有条边，根据边形从一个顶点最多可以引条对角线， 则， 解得：， 故答案为：七． 13. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解无理方程和解一元一次不等式，能根据算术平方根的非负性得出是解此题的关键．移项后得出，根据算术平方根的非负性得出，求出此时，再求出的取值范围即可． 【详解】解：， ， ， 若方程无实数解，必须， ， 故答案为：． 14. 已知，那么的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式、利用平方根解方程，熟练掌握平方差公式是解题关键．令，则，利用平方差公式计算可得，再利用平方根解方程即可得． 【详解】解：令， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 15. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，在N的运动过程中A′在以M为圆心、为直径的圆上的弧上运动，当取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、、C三点共线，得出的位置，进而利用锐角三角函数关系求出的长即可． 【详解】解：如图所示：∵是定值，长度取最小值时，即在上时， 过点M作于点F， ∵在边长为2的菱形中，，M为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了翻折变换，菱形的性质，圆外一点到圆上一点距离的最值，含角直角三角形的性质，勾股定理等，找到当点在上，的长度最小，是解题的关键． 16. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′FCD时，的值为__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：延长DC与A′D′，交于点M，∵在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，∴∠DCB=∠A=60°，AB∥CD，∴∠D=180°﹣∠A=120°，根据折叠的性质，可得∠A′D′F=∠D=120°，∴∠FD′M=180°﹣∠A′D′F=60°，∵D′F⊥CD，∴∠D′FM=90°，∠M=90°﹣∠FD′M=30°，∵∠BCM=180°﹣∠BCD=120°，∴∠CBM=180°﹣∠BCM﹣∠M=30°，∴∠CBM=∠M，∴BC=CM，设CF=x，D′F=DF=y，则BC=CM=CD=CF+DF=x+y，∴FM=CM+CF=2x+y，在Rt△D′FM中，tan∠M=tan30°= ，∴x= y，∴ =．故答案为． 点睛：此题考查了折叠的性质、菱形的性质、等腰三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用． 三．解答题（学数有邻共8小题） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2）； 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用公式法解方程即可； （2）运用因式分解法解方程即可． 本题主要考查了运用公式法和因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ，， 解得，． 18. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算及乘法公式是解题的关键； （1）由题意易得，然后问题可求解； （2）由（1）及可进行求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∴ ． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 【答案】 证明：∵ 四边形是平行四边形 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 【解析】 【分析】利用平行四边形的性质得到边平行且相等的关系，进而推出三角形全等，从而证明线段相等．本题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形对边平行以及全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】略 20. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 【答案】（1）8，8，8，10 （2）2， （3） 解：推荐甲参加全省比赛更合适，理由如下： 因为两人的平均数相同，但甲的方差比乙小，即甲比乙更稳定，所以推荐甲参加全省比赛更合适． 【解析】 【分析】（1）分别根据算术平均数、中位数和众数的定义求解即可； （2）根据方差的公式计算即可； （3）根据平均数和方差的意义即可解答． 【小问1详解】 解：甲的平均成绩是（环）， 乙的平均成绩是（环）， 甲成绩的中位数是（环）， 乙成绩的众数是10环； 【小问2详解】 解：； ； 【小问3详解】 略 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1） 证明：， ∴无论取何值，方程总有实数根； （2）或 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式及三角形三边关系定理，注意求出三角形的三边后，要用三边关系定理检验． （1）计算方程的根的判别式，若，则证明方程总有实数根； （2）设，另两边长为能是腰，分两种情况求得，的值后，再求出的周长，注意两种情况都要用三角形三边关系定理进行检验． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设 ，另两边长为、， ①若为底边，则，为腰长，则则， 解得：， 此时原方程化为 ，即， 此时三边为，，不能构成三角形，故舍去； ②若为腰， 则，中一边为腰，不妨设， 代入方程：，解得或， 则原方程化为或 解得或， 即 或 ， 此时三边为， ， 或，， 能构成三角形， 周长为或． 22. 如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，由角平分线的定义可得，，进而可得，则可得，从而可得． （2）过点作，交的延长线于点．由平行四边形的性质和角平分线的定义可得，．进而可得，再证 四边形是平行四边形，则可得，，进而可得 ，再证，由勾股定理可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点作，交的延长线于点． ∵四边形是平行四边形，且， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理．熟练掌握以上知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 23. 阅读材料：若，求m、n的值． 解： ， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长； （3）已知，，求的值． 【答案】（1） （2）的周长为7 （3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用和三角形三边关系，灵活运用完全平方公式、掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据材料将原式分为两个完全平方的形式即可解答； （2）将按材料方式进行整理，根据三角形三边关系得出c的值，即可求得结果； （3）由，得，按照原式按材料方式将整理，求出x、y、z的值，即可求得结果． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 解得：， 则； 【小问2详解】 ， ， ， 则，， 解得：，， 由三角形三边关系可知，三角形三边分别为1、3、3， 的周长为1+3+3=7； 【小问3详解】 ， ， 则， ， ， 则，， 解得，，， ． 24. 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 【答案】（1）AH=AB； （2）数量关系成立． 证明：如图②，延长至，使． ∵四边形是正方形， ，， 在和中， ， ∴≌（SAS）， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ． ，， 、是和对应边上的高， ． （3）6 【解析】 【分析】（1）先证明，可得，，再证明即可； （2）延长至，使，证明，能得到； （3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得． 【详解】解：（1）如图①，．理由如下： 四边形是正方形， ，， 在和中， ， ， ，， 是等腰三角形， 又， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ； 故答案为：； （2）略 （3）如图③分别沿、翻折和，得到和， ，，． 分别延长和交于点，得正方形， 由（2）可知，． 设，则，， 在中，由勾股定理，得， ， 解得，．（不符合题意，舍去）， ． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、翻折变换的性质以及勾股定理等知识；正确作出辅助线，熟练掌握翻折变换的性质，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树兰中学2025年春季八年级第二次月考数学试题卷 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（学数有邻共10小题，每题3分，共30分） 1. 下面的标识图案中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 4. 若式子有意义，则的取值范围是（　　　） A. B. C. D. 5. 近年来，我国数字技术不断更新，影响着全民阅读形态．为预计某市2024年数字阅读市场规模，经查询得数据：该市2021年数字阅读市场规模为432万元，2023年数字阅读市场规模为507万元．设该市年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 7. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是133，求每个支干长出多少小分支？设每个支干长出x个小分支，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，的垂直平分线交于点E，则的周长是（ ） A. 9 B. 10 C. 13 D. 14 9. 如图，在中，于点E，于点F．若，且的周长为40，则的面积为（ ） A. 48 B. 36 C. 40 D. 24 10. 如图，在正方形中，点P为延长线上任一点，连接．过点P作，交的延长线于点E，过点E作于点F．下列结论： ①； ②； ③； ④若，则． 其中正确的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（学数有邻共6小题，每题3分，共18分） 11. 计算：__________． 12. 若从一多边形的一个顶点出发，最多可引条对角线，则它是______边形． 13. 如果方程无实数解，那么的取值范围是______． 14. 已知，那么的值为______． 15. 如图，在边长为2的菱形中，，M是边的中点，N是边上的一动点，将沿所在直线翻折得到，连接，则长度的最小值是_________________ ． 16. 如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，将纸片折叠，点A、D分别落在A′、D′处，且A′D′经过B，EF为折痕，当D′FCD时，的值为__________． 三．解答题（学数有邻共8小题） 17. 用适当的方法解下列方程： （1） ； （2）； 18. 已知，，分别求下列代数式的值： （1）； （2）． 19. 如图，在中，点E、F分别在、上，且，、相交于点O，求证：． 20. 某市射击队将从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全省比赛，现对他们进行了6次测试，成绩（单位：环）统计如下： 甲 7 9 7 9 10 6 乙 5 8 9 10 10 6 （1）根据表格中的数据填空： 甲的平均成绩是______环，乙的平均成绩是______环； 甲成绩的中位数是______环，乙成绩的众数是______环； （2）求甲、乙测试成绩的方差； （3）你认为推荐谁参加全省比赛更合适，请说明理由． 21. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论k取任何实数值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长为6，另两边长恰好是这个方程的两个根，求的周长． 22. 如图，在中，，的平分线分别交于点E，F，，相交于点G． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23. 阅读材料：若，求m、n的值． 解： ， ，，，． 根据你的观察，探究下面的问题： （1）已知，求的值； （2）已知等腰的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求△ABC的周长； （3）已知，，求的值． 24. 已知，正方形ABCD中，∠MAN=45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N，AH⊥MN于点H． （1）如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM=DN时，请你直接写出AH与AB的数量关系：____； （2）如图②，当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，（1）中发现的AH与AB的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明； （3）如图③，已知∠MAN=45°，AH⊥MN于点H，且MH=2，NH=3，求AH的长．（可利用（2）得到的结论） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $