3.8 弧长及扇形面积 同步练习 2025-2026学年浙教版九年级数学上册

3.8 弧长及扇形面积 同步练习 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 1.如图，为的直径，点在上，若，，则的长为(    ) A. B. C. D. 2.已知圆心角为的扇形面积为，那么扇形的半径为 A. B. C. D. 3.如图所示，点、、在上若，，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 4.如图，将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转，点，的对应点分别为点，，连接，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 5.如图，在半径为的中，点是劣弧的中点，点是优弧上一点，且，下列四个结论：；；扇形的面积为；四边形是菱形．其中正确结论的序号是(    ) A. B. C. D. 6.如图，内接于，若的半径为，，则的长为(    ) A. B. C. D. 7.如图，，，，是上的四点，为的直径，若的半径为，四边形是平行四边形，则的长为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，，分别以，为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.如图，在边长为的正方形中，以点为圆心，以为半径画弧，交对角线于点，则图中阴影部分的面积是____结果保留 10.如图，在扇形中，，点为的中点，交弧于点，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，若，则阴影部分的面积为__________． 11.如图，扇形的圆心角是为，四边形是边长为的正方形，点，，分别在，，上，过作交的延长线于点，那么图中阴影部分的面积为____________． 12.如图，，，是上三点，若，的半径为，则劣弧的长为__________． 13.如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积是____． 14.如图，为半圆的直径，现将一块等腰直角三角板如图放置，锐角顶点在半圆上，斜边过点，一条直角边交该半圆于点若，则的长为__ ． 15.已知点、是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为____． 16.等宽曲线是这样的一种几何图形，它们在任何方向上的直径或称宽度都是相等的，如图，分别以等边的三个顶点为圆心，边长为半径画弧，则弧，弧，弧组成的封闭图形就是“莱洛三角形”莱洛三角形是“等宽曲线”，用莱洛三角形做横断面的滚子，能使载重物水平地移动而不至于上下颠簸若，则此“莱洛三角形”的周长为_________________． 三、解答题：本题共6小题，共52分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分 如图，将绕点顺时针旋转得到已知，，求线段扫过图形阴影部分的面积．结果保留 18.本小题分 如图所示，半圆的直径厘米，，求图中阴影部分的面积． 19.本小题分 如图，半圆的直径，，是半圆的三等分点，求弦，与围成的阴影部分的面积． 20.本小题分 的直径弦于点，且． 判断的形状并证明你的结论； 若，直接写出由优弧以及、围成的扇形的面积为______． 21.本小题分 如图，为半圆的直径，点，在半圆上，，弦，相交于点，且． 求的度数． 求阴影部分弓形的面积． 22.本小题分 如图，是边长为的正方形，其中、、的圆心依次是、、． 求点沿三条圆弧运动到点所经过的路线长； 判断直线与的位置关系，并说明理由． 答案和解析 1.【答案】  【解析】【分析】 本题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理，正确得出的度数是解题关键．直接利用等腰三角形的性质得出的度数，再利用圆周角定理得出的度数，再利用弧长公式求出答案． 【解答】 解：，， ， ， ， ， 的长为． 故选B． 2.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形的面积计算公式的应用，熟记扇形的面积公式是解题的关键把，代入扇形的面积计算公式，计算即可解答． 【解答】 解：设扇形的半径为，  根据题意得，  解得，  所以扇形的半径为． 故选A． 3.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理及扇形的面积公式，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键．先证得是等腰直角三角形，然后根据即可求得． 【解答】 解：， ， 是等腰直角三角形， ， ． 故选C． 4.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的面积的有关知识，连接，，根据旋转可知，推出是等边三角形，得到，推出是等边三角形，得到，得到，根据图形的面积公式即可得到结论． 【解答】 解：连接，，如图， 将半径为，圆心角为的扇形绕点逆时针旋转， ， 是等边三角形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积． 故选A． 5.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了垂径定理、菱形的判定、圆周角定理、解直角三角形，综合性较强．分别根据垂径定理、扇形的面积公式、菱形的判定定理、锐角三角函数的定义对各选项进行逐一判断即可． 【解答】 解：点是劣弧的中点，过圆心， ，故正确； ， ， ， 点是劣弧的中点， ， ， ， ， ，故错误； ， ， ， ， 扇形的面积是， 故正确； ， ， 点是劣弧的中点， ， ， 四边形是菱形， 故正确． 故选D． 6.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意作出辅助线，利用圆周角定理及弧长公式求解是解答此题的关键，连接，，根据圆周角定理求出度数，再由弧长公式即可得出结论． 【解答】 解：如图，连接，， ， ， ． 故选B． 7.【答案】  【解析】【分析】 题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理、平行四边形的性质．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键根据已知条件得到四边形是菱形，推出是等边三角形，得到，根据三角形的内角和得出，即可求出弧长． 【解答】 解：四边形是平行四边形，， 四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， ． 故选A． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是看出图中阴影部分的面积为两个半圆的面积三角形的面积．观察图形发现：阴影部分的面积两个半圆的面积直角三角形的面积． 【解答】 解：设各个部分的面积为：、、、、， 如图所示： 两个半圆的面积和是：，的面积是，阴影部分的面积是：， 图中阴影部分的面积为两个半圆的面积减去三角形的面积． 即阴影部分的面积． 故选B． 9.【答案】  【解析】【分析】 本题考查扇形的面积的计算，正方形的性质等知识，解题的关键是学会用分割法求阴影部分面积根据计算即可． 【解答】 解： ， ． 故答案为． 10.【答案】  【解析】【分析】 连接、，根据点为的中点可得，继而可得为等边三角形，求出扇形的面积，最后用扇形的面积减去扇形的面积，再减去即可求出阴影部分的面积． 【详解】 解：连接、， 点为的中点， ，， 为等边三角形，  ，   ， ， ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查扇形的面积计算，解题的关键是掌握扇形的面积公式：． 11.【答案】  【解析】【分析】 先根据正方形的性质求出，从图中可看出阴影部分的面积等于矩形的面积．然后依面积公式计算即可． 【详解】 连接， 则， 根据题意可知，阴影部分的面积长方形的面积． ． 故答案为：． 【点睛】 本题考查不规则图形面积的计算，正方形的性质，关键是怎样将不规则图形转化为规则图形． 12.【答案】  【解析】【分析】 在优弧上取一点，连接，，根据圆内接四边形的性质得到，根据圆周角定理得到，根据弧长的公式即可求解． 【详解】 解：在优弧上取一点，连接，， ， ， ， 劣弧的长． 故答案为：． 【点睛】 本题考查弧长的计算，圆内接四边形的性质，圆周角定理，解题的关键是正确的作出辅助线． 13.【答案】  【解析】【分析】 此题考查了三角形的面积，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积的计算，连接，分别求出三角形的面积，三角形的面积，扇形的面积，即可得到图中阴影部分的面积． 【解答】 解：如图，连接， 在中，，， ，， 三角形的面积为：， ， ， ， 扇形的面积为：， ，， 上的高为， ， 三角形的面积为：， 图中阴影部分的面积是：， 故答案为． 14.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，，根据圆周角定理可得出，可得，利用弧长公式计算即可． 【解答】 解：连接，， ， ， ， ， ． 故答案为 ． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了扇形面积的计算，解题的关键是学会把求不规则图形面积转化为求规则图形的面积，属于中考常考题型．连接、、，利用等底等高的三角形面积相等可知，利用扇形的面积计算即可． 【解答】 解：如图连接、、，如图所示， 点、是以为直径的半圆上的三等分点，弧的长为， ，圆的半周长， ， 的面积的面积， ． 故答案为 16.【答案】  【解析】【分析】 由题意可知，此“莱洛三角形”的周长是半径为，圆心角为的三条弧的长度和，计算即可． 【详解】 解：是等边三角形， ， ， 此莱洛三角形的周长为： 故答案为：． 【点睛】 本题考查了等边三角形的性质和扇形的弧长计算公式，读懂材料，理解题意是解题关键． 17.【答案】解：如图   【解析】本题考查了扇形面积的计算和阴影部分的面积，将阴影部分面积转化为两扇形面积的差是解题的关键由于将绕点旋转得到，可见，阴影部分面积为扇形减扇形，分别计算两扇形面积，再计算其差即可． 18.【答案】解： 连接， 在中， ，， 为等腰直角三角形， ，且为的中点， ， ， 又平方厘米， 平方厘米， 平方厘米．  【解析】本题主要考查扇形的面积以及三角形的面积． 连接，在中，由于，，可得为等腰直角三角形， 从而可知，且为的中点，于是，进而可以表示出阴影部分的面积等于，分别计算出扇形以及的面积，即可求得结果． 19.【答案】解：连接，，， ，是半圆的三等分点， ， ，， ， 的面积的面积， 弦，与围成的阴影部分的面积扇形的面积  【解析】连接，，，证明，得到的面积的面积，根据扇形面积公式计算即可． 本题考查的是扇形面积计算，平行线的性质，三角形的面积公式，掌握扇形面积计算公式：是解题的关键． 20.【答案】是等边三角形， 理由如下：直径弦， ， ， ， ， ， 是等边三角形； ．  【解析】解：见答案； 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 优弧以及、围成的扇形的面积， 故答案为：． 【分析】 根据垂径定理得到，根据圆心角，弦，弧的关系得到，结合题意得到，根据等边三角形的定义证明结论； 根据圆周角定理得到，根据直角三角形的性质求出圆的半径，根据扇形面积公式计算即可． 本题考查的是圆周角定理，垂径定理，扇形面积计算，掌握垂径定理，扇形面积公式是解题的关键． 21.【答案】解：为半圆的直径，在半圆上， ， 又， 为等腰直角三角形， ； 如图： 连接，， ， ， ， ， ， ， 所以阴影部分弓形的面积．  【解析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积的求法及等腰直角三角形的性质． 首先根据圆周角定理可得，再由得出为等腰直角三角形，所以； 连接，，根据圆周角定理可得，则阴影部分的面积为扇形的面积减去的面积即可． 22.【答案】，， 的长， 同理，的长， 的长， 所以，点运动到点所经过的路线长；； 直线理由如下：延长交于． ，，， ≌． ， 又， ， 即． ．  【解析】本题考查的是弧长公式以及全等三角形的判定求出≌． 分别算出，，的长即可； 延长交于证明≌是解答本题的关键． 第6页，共20页 学科网（北京）股份有限公司 $$