5.3.2函数的极值与最大（小）值 第4课时 教案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3.2函数的极值与最大（小）值 第4课时 导数的综合应用   一、教学目标 1.会利用导数证明不等式并掌握其一般解法； 2.理解并掌握利用导数研究函数零点的思想方法； 3.能利用导数解决生活中的优化问题.   二、教学重难点 重点：利用导数证明不等式、研究函数的零点. 难点：函数最大（小）值的综合应用.   三、教学过程 （一）复习导入 师生活动：教师提出问题，让学生回顾上一节课学习的内容，请几名同学回答，根据学生的回答情况点评、指导. 思考1：函数的最值与函数的极值之间有什么区别与联系？ 答：区别：(1)函数的极值是函数在定义域的局部区间上函数值的比较，具有相对性； 函数的最值是函数在整个定义域上函数值的比较，具有整体性； (2)函数的极值可以有多个（也可能不存在），但最值最多只能有一个（也可能不存在）； (3)函数的极值只能在区间内取得，而最值还可以在区间端点处取得，极值点不一定是最值点，最值点也不一定是极值点. 联系：(1)如果连续函数在开区间内只有一个极值点，那么该极值点就是最大（小）值点； (2)对于在闭区间上连续可导的函数，只要把函数的所有极值连同端点的函数值进行比较，就可以求出函数的最大值与最小值. 思考2：利用导数求函数的最值的步骤是什么？ 答：一般地，求函数在区间上的最大值与最小值的步骤如下： 求函数在区间内的极值； 将函数的各极值与端点处的函数值, 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 注意：上述利用导数求函数最值的前提条件是在闭区间上连续，在开区间上可导的函数. 结论：一般地，如果在区间上的函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值； 如果为连续函数且在上单调，则其最大值、最小值在端点处取得. 设计意图：通过复习函数的最值与极值的关系，让学生认识到极值的局部性、最值的整体性，复习利用导数求函数最值的方法，为后面学习导数的进一步应用做铺垫. （二）探究新知 任务一：利用导数证明不等式 探究：求证：当时，. 师生活动：教师引导学生分别作出函数与的图象，借助图象让学生直观的得到当时，，然后再进一步探讨如何严格的证明这个不等式. 思考1：请在同一坐标系中分别作出函数与的图象，观察两个函数图象之间的关系，你有什么发现？ 答：作出函数与的图象如上图所示，由图象可知，当时，函数的图象在函数图象的下方，所以. 思考2：如何严格地证明这个不等式呢？ 师生活动：教师提出问题，引导学生思考，暂时不必作答. 思考3：下列不等式与最值之间有什么关系？ 不等式类型 与最值的关系 ， ， ， ， ， ， ， ， 思考4：结合思考3，你发现了本题的证明思路吗？ 答：将原不等式转化为，引入函数，将这一问题转化为求函数的最小值，只要最小值大于等于即可. 师生活动：学生独立完成证明过程，教师评价并给出完整的解题过程. 解：原不等式可转化为. 设，则. 令，解得. 当变化时，，的变化情况如下表所示. 单调递减 0 单调递增 所以，当时，取得最小值. 所以，，即. 所以，当时，. 思考5：你能结合这个问题，总结归纳利用导数证明不等式的步骤吗？ 答：一般地，利用导数证明不等式的步骤： 第1步：构造函数，并指出函数的定义域； 第2步：求导数，令，求出函数的极值点和极值； 第3步：求出函数的端点值，进而得出函数的最值； 第4步：得出结论. 设计意图：通过分析和解决典型问题，帮助学生掌握运用导数证明不等式的方法和步骤，发展学生的逻辑推理、数学抽象和数学运算的核心素养. 任务二：利用导数研究函数的零点 探究：给定函数 判断函数的单调性，并求出的极值； 画出函数的大致图象； 求出方程的解的个数． 思考1：根据前面所学习的利用导数判断函数的单调性及利用导数求函数极值的知识，你能完成第(1)小题吗？ 师生活动：教师出示问题，让学生独立完成第小题，并请一名同学板演. 答：函数的定义域为 ． 令，解得． ，的变化情况如下表所示． 单调递减 单调递增 所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增． 当时，有极小值． 思考2：当在上变化时，函数单调递减，函数值是从何值减到？当趋向时，函数值趋向哪个值？ 答：当时，与一次函数相比，指数函数呈爆炸性增长，从而. 思考3：当时，函数趋向什么？导数)趋向什么？ 答：当时，，. 思考4：这个函数图象过哪些特殊的点？比如：与坐标轴的交点、极值点. 答：令，解得． 当时，；当时，． 所以，的图象经过特殊点，，． 思考5：根据上述分析，你能画出函数的大致图象吗？ 答：根据以上信息，画出的大致图象如下图所示． 师生活动：师生共同总结画函数的大致图象的步骤. 总结：画函数的大致图象的步骤： (1)求出函数的定义域； (2)求导数及函数的零点； (3)用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； (4)确定的图象所经过的一些特殊点，以及图象的变化趋势； (5)画出的大致图象. 思考6：你能由图象说出函数的值域与最值吗？ 答：函数的最小值为，无最大值；函数的值域为. 思考7：你能结合图象，得出方程的解吗？ 答：方程的解为. 思考8：如何讨论方程的解的个数？ 师生活动：学生独立完成第小题的解答过程，教师对学生解答中不足的地方进行补充，然后给出完整的解题过程. 答：方程()的解的个数为函数的图象与直线的交点个数. 由及图象可得，当时，有最小值． 所以，关于方程的解的个数有如下结论： 当时，方程的解为个； 当或时，方程的解为个； 当时，方程的解为个 总结：讨论方程的解的个数，主要利用函数与方程思想，数形结合，借助函数的图象，将直线与定义域的端点值和极值等进行综合比较. 设计意图：通过解决探究问题，让学生由画图过程提炼作图的基本步骤，理清这些步骤与求函数单调性、极值等问题的步骤之间的联系，体会如何利用导数解决函数问题，以及导数能解决哪些函数问题. 任务三：利用导数解决生活中的优化问题 探究：饮料瓶大小对饮料公司利润的影响 师生活动：教师引导学生思考生活中的问题： (1)你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ (2)是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？ 问题：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是分，其中单位：是瓶子的半径，已知每出售的饮料，制造商可获利分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为． 瓶子半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ 瓶子半径多大时，每瓶饮料的利润最小？ 师生活动：教师提出问题，让学生读题理解题意，然后引导学生分析思考. 思考1：如何利用函数表示每瓶饮料的利润？ 答：每瓶饮料的利润 的饮料获利瓶子的容积瓶子的制造成本，即： ，． 思考2：如何求这个函数的最大(小)值？ 师生活动：学生尝试利用导数的方法求函数的最值，教师评价并给出完整的解题过程. 答：由题意可知，每瓶饮料的利润是 ，． 所以． 令，解得． 当时， 当时，． 因此，当半径时，，单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径时，，单调递减，即半径越大，利润越低． 半径为时，利润最大． 半径为时，利润最小，这时， 表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值． 思考3：换一个角度：如果不用导数工具，直接从函数的图象(如下图)上观察，你有什么发现？ 答：从图象上容易看出，当时，，即瓶子的半径是时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当时，利润才为正值. 思考4：当时，单调递减，你能解释它的实际意义吗？ 答：当时，单调递减，即饮料的利润随饮料瓶的成本的增加而不断减少，且利润一直是负值. 总结：1.根据探究的结果，得到开始的两个问题的结论： (1)市场上等量的小包装的物品，由于其成本比大包装的高，要想保持一定的利润，就需要提高其销售价格，所以比较起来等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些； (2)饮料瓶越大，饮料公司的利润越大. 2.最优化问题的概念： 在生活中，常常遇到求使经营利润最大、用料最少、费用最少、生产效率最高等问题，这些问题统称为最优化问题. 3.解决最优化问题的基本思路 最优化问题用函数表示成数学问题用导数解决数学问题最优化问题的答案. 4.用导数解决最优化问题的一般步骤 (1)找关系：分析实际问题中变量之间的关系； (2)列模型：列出实际问题的数学模型； (3)写关系：写出实际问题中变量之间的函数关系； (4)求导：求函数的导数，解方程； (5)比较：比较函数在区间端点和使的点处的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值； (6)根据比较写出答案. 设计意图：通过实例让学生了解导数在实际问题中的应用，理解并掌握用导数求函数最大（小）值的一般方法，具有明确的步骤性和可操作性. （三）应用举例 例1：已知函数 讨论函数的单调性 求证：当时，． 师生活动：教师出示例题，学生独立完成求解过程，教师点评. 分析：求出函数的导数，通过讨论的范围，求出函数的单调区间即可； 当时，，则原问题转化为证明恒成立，设，，由导数判断函数的单调性，进而求最值证明即可． 解：因为，所以，， 当时，，在上单调递减； 当时，由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，， 要证明，只要证，即证， 设，，则， 令得， 列表得 减 极小值 增 所以，即， 所以．  例2：设函数． 求函数的单调区间． 若方程有且仅有三个实根，求实数的取值范围． 师生活动：教师出示例题，学生尝试独立完成求解过程，教师对学生的完成情况进行点评. 分析：，解和 的解集即可； 先求极值点，判断单调性，然后根据图形，判定轴与图象有三个交点时的位置，从而列不等式组求解即可． 解： ，当时，或 当时，． 所以的单调递增区间为、，单调递减区间为； 由知，函数在单调递增，单调递减，单调递增，根据函数的图象特征及方程有且仅有三个实根，可知极大值大于，极小值小于（如下图所示）， 即 ，解得． 设计意图：通过例题的解答，巩固利用导数求函数最值的方法，提高学生的综合运用能力，发展学生的数学结合、分类讨论、数学运算等核心素养. （四）课堂练习 1.某莲藕种植塘每年的固定成本是万元，每年最大规模的种植量是万斤，每种植斤莲藕，成本增加元，销售额单位：万元与莲藕种植量单位：万斤满足，要使销售利润最大，每年需种植莲藕(    ) A. 万斤 B. 万斤 C. 万斤 D. 万斤 【答案】A  解：设销售利润为， 则 ， 所以， 令得，令得， 可知 在 上单调递增，在上单调递减， 所以当时，销售利润最大． 故选：． 2.关于函数说法正确的是(    ) A. 没有最小值，有最大值 B. 有最小值，没有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 没有最小值，也没有最大值 【答案】A  解：函数的定义域为， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，没有最小值， 故选：． 3.函数的零点有          个 【答案】  解：，故， 若时，若时，， 故函数在和上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值， 函数的极小值， 所以在上，恒成立， 又因为， 所以， 所以在上，有且仅有一个零点，且， 综上知：函数共有个零点． 故答案为：． 4.求证：； 【答案】解：记，因为，所以当时，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 记，因为，所以当时，， 当时，所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，即  设计意图：通过课堂练习，检验学生对本节所学内容的掌握情况. （五）归纳总结 回顾本节课的内容，你都学到了什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$