1.4 充分条件与必要条件课件-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.4.1 充分条件与必要条件 1.4.2充要条件 1 思 考 ？ 引入 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 2 一、命题 用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 注：开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题. 命题: 判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题. 命题的真假: 有些语句中含有变量, 在不给定变量的值之前, 我们无法确定这语句的真假,这样的语句叫开语句. “若p，则q”“如果p，那么q”. 命题的一般形式: 其中p称为命题的条件，q称为命题的结论. p和q间的关系? 原命题“若p,则q”与其逆否命题“若q,则p”等价. 例: 原命题: 若x=1, 则x2=1 逆否命题: 若x2≠1, 则x≠1 3 一、命题 思 考 ？ 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些是真命题? 哪些是假命题? (1)如平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2－4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 教材P17思考 4 一般地，已知命题“若p，则q”，有如下结论： 二、充分条件与必要条件 命题真假 “若p，则q”为真 推理关系 符号表示 条件关系 举例 若x=2，则x2=4.(真) 若两个三角形周长相等， 则这两个三角形全等.(假) “若p，则q”为假 p是q的充分条件 q是p的必要条件 p不是q的充分条件 q不是p的必要条件 由p可以推出q 由p推不出q p有充分的理由使q成立 (有p就有q) q不成立则p必然不成立 （没q就没p） 比较下面两种说法: ①q的充分条件是p ②p的必要条件是q 5 思考： p是q的充分条件 是同一逻辑关系的三种不同描述形式 q是p的必要条件 p q 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件? (1)若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； (2)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； (3)若x2－4x+3=0，则x=1； (4)若平面内两条直线a和b均垂直于直线l，则a∥b. 哪些命题中q是p的必要条件? 6 例题讲解 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件? (1)若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； (2)若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； (3)若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； (4)若x2=1，则x=1； (5)若a=b，则ac=bc； (6)若x，y为无理数，则xy为无理数. 举反例是判断命题为假命题的重要方法. 例1 教材P18例1 7 例题讲解 下列“若p,则q”形式的命题中，哪些命题中q是p的充分条件? (1)若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等； (2)若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； (3)若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形是菱形； (4)若x=1，则x2=1； (5)若ac=bc，则a=b； (6)若xy为无理数，则x，y为无理数. 例2 教材P19例2 8 思考 例1中命题(1): 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形. 该命题给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的充分条件唯一吗?如果不唯一，那么你能再给出几个不同的充分条件吗? 教材P18思考 试一试 填空，使得下列命题为真命题. 若______________________________，则这个四边形是平行四边形. 9 二、充分条件与必要条件 ▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件 [注]p是q的充分条件：是指条件p可推出结论q， 不意味着只有条件p可推出结论q， 即：对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的. 数学的每条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件. 10 思考 例1中命题(1): 若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等. 该命题给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件，即“四边形的两组对角分别相等”. 这样的必要条件唯一吗?如果不唯一，你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他必要条件吗? 教材P19思考 试一试 填空，使得下列命题为真命题. 若四边形是平行四边形，则________________________________. 11 二、充分条件与必要条件 ▲p⇒q：p是q的充分条件，q是p的必要条件 [注]q是p的必要条件：是指条件p可推出结论q， 不意味着条件p只能推出结论q， 即：对给定条件p，由p可推出的结论q是不唯一的. 数学的每条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. 12 逆命题 比较 观察、比较例1和例2中各个命题的条件和结论，你有什么发现? 我们初中学过的勾股定理及其逆定理内容是什么? 勾股定理：如果△ABC为直角三角形，那么a2+b2=c2. 设a,b,c分别是△ABC的三条边，且a ≤ b ≤ c. 勾股定理的逆定理：如果a2+b2=c2. ，那么ΔABC为直角三角形. “若p, 则q” “若q, 则p” 将命题“若p，则q”中的条件p和结论q互换，就得到一个新的命题“若q，则p”，称这个命题为原命题的逆命题. 互为逆命题. 13 新知探究 下列“若p, 则q”形式的命题中, 哪些命题与它们的逆命题都是真命题? (1) 若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2) 若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3) 若一元二次方程ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根，则ac<0； (4) 若A∪B是空集，则A与B均是空集． 思 考 ？ 教材P20思考 如果“若p, 则q”和它的逆命题“若q, 则p”均是真命题, 即: 既有p  q, 又有q  p , 就记作p  q . 哪些命题中的p是q的充分条件?哪些命题中的p又是q的必要条件? 14 三、充要条件 则p是q的充分必要条件，简称充要条件 充要条件: 显然，q也是p的充要条件 15 新知巩固 下列各题中，哪些p是q的充要条件? (1)p: 四边形是正方形，q: 四边形的对角线互相垂直平分； (2) p: 两个三角形相似，q: 两个三角形三边成比例； (3) p: xy>0，q: x>0,y>0； (4) p: x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，q: a+b+c=0(a≠0). 例3 16 新知探究 类比地，有如下定义： p是q的充分不必要条件 引申 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 p q : p q : p q : p q : 17 探究 你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 定义：“四边形的两组对边分别平行” ①“四边形的两组对角分别相等” ③“四边形的一组对边平行且相等” ②“四边形的两组对边分别相等” ④“四边形的对角线互相平分” 根据充要条件可以对某些概念从不同角度给出相互等价的定义 你能给出“两个三角形全等”或“两个三角形相似”的其他形式的定义吗? 思考 四边形是平行四边形 18 充分条件、必要条件与判定定理、性质定理、数学定义的关系 1. 数学中的每一条判定定理的“条件”是该定理成立的充分条件. 2. 数学中的每一条性质定理的“结论”是该定理成立的必要条件. 3. 数学定义都是充要条件，是一种等价关系. 19 例题讲练 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件. 例4 教材P22例4 ——充要条件的证明 分析：设p：d=r ，q：直线l与⊙O相切． 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可. 证明：(1)充分性(pq)： 如图，作OP⊥l 于点P, O P Q l 在直线l上任取一点Q（异于点P），连接OQ． 在Rt△OPQ中，OQ>OP=r． 所以，除点P外直线l上的点都在⊙O的外部， 即直线l与⊙O仅有一个公共点P．所以直线l与⊙O相切． 则OP=d,若d=r,则点P在⊙O上． 直线l和圆有唯一公共点 20 例题讲练 已知：⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d. 求证：d=r是直线l与⊙O相切的充要条件. 例4 教材P22例4 ——充要条件的证明 分析：设p：d=r ，q：直线l与⊙O相切． 要证p是q的充要条件，只需分别证明充分性(pq)和必要性(qp)即可. 直线l和圆有唯一公共点 证明： 若直线l与⊙O相切， O P Q l 不妨设切点为P，则OP⊥l． 因此，d=OP=r． 由(1)(2)可得，d=r是直线l与⊙O相切的充要条件． (2)必要性(qp) 21 例题讲练 证明：如图, AC=BD是梯形ABCD为等腰梯形的充要条件. 3. 教材P22练习T3 ——充要条件的证明 A D B C 22 新知探究 ——条件类型与集合的关系 ①p是q的充分条件： ③p是q的充要条件： p是q的充分不必要条件： p是q的必要不充分条件： 已知p: x∈P，q: x∈Q，则p, q对应的集合满足: ②p是q的必要条件： P Q P(Q) Q P 23 巩固练习 24 25 $$