4.3 相似三角形 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

4.3 相似三角形 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.若∽，相似比为：，则对应高的比为(    ) A. ： B. ： C. ： D. ： 2.若一个三角形的三边长之比为，与它相似的一个三角形的最长边的长为，则其余两边长的和为(    ) A. B. C. D. 3.已知∽，：若，则 的长为  (    ) A. B. C. D. 4.如图，已知∽，其中，，则  (    ) A. B. C. D. 5.如图，∽，若，，，则的长是(    ) A. B. C. D. 6.如图，在等腰三角形中，，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为，的面积为，则四边形的面积为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在▱中，为边上的点，若：：，交于，则：等于(    ) A. ： B. ： C. ：D. ： 8.如图，、分别是的边、上的点，且，、相交于点，若：：，则：的值是  ． A. ： B. ： C. ： D. ： 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.已知的三边长分别为，，，与它相似的的最小边长为，则的周长为          ． 10.在中，，，，另一个与它相似的三角形的最短边长为，则它的周长为           ． 11.如图是一个边长为的正方形组成的网格，与都是格点三角形顶点在网格交点处，并且∽，则与的相似比是          ． 12.如图，中，，，点与点在直线的同侧，且，，点是线段延长线上的动点，当和相似时，线段的长为______． 13.如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点若在轴上有一点不与重合，使，，三点构成的三角形与相似，则点的坐标为________． 14.如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，若与相似，则的长是______． 15.如图，中，，，点为边上一动点不与、重合，过点的直线与的两条边相交，将分割成一个与相似的三角形和一个四边形，若这样的直线有三条，则的取值范围是          ． 16.如图，已知直角坐标系中四点、，分别过、作、垂直于轴于、设是轴上的点，且、、所围成的三角形与、、所围成的三角形相似，请写出所有符合上述条件的点的坐标是          ． 三、解答题：本题共6小题，共52解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，在矩形中，点，分别在边，上，∽， ，，，求的长． 18.本小题分 如图，已知∽，，，，，，求： 和的度数； 的长． 19.本小题分 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目．跷跷板支柱的高度为． 若吊环高度为，支点为跷跷板的中点，狮子能否将公鸡送到吊环上？为什么？ 若吊环高度为，在不改变其他条件的前提下移动支柱，当支点移到跷跷板的什么位置时，狮子刚好能将公鸡送到吊环上？ 20.本小题分 某社区拟筹资金元，计划在一块上、下底分别是，的梯形空地上种植花木如图所示，他们想在和地带种植单价为元平方米的太阳花．当地带种满花后，已经花了元，请你预算一下，若继续在地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由． 21.本小题 如图，在中，是的延长线上一点，与交于点，． 求证：∽； 若的面积为，求的面积． 22.本小题 如图，在平行四边形中，为边上一点，连接，为线段上一点，且B. 求证：∽ 若，，，求的长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质，正确记忆相关性质是解题关键．直接利用相似三角形对应高的比等于相似比进而得出答案． 【解答】 解：∽，相似比为：， 对应高的比为：：． 故选A． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】解：∽，：：， ：：， ， ， 故选B． 根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方求得相似比后即可求得线段的长． 此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是了解相似三角形的面积的比等于相似比的平方，难度不大． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】【分析】 此题主要考查了相似三角形的性质，正确得出对应边之间关系是解题关键． 直接利用相似三角形的性质，得出   ，进而得出答案． 【解答】 解：因为 ∽，所以    ，即   ，解得． 所以的长是． 6.【答案】  【解析】如图所示， 根据题意得∽， ， 设，则， ，解得． ． 四边形的面积为． 易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错． 7.【答案】  【解析】【分析】       根据：：和，证明：：，根据，得到：：，得到答案．       本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形的性质，灵活运用平行四边形的性质定理和相似三角形的性质定理是解题的关键． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ，， ：：， ：：， ， ：：：， 故选：． 8.【答案】  【解析】【分析】 根据可得到∽和∽，再根据相似三角形的性质即可得出，再根据同高三角形的面积比等于底之比即可求出． 【详解】 ∽，∽ ：： ：： 故答案选A． 【点睛】 本题主要考察了相似三角形的性质，准确记住面积比等于相似比平方是解题关键． 9.【答案】  【解析】略 10.【答案】  【解析】【分析】 略 【解答】 略 11.【答案】  【解析】略 12.【答案】或  【解析】解：和相似，，，，， ， 或 即或 解得，或 故答案为：或． 根据题目中的条件和相似三角形的性质，可以求得的长，本题得以解决． 本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答． 13.【答案】或或  【解析】【分析】 本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键． 先求出，两点的坐标，再根据∽，∽两种情况进行讨论． 【解答】 解：直线与轴交于点，与轴交于点， ，． 当∽时， ，即， ， 点与点不重合 点的坐标为； 当∽时， ，即，解得， 或． 综上所述，或或． 故答案为：或或． 14.【答案】或或  【解析】【分析】 本题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质，分∽及∽两种情况，找出关于长的分式方程是解题的关键．利用等边三角形的性质可得出，，设，则，分∽及∽两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论． 【解答】 解：等边的边长为， ，． 设，则． 与相似分两种情况： 当∽时，， 即， 解得：，， 经检验，，均为原方程的解，且符合题意； 当∽时，， 即， 解得：，经检验，是此方程的解，． 综上所述，的长是或或． 故答案为：或或． 15.【答案】或  【解析】解：如图，过点分别作交于点，交于点． ，， ，， ，， ，， ，， 、均是等腰三角形，在上取一点，使得，当点与重合时，易知， 观察图形可知，当时，满足条件， 根据对称性可知，当点靠近点，即时，也满足条件． 综上所述，的取值范围是或． 16.【答案】、、、  【解析】【分析】 本题考查相似三角形的性质．解题的关键是数形结合思想的应用．注意分类讨论，小心别漏解． 需要分情况分析，当点在左边，在与之间，在的右边，通过相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例即可求得． 【解答】 解：设，分三种情况： 若点在的左边，有两种可能： 此时∽，则：：， 则：：， 解得， 点的坐标为； 若∽，则：：， 则：：， 解得：，与假设在点左边矛盾，舍去． 若点在与之间，有两种可能： 若∽，则：：， ：：， 解得：， 点的坐标为； 若∽，则：：， ：：， 方程无解； 若点在的右边，有两种可能： 若∽，则：：， ：：， ， 点的坐标为， 若∽，则：：， ：：， ， 点的坐标为； 点的坐标为、、、． 故答案为：、、、． 17.【答案】  【解析】略 18.【答案】解：∽， ． 在中，． ∽， ，即． ．   【解析】见答案 19.【答案】解：狮子能将公鸡送到吊环上．如图，过作于点当狮子将跷跷板端按到底时可得到． 由∽，得． 又为的中点， 所以， 所以． 因为， 所以． 所以狮子能将公鸡送到吊环上． 支点移到跷跷板的三分之一处，狮子刚好能将公鸡送到吊环上．此时，∽，， 所以．   【解析】当狮子将跷跷板端按到底时可得到，而为的中位线，米， 由于，所以∽有 ，故可求得的值． 本题利用了相似三角形的性质求解． 20.【答案】解：不够用． 理由：在梯形中，，所以∽． 因为，， 所以． 因为， 所以． 还需要资金元， 而剩余资金为，所以资金不够用．   【解析】见答案 21.【答案】解：证明四边形是平行四边形，，． ， ∽． 解四边形是平行四边形，，． ∽，∽． ， ， ． ， ，． ． ．   【解析】见答案。 22.【答案】证明：四边形是平行四边形， ，，  ，  ，， ，  ∽． 四边形是平行四边形，  ， ∽， ，  ．  【解析】见答案 第8页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $$