专题3.6 弧长及扇形面积（高效培优讲义）数学浙教版九年级上册

专题3.6弧长及扇形面积 教学目标 1. 在推导弧长及扇形面积公式的过程中，引导学生经历观察、分析、归纳、推理等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和自主探究能力； 2. 通过将弧长和扇形面积问题转化为圆的周长和面积的部分问题来解决，让学生体会类比、转化等数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力； 3. 在解决实际问题时，培养学生从实际情境中抽象出数学模型的能力，进一步发展学生的空间观念和数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）弧长公式和扇形面积公式的推导过程与理解是教学重点。学生只有清晰掌握公式的推导思路，才能真正理解公式中各个量的含义和相互关系，为准确运用公式奠定基础。 (2)熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算是关键。 (3)运用弧长及扇形面积公式解决实际问题。 2.难点 (1)弧长公式和扇形面积公式的推导涉及到圆的周长、面积知识以及圆心角与弧长、面积的关系，推导过程较为抽象，对学生的逻辑思维能力和数学理解能力要求较高，学生在理解公式推导过程中容易出现困难，这是教学的难点之一; (2)在实际问题中，准确分析题目条件，判断哪些量是已知的，哪些量是要求的，并合理选择公式进行计算; (3)综合运用弧长、扇形面积公式以及其他数学知识（如三角形、方程等）解决综合性问题. 知识点01 弧长和扇形的面积 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【即学即练】 1．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，内接于，是的直径，是上一点，且．若，，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型01求弧长 【典例1】如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【变式1】如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为 (结果保留) 【变式2】如图，是在上的点，，，则的长为 ．（结果保留） 【变式3】如图，内接于，若，则的长为 ． 题型02求扇形半径 【典例2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【变式1】若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【变式2】如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【变式3】一个扇形的圆心角为，弧长，则此扇形的半径是 ． 题型03求圆心角 【典例3】若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【变式3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 题型04求某点的弧形运动路径长度 【典例4】如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动．到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点经过的路程长为 （结果保留π）． 【变式2】如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 题型05求扇形面积 【典例5】如图，是的弦，连接、，点在上，，，则扇形的面积为 ． 【变式1】图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 【变式2】如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为 ．（结果保留） 【变式3】如图，在扇形中，，点分别在，上，连接，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 题型06求弓形面积 【典例6】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【变式1】图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式2】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【变式3】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 题型07求其他不规则图形的面积 【典例7】如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【变式3】如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 题型08求图形旋转后扫过的面积 【典例8】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式2】当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中扫过的图形面积．（结果保留） 一、单选题 1．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 2．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 4．西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 5．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 6．如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留） 8．如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 三、解答题 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 10．如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)在正方形网格中画出． (2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 12．如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点． (1)求的长； (2)求点经过的路径长． 13．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.6弧长及扇形面积 教学目标 1. 在推导弧长及扇形面积公式的过程中，引导学生经历观察、分析、归纳、推理等数学活动，培养学生的逻辑思维能力和自主探究能力； 2. 通过将弧长和扇形面积问题转化为圆的周长和面积的部分问题来解决，让学生体会类比、转化等数学思想方法，提高学生分析问题和解决问题的能力； 3. 在解决实际问题时，培养学生从实际情境中抽象出数学模型的能力，进一步发展学生的空间观念和数学应用意识。 教学重难点 1.重点 （1）弧长公式和扇形面积公式的推导过程与理解是教学重点。学生只有清晰掌握公式的推导思路，才能真正理解公式中各个量的含义和相互关系，为准确运用公式奠定基础。 (2)熟练运用弧长公式和扇形面积公式进行计算是关键。 (3)运用弧长及扇形面积公式解决实际问题。 2.难点 (1)弧长公式和扇形面积公式的推导涉及到圆的周长、面积知识以及圆心角与弧长、面积的关系，推导过程较为抽象，对学生的逻辑思维能力和数学理解能力要求较高，学生在理解公式推导过程中容易出现困难，这是教学的难点之一; (2)在实际问题中，准确分析题目条件，判断哪些量是已知的，哪些量是要求的，并合理选择公式进行计算; (3)综合运用弧长、扇形面积公式以及其他数学知识（如三角形、方程等）解决综合性问题. 知识点01 弧长和扇形的面积 扇形：（1）弧长公式：； （2）扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积 注意：　 (1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(4)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的， 即； 　　(5)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【即学即练】 1．将一把折扇展开，可抽象看成一个扇形．若该扇形的半径为3，弧长为，则这个扇形的圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查弧长公式，根据弧长公式（n为圆心角的度数，r为扇形的半径）求解即可． 【详解】解：设这个扇形的圆心角的度数为n， 根据题意，得， 解得， 故选：C． 2．如图，内接于，是的直径，是上一点，且．若，，则劣弧的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求弧长，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，连接，根据直径所对的圆周角是直角得到，进而得出，再由等弧所对的圆周角相等得到 ，据此利用三角形内角和定理求出的度数，根据圆周角定理求得，进而根据弧长公式，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接 ∵是的直径 ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴劣弧的长为 故选：C． 3．如图，在中，，以为直径的与，交于点，，连结，．若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形的面积、圆周角定理、中位线定理，把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键． 根据直径所对的圆周角是直角得到，点是的中点，从而得出是的中位线，于是，阴影部分的面积转化为扇形的面积，进而求解． 【详解】连接、，如图： ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C ． 题型01求弧长 【典例1】如图，是的内接三角形，．若的半径为2，则劣弧的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，求弧长，先根据圆周角定理得，再结合弧长公式代入数值计算，即可作答． 【详解】解：连接，如图所示： ∵，， ∴， ∴劣弧， 故答案为：． 【变式1】如图，点在以为直径的半圆上，半径，，则的长度为 (结果保留) 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式、根据，得出，进而根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的长度为， 故答案为：． 【变式2】如图，是在上的点，，，则的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长的计算，掌握以上知识是关键． 根据圆周角定理得到的度数，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：∵所对的圆周角是，所对的圆心角是， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式3】如图，内接于，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，勾股定理，求弧长，连接，根据三角形的内角和定理，求出的度数，圆周角定理求出的度数，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，再根据弧长公式进行计算即可． 【详解】解：连接，则：， 在中，， ∴， ∵内接于， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的长为； 故答案为：． 题型02求扇形半径 【典例2】在中，如果的圆心角所对的弧长是，那么的半径是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，根据圆心角对应的弧长公式，代入已知条件求解半径即可． 【详解】解：根据弧长公式：，其中， 代入得： 解得： 故选：A． 【变式1】若圆心角所对的弧长是，则此弧所在圆的半径的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．设半径为，根据弧长公式得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设半径为， 根据题意得， ∴， 故答案为：． 【变式2】如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米． 【答案】 【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得： ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】一个扇形的圆心角为，弧长，则此扇形的半径是 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了扇形的弧长，正确理解扇形的弧长公式是解题的关键． 根据扇形的弧长弧长公式即可得到关于扇形半径的方程，即可求解． 【详解】解：设扇形的半径是R，则， 解得：． 故答案为：12． 题型03求圆心角 【典例3】若扇形的半径为6，弧长为，则所对圆心角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求扇形圆心角度数，设圆心角度数为，根据弧长公式可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设圆心角度数为， 由题意得，， 解得， 故选：D． 【变式1】如图，某公园计划修建一条以点为圆心，半径米，圆心角为的弧形观景步道即．施工过程中，因场地条件限制，需在保持圆心和半径长度不变的前提下，将弧形步道的弧长减少米，则调整后该弧形观景步道的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了弧长，圆心角的计算，掌握弧长公式的计算是关键． 根据弧长公式（是弧长所对的圆心角）代入计算即可． 【详解】解：半径米，圆心角为的弧形观景步道即， ∴（米）， ∵将弧形步道的弧长减少米， ∴调整后的弧长为（米）， 设此时的圆心角的度数为， ∴， 解得，， 故选：C ． 【变式2】折扇是南京著名的传统手工艺制品之一、某折扇展开后，扇形的半径为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积公式，设扇形的圆心角是，根据扇形的面积公式，可得到一个关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】解：设圆心角为， ， 解得：， 故答案为：． 【变式3】“轮动发石车”在春秋战国时期被广泛应用，模型驱动部分如图所示，其中的半径分别是和，当顺时针转动3周时，上的点P随之旋转，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用弧长求解圆心角度数．先求出点P移动的距离，再根据弧长公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点P移动的距离为， ∴， 解得：． 故答案为：． 题型04求某点的弧形运动路径长度 【典例4】如图①，是一底面为正方形的石凳，其底面边长为，图②是其底面示意图，工人在没有滑动的情况下，将石凳绕着点在地面顺时针旋转，当旋转时，点在地面划出的痕迹长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理和弧长公式的应用．解题关键在于确定点的运动轨迹是圆弧，利用勾股定理求出圆弧所在圆的半径，再准确运用弧长公式进行计算．本题需要先确定点的运动轨迹，再根据弧长公式计算轨迹长度．点绕点顺时针旋转，其运动轨迹是以为圆心，长为半径的一段圆弧，先求出的长度，再利用弧长公式计算． 【详解】解：∵底面是边长为的正方形， ∴对角线的长度为． ∵，半径． ∴点在地面划出的痕迹长． 【变式1】如图，在中，，，，，．将沿着直线作顺时针方向的滚动．到的位置叫做“滚动了一周”，那么这个三角形在滚动了3周之后，点经过的路程长为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了求扇形的弧长，先求出到的位置叫做“滚动了一周”点经过的路程长，再乘以即可得解． 【详解】解：如图，滚动了一周”，点所经过的路程为，的长度和， 由旋转可知，， 滚动了一周，点所经过的路程为， 在滚动了周之后，点经过的路程长为 ， 故答案为： ． 【变式2】如图，在中，，点是边上的一个动点，点关于的对称点是点．动点从点运动到点时，点的路径长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，弧长的计算，理解折叠的性质，掌握弧长的计算公式是关键． 根据题意可得，当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示，结合弧长公式计算即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，设交于点， ∵点关于的对称点是点， ∴垂直平分， ∴，， 当动点从点运动到点时，保持，则点在以点圆心，以为半径的圆弧上运动，点与点重合，如图所示， ∴， ∴， ∴点的路径长为， 故答案为： ． 题型05求扇形面积 【典例5】如图，是的弦，连接、，点在上，，，则扇形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，扇形面积计算，勾股定理， 先由圆周角定理得到，再由勾股定理求出的长，再根据扇形面积计算公式求解即可． 【详解】解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1】图1为人行通道扇形闸门，图2为其上半部分的平面示意图．闸门关闭状态时，扇形与扇形相交于点，且两扇形的半径分别是矩形的两对边和．已知，圆心角，则扇形的面积等于 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 证明是等边三角形，求出，得到（），即可得到答案． 【详解】解：矩形， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， （）， 故答案为： 【变式2】如图，、是的两条弦，连接、，若的半径为2，，则扇形的面积为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查圆周角定理，求扇形的面积，根据圆周角定理，求出的度数，再根据扇形的面积公式进行计算即可． 【详解】解：∵、是的两条弦，， ∴， ∵的半径为2， ∴扇形的面积为； 故答案为：． 【变式3】如图，在扇形中，，点分别在，上，连接，点，关于直线对称，连接，若的长为，则扇形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称的性质，弧长、扇形的面积，等边三角形的判定与性质，证得是等边三角形是解题的关键． 连接，证明是等边三角形，得到，从而得到，利用弧长公式求得扇形的半径，再根据扇形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点关于直线对称， ， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ∵的长为， ， ， ∴扇形的面积为， 故选：D． 题型06求弓形面积 【典例6】如图，分别以等边三角形的三个顶点为圆心，以三角形边长为半径画弧，得到的封闭图形是“勒洛三角形”，若等边三角形的边长，则“勒洛三角形”与等边围成阴影部分的面积等于 （结果保留）． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不规则图形的面积，等边三角形的性质，勾股定理，过点A作于H，由等边三角形的性质得到，，则由勾股定理可得，再根据计算求解即可． 【详解】解：如图所示，过点A作于H， ∵是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， 故答案为：． 【变式1】图1是用同一种瓦片砌成的古典式花窗，图2是由8块相同的瓦片组成的局部截面示意图（瓦片的厚度忽略不计）．若该示意图外围是半径为的圆，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】此题考查了扇形面积公式的应用，标记圆心及点，连接，．设弓形的面积为，先求出，再根据 进行解答即可． 【详解】解：如图，标记圆心及点，连接，． 根据题意，知． 设弓形的面积为， 则 故答案为：． 【变式2】家庭折叠型餐桌两边翻开后成圆形桌面（如图①），餐桌两边和平行且相等（如图②），小华用皮尺量出米，米，则阴影部分的面积为（    ）    A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】此题主要考查了勾股定理以及扇形面积计算以及三角形面积求法等知识，熟练掌握特殊角的三角函数关系是解题关键．设圆心为O，连接，过点O作于点E，进而得出，的长以及的度数，进而由得出弓形的面积，进一步即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：设圆心为O，连接，过点O作于点E， 由题意可得出：， ∴是的直径， ∵米，米， ∴，米， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴， ∴平方米， ∴阴影部分的面积为：平方米． ∴故选：B． 【变式3】如图，矩形中，，，以为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了求扇形面积，垂径定理，勾股定理．设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，，根据垂径定理可得，，再结合勾股定理可得，，从而得到，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，设与半圆O交于点E，F，过点O作于点M，则，， ∴，， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故选：B． 题型07求其他不规则图形的面积 【典例7】如图，在中，，分别以点为圆心、的长为半径画弧，与的延长线分别交于点．若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，扇形的面积，由等腰直角三角形的性质得，，进而由解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【变式1】如图，在中，，，，将绕点O顺时针旋转后得，将线段绕点逆时针旋转后得线段，分别以点，为圆心，以，长为半径画弧和弧，连接，则图中阴影部分的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是扇形面积的计算、旋转的性质、全等三角形的性质、勾股定理，扇形的面积公式为．作于H，根据勾股定理求出，根据阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积、利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：作于H，如图所示： ∵，，， ∴， 由旋转，得， ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 阴影部分面积的面积的面积扇形的面积扇形的面积 ． 故选：D． 【变式2】如图，正六边形的边长为4，中心为点，以点为圆心，以长为半径作圆心角为的扇形，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】连接、、，过点O作于点M，根据正六边形的性质得出，，，证明和为等边三角形，求出，证明，得出，得出，根据求出结果即可． 【详解】解：连接、、，过点O作于点M，如图所示： ∵六边形为正六边形， ∴，，， ∴和为等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，扇形面积计算，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握正六边形的性质． 【变式3】如图，的半径为1，A，B，C是上的三个点．若四边形为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，求不规则图形的面积，连接，证明四边形为菱形，易得为等边三角形，，得到，根据阴影部分的面积等于弓形的面积加上的面积，即为扇形的面积，进行求解即可． 【详解】解：连接，交于点，则：， ∵四边形为平行四边形，， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积； 故答案为：． 题型08求图形旋转后扫过的面积 【典例8】如图，某汽车车门的底边长为，车门侧开后的最大角度为．若将一扇车门侧开，则这扇车门底边扫过区域的最大面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形的面积，根据扇形的面积公式直接计算即可求解，掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，车门底边扫过区域的最大面积， 故选：． 【变式1】如图，在等腰直角三角形中，直角边长是2，若将此三角形绕直角顶点C顺时针旋转，那么斜边扫过的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了扇形的面积公式，根据题意画出图形，边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积，据此进行求解即可． 【详解】解：如图所示，由题意可得， 都是等腰直角三角形，则， 边在旋转时所扫过的面积为所围成的图形面积， 故选：B 【变式2】当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键． 如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可． 【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点， ∵旋转， ∴， ∴， ∴， ∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积， ∵，， ∴， 故选：B ． 【变式3】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的； (2)画出绕点顺时针旋转后得到的； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中扫过的图形面积．（结果保留） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查的是画轴对称图形，旋转图形，勾股定理的应用，扇形面积的计算； （1）分别确定关于轴对称的对称点，再顺次连接即可； （2）分别确定绕点顺时针旋转后的对应点，再顺次连接即可； （3）先求解，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：∵， ∴扫过图形面积为． 一、单选题 1．已知扇形的半径为6，圆心角为，则它的面积是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查扇形面积公式的知识点，已知扇形的半径和圆心角度数求扇形的面积，选择公式直接计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 2．徽派建筑是中国传统建筑中的瑰宝，其以精巧的布局、典雅的形制和深厚的文化意蕴，成为江南地域文化的鲜明符号．如图是扇形花窗造型，若，，则该阴影部分的面积为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积的计算，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键； 根据扇形面积公式结合阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴该阴影部分的面积 ； 故选：C． 3．如图，已知的半径为2，点A和点B在上，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了扇形面积公式，等边三角形的判定与性质，弓形面积；先证明是等边三角形，推出，直接根据即可得出结论，熟记扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：， 是等边三角形， ， ， 故选：B． 4．西气东输工程全长四千多千米，其中有成千上万个圆弧形弯管．图中弯管的中心线的半径为90cm，圆心角，则的长度为（    ） A．cm B．cm C．cm D．cm 【答案】B 【分析】本题考查弧长的计算．根据弧长公式代入计算即可． 【详解】根据弧长公式， 可得的长度为． 故选：B 5．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论． 【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为， ∴滚动2025周后圆心所经过的路径长， 故选：D． 6．如图一个扇形纸片的圆心角为，半径为．将这张扇形纸片折叠，使点与点恰好重合，折痕为，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查扇形面积连接，，由题意得，，，进而可得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ； 故选A． 二、填空题 7．如图，内接于，的半径为，若，则劣弧的长为 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，连接，由圆周角定理可得，进而利用弧长公式计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∴劣弧的长， 故答案为：． 8．如图，在正六边形中，连结与，以点为圆心，长为半径画弧，若，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， 求得，由垂径定理得，则，所以，根据勾股定理求得，则，即可根据扇形的面积公式求得阴影部分面积． 【详解】解：作正六边形的外接圆，圆心为点，连接交于点， 连接、， ， ，，、 ， ∴弧弧， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题 9．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为． (1)将向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，画出两次平移后的，并写出点的坐标； (2)画出绕原点O逆时针旋转后得到的，并写出点的坐标； (3)在（2）的条件下，求点旋转到点的过程中，所经过的路径长（结果保留π）． 【答案】(1)作图见解析， (2)作图见解析， (3) 【分析】本题考查了平移作图，旋转作图，弧长公式，勾股定理等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）分别描出平移后的点，再顺次连接即可得到，根据点的平移方式即可求解； （2）将点分别绕原点O逆时针旋转得到点，再顺次连接即可，即可写出点的坐标； （3）先由勾股定理求出，再由弧长公式求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： ∵， ∴向上平移5个单位长度，再向右平移1个单位长度得到，即； （2）解：如图，即为所求，； （3）解：， ∴点旋转到点的过程中，所经过的路径长为 10．如图，正方形网格的每个小正方形边长都是，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都在格点上．现将绕点按逆时针方向旋转得到． (1)在正方形网格中画出． (2)计算线段在变换到的过程中扫过区域的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2) 【分析】（）根据旋转的性质作图即可； （）利用勾股定理求出，再根据扇形的面积公式计算即可求解； 本题考查了旋转作图，勾股定理，扇形的面积，掌握旋转的性质和扇形的面积计算公式是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由勾股定理可得，， ∴线段在变换到的过程中扫过区域的面积为． 12．如图，半圆的直径，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆，与交于点． (1)求的长； (2)求点经过的路径长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是旋转的性质以及轨迹，解题的关键是熟练掌握旋转的性质． （1）先根据题意判断出是等腰直角三角形，由勾股定理解得的长，进而可得出的长； （2）根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：连接，如下图， 根据题意，可知，， ∵， ∴， ∴，， 即是等腰直角三角形， ∴， ∴； （2）根据题意，将半圆绕点顺时针旋转得到半圆， 则有， 答：点经过的路径长为． 13．如图，在中，，，以点为圆心，长为半径的与相交于点，连接． (1)求的度数． (2)若，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了扇形面积的计算、含30度角的直角三角形及圆周角定理，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． （1）先求出的度数，再由得出，最后利用外角定理即可解决问题． （2）过点作的垂线，将阴影部分的面积转化为扇形与△的面积之差即可解决问题． 【详解】（1）解： ，， ． ， ， ． （2）过点作的垂线，垂足为， ，， 是等边三角形， ，． 又， ， ， ． 又 ， ． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$