4.4 两个相似三角形的判定 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

4.4 两个相似三角形的判定 同步练习 一、选择题：本题共16小题，每小题3分，共48分。 1.如图，在中，，，，点是的重心，连接交于，于，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.如图，在中，，分别是边，上的中线，与相交于点，则的周长与的周长之比为(    ) A. B. C. D. 3.如图，是的边上一点，下列条件中，不能判定与相似的是(    ) A. B. C. D. 4.如图，在菱形中，，为的中点，交于点，且，则的长为(    ) A. B. C. D. 5.如图，已知，，，将沿图中的剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在中，点在边上，连接，交于点，若，则的面积与的面积之比为  (    ) A. B. C. D. 7.如图，在中，，分别是和上的点，．若，则(    ) A. B. C. D. 8.下列命题中，是假命题的是(    ) A. 各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形 B. 各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形 C. 各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形 D. 两个等腰直角三角形是相似三角形 9.如图，在中，点，分别在，边上，且若，，则下列说法错误的是(    ) A. B. C. D. 10.如图，，与相交于点，：：，下列选项错误的是(    ) A. ：： B. 与的周长比是： C. 与的面积比是： D. 11.如图，在中，，分别为，边的中点，，连接，交于点，若，则的长为(    ) A. B. C. D. 12.如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是(    ) A. B. C. D. 13.如图，中，，，，一动点从出发沿着方向以的速度运动，另一动点从出发沿着方向以的速度运动，、两点同时出发，运动时间为，当与相似时，运动时间的值为(    ) A. B. C. 或 D. 或 14.如图，设是四边形的对角线、的交点，若，且，，，，则(    ) A. B. C. D. 15.如图，四边形中，，对角线，交于点，过点作分别交，于点，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 16.如图，在▱中，对角线，相交于点，，，点为延长线上一点，连接交于点若，则的长度为(    ) A. B. C. D. 二、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在中，点，分别在，上，且：：：求：的值． 18.本小题分 如图，已知和，请写出三种不同类型的能判定∽的条件． ______； ______； ______． 19.本小题分 如图，在平行四边形中，为上的点，连接交于点求证：． 20.本小题分 如图，在正方形中，为的中点，是上一点，且，求证：是直角三角形． 21.本小题分 如图，在四边形中，连接，，点是上一点，且求证：． 22.本小题分 如图，在中，为、中点，直线交于点． 求证：≌，． 若，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：如图，连接并延长交于， 点是的重心， ，即， ， ， ， ， ， 又， ∽， ， ， ， 故选：． 连接并延长交于，由重心的性质可知，可得，由，，可得，进而可证明出∽，可得到，代入数据即可求出的长． 本题考查了重心的性质、相似三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解答本题的关键． 2.【答案】  【解析】解：点是，边上的中线，的交点， 是的中位线， ，， ∽， 所以 故选：． 3.【答案】  【解析】解：是的边上一点，是公共角， 当或时，与相似， 故A与B正确，不符合题意； 当时，与相似， 故C正确，不符合题意； 当时，不是夹角， 故不能判定与相似， 故D错误，符合题意． 故选：． 由是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得C正确，继而求得答案． 本题考查相似三角形的判定，掌握三角形相似的判定方法是解题的关键． 4.【答案】  【解析】解：菱形， ，，，， ，，， ，∽， ，即， ， 设，则，， ，， ∽， ，即， 解得，或舍去， 故选：． 由菱形，可以证明，∽，则，可求，设，则，，证明∽，则，即，计算求出满足要求的解即可． 本题考查了菱形的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质．熟练掌握菱形的性质，等角对等边，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 5.【答案】  【解析】本题考查了相似三角形的判定，根据相似三角形的判定逐一判断即可．熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：、，，，故 A不符合题意； B、，，，故不符合题意； C、由图形可知，，， ，， ， ， ，故 C不符合题意； D、由已知条件无法证明与相似，故 D符合题意， 故选：． 6.【答案】  【解析】，，四边形为平行四边形，，，，，∽，故选C． 7.【答案】  【解析】，∽，，，故选D． 8.【答案】  【解析】A.三个角分别为，，的三角形与三个角分别为，，的三角形不相似，故A符合题意；各有一个角是的两个等腰三角形都是等边三角形，它们是相似三角形，故B不符合题意；各有一个角是的两个等腰三角形是相似三角形，故C不符合题意；两个等腰直角三角形是相似三角形，故D不符合题意．故选A． 9.【答案】  【解析】解：，，， ∽， ， 故A正确； ， 故C正确； ， ， 故B正确； ， ， ， 故D错误， 故选：． 由，证明∽，而，，所以，则，可判断A正确，C正确；由，根据平行线分线段成比例定理得，可判断B正确；由，得，则，可判断D错误，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：已知， ∽， ， ：：已知， ：：，所以选项A不正确，符合题意； 与的周长比是：，所以选项B正确，不符合题意； 与的面积比是：，所以选项C正确，不符合题意； ，所以选项D正确，不符合题意； 故选：． 先证明∽，结合：：，利用相似三角形的性质逐一判断即可． 此题主要考查相似三角形的判定和性质，关键是相似三角形判定定理的应用． 11.【答案】  【解析】解：， ， ，分别为，边的中点， ，且， ， ， 又， ， 故选：． 根据三角形中位线定理结合推出，再根据平行线分线段成比例求解即可． 本题考查了三角形中位线定理，平行线分线段成比例，熟记三角形中位线定理，平行线分线段成比例是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：， 当添加时，∽，所以选项不符合题意； 当添加时，则，∽，所以、选项不符合题意； 当添加时不能判断∽，所以选项符合题意． 故选：． 利用“有两组角对应相等的两个三角形相似”对、、选项进行判断；根据“两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似”对选项进行判断． 本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似． 13.【答案】  【解析】解：运动时间为，则，， ， 当与相似时，有或， 当时，则有， 即， 解得； 当时，则有， 即， 解得． 综上可知，当点、同时运动秒或秒后，与相似， 故选：． 运动时间为，则得到，，当与相似时，有或，列方程即可得到结论． 本题主要考查相似三角形的判定，只有相似没有对应时应分情况讨论．注意方程思想的运用，用时间表示出线段的长度，化动为静是解决这类问题的思路． 14.【答案】  【解析】解：过点作，交的延长线于， ， ， ， 又， ∽， ， ，，， ， ， ， ∽， ， ， ， 故选：． 过点作，交的延长线于，根据平行线的性质得到，进而求出，结合，根据“两角对应相等的两个三角形相似”求出∽，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的判定与性质求解即可． 本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键． 15.【答案】  【解析】解：四边形中，，对角线，交于点，过点作分别交，于点，， ， ∽， ， ， ， ， ， ∽，∽， ，， ， ， ． 故选：． 先证明∽，，则，，再证明∽，∽，得，，从而得到，求得，即可由求解． 本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：四边形是平行四边形，，，， ， ， 是直角三角形，且， ， 四边形是菱形， 如图，过点作，交于点， 则， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ∽， ，即， ， 故选：． 由平行四边形的性质得，再由勾股定理的逆定理得是直角三角形，且，则，证出平行四边形的形状是菱形，过点作，交于点，则，得，由菱形的性质得，，再证，得，证明∽，然后由相似三角形的性质即可得出结论． 本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的判定与性质、平行四边形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 17.【答案】：的值为．  【解析】解：，， ∽， ， ， ， ， ：的值为． 由，，证明∽，则，所以，则，求得，所以：的值为． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键． 18.【答案】；   ，；  ，．  【解析】； ， ∽， 故答案为：； ，； ，， ∽， 故答案为：，； ，； ，， ∽， 故答案为：，． 根据三边对应成比例的两个三角形相似；两角对应相等的两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，据此即可得出答案． 本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 19.【答案】证明见解答．  【解析】证明：四边形是平行四边形，为上的点， ， ∽， ． 由平行四边形的性质推导出，则∽，所以． 此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，推导出，进而证明∽是解题的关键． 20.【答案】见解析．、  【解析】证明：设正方形的边长为， 为的中点，是上一点，且， ， ， ， 同理可得，， ， 是直角三角形． 设正方形的边长为，先求出，，则，再利用勾股定理得到，，，则，据此利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形． 本题主要考查了正方形的性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，正确进行计算是解题关键． 21.【答案】证明见解答．  【解析】证明：设交于点， ， ， ， ， ， ， ， ∽， ， ． 设交于点，由，推导出，因为，所以，而，则，即可证明∽，得，则． 此题重点考查三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽是解题的关键． 22.【答案】证明见解答；   的长是．  【解析】证明：为、中点， ，， 在和中， ， ≌， ， ． 解：由得≌， ， ， ， 的长是． 由为、中点，得，，而，即可根据“”证明≌，得，则； 由全等三角形的性质得，因为，所以． 此题重点考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明≌是解题的关键． 第6页，共18页 学科网（北京）股份有限公司 $$