1.5 全称量词与存在量词 课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5.1 全称量词与存在量词 1.5.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 1 思 考 ？ 引入 下列语句是命题吗? 比较(1)和(3), (2)和(4),它们之间有什么关系? (1)x>3； (2)2x+1是整数； (3)对所有的x∈R，x>3； (4)对任意一个x∈Z，2x+1是整数. 教材P26思考，教材P27思考 量词：对变量的取值范围进行限定的短语 下列语句是命题吗? 比较(1)和(3), (2)和(4),它们之间有什么关系? (1)2x+1=3； (2)x能被2和3整除； (3) 存在一个x∈R, 使2x+1=3； (4)至少有一个x∈Z, x能被2和3整除. 2 一、全称量词与全称量词命题 所有的、任意一个、每一个、一切、任给等 表示整体或全部含义的词语，用符号“∀”表示. 1. 全称量词: 含有全称量词的命题. 2. 全称量词命题: 3. 全称量词命题“对M中任意一个x，p(x)成立”可用符号简记为: ∀x∈M，p(x) 如：∀x∈R，x>3 ∀x∈Z，2x+1是整数 3 二、存在量词与存在量词命题 存在、有些、至少有一个、对某些、有的，等 表示个体或一部分的词语，用符号“∃”表示. 1. 存在量词: 含有存在量词的命题. 2. 存在量词命题: 3. 存在量词命题“存在M中的元素x，p(x)成立”可用符号简记为: ∃x∈M，p(x) 如：∃x∈R，2x+1=3 ∃x∈Z，x能被2和3整除 4 新知巩固 例1 判断下列全称量词命题的真假: (1)所有的素数都是奇数； (2)∀x∈R, |x|+1≥1； (3)对任意一个无理数x, x2也是无理数. 全称量词命题真假的判断： (1)要判定一个全称量词命题为真,需保证该命题对所有的元素都成立; (2)要判定一个全称量词命题为假,只需举出一个反例即可. 如果一个大于1的整数, 除1和自身外无其他正因数, 则称这个正整数为素数. 5 新知巩固 例2 判断下列存在量词命题的真假: (1)有一个实数x, 使x2+2x+3=0； (2)平面内存在两条相交直线垂直于同一条直线； (3)对任意一个无理数x, x2也是无理数. 存在量词命题真假的判断： (1)要判定一个存在量词命题为真,只需在给定的范围内找到一个元素使命题成立即可; (2)要判定一个存在量词命题为假,需保证该命题对所有的元素都不成立. 6 新知巩固 指出下列命题中哪些是全称量词命题, 哪些是存在量词命题, 并判断真假. (1)有的三角形没有外接圆； (2)对任意正数a,b,c,若a2+b2=c2, 则a,b,c可以是一个直角三角形的三条边； (3)至少有一个实数x0, 使得x02+1<0； (4)对角线互相垂直的四边形是菱形. 规律方法：判断命题是全称量词命题还是存在量词命题的方法是什么? (1)分析命题中是否含有量词; (2)分析量词是全称量词还是存在量词; (3)若命题中不含量词, 要根据命题的意义去判断. 7 新知巩固 教材P28练习 8 新知巩固 教材P31习题1.5 9 例题讲练 概念辨析 1.判断正误(正确的打“√”, 错误的打“×”). (1)全称量词表示对象的数量是无限的. ( ) (2)全称量词命题必须含有全称量词. ( ) (3)短语“至少有一个”是存在量词. ( ) (4)“2x+3>1”是存在量词命题. ( ) 2.“三角形内角和等于360°”是__________(填“全称量词”或“存在量词”)命题且是_______(填“真”或“假”)命题. “至多有一个”? “都不是”与“不都是”是不是全称量词? 10 例题讲练 ——全称量词命题及其真假的判断 题型 2. 用符号“∀”表示下列命题, 并判断真假: (1)实数的平方大于或等于0; (2)正数的绝对值是它本身. 1. (多选)下列命题是全称量词命题且为真命题的是 ( ) A. 一切实数均有相反数 B.∀a∈N, 方程 ax+1=0都有实数根 C. 等腰梯形的对角线相等 D. π是无理数 11 例题讲练 ——存在量词命题及其真假的判断 题型 2. 判断下列命题是否为存在量词命题,并判断真假: (1) ∃α,β∈R, (α－β)2= (α+β)2; (2)某个四边形不是平行四边形; (3)方程3x－2y=10有整数解; (4)有一个实数x, 使x2+2x+4=0. 1. (多选)下列命题中,既是存在量词命题又是真命题的有 ( ) A. 至少有一个实数x, 使x3+1=0 B. 所有正方形都是矩形 C. ∃x∈R,使x2－x+ ≤0 D. ∃x∈R,使x2+2x+2=0 12 例题讲练 ——全程量词命题与存在量词命题的应用 题型 思考1. 若把本例中命题p改为“∃x∈A, x∈B”,求m的取值范围. 例 已知集合A={x|－2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m－1},且B≠Ø. 若命题p: ∀x∈B, x∈A是真命题,求实数m的取值范围. 13 例题讲练 ——全程量词命题与存在量词命题的应用 题型 例 已知集合A={x|－2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m－1},且B≠Ø. 若命题p: ∀x∈B, x∈A是真命题,求实数m的取值范围. 思考2. 把本例中命题p改为“∀x∈A, x∈B”,是否存在实数m,使命题p是真命题?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,说明理由. 【探究训练】 若存在x∈{x|x≥ },使2x+a<0, 求实数a的取值范围. 14 三、全称量词命题和存在量词命题的否定 对一个命题进行否定, 得到的新命题称为原命题的否定. 记命题p的否定为p 1. 命题的否定: “” 表示否定, 反面的意思. 注意：一个命题和它的否定只能一真一假, 不能同真同假. 原命题 命题的否定 56是7的倍数 56不是7的倍数 空集是集合A的真子集 空集不是集合A的真子集 15 新知探究 教材P29探究 写出下列命题的否定: (1)所有的矩形都是平行四边形; (2)每一个素数都是奇数; (3)∀x∈R, x+|x|≥0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 并非所有的矩形都是平行四边形 存在矩形不是平行四边形 并非每一个素数都是奇数 存在素数不是奇数 ∃x∈R, x+|x|<0 全称量词命题的否定是存在量词命题 ∀x∈M, p(x) 全称量词命题: ∃x∈M, p(x) 它的否定: 用符号“p(x)”表示“p(x)不成立” 并非所有的x∈R, x+|x|≥0 16 新知探究 教材P30探究 写出下列命题的否定: (1)存在一个实数的绝对值是正数; (2)有些平行四边形是菱形; (3)∃x∈R, x2－2x+3=0. 它们与原命题在形式上有什么变化? 不存在一个实数的绝对值是正数 所有实数的绝对值都不是正数 没有一个平行四边形是菱形 每一个平行四边形都不是菱形 ∀x∈R, x2－2x+3≠0 存在量词命题的否定是全称量词命题 ∃x∈M, p(x) 存在量词命题: ∀x∈M, p(x) 它的否定: 不存在x∈R, x2－2x+3=0 17 三、全称量词命题和存在量词命题的否定 2. 全称量词命题与存在量词命题的否定: 命题 命题的否定 ∀x∈M, p(x) ∃x∈M, p(x) ∃x∈M, p(x) ∀x∈M, p(x) 一真一假 18 三、全称量词命题和存在量词命题的否定 2. 常用的否定关系: 一些常用词语和它的否定词语对照表： 正面词语 否定 是 不是 等于 不等于 大于(>) 不大于(≤) 小于(<) 不小于(≥) 都(全) 不都(不全) 正面词语 否定 至少有n个 至多有n个 p或q p且q 任意的(∀) 至多有n－1个 至少有1个 至少有n+1个 p且q p或q 某些(∃) 19 例题讲解 例3 写出下列全称量词命题的否定: (1)所有能被3整除的整数都是奇数; (2)每一个四边形的四个顶点在同一个圆; (3)对任意x∈Z, x2的个位数字不等于3. 教材P29例3、 P30例4 存在能被3整除的整数不是奇数 存在一个四边形的四个顶点 不在同一个圆上 对角互补的四边形的四个顶点共圆. 假 存在x∈Z, x2的个位数字等于3 例4 写出下列存在量词命题的否定: (1)∃x∈R, x+2≤0; (2)有的三角形是等边三角形; (3)有一个偶数是素数. ∀x∈R, x+2>0 所有的三角形都不是 等边三角形 任意一个偶数都不是素数 20 例题讲解 例5 写出下列命题的否定, 并判断真假: (1)任意两个等边三角形都相似; (2)∃x∈R, x2－x+1=0. 教材P31例5、练习T1,T2 存在两个等边三角形不相似 ∀x∈R, x2－x+1≠0. 假 ∃n∈Z, n∉Q 存在一个奇数,它的平方不是奇数 存在一个平行四边形不是中心对称图形 练 习 所有三角形都不是直角三角形 所有梯形都不是等腰梯形 任意实数的绝对值都是正数 真 21 例题讲解 3. 写出下列命题的否定: (1)∀x∈Z, |x|∈N; (2)所有可以被5整除的整数, 末尾数字都是0; (3)∃x∈R, x+1≥0; (4)存在一个四边形, 它的对角线互相垂直. 教材P31习题1.5 T3,T4 ,T5 4. 判断下列命题的真假, 并写出这些命题的否定: (1)平面直角坐标系下每条直线都与x轴相交; (2)每个二次函数的图象都是轴对称图形; (3)存在一个三角形, 它的内角和小于180°; (4)存在一个四边形, 它的四个顶点不在同一个圆上. 22 例题讲解 5. 将下列命题改写成含有一个量词的全称量词命题或存在量词命题的形式, 并写出它们的否定: (1)平行四边形的对角线互相平分; (2)三个连续整数的乘积是6的倍数; (3)三角形不都是中心对称图形; (4)一元二次方程不总有实数根. 教材P31习题1.5 T3,T4 ,T5 23 例题讲练 概念辨析 2.命题“∃a∈R,使一次函数y=x+a的图象经过原点”的否定为_________ _________________________. 1.判断正误(正确的打“√”, 错误的打“×”). (1) 存在量词命题的否定一定是全称量词命题. ( ) (2) 对全称量词命题或存在量词命题进行否定时,只否定其结论即可.( ) (3) 短语“都是”的否定短语是“都不是”. ( ) (4) 短语“至少有一个”的否定短语是“至多有两个”. ( ) 24 例题讲练 ——全称量词命题的否定 题型 1.命题“∀x∈R, －2x+4≤0”的否定是_________________________. 2.写出下列全称量词命题的否定, 并判断所得命题的真假: (1)每一个四边形的四个顶点共圆; (2)对任意x∈Z, x2的个位数字都不等于1; (3)每个三角形至少有两个锐角. 例题讲练 ——存在量词命题的否定 题型 1.命题p:有些三角形是等腰三角形的否定是 ( ) A.有些三角形不是等腰三角形 B.所有三角形都是等腰三角形 C.所有三角形都不是等腰三角形 D.所有三角形都是等腰三角形 2.写出下列存在量词命题的否定,并判断所得命题的真假: (1)存在x∈R, 2x+1≥0; (2)存在x∈R, x2－x+ <0; (3)有些分数不是有理数. 例题讲练 ——全称量词命题与存在量词命题的否定的应用 题型 例 已知命题p:存在x>1, 使得2x+a<3是假命题, 求实数a的取值范围. 27 例题讲练 题型 例 已知命题p:存在x>1, 使得2x+a<3是假命题, 求实数a的取值范围. 思考1.当直接判断一个命题的真假困难时, 我们可将原命题做怎样的转化? 思考2.若把本例中的“假命题”改为“真命题”,则实数a的取值范围是怎样的? ——全称量词命题与存在量词命题的否定的应用 28 例题讲练 题型 例 已知命题p:存在x>1, 使得2x+a<3是假命题, 求实数a的取值范围. 思考3.若把本例中的命题p改为“存在x∈R, ax2+3x+3≤0”, 则实数a的取值范围是怎样的? ——全称量词命题与存在量词命题的否定的应用 29 例题讲练 【探究训练】 若命题“∀x∈R, x2－2x+m≠0”为假命题, 求实数m的取值范围. > ∃x∈R < 数形结合 30 含参不等式恒成立求参数取值范围的常见处理方法： ①先看是不是“形如二次不等式ax2+bx+c＞0对x∈R恒成立”, 若是，则用判别式△法： ②若不是第一类,则尽可能分离参数，转发为最值问题——最值法： (若不等式有等号，则判别式△也有等号.) 含参不等式能成立(有解)问题,类似处理,但要注意△和最值结论不一样. 二次项系数 31 含参不等式能成立求参数取值范围的常见处理方法： ①先看是不是“形如二次不等式ax2+bx+c＞0对x∈R能成立”, 若是，则用判别式△法： ②若不是第一类,则尽可能分离参数，转发为最值问题——最值法： (若不等式有等号，则判别式△也有等号.) 32 双变量任意性与存在性问题的处理策略： 33 双变量任意性与存在性问题的处理策略： 双变量任意性与存在性问题的处理策略： 值域交集非空 值域:“任意”包含于“存在” (1)[1/2, 4/3] (2) (-∞，-1] 35 36 $$